diff --git a/.gitmodules b/.gitmodules index 425b15a..e01fc8c 100644 --- a/.gitmodules +++ b/.gitmodules @@ -4,3 +4,6 @@ [submodule "documents/NeuralNets"] path = documents/NeuralNets url = https://github.com/Marvin182/NeuralNets.git +[submodule "documents/GeoTopo"] + path = documents/GeoTopo + url = https://github.com/MartinThoma/GeoTopo.git diff --git a/documents/GeoTopo b/documents/GeoTopo new file mode 160000 index 0000000..32ca0d1 --- /dev/null +++ b/documents/GeoTopo @@ -0,0 +1 @@ +Subproject commit 32ca0d1ffff10d43c992705f5c4528b007b975dd diff --git a/documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex b/documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex deleted file mode 100644 index a63203d..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -\chapter*{Abkürzungsverzeichnis\markboth{Abkürzungsverzeichnis}{Abkürzungsverzeichnis}} -\addcontentsline{toc}{chapter}{Abkürzungsverzeichnis} -\begin{acronym} - \acro{Beh.}{Behauptung} - \acro{Bew.}{Beweis} - \acro{bzgl.}{bezüglich} - \acro{bzw.}{beziehungsweise} - \acro{ca.}{circa} - \acro{d. h.}{das heißt} - \acro{Def.}{Definition} - \acro{etc.}{et cetera} - \acro{ex.}{existieren} - \acro{Hom.}{Homomorphismus} - \acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit} - \acro{Prop.}{Proposition} - \acro{sog.}{sogenannte} - \acro{Vor.}{Voraussetzung} - \acro{vgl.}{vergleiche} - \acro{z. B.}{zum Beispiel} - \acro{zhgd.}{zusammenhängend} - \acro{z. z.}{zu zeigen} -\end{acronym} diff --git a/documents/GeoTopo/Bildquellen.tex b/documents/GeoTopo/Bildquellen.tex deleted file mode 100644 index 81cc5e6..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Bildquellen.tex +++ /dev/null @@ -1,32 +0,0 @@ -\chapter*{Bildquellen\markboth{Bildquellen}{Bildquellen}} -\addcontentsline{toc}{chapter}{Bildquellen} - -Alle Bilder, die hier nicht aufgeführt sind, wurden von Martin Thoma erstellt. - -Teilweise wurden die im folgenden aufgelisteten Bilder noch leicht -modifiziert. - -\begin{itemize} - \item[Abb. \ref{fig:s2}] $S^2$: Tom Bombadil, \href{http://tex.stackexchange.com/a/42865/5645}{tex.stackexchange.com/a/42865} - \item[Abb. \ref{fig:cube}] Würfel: Jan Hlavacek, \href{http://tex.stackexchange.com/a/12069/5645}{tex.stackexchange.com/a/12069} - \item[Abb. \ref{fig:torus}] $T^2$: Jake, \href{http://tex.stackexchange.com/a/70979/5645}{tex.stackexchange.com/a/70979/5645} - \item[Abb. \ref{fig:stereographic-projection}] Stereographische Projektion: \href{http://texample.net/tikz/examples/map-projections/}{texample.net/tikz/examples/map-projections} - \item[Abb. \ref{fig:Knoten}] Knoten von Jim.belk aus der \enquote{\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Blue_knots}{Blue knots}}-Serie: - \begin{itemize} - \item Trivialer Knoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Unknot.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Unknot.png}} - \item Kleeblattknoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Trefoil_Knot.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Trefoil_Knot.png}} - \item Achterknoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Figure-Eight_Knot.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Figure-Eight_Knot.png}} - \item $6_2$-Knoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_6_2_Knot.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_6_2_Knot.png}} - \end{itemize} - \item[Abb. \ref{fig:reidemeister-zuege}] Reidemeister-Züge: YAMASHITA Makoto (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{1}, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{2}, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{3}) - \item[Abb. \ref{fig:treefoil-knot-three-colors}] Kleeblattknoten, 3-Färbung: Jim.belk, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}} - \item[Abb. \ref{fig:double-torus}] Doppeltorus: Oleg Alexandrov, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double_torus_illustration.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Double\_torus\_illustration.png}} - \item[Abb. \ref{fig:faltungsdiagramm}] Faltungsdiagramm: Jérôme Urhausen, Email vom 11.02.2014. - \item[Abb. \ref{fig:torus-three-paths}] 3 Pfade auf Torus: \href{http://tex.stackexchange.com/users/484/charles-staats}{Charles Staats}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149991/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149991/5645}} - \item[Abb. \ref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}] Ãœberlagerung von $S^1$ mit $\mdr$: \href{http://tex.stackexchange.com/users/22467/alex}{Alex}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149706/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149706/5645}} - \item[Abb. \ref{fig:bem:14.9}] Sphärisches Dreieck: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:DemonDeLuxe}{Dominique Toussaint},\\ - \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}} - \item[Abb. \ref{fig:moebius-strip}] Möbiusband: \href{http://tex.stackexchange.com/users/2552/jake}{Jake}, - \href{http://tex.stackexchange.com/a/118573/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/118573/5645}} - \item[Abb. \ref{fig:torus-gauss-kruemmung}] Krümmung des Torus: \href{http://tex.stackexchange.com/users/484/charles-staats}{Charles Staats}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149991/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149991/5645}} -\end{itemize} diff --git a/documents/GeoTopo/Definitionen.tex b/documents/GeoTopo/Definitionen.tex deleted file mode 100644 index 7a90ec5..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Definitionen.tex +++ /dev/null @@ -1,61 +0,0 @@ -%!TEX root = GeoTopo.tex -\markboth{Ergänzende Definitionen und Sätze}{Ergänzende Definitionen und Sätze} -\chapter*{Ergänzende Definitionen und Sätze} -\addcontentsline{toc}{chapter}{Ergänzende Definitionen und Sätze} - -Da dieses Skript in die Geometrie und Topologie einführen soll, sollten soweit -wie möglich alle benötigten Begriffe definiert und erklärt werden. Die folgenden -Begriffe wurden zwar verwendet, aber nicht erklärt, da sie Bestandteil der -Vorlesungen \enquote{Analysis I und II} sowie \enquote{Lineare Algebra und analytische Geometrie I und II} -sind. Jedoch will ich zumindest die Definitionen bereitstellen. - -\begin{definition}\xindex{Häufungspunkt}% - Sei $D \subseteq \mdr$ und $x_0 \in \mdr$. $x_0$ heißt ein \textbf{Häufungspunkt} - von $D :\gdw \exists$ Folge $x_n$ in $D \setminus \Set{x_0}$ mit $x_n \rightarrow x_0$. -\end{definition} - -Folgende Definition wurde dem Skript von Herrn Prof.~Dr.~Leuzinger für -Lineare Algebra entnommen: - -\begin{definition}\xindex{Abbildung!affine}% - Es seien $V$ und $W$ $\mdk$-Vektorräume und $\mda(V)$ und $\mda(W)$ die - zugehörigen affinen Räume. Eine Abbildung $f:V \rightarrow W$ heißt \textbf{affin}, - falls für alle $a, b \in V$ und alle $\lambda, \mu \in \mdk$ mit $\lambda + \mu = 1$ gilt: - \[f(\lambda a + \mu b) = \lambda f(a) + \mu f(b)\] -\end{definition} - -\begin{definition}\xindex{Orthonormalbasis}% - Sei $V$ ein Vektorraum und $S \subseteq V$ eine Teilmenge. - - $S$ heißt eine \textbf{Orthonormalbasis} von $V$, wenn gilt: - \begin{defenumprops} - \item $S$ ist eine Basis von $V$ - \item $\forall v \in S: \|v\| = 1$ - \item $\forall v_1, v_2 \in S: v_1 \neq v_2 \Rightarrow \langle v_1, v_2 \rangle = 0$ - \end{defenumprops} -\end{definition} - -\begin{satz*}[Zwischenwertsatz]\xindex{Zwischenwertsatz}% - Sei $a 0$ mit - -\begin{align*} - \fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} &\subseteq V\\ - \Set{y \in A | d(x,y) < r} &\subseteq V \cap A = U -\end{align*} -also ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$. -\todo[inline]{Wieso ist $U$ offen bzgl. $d|_{A \times A}$?} -Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$ - -\section*{19.) Topologische Gruppe und stetige Gruppenoperation} -\begin{definition}% - Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit und $(G, \circ)$ eine Gruppe. - - \begin{defenum} - \item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische}, - wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$ - und $\iota: G \rightarrow G$ definiert durch - \[g \circ h := g \cdot h \text{ und } \iota(g) := g^{-1}\] - stetig sind. - \item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt - $G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn - $(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{definition} - Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und - $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation. - - \begin{defenum} - \item \xindex{Gruppe operiert durch Homöomorphismen}\textbf{$G$ operiert durch Homöomorphismen}, wenn für jedes $g \in G$ - die Abbildung - \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\] - ein Homöomorphismus ist. - \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$ - \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn - $\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist. - \end{defenum} -\end{definition} - -\todo[inline]{Wenn $G$ eine topologische Gruppe ist, dann ist $\circ$ doch auf jeden Fall stetig! Was soll die Definition? Des Weiteren verstehe ich $g \circ h := g \cdot h$ nicht. Was ist $\cdot$?} - -\section*{22.) MF-Beispiel} -$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten -der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt: - -Sei $U_i := \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0}\;\forall i \in 0, \dots, n$. -Dann ist $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i$ und die Abbildung -\begin{align*} - U_i &\rightarrow \mdr^n\\ - (x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \cancel{\frac{x_i}{x_i}}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\ - (y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n) -\end{align*} -ist bijektiv. -\todo[inline]{Was wird im Folgenden gemacht?} -Die $U_i$ mit $i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atlas: -\begin{align*} - x &= (1:0:0) \in U_0 \rightarrow \mdr^2 & x &\mapsto (0,0)\\ - y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2 & y &\mapsto (0,1) -\end{align*} -$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = V_1$\\ -$\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2$\\ - -$V_1 \cap V_2 = \emptyset$? - -$(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\ -$\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\ -$\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\ -$\Rightarrow$ Widerspruch - - -\section*{23) Hyperbolische Geraden erfüllen 3.ii} -\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden] - Die hyperbolischen Geraden erfüllen das Anordnungsaxiom 3 ii -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - Sei $g \in G_1 \dcup G_2$ eine hyperbolische Gerade.\\ - \underline{Fall 1:} $g = \Set{z \in \mdh | |z-m| = r} \in G_1$\\ - Dann gilt: - \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_1 \text{ (Kreisinneres)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_2 \text{ (Kreisäußeres)}}\] - Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer. - - \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit - $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: - $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\ - \enquote{$\Leftarrow$}: Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung - direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner - ist als $r$ und alle Punkte in $H_2$ haben einen Abstand von $m$ der - größer ist als $r$. Da man jede Strecke von $A$ nach $B$ insbesondere - auch als stetige Abbildung $f: \mdr \rightarrow \mdr_{>0}$ auffassen - kann, greift der Zwischenwertsatz $\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$ - - \enquote{$\Rightarrow$}: - \todo[inline]{TODO} - - \underline{Fall 2:} $g = \Set{z \in \mdh | \Re{z} = x} \in G_2$\\ - Die disjunkte Zerlegung ist: - \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\] - - \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit - $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: - $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\ - \enquote{$\Leftarrow$}: Wie zuvor mit dem Zwischenwertsatz. - - \enquote{$\Rightarrow$}: - \todo[inline]{TODO} -\end{beweis} - -\section*{25.) Fragen} -\begin{enumerate} - \item Kapitel II: - \begin{enumerate} - \item Frage 7: Anschaulich ist mir klar, warum durch Verkleben gegenüberliegernder Seiten ein Torus entsteht. Was wird hier erwartet? - \end{enumerate} - \item Kapitel III - \begin{enumerate} - \item Deformationsretrakt: Das hatten wir nicht in der Vorlesung, oder? Ich meine mich zwar an das Wort zu erinnern (aus einem Ãœbungsblatt? Einem Tutorium?) Könntest du bitte nochmals erklären was das ist? -Das ist zwar auf Blatt 7 und 8 vorgekommen, aber sonst nie. - \item Damit verbunden: Was genau ist eine "Einbettung"? - \item Was bedeutet der Pfeil: $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene - \item Was ist eine Inklusionsabbildung? - \item Was ist ein Homotopietyp? (Ist das eventuell die Anzahl der Homotopieklassen?) - \item Frage 4: Was ist eine Rose? - \item Frage 5: Wieso ist $\GL(n, \mdr)$ eine Lie-Gruppe? - \end{enumerate} -\end{enumerate} -\end{document} diff --git a/documents/GeoTopo/Fragen/Makefile b/documents/GeoTopo/Fragen/Makefile deleted file mode 100644 index e784a32..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Fragen/Makefile +++ /dev/null @@ -1,7 +0,0 @@ -SOURCE = Fragen -make: - pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf - make clean - -clean: - rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.thm diff --git a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf deleted file mode 100644 index c4953d2..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/GeoTopo.sublime-project b/documents/GeoTopo/GeoTopo.sublime-project deleted file mode 100644 index c380dfe..0000000 --- a/documents/GeoTopo/GeoTopo.sublime-project +++ /dev/null @@ -1,14 +0,0 @@ -{ - "folders": - [ - { - "path": "/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/GeoTopo", - "file_exclude_patterns": ["*.aux", "*.fdb_latexmk", "*.out", "*.idx", "*.toc", "*.ilg", "*.thm", "*.ind"] - } - ], - "settings": - { - "tab_size": 4, - "translate_tabs_to_spaces": false - } -} diff --git a/documents/GeoTopo/GeoTopo.tex b/documents/GeoTopo/GeoTopo.tex deleted file mode 100644 index c240752..0000000 --- a/documents/GeoTopo/GeoTopo.tex +++ /dev/null @@ -1,119 +0,0 @@ -\documentclass[DIV15,BCOR12mm]{scrbook} -\pdfoutput=1 -\newif\ifAFive\AFivefalse -\ifAFive - \KOMAoptions{paper=a5,twoside=true} -\else - \KOMAoptions{paper=a4,twoside=false} -\fi -\usepackage{etoolbox} -\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts -\usepackage{mathtools} % \xRightarrow -\usepackage{nicefrac} % \nicefrac -\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts -\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts -\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf -\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem} -\usepackage{framed} -\usepackage{marvosym} -\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index -\usepackage{xcolor} -\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx -\usepackage{breakurl} % allow line breaks in \href{ ... } -\ifAFive - \hypersetup{hidelinks=true} -% no \else branch needed in this case -\fi -\usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references -\usepackage{tabto} -\usepackage{braket} % needed for \Set -\usepackage{csquotes} % \enquote{} -\usepackage{subfig} % multiple figures in one -\usepackage{parskip} % nicer paragraphs -\usepackage{xifthen} % \isempty -\usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment -\usepackage{pst-solides3d} -\usepackage{pgfplots} -\pgfplotsset{compat=1.7} -\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy} -\usepackage{caption} % get newlines within captions -\usepackage{tikz} % draw -\usepackage{tikz-3dplot} % draw -\usepackage{tkz-fct} % draw -\usepackage{tkz-euclide} % draw -\usetkzobj{all} % tkz-euclide -\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing} -\usepackage{tqft} -\usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command -\usepackage[german,nameinlink,noabbrev]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\usepackage{array,xtab,ragged2e} % for symbol table -\newlength\mylengtha -\newlength\mylengthb -\newcolumntype{P}[1]{>{\RaggedRight}p{#1}} -\tabcolsep=3pt % default: 6pt -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\usepackage{acronym} -\usepackage{cancel} -\usepackage{shortcuts} - -\usepackage{fancyhdr} -\pagestyle{fancy} -\renewcommand{\chaptermark}[1]% -{\markboth{\MakeUppercase{\thechapter.\ #1}}{}} -\renewcommand{\sectionmark}[1]% -{\markright{\MakeUppercase{\thesection.\ #1}}} -\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} -\renewcommand{\footrulewidth}{0pt} -\newcommand{\helv}{% -\fontfamily{phv}\fontseries{b}\fontsize{9}{11}\selectfont} -\fancyhf{} -\fancyhead[LO,RE]{\helv \thepage} -\fancyhead[LE]{\helv \leftmark} -\fancyhead[RO]{\helv \rightmark} -\fancypagestyle{plain}{% -\fancyhead{} -\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} -} - -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Geometrie, Topologie}, - pdftitle = {Geometrie und Topologie} -} - -\makeindex -\allowdisplaybreaks -\usepackage{microtype} - -\begin{document} -\pagenumbering{roman} -\setcounter{page}{1} -\input{titlepage} -\input{Vorwort} -\tableofcontents -\ifAFive - \cleardoublepage -\fi -\pagenumbering{arabic} -\setcounter{page}{1} -\input{Kapitel1} -\input{Kapitel2} -\input{Kapitel3} -\input{Kapitel4} -\input{Kapitel5} -\input{Loesungen} - -\appendix -\input{Bildquellen} -\clearpage -\input{Abkuerzungen} -\clearpage -\input{Definitionen} -\clearpage -\input{Symbolverzeichnis} -\clearpage -\addcontentsline{toc}{chapter}{Stichwortverzeichnis} -\renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis} -\printindex -\end{document} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex deleted file mode 100644 index 4a02c11..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex +++ /dev/null @@ -1,61 +0,0 @@ -\clearpage -\section*{Ãœbungsaufgaben} -\addcontentsline{toc}{section}{Ãœbungsaufgaben} - -\begin{aufgabe}[SierpiÅ„skiraum]\label{ub1:aufg1}\xindex{SierpiÅ„skiraum}% - Es sei $X := \Set{0,1}$ und $\fT_X := \Set{\emptyset, \Set{0}, X}$. - Dies ist der sogenannte SierpiÅ„skiraum. - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item Beweisen Sie, dass $(X, \fT_X)$ ein topologischer Raum ist. - \item Ist $(X, \fT_X)$ hausdorffsch? - \item Ist $\fT_X$ von einer Metrik erzeugt? - \end{enumerate} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe}\label{ub1:aufg4} - Es sei $\mdz$ mit der von den Mengen $U_{a,b} := a + b \mdz (a \in \mdz, b \in \mdz \setminus \Set{0})$ - erzeugten Topologie versehen. - - Zeigen Sie: - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item Jedes $U_{a,b}$ und jede einelementige Teilmenge von $\mdz$ ist abgeschlossen. - \item $\Set{-1, 1}$ ist nicht offen. - \item Es gibt unendlich viele Primzahlen. - \end{enumerate} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe}[Cantorsches Diskontinuum]\label{ub2:aufg4}\xindex{Cantorsches Diskontinuum}% - Für jedes $i \in \mdn$ sei $P_i := \Set{0,1}$ mit der diskreten - Topologie. Weiter Sei $P := \prod_{i \in \mdn} P_i$. - - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item Wie sehen die offenen Mengen von $P$ aus? - \item Was können Sie über den Zusammenhang von $P$ sagen? - \end{enumerate} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe}[Kompaktheit]\label{ub3:aufg1} - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item Ist $\GL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?\xindex{Gruppe!allgemeine lineare} - \item Ist $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?\xindex{Gruppe!spezielle lineare} - \item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?\xindex{Raum!projektiver} - \end{enumerate} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe}[Begriffe]\label{ub3:meinsExtra} - Definieren sie die Begriffe \enquote{Homomorphismus} und - \enquote{Homöomorphismus}. - - Geben Sie, falls möglich, ein Beispiel für folgende Fälle an. - Falls es nicht möglich ist, begründen Sie warum. - \begin{bspenum} - \item Ein Homomorphismus, der zugleich ein Homöomorphismus ist, - \item ein Homomorphismus, der kein Homöomorphismus ist, - \item ein Homöomorphismus, der kein Homomorphismus ist - \end{bspenum} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe}[Begriffe]\label{ub3:meinsExtra2} - Definieren sie die Begriffe \enquote{Isomorphismus}, - \enquote{Isotopie} und \enquote{Isometrie}. -\end{aufgabe} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex deleted file mode 100644 index 3d44060..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex +++ /dev/null @@ -1,1088 +0,0 @@ -%!TEX root = GeoTopo.tex -\chapter{Topologische Grundbegriffe} -\section{Topologische Räume} -\begin{definition}\xindex{Raum!topologischer}\xindex{Menge!offene}\xindex{Menge!abgeschlossene}% - Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend - aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit - folgenden Eigenschaften - \begin{defenumprops} - \item $\emptyset, X \in \fT$ - \item \label{def:topologie.ii} Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$ - \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$, - so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$ - \end{defenumprops} - Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. - - $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist. -\end{definition} - -Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$. -Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. - -\begin{bemerkung}[Mengen, die offen \& abgeschlossen sind, ex.]% - Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \textbf{trivialen Topologie} - \xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$. - - Es gilt: $X \in \fT$ und $\emptyset \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$ - sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$ - und $X \setminus \emptyset = X \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$ - sind als Komplement offener Mengen abgeschlossen.$\qed$ -\end{bemerkung} - -\begin{beispiel}[Topologien] - \begin{enumerate}[label=\arabic*)] - \item $X = \mdr^n$ mit der von der euklidischen Metrik erzeugten - Topologie $\fT_{\ts{Euklid}}$: \xindex{Topologie!euklidische} - \begin{align*} - U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw\;&\text{für jedes $x \in U$ gibt es $r > 0$,}\\ - &\text{sodass $\fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$} - \end{align*} - Diese Topologie wird auch \enquote{Standardtopologie des $\mdr^n$}\xindex{Standardtopologie} genannt. - Sie beinhaltet unter anderem alle offenen Kugeln, aber - z.~B. auch Schnitte zweier Kugeln mit unterschiedlichem - Mittelpunkt (vgl. \cref{def:topologie.ii}). - \item Jeder metrische Raum $(X, d)$ ist auch ein topologischer Raum. - \item Für eine Menge $X$ heißt $\fT_{\ts{Diskret}} = \powerset{X}$ \textbf{diskrete Topologie}\xindex{Topologie!diskrete}. - \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \textbf{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\ - Beobachtungen: - \begin{itemize} - \item $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$ - \item Es gibt keine disjunkten offenen Mengen in $\fT_Z$. - \end{itemize} - \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$ - \item $X := \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$ heißt \textbf{SierpiÅ„skiraum}.\xindex{SierpiÅ„skiraum}\\ - $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$ sind dort alle abgeschlossenen Mengen. - \end{enumerate} -\end{beispiel} - -\begin{definition}\xindex{Umgebung}% - Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $x \in X$. - - Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$, - wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$. - - Gilt eine Eigenschaft in einer Umgebung, so sagt man, dass die Eigenschaft - \textbf{lokal}\xindex{lokal} gilt. -\end{definition} - -\begin{definition}% - Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge. - \begin{defenum} - \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\overset{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener} - \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\mathclap{\overset{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss} - \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \xindex{Rand} - \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \xindex{dicht} - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{beispiel} - \begin{bspenum} - \item Sei $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie und - $M = \mdq$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ und - $M^\circ = \emptyset$ - \item Sei $X = \mdr$ und $M=(a,b)$. Dann gilt: - $\overline{M} = [a,b]$ - \item Sei $X = \mdr, \fT = \fT_Z$ und $M = (a,b)$. Dann gilt: - $\overline{M} = \mdr$ - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{definition}\xindex{Basis}\xindex{Subbasis}% - Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum. - \begin{defenum} - \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$, - wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $\fB$ - ist. - \item $\calS \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis} der Topologie $\fT$, wenn jedes - $U \in \fT$ Vereinigung von endlichen Durchschnitten - von Elementen aus $\calS$ ist. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{beispiel}[Basis und Subbasis] - \begin{bspenum} - \item Jede Basis ist auch eine Subbasis, z.B.\\ - $S=\Set{ (a,b) | a,b \in \mdr, a 0}, x \in \mdq^n}\] - ist eine abzählbare Basis von $\fT$. - \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit - $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, \Set{0,2}, X}$.\\ - Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von - $\fT$, da gilt: - \begin{itemize} - \item $\calS \subseteq \fT$ - \item $\emptyset,\Set{0,1} \text{ und } \Set{0,2} \in \calS$ - \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$ - \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$ - \end{itemize} - Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da - $\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$ - erzeugt werden kann. - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung} - Sei $X$ eine Menge und $\calS \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es - genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\calS$ Subbasis ist. -\end{bemerkung} - -\begin{definition}\xindex{Spurtopologie|see{Teilraumtopologie}}\xindex{Teilraum}\xindex{Teilraumtopologie}\xindex{Unterraumtopologie|see{Teilraumtopologie}}% - Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $Y \subseteq X$.\\ - $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$. - - $\fT_Y$ heißt \textbf{Teilraumtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein - \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$. -\end{definition} - -Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder -\textit{Unterraumtopologie} genannt. - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 24.10.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}% - Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\ - $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$ - Umgebungen $U_i$ um $x_i$ mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$ - gilt. - - $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$ - ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}. - $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$ - ist eine Basis von $\fT$. -\end{definition} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/neighbourhood-topology} - \caption{Zu $x=(x_1, x_2)$ gibt es Umgebungen $U_1, U_2$ mit $U_1 \times U_2 \subseteq U$} -\end{figure} - -\begin{beispiel}[Produkttopologien] - \begin{bspenum} - \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit euklidischer Topologie.\\ - $\Rightarrow$ Die Produkttopologie auf $\mdr \times \mdr = \mdr^2$ - stimmt mit der euklidischen Topologie auf $\mdr^2$ überein. - \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit Zariski-Topologie. - $\fT$ Produkttopologie auf $\mdr^2$: $U_1 \times U_2$\\ - (Siehe \cref{fig:zariski-topologie}) - \end{bspenum} - - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/zariski-topology} - \caption{Zariski-Topologie auf $\mdr^2$} - \label{fig:zariski-topologie} - \end{figure} -\end{beispiel} - -\begin{definition}\xindex{Quotiententopologie}% - Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$, - $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen, - $\pi: X \rightarrow \overline{X}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$. - - \[\fT_{\overline{X}} := \Set{U \subseteq \overline{X} | \pi^{-1}(U) \in \fT_X}\] - - $(\overline{X}, \fT_{\overline{X}})$ heißt \textbf{Quotiententopologie}. -\end{definition} - -\begin{beispiel} - $X = \mdr, a \sim b :\Leftrightarrow a-b \in \mdz$ - - \input{figures/number-ray-circle-topology} - - $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$ -\end{beispiel} - -\begin{beispiel}\xindex{Torus}% - Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ - und $y_1 - y_2 \in \mdz$. Dann ist $X /_\sim$ ein Torus. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel}[Projektiver Raum]\xindex{Raum!projektiver}% - \begin{align*} - X= \mdr^{n+1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\ - &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen}\\ - &\hphantom{\gdw} \text{Ursprungsgerade} - \end{align*} - \[\overline{X} = \praum^n(\mdr)\] - Also für $n=1$:\nopagebreak\\ - \input{figures/ursprungsgeraden} -\end{beispiel} - -\section{Metrische Räume} -\begin{definition}\xindex{Metrik}\xindex{Raum!metrischer}% - Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr_0^+$ - heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt: - - \begin{defenumprops} - \item Definitheit: \tabto{4cm} $d(x,y) = 0 \gdw x = y \;\;\; \forall x, y \in X$ - \item Symmetrie: \tabto{4cm} $d(x,y) = d(y,x) \;\;\; \forall x, y \in X$ - \item Dreiecksungleichung: \tabto{4cm} $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \;\;\; \forall x, y, z \in X$ - \end{defenumprops} - - Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}. -\end{definition} - -\begin{bemerkung} - Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und - \[\fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} \text{ für } x \in X, r \in \mdr^+\] - $\fB = \Set{\fB_r(x) \subseteq \powerset{X} | x \in X, r \in \mdr^+}$ ist Basis einer Topologie auf $X$. -\end{bemerkung} - -\begin{definition}\xindex{Isometrie}\label{def:Isometrie}% - Seien $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ metrische Räume und $\varphi: X \rightarrow Y$ - eine Abbildung mit - \[\forall x_1, x_2 \in X: d_X(x_1, x_2) = d_Y(\varphi(x_1), \varphi(x_2)) \] - - Dann heißt $\varphi$ eine \textbf{Isometrie} von $X$ nach $Y$. -\end{definition} - -\begin{beispiel}[Skalarprodukt erzeugt Metrik] - Sei $V$ ein euklidischer oder hermitescher Vektorraum mit Skalarprodukt - $\langle \cdot , \cdot \rangle$. - Dann wird $V$ durch $d(x,y) := \sqrt{\langle x-y, x-y \rangle}$ zum metrischen Raum. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel}[diskrete Metrik]\xindex{Metrik!diskrete}\xindex{Topologie!diskrete}% - Sei $X$ eine Menge. Dann heißt - \[d(x,y) = \begin{cases} - 0 & \text{falls } x=y\\ - 1 & \text{falls } x \neq y - \end{cases}\] - die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die - \textbf{diskrete Topologie}. -\end{beispiel} -\clearpage - -\begin{beispiel}\label{bsp:metrik} - $X = \mdr^2$ und $d\left ((x_1, y_1), (x_2, y_2)\right ) := \max(\|x_1 - x_2\|, \|y_1 - y_2\|)$ - ist Metrik. - - \emph{Beobachtung:} $d$ erzeugt die euklidische Topologie. - - \begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[$\fB_r(0)$]{ - \input{figures/open-square} - \label{fig:open-square} - }% - \subfloat[Euklidische Topologie]{ - \input{figures/quadrat-in-kreis-in-dots} - \label{fig:quadrat-in-kreis-in-dots} - }% - \label{fig:metrik} - \caption{Veranschaulichungen zur Metrik $d$ aus \cref{bsp:metrik}} - \end{figure} - -\end{beispiel} -\clearpage -\begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnotemark]\xindex{Metrik!SNCF} - $X = \mdr^2$ - - \input{figures/sncf-metrik} -\end{beispiel} -\footnotetext{Diese Metrik wird auch \enquote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Franz\%C3\%B6sische_Eisenbahnmetrik}{französische Eisenbahnmetrik}} genannt.} - -\begin{definition}\xindex{Raum!hausdorffscher}% - Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{hausdorffsch}, wenn es - für je zwei Punkte $x \neq y$ in $X$ Umgebungen $U_x$ um $x$ - und $U_y$ um $y$ gibt, sodass $U_x \cap U_y = \emptyset$. -\end{definition} - -\begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]\label{Trennungseigenschaft} - Metrische Räume sind hausdorffsch, wegen - \[d(x, y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\] -\end{bemerkung} - -\begin{beispiel}[Topologische Räume und Hausdorff-Räume] - \begin{bspenum} - \item $(\mdr, \fT_Z)$ ist ein topologischer Raum, der nicht hausdorffsch ist. - \item $(\mdr, \fT_{\ts{Euklid}})$ ist ein topologischer Hausdorff-Raum. - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Hausdorff-Räumen] - Seien $X, X_1, X_2$ Hausdorff-Räume. - \begin{bemenum} - \item Jeder Teilraum von $X$ ist hausdorffsch. - \item $X_1 \times X_2$ ist hausdorffsch (vgl. \cref{fig:kreuzprodukt-ist-hausdorffsch}). - \end{bemenum} - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/topology-metric-hausdorff} - \caption{Wenn $X_1, X_2$ hausdorffsch sind, dann auch $X_1 \times X_2$} - \label{fig:kreuzprodukt-ist-hausdorffsch} - \end{figure} -\end{bemerkung} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 24.10.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{definition}\xindex{Grenzwert}\xindex{Limes}% - Sei $X$ ein topologischer Raum und $(x)_{n \in \mdn}$ eine Folge - in $X$. $x \in X$ heißt \textbf{Grenzwert} oder \textbf{Limes} - von $(x_n)$, wenn es für jede Umgebung $U$ von $x$ ein $n_0$ gibt, - sodass $x_n \in U$ für alle $n \geq n_0$. -\end{definition} - -\begin{bemerkung} - Ist $X$ hausdorffsch, so hat jede Folge in $X$ höchstens einen - Grenzwert. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $(x_n)$ eine konvergierende Folge und $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge. - - Da $X$ hausdorffsch ist, gibt es Umgebungen $U_x$ von $x$ und $U_y$ - von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$ falls $x \neq y$. Da - $(x_n)$ gegen $x$ und $y$ konvergiert, existiert ein - $n_0$ mit $x_n \in U_x \cap U_y$ für alle $n \geq n_0$ - $\Rightarrow x = y \qed$ -\end{beweis} - -\section{Stetigkeit}\index{Stetigkeit|(} -\begin{definition} - Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und - $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung. - - \begin{defenum} - \item \label{def:stetigkeit} $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige} - $:\gdw \forall U \in \fT_Y: f^{-1} (U) \in \fT_X$. - \item \label{def:homoeomorphismus} $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist - und es eine - stetige Abbildung $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass - $g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begingroup -\renewcommand{\thmfoot}{\footnotemark} -\begin{bemerkung} - \footnotetext[\thefootnote]{Es wird die Äquivalenz - von Stetigkeit im Sinne der Analysis und Topologie auf metrischen - Räumen gezeigt.} - Seien $X, Y$ metrische Räume und $f\colon X \rightarrow Y$ eine - Abbildung. - - Dann gilt: $f$ ist stetig $\Leftrightarrow$ zu jedem $x \in X$ und - jedem $\varepsilon > 0$ gibt es $\delta(x, \varepsilon) > 0$, sodass - für alle $y \in X$ mit $d(x,y) < \delta $ gilt $d_Y(f(x), f(y)) < - \varepsilon$. -\end{bemerkung} -\endgroup - -\begin{beweis} - \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben - und $U := \fB_\varepsilon(f(x))$.\\ - Dann ist $U$ offen in $Y$.\\ - $\xRightarrow{\crefabbr{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$ ist - offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.\\ - $\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass - $\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$\\ - $\Rightarrow f(\fB_\delta(x)) \subseteq U$\\ - $\Rightarrow \Set{y \in X | d_X(x,y) < \delta} \Rightarrow$ Beh. - - \enquote{$\Leftarrow$}: Sei $U \subseteq Y$ offen, $X \in f^{-1}(U)$.\\ - Dann gibt es $\varepsilon > 0$, sodass $\fB_\varepsilon(f(x)) \subseteq U$\\ - $\xRightarrow{\text{Vor.}}$ Es gibt $\delta > 0$, sodass - $f(\fB_\delta(x)) \subseteq \fB_\varepsilon (f(x)))$\\ - $\Rightarrow \fB_\delta(x) \subseteq f^{-1}(\fB_\varepsilon(f(x))) \subseteq f^{-1}(U)$ - $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung} - Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine - Abbildung. Dann gilt: - - $f \text{ ist stetig}$\\ - $\gdw \text{für jede abgeschlossene Teilmenge } A \subseteq Y \text{ gilt}: f^{-1}(A) \subseteq X \text{ ist abgeschlossen.}$ -\end{bemerkung} - -\begin{beispiel}[Stetige Abbildungen und Homöomorphismen] - \begin{bspenum} - \item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\id_X : X \rightarrow X$ - ist Homöomorphismus. - \item Ist $(Y, \fT_Y)$ trivialer topologischer Raum, d.~h. $\fT_Y = \fT_\text{triv}$, - so ist jede Abbildung $f:X \rightarrow Y$ stetig. - \item Ist $X$ diskreter topologischer Raum, so ist $f:X \rightarrow Y$ - stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$. - \item Sei $X = [0, 1), Y = S^1 = \Set{z \in \mdc | \|z\| = 1}$ - und $f(t) = e^{2 \pi i t}$. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/topology-continuous-mapping} - \caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren - Umkehrabbildung $g$ nicht stetig ist.} - \label{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung} - \end{figure} - - Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$ - nicht offen ist (vgl. \cref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}). - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig] - Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und - $g:Y \rightarrow Z$ stetige Abbildungen. - - Dann ist $g \circ f: X \rightarrow Z$ stetig. - - \centerline{ - \begin{xy} - \xymatrix{ - X \ar[rr]^f \ar[rd]_{g \circ f} & & Y \ar[dl]^g \\ - & Z & - } - \end{xy} - } -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $U \subseteq Z$ offen $\Rightarrow (g \circ f)^{-1} (U) = f^{-1} (g^{-1}(U))$. - $g^{-1}(U)$ ist offen in $Y$ weil $g$ stetig ist, $f^{-1}(g^{-1}(U))$ - ist offen in $X$, weil $f$ stetig ist. $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung} - \begin{bemenum} - \item \xindex{Homöomorphismengruppe}Für jeden topologischen Raum $X$ ist - \[\Homoo(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}\] - eine Gruppe. - \item \xindex{Isometrie}Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen - Räumen ist ein Homöomorphismus. - \item \xindex{Isometriegruppe}$\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist - eine Untergruppe von $\Homoo(X)$ für jeden - metrischen Raum $X$. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{bemerkung}[Projektionen sind stetig] - Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$ - und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen - \[\pi_X: (x,y) \mapsto x \text{ und } \pi_Y: (x,y) \mapsto y\] - Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$ - und $\pi_Y$ stetig. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $U \subseteq X$ offen\\ - $\Rightarrow \pi_X^{-1} (U) = U \times Y$ ist offen in $X \times Y$. $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\xindex{Quotiententopologie}% - Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf - $X$, $\overline{X} = X /_\sim$ der Bahnenraum versehen mit der - Quotiententopologie, $\pi:X \rightarrow \overline{X}$, $x \mapsto [x]_\sim$. - - Dann ist $\pi$ stetig. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Nach Definition ist - $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ - offen. $\qed$ -\end{beweis} - -\xindex{Topologie!feinste}\xindex{Quotiententopologie}\emph{Beobachtung:} Die Quotiententopologie ist die feinste Topologie, -sodass $\pi$ stetig wird. - -\begin{beispiel}[Stereographische Projektion]\xindex{Projektion!stereographische}% - $\mdr^n$ und $S^n \setminus \Set{N}$ sind homöomorph für - beliebiges $N \in S^n$. Es gilt: - - \begin{align*} - S^n &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}\\ - &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 1} - \end{align*} - - \Obda sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\1\end{pmatrix}$. Die - Gerade durch $N$ und $P$ schneidet die Ebene $H$ in genau einem - Punkt $\hat{P}$. $P$ wird auf $\hat{P}$ abgebildet. - - \begin{align*} - f: &S^n \setminus \Set{N} \rightarrow \mdr^n\\ - P &\mapsto \overbrace{L_P \cap H}^\text{genau ein Punkt} - \end{align*} - - wobei $\mdr^n = H = \Set{\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix} \in \mdr^{n+1} | x_{n+1} = 0}$ - und $L_P$ die Gerade in $\mdr^{n+1}$ durch $N$ und $P$ ist. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/stereographic-projection}} - \caption{Visualisierung der stereographischen Projektion} - \label{fig:stereographic-projection} - \end{figure} - - Sei $P = \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix}$, so - ist $x_{n+1} < 1$, also ist $L_P$ nicht parallel zu $H$. Also - schneiden sich $L_P$ und $H$ in genau einem Punkt $\hat{P}$. - - Es gilt: $f$ ist bijektiv und die Umkehrabbildung ist ebenfalls - stetig. -\end{beispiel} -\index{Stetigkeit|)} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 31.10.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(} -\begin{definition}\xindex{Raum!zusammenhaengender@zusammenhängender}\xindex{Menge!zusammenhaengende@zusammenhängende}% - \begin{defenum} - \item Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen, - nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit - $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$. - \item Eine Teilmenge $Y \subseteq X$ heißt zusammenhängend, wenn $Y$ - als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{bemerkung} - $X$ ist zusammenhängend $\gdw$ Es gibt keine abgeschlossenen, - nichtleeren Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ - und $A_1 \cup A_2 = X$. -\end{bemerkung} - -\begin{beispiel}[Zusammenhang von Räumen] - \begin{bspenum} - \item $(\mdr^n, \fT_{\ts{Euklid}})$ ist zusammenhängend, denn: - - \underline{Annahme}: $\mdr^n = U_1 \dcup U_2$ mit $\emptyset \neq U_1, U_2 \in \fT_{\ts{Euklid}}$ existieren. - - Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$ - und $y$. Sei $V = [x,y]$. Nun betrachten wir $V \subsetneq \mdr^n$ als - (metrischen) Teilraum mit der Teilraumtopologie $\fT_V$. - Somit gilt $U_1 \cap [x,y] \in \fT_V$ wegen der Definition der - Teilraumtopologie. - - Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$, - aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von - $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen. - \item $\mdr \setminus \Set{0}$ ist nicht zusammenhängend, denn - $\mdr \setminus \Set{0} = \mdr_{< 0} \cup \mdr_{> 0}$ - \item $\mdr^2 \setminus \Set{0}$ ist zusammenhängend. - \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da - $(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq$ - \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$, - wobei $X$ ein topologischer Raum ist. - \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend.\xindex{Topologie!Zariski} - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung}\label{zusammenhangAbschluss} - Sei $X$ ein topologischer Raum und $A \subseteq X$ zusammenhängend. - Dann ist auch $\overline{A}$ zusammenhängend. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} durch Widerspruch\\ - \underline{Annahme}: $\overline{A} = A_1 \cup A_2,\; A_i$ abgeschlossen, $A_i \neq \emptyset$, - $\;A_1 \cap A_2 = \emptyset$ - \begin{align*} - &\Rightarrow A = \underbrace{\underbrace{(A \cap A_1)}_\text{abgeschlossen} \dcup \underbrace{(A \cap A_2)}_\text{abgeschlossen}}_\text{disjunkt}\\ - \end{align*} - - Wäre $A \cap A_1 = \emptyset$\\ - $\Rightarrow A \subseteq \overline{A} = A_1 \dcup A_2$\\ - $\Rightarrow A \subseteq A_2$ - $\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2$\\ - $\Rightarrow A_1 = \emptyset$\\ - $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A_1 \neq \emptyset$\\ - $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog - $A \cap A_2 \neq \emptyset$\\ - $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend. $ \qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\label{bem:zusammenhangVereinigung} - Sei $X$ ein topologischer Raum und $A, B \subseteq X$ zusammenhängend. - - Ist $A \cap B \neq \emptyset$, dann ist $A \cup B$ zusammenhängend. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $A \cup B = U_1 \dcup U_2, U_i \neq \emptyset$ offen - \begin{align*} - &\xRightarrow{\text{\obda}} A = (A \cap U_1) \dcup (A \cap U_2) \text{ offen}\\ - &\xRightarrow{A \text{ zhgd.}} A \cap U_1 = \emptyset\\ - &\xRightarrow{A \cap B \neq \emptyset} U_1 \subseteq B\\ - &B = \underbrace{(B \cap U_1)}_{= U_1} \cup \underbrace{(B \cap U_2)}_{= \emptyset} \text{ ist unerlaubte Zerlegung.} - \end{align*} - $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Zusammenhangskomponente}% - Sei $X$ ein topologischer Raum. - - Für $x \in X$ sei $Z(x) \subseteq X$ definiert durch - \[Z(x) := \bigcup_{\mathclap{\substack{A \subseteq X \text{zhgd.}\\ x \in A}}} A\] - - $Z(x)$ heißt \textbf{Zusammenhangskomponente}. -\end{definition} - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Zusammenhangskomponenten] - Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt: - \begin{bemenum} - \item $Z(x)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$, - die $x$ enthält. - \item $Z(x)$ ist abgeschlossen. - \item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei $Z(x) = A_1 \dcup A_2$ mit $A_i \neq \emptyset$ abgeschlossen. - - \Obda sei $x \in A_1$ und $y \in A_2$. $y$ liegt in einer zusammehängenden - Teilmenge $A$, die auch $x$ enthält. - $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(A \cap A_2)}_{\ni y}$ - ist unerlaubte Zerlegung. - \item Nach \cref{zusammenhangAbschluss} ist $\overline{Z(x)}$ - zusammenhängend $\Rightarrow \overline{Z(x)} \subseteq Z(x)$ - $\Rightarrow Z(x) = \overline{Z(x)}$ - \item Ist $Z(y) \cap Z(x) \neq \emptyset \xRightarrow{\crefabbr{bem:zusammenhangVereinigung}} Z(y) \cup Z(x)$ - ist zusammenhängend. \\ - \begin{align*} - \Rightarrow Z(x) \cup Z(y) &\subseteq Z(x) \Rightarrow Z(y) \subseteq Z(x)\\ - &\subseteq Z(y) \Rightarrow Z(x) \subseteq Z(y) - \end{align*} - \end{enumerate} - - $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung} - Sei $f:X \rightarrow Y$ stetig. Ist $A \subseteq X$ zusammenhängend, - so ist $f(A) \subseteq Y$ zusammenhängend. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $f(A) = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset,$ offen, disjunkt. - - $\Rightarrow f^{-1} (f(A)) = f^{-1}(U_1) \cup f^{-1}(U_2)$ - - $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap f^{-1}(U_1))}_{\neq \emptyset} \cup \underbrace{(A \cap f^{-1}(U_2))}_{\neq \emptyset} \qed$ -\end{beweis}\index{Zusammenhang|)} - -\section{Kompaktheit} -\begin{definition}\xindex{Ueberdeckung@""Uberdeckung}% - Sei $X$ eine Menge und $\fU \subseteq \powerset{X}$. - - $\fU$ heißt eine \textbf{Ãœberdeckung} von $X$, wenn gilt: - \[\forall x \in X: \exists M \in \fU: x \in M\] -\end{definition} - -\begin{definition}\xindex{Raum!kompakter}% - Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{kompakt}, wenn jede - offene Ãœberdeckung von $X$ - \[\fU = \Set{U_i}_{i \in I} \text{ mit } U_i \text{ offen in } X\] - eine endliche Teilüberdeckung - \[\bigcup_{\mathclap{i \in J \subseteq I}} U_i = X \text{ mit } |J| \in \mdn\] - besitzt. -\end{definition} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 05.11.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -\begin{bemerkung}\label{abgeschlossen01IstKompakt} - Das Einheitsintervall $I := [0,1]$ ist kompakt bezüglich der - euklidischen Topologie. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} -Sei $(U_i)_{i \in J}$ eine offene Ãœberdeckung von $I$. - -Es genügt zu zeigen, dass es ein $\delta > 0$ gibt, sodass jedes -Teilintervall der Länge $\delta$ von $I$ in einem der $U_i$ enthalten ist. -Wenn es ein solches $\delta$ gibt, kann man $I$ in endlich viele -Intervalle der Länge $\delta$ unterteilen und alle $U_i$ in die endliche -Ãœberdeckung aufnehmen, die Teilintervalle enthalten. - -Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes -$n \in \mdn$ ein Intervall $I_n \subseteq [0,1]$ der Länge $\nicefrac{1}{n}$ -sodass $I_n \subsetneq U_i$ für alle $i \in J$. - -Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen -Häufungspunkt $x \in [0,1]$. Dann gibt es $i \in J$ mit $x \in U_i$. -Da $U_i$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon > 0$, sodass $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$. -Dann gibt es $n_0$, sodass gilt: -$\nicefrac{1}{n_0} < \nicefrac{\varepsilon}{2}$ und für unendlich viele\footnote{Dies gilt nicht für alle $n \geq n_0$, da ein Häufungspunkt nur eine konvergente Teilfolge impliziert.} -$n\geq n_0: |x - x_n| < \nicefrac{\varepsilon}{2}$, also $I_n \subseteq (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$ -für mindestens ein $n \in \mdn$.\footnote{Sogar für unendlich viele.} - -$\Rightarrow$ Widerspruch - -Dann überdecke $[0,1]$ mit endlich vielen Intervallen $I_1, \dots, I_d$ -der Länge $\delta$. Jedes $I_j$ ist in $U_{ij}$ enthalten. - -$\Rightarrow U_{j_1}, \dots, U_{j_d}$ ist endliche Teilüberdeckung von $U$. -$\qed$ -\end{beweis} - -\begin{beispiel}[Kompakte Räume] - \begin{bspenum} - \item $\mdr$ ist nicht kompakt. - \item $(0,1)$ ist nicht kompakt.\\ - $U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$ - \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede - Teilmenge von $\mdr$ ist es auch.\xindex{Topologie!Zariski} - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} - Sei $X$ kompakter Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen. Dann ist - $A$ kompakt. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $(V_{i})_{i \in I}$ offene Ãœberdeckung von A.\\ - Dann gibt es für jedes $i \in I$ eine offene Teilmenge $U_{i} \subseteq X$ mit $V_{i}=U_{i} \cap A$. - \begin{align*} - &\Rightarrow A \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i\\ - &\Rightarrow \mathfrak{U} = \Set{U_i | i \in I} \cup \Set{X \setminus A} \text{ ist offene Ãœberdeckung von } X\\ - &\xRightarrow{X \text{ kompakt}} \text{ es gibt } i_1, \dots, i_n \in I\text{, sodass }\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A) = X\\ - &\Rightarrow \left (\bigcup_{j=1}^n U_{i_j} \cup (X \setminus A)\right ) \cap A = A\\ - &\Rightarrow \bigcup_{j=1}^n \underbrace{(U_{i_j} \cap A)}_{= V_{i_j}} \cup \underbrace{((X \setminus A) \cap A)}_{= \emptyset} = A\\ - &\Rightarrow V_{i_1}, \dots, V_{i_n} \text{ überdecken } A\text{.} - \end{align*} - $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt} - Seien $X, Y$ kompakte topologische Räume. Dann ist $X \times Y$ - mit der Produkttopologie kompakt. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $(W_i)_{i \in I}$ eine offene Ãœberdeckung von $X \times Y$. - Für jedes $(x,y) \in X \times Y$ gibt es offene Teilmengen - $U_{x,y}$ von $X$ und $V_{x,y}$ von $Y$ sowie ein $i \in I$, sodass - $U_{x,y} \times V_{x,y} \subseteq W_i$. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/neighbourhood-topology-open} - \caption{Die blaue Umgebung ist Schnitt vieler Umgebungen} - \end{figure} - - Die offenen Mengen $U_{x_0, y} \times V_{x_0, y}$ für festes $x_0$ - und alle $y \in Y$ überdecken $\Set{x_0} \times y$. Da $Y$ kompakt - ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es - $y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit - $\bigcup_{i=1}^{m(x_0)} U_{x_0, y_i} \times V_{x_0, y_i} \supseteq \Set{x_0} \times Y$. - - Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$. - Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit - $\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X$\\ - $\Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\mathclap{\text{Ein grün-oranges Kästchen}}} \supseteq X \times Y$\\ - $\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} - Sei $X$ ein Hausdorffraum und $K \subseteq X$ kompakt. - Dann ist $K$ abgeschlossen. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - \underline{z.~Z.:} Komplement ist offen - - Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei - $y \in X \setminus K$. Für jedes $x \in K$ seien $U_x$ bzw. $V_y$ - Umgebungen von $x$ bzw. von $y$, sodass $U_x \cap V_y = \emptyset$. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/topology-1} - \end{figure} - - Da $K$ kompakt ist, gibt es endlich viele $x_1, \dots, x_n \in K$, - sodass $\bigcup_{i=1}^m U_{x_i} \supseteq K$. - - \begin{align*} - &\text{Sei } V := \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}\\ - &\Rightarrow V \cap \left (\bigcup_{i=1}^n U_{x_i} \right) = \emptyset \\ - &\Rightarrow V \cap K = \emptyset\\ - &\Rightarrow V \text{ ist Ãœberdeckung von } y\text{, die ganz in } X \setminus K \text{ enthalten ist}.\\ - &\Rightarrow X \setminus K \text{ ist offen} - \end{align*} - Damit ist $K$ abgeschlossen. $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\label{kor:5.6}%In Vorlesung: Bemerkung 5.6 - Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig.\\ - Ist $K \subseteq X$ kompakt, so ist $f(K) \subseteq Y$ kompakt. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Ãœberdeckung von $f(K)$\\ - $\xRightarrow{f \text{ stetig}} (f^{-1}(V_i))_{i \in I}$ ist offene Ãœberdeckung von $K$\\ - $\xRightarrow{\text{Kompakt}}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$, - sodass $f^{-1}(V_{i_1}), \dots, f^{-1}(V_{i_n})$ Ãœberdeckung von - $K$ ist.\\ - $\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$ - überdecken $f(K)$. - - Es gilt: $f(f^{-1}(V)) = V \cap f(X) \qed$ -\end{beweis} - -\begin{satz}[Heine-Borel]\label{satz:heine-borel}%In Vorlesung: Proposition 5.7 - Eine Teilmenge von $\mdr^n$ oder $\mdc^n$ ist genau dann kompakt, - wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. -\end{satz} - -\begin{beweis}\leavevmode - \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $K \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$) - kompakt. - - Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach - \cref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen. - Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von - Radien 1 überdeckt werden $\Rightarrow K$ ist beschränkt. - - \enquote{$\Leftarrow$} Sei $A \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$) - beschränkt und abgeschlossen. - - Dann gibt es einen Würfel $W = \underbrace{[-N, N] \times \dots \times [-N, N]}_{n \text{ mal}}$ - mit $A \subseteq W$ bzw. \enquote{Polyzylinder}\xindex{Polyzylinder} - \[Z = \Set{(z_1, \dots, z_n) \in \mdc^n | z_i \leq N \text{ für } i= 1, \dots, n}\] - - Nach \cref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und - \cref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$ - nach \cref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt. - Genauso ist $Z$ kompakt, weil - \[\Set{z \in \mdc | |z| \leq 1}\] - homöomorph zu - \[\Set{(x,y) \in \mdr^2 | \|(x,y)\| \leq 1}\] - ist. $\qed$ -\end{beweis} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 07.11.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Wege und Knoten}\index{Knoten|(} -\begin{definition}\xindex{Weg}\xindex{Weg!geschlossener}\xindex{Weg!einfacher}% - Sei $X$ ein topologischer Raum. - \begin{defenum} - \item Ein \textbf{Weg} in $X$ ist eine stetige Abbildung $\gamma:[0,1] \rightarrow X$. - \item $\gamma$ heißt \textbf{geschlossen}, wenn $\gamma(1) = \gamma(0)$ gilt. - \item $\gamma$ heißt \textbf{einfach}, wenn $\gamma|_{[0,1)}$ - injektiv ist. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{beispiel} - Ist $X$ diskret, so ist jeder Weg konstant, d.~h. von der Form - \[\forall x \in [0,1]: \gamma(x) = c, \;\;\; c \in X\] - Denn $\gamma([0,1])$ ist zusammenhängend für jeden Weg $\gamma$. -\end{beispiel} - -\begin{definition}\xindex{Wegzusammenhang}% - Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{wegzusammenhängend}, - wenn es zu je zwei Punkten $x,y \in X$ einen Weg $\gamma:[0,1] \rightarrow X$ - gibt mit $\gamma(0)=x$ und $\gamma(1)=y$. -\end{definition} - -\begin{bemerkung}\label{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang} - Sei $X$ ein topologischer Raum. - - \begin{bemenum} - \item $X$ ist wegzusammenhängend $\Rightarrow X$ ist zusammenhängend - \item $X$ ist wegzusammenhängend $\not\Leftarrow X$ ist zusammenhängend - \end{bemenum} -\end{bemerkung} -\goodbreak -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $A_1, A_2$ - nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen von $X$ mit - $A_1 \cup A_2 = X$. Sei $x \in A_1, y \in A_2, \gamma:[0,1] \rightarrow X$ - ein Weg von $x$ nach $y$. - - Dann ist $C:= \gamma([0,1]) \subseteq X$ zusammenhängend, weil - $\gamma$ stetig ist. - \[C = \underbrace{(C \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(C \cap A_2)}_{\ni y}\] - ist Zerlegung in nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen - $\Rightarrow$ Widerspruch - - \item Sei $X = \Set{(x,y) \in \mdr^2| x^2 + y^2 = 1 \lor y = 1 +2\cdot e^{-\frac{1}{10} x}}$. - - \Cref{fig:topology-spiral} veranschaulicht diesen Raum. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \subfloat[Spirale $S$ mit Kreis $C$]{ - \resizebox{0.25\linewidth}{!}{\input{figures/topology-spiral}} - \label{fig:topology-spiral} - }% - \subfloat[Sinus]{ - \resizebox{0.65\linewidth}{!}{\input{figures/topology-sinx.tex}} - \label{fig:sinx} - }% - - \caption{Beispiele für Räume, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind.} - \label{fig:zusammenhang-beispiele} - \end{figure} - - Sei $U_1 \cup U_2 = X, U_1 \neq U_2 = \emptyset, U_i$ offen. - $X = C \cup S$. Dann ist $C \subseteq U_1$ oder $C \subseteq U_2$, - weil $C$ und $S$ zusammenhängend sind. - - Also ist $C = U_1$ und $S = U_2$ (oder umgekehrt). - - Sei $y \in C = U_1, \varepsilon > 0$ und $\fB_\varepsilon (y) \subseteq U_1$ - eine Umgebung von $y$, die in $U_1$ enthalten ist. - - Aber: $\fB_\varepsilon(y) \cap S \neq \emptyset \Rightarrow$ - Widerspruch $\Rightarrow X \cup S$ ist zusammenhängend, aber - nicht wegzusammenhängend. -$\qed$ - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{beispiel}[Hilbert-Kurve]\xindex{Hilbert-Kurve}% - Es gibt stetige, surjektive Abbildungen - $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$. Ein Beispiel ist die - in \cref{fig:hilbert-curve} dargestellte Hilbert-Kurve. - - \input{figures/hilbert-curve} -\end{beispiel} - -\begin{definition}\xindex{Jordankurve}\xindex{Jordankurve!geschlossene}% - Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine - \textbf{Jordankurve} in $X$ ist ein Homöomorphismus - $\gamma: [0,1] \rightarrow C \subseteq X$ bzw. - $\gamma: S^1 \rightarrow C \subseteq X$, wobei $C := \Bild{\gamma}$. -\end{definition} - -Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg. - -\begin{satz}[Jordanscher Kurvensatz] - Ist $C=\gamma([0,1])$ eine geschlossene Jordankurve in $\mdr^2$, - so hat $\mdr^2 \setminus C$ genau zwei Zusammenhangskomponenten, - von denen eine beschränkt ist und eine unbeschränkt. -\end{satz} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/topology-jordan} - \label{fig:jordan-kurvensatz} - \caption{Die unbeschränkte Zusammenhangskomponente wird häufig inneres, die beschränkte äußeres genannt.} -\end{figure} - -\begin{beweis} - ist technisch mühsam und wird hier nicht geführt. Er kann - in \enquote{Algebraische Topologie: Eine Einführung} von R.~Stöcker - und H.~Zieschang auf S. 301f (ISBN 978-3519122265) nachgelesen werden. - - Idee: Ersetze Weg $C$ durch Polygonzug. -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Knoten}% - Eine geschlossene Jordankurve in $\mdr^3$ heißt \textbf{Knoten}. -\end{definition} - -\begin{beispiel}[Knoten] - \xindex{Kleeblattknoten}\xindex{Achterknoten}\xindex{Knoten!trivialer} - \begin{figure}[htp] - \centering - \subfloat[Trivialer Knoten]{ - \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png} - \label{fig:knot-unknot} - }% - \subfloat[Kleeblattknoten]{ - \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png} - \label{fig:knot-trefoil} - }% - \subfloat[Achterknoten]{ - \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png} - \label{fig:knot-eight-knot} - }% - \subfloat[$6_2$-Knoten]{ - \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png} - \label{fig:knot-6-2} - } - - \caption{Beispiele für verschiedene Knoten} - \label{fig:Knoten} - \end{figure} -\end{beispiel} - -\begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}\label{def:Isotopie}% - Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen - \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung - \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\] - gibt mit - \begin{align*} - H(z,0) &= \gamma_1(z) \;\;\;\forall z \in S^1\\ - H(z,1) &= \gamma_2(z) \;\;\;\forall z \in S^1 - \end{align*} - und für jedes - feste $t \in [0,1]$ ist - \[H_z: S^1 \rightarrow \mdr^3, z \mapsto H(z,t)\] - ein Knoten. Die Abbildung $H$ heißt \textbf{Isotopie} zwischen - $\gamma_1$ und $\gamma_2$. -\end{definition} - -\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}% - Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und - $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$. - - $\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt: - \[\left | \pi^{-1}(x) \right | \leq 2 \;\;\; \forall x \in \pi(\gamma)\] - - Ist $(\pi|_{\gamma([0,1])})^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$}, - wenn gilt: - \[\exists \lambda > 1: (y_1-x) = \lambda (y_2 - x)\] -\end{definition} - -\begin{satz}[Satz von Reidemeister] - Zwei endliche Knotendiagramme gehören genau dann zu äquivalenten - Knoten, wenn sie durch endlich viele \enquote{Reidemeister-Züge} - ineinander überführt werden können. -\end{satz} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \subfloat[$\Omega_1$]{ - \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-1.png} - \label{fig:reidemeister-1} - }\qquad\qquad% - \subfloat[$\Omega_2$]{ - \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-2.png} - \label{fig:reidemeister-2} - } - - \subfloat[$\Omega_3$]{ - \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-3.png} - \label{fig:reidemeister-3} - } - - \caption{Reidemeister-Züge} - \label{fig:reidemeister-zuege} -\end{figure} - -\begin{beweis} - Durch sorgfältige Fallunterscheidung.\footnote{Siehe \enquote{Knot Theory and Its Applications} von Kunio Murasugi. ISBN 978-0817638177.} -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Färbbarkeit}% - Ein Knotendiagramm heißt \textbf{3-färbbar}, - wenn jeder Bogen von $D$ so mit einer Farbe gefärbt werden kann, - dass an jeder Kreuzung eine oder 3 Farben auftreten und alle 3 - Farben auftreten. -\end{definition} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \includegraphics[height=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/tricoloring.png} - - \caption{Ein 3-gefärber Kleeblattknoten} - \label{fig:treefoil-knot-three-colors} -\end{figure} -\index{Knoten|)} - -% Die Ãœbungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein. -\input{Kapitel1-UB} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel2-UB.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel2-UB.tex deleted file mode 100644 index f76f945..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel2-UB.tex +++ /dev/null @@ -1,15 +0,0 @@ -\clearpage -\section*{Ãœbungsaufgaben} -\addcontentsline{toc}{section}{Ãœbungsaufgaben} - -\begin{aufgabe}[Zusammenhang]\label{ub4:aufg1} - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item Beweisen Sie, dass eine topologische Mannigfaltigkeit - genau dann wegzusammenhängend ist, wenn sie zusammenhängend - ist - \item Betrachten Sie nun wie in \cref{bsp:mannigfaltigkeit8} - den Raum $X:= (\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1, 0_2}$ - versehen mit der dort definierten Topologie. Ist $X$ - wegzusammenhängend? - \end{enumerate} -\end{aufgabe} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex deleted file mode 100644 index 612d166..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex +++ /dev/null @@ -1,1053 +0,0 @@ -%!TEX root = GeoTopo.tex -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simplizialkomplexe} -\section{Topologische Mannigfaltigkeiten} -\begin{definition}% - Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$. - \begin{defenum} - \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf - $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \in \fT$ - und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus - von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$. - \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine - Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$, - sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$. - \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit}, - wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der - Topologie hat und einen $n$-dimensionalen Atlas besitzt. - \end{defenum} -\end{definition} - -Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ähnlich. - -\begin{bemerkung}[Mächtigkeit von Mannigfaltigkeiten] - Jede $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit $n \geq 1$ ist mindestens so mächtig wie $\mdr$. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $(U, \varphi)$ mit $U \in \fT$ - und $\varphi:U \rightarrow V \subseteq \mdr^n$, - wobei $V$ offen und $\varphi$ ein Homöomorphismus ist, eine Karte auf $X$. - - Da jede offene Teilmenge des $\mdr^n$ genauso mächtig ist wie der $\mdr^n$, - $\varphi$ als Homöomorphismus insbesondere bijektiv ist und Mengen, zwischen - denen eine Bijektion existiert, gleich mächtig sind, ist $U$ genauso mächtig - wie der $\mdr^n$. Da jede Mannigfaltigkeit mindestens eine Karte hat, muss - jede Mannigfaltigkeit $X$ mindestens so mächtig sein wie der $\mdr^n$. $\qed$ -\end{beweis} - -\underline{Hinweis:} Es gibt auch noch $0$-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Diese -Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. - -\begin{bemerkung} - \begin{bemenum} - \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$ - \item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph. - Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer): - - Ist $U \subseteq \mdr^n$ offen und $f: U \rightarrow \mdr^n$ - stetig und injektiv, so ist $f(U)$ offen. - - Ist $n < m$ und $\mdr^m$ homöomorph zu $\mdr^n$, so wäre - \[f:\mdr^n \rightarrow \mdr^m \rightarrow \mdr^n, \;\;\; (x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, x_2, \dots, x_n, 0, \dots, 0)\] - eine stetige injektive Abbildung. Also müsste $f(\mdr^n)$ - offen sein $\Rightarrow$ Widerspruch - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beispiel}[Mannigfaltigkeiten] - \begin{bspenum} - \item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine - $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus - einer Karte. - \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit - mit einem Atlas aus einer Karte: - \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\Re(z_1), \Im(z_1), \dots, \Re(z_n), \Im(z_n))\] - \item \xindex{Raum!projektiver}$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten - der Dimension $n$ bzw. $2n$, da gilt: - - Sei $U_i := \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0}\;\forall i \in 0, \dots, n$. - Dann ist $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i$ und die Abbildung - \begin{align*} - U_i &\rightarrow \mdr^n\\ - (x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \cancel{\frac{x_i}{x_i}}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\ - (y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n) - \end{align*} - ist bijektiv. - - Die $U_i$ mit $i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atlas: - \begin{align*} - x &= (1:0:0) \in U_0 \rightarrow \mdr^2 & x &\mapsto (0,0)\\ - y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2 & y &\mapsto (0,1) - \end{align*} - $\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = V_1$\\ - $\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2$\\ - - $V_1 \cap V_2 = \emptyset$? - - $(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\ - $\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\ - $\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\ - $\Rightarrow$ Widerspruch - \item $S^n = \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}$ ist $n$-dimensionale - Mannigfaltigkeit. - - Karten: \\ - $D_i := \{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i > 0\} \rightarrow \fB_1 (\underbrace{0, \dots, 0}_{\in \mdr^n})$\\ - $C_i := \{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i < 0\} \rightarrow \fB_1 (0, \dots, 0)$\\ - $(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, \cancel{x_i}, \dots, x_{n+1})$\footnote{$x_i$ wird rausgenommen}\\ - $(x_1, \dots, x_{n}) \mapsto (x_1, \dots, x_{i-1}, \sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}, x_i, \dots, x_n)$, oder $-\sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}$ für $C_i$\\ - $S^n = \bigcup_{i=1}^{n+1} (C_i \cup D_i)$ - - Als kompakte Mannigfaltigkeit wird $S^n$ auch \enquote{geschlossene Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!geschlossene} genannt. - \item $[0,1]$ ist keine Mannigfaltigkeit, denn:\\ - Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph - zu einem offenem Intervall ist. - \item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist - keine Mannigfaltigkeit. - - Das Problem ist $(0,0)$. Wenn man diesen Punkt entfernt, - zerfällt der Raum in 4 Zusammenhangskomponenten. - Jeder $\mdr^n$ zerfällt jedoch in höchstens zwei - Zusammenhangskomponenten, wenn man einen Punkt entfernt. - \item $V_2 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x^3 = y^2}$ ist eine - Mannigfaltigkeit. - \item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (0_1, 0_2)$ \label{bsp:mannigfaltigkeit8} - - \[U \subseteq X \text{ offen } \gdw - \begin{cases} - U \text{ offen in } \mdr \setminus \Set{0}, &\text{falls } 0_1 \notin U, 0_2 \in U\\ - \exists \varepsilon > 0: (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } 0_1 \in U, 0_2 \in U - \end{cases}\] - Insbesondere sind $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1}$ - und $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_2}$ offen und - homöomorph zu $\mdr$. - - \underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch! - Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $0_1$ und - $0_2$. - \item \label{bsp:gln-ist-mf}\xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension - $n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine - Mannigfaltigkeit bilden. - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 14.11.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{definition}\xindex{Verklebung}% - Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$ - und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus - $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u)\;\forall{u \in U}$ - erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten - Quotiententopologie. - - $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$. - $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten. - Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale - Mannigfaltigkeit. -\end{definition} - -\begin{bemerkung} - Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist - $X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Produkte von Karten sind Karten. $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{beispiel} - Mannigfaltigkeiten mit Dimension 1: - \begin{enumerate}[label=\arabic*)] - \item Offene Intervalle, $\mdr$, $(0,1)$ sind alle homöomorph - \item $S^1$ - \end{enumerate} - - Mannigfaltigkeiten mit Dimension 2: - \begin{enumerate}[label=\arabic*)] - \item $\mdr^2$ - \item $S^2$ (0 Henkel) - \item $T^2$ (1 Henkel) - \item oder mehr Henkel, wie z.B. der Zweifachtorus in \cref{fig:double-torus} - \end{enumerate} - - \begin{figure}[htp] - \centering - \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png} - \caption{Durch Verklebung zweier Tori entsteht ein Zweifachtorus.} - \label{fig:double-torus} - \end{figure} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung} - Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar - und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}\xindex{vanishing set}. - - Dann gilt: - \begin{bemenum} - \item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$ - \item Ist $\grad(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist - $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{bem:Mannigfaltigkeitskriterium} - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*] - \item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist, - gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$ - mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt - $\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$ - ist offen. - \item Sei $x \in X$ mit $\grad(F)(x) \neq 0$, also - \obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$, - $x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$. - Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun: - Es gibt Umgebungen $U$ von $x'$ und differenzierbare - Funktionen $g: U \rightarrow \mdr$, sodass - $G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$ - eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von - $x$ in $X$ ist. - \end{enumerate} - $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}% - \begin{bspenum} - \item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$, - $V(F) = S^2$, $\grad(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\crefabbr{bem:Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$ - ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$ - \item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$ - \begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[$F(x,y) = y^2 - x^3$]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/3d-function-semicubical-parabola.tex}} - \label{fig:semicubical-parabola-2d} - }% - \subfloat[$y^2 - ax^3 = 0$]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/2d-semicubical-parabola.tex}} - \label{fig:semicubical-parabola-3d} - }% - \label{Neilsche-Parabel} - \caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.} - \end{figure} - Es gilt: $\grad(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\grad(0,0) = (0,0)$. - Daher ist \cref{bem:Mannigfaltigkeitskriterium} - nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem - eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}% - Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie. - $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, - wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$ - offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene - Teilmenge von - \[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_n \geq 0}\] - ist. -\end{definition} - -$\mdr_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}\xindex{Halbraum}. - -\underline{Hinweis:} Mannigfaltigkeiten mit Rand sind keine Mannigfaltigkeiten. - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[Halbraum]{ - \input{figures/topology-halfspace.tex} - \label{fig:half-space} - }% - - \subfloat[Pair of pants]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/topology-pair-of-pants.tex}} - \label{fig:pair-of-pants} - }% - \subfloat[Sphäre mit einem Loch]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/topology-sphere-with-hole.tex}} - \label{fig:sphere-with-hole} - }% - \label{Mannigfaltigkeiten mit Rand} - \caption{Beispiele für Mannigfaltigkeiten mit Rand} -\end{figure} - -\begin{definition}\xindex{Rand}% - Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und - Atlas $\atlas$. Dann heißt - \[\partial X := \bigcup_{(U, \varphi) \in \atlas} \Set{x \in U | \varphi (x) = 0}\] - \textbf{Rand} von $X$. -\end{definition} - -$\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. - -\begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\index{Uebergangsfunktion@""Ubergangsfunktion|see{Kartenwechsel}}% - Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas - $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ - - Für $i, j \in I$ mit $U_i \cap U_j \neq \emptyset$ heißt - \begin{align*} - \varphi_{ij} &:= \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\\ - \varphi_i (U_i \cap U_j) &\rightarrow \varphi_j (U_i \cap U_j) - \end{align*} - \textbf{Kartenwechsel} oder \textbf{Ãœbergangsfunktion}. -\end{definition} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/topology-kartenwechsel.tex} - \caption{Kartenwechsel} - \label{fig:kartenwechsel} -\end{figure} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 19.11.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}\label{sec:8} -\begin{definition}% - Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$. - - \begin{defenum} - \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$}\xindex{Mannigfaltigkeit!differenzierbare}, - wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$ - $k$-mal stetig differenzierbar ist. - \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!glatte}, - wenn $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der - Klasse $C^\infty$ ist. - \end{defenum} -\end{definition} - -Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch -\textit{glatt} genannt. - -\begin{definition}% - Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$ - ($k \in \mdn \cup \Set{\infty}$) mit Atlas $\atlas = (U_i, \varphi_i)_{i \in I}$. - - \begin{defenum} - \item Eine Karte $(U, \varphi)$ auf $X$ heißt \textbf{verträglich}\xindex{verträglich} - mit $\atlas$, wenn alle Kartenwechsel $\varphi \circ \varphi_i^{-1}$ - und $\varphi_i \circ \varphi^{-1}$ ($i \in I$ mit $U_i \cap U \neq \emptyset$) - differenzierbar von Klasse $C^k$ sind. - \item Die Menge aller mit $\atlas$ verträglichen Karten auf - $X$ bildet einen maximalen Atlas der Klasse $C^k$. Er - heißt \textbf{$C^k$-Struktur}\xindex{Ck-Struktur@$C^k$-Struktur} auf $X$. - - Eine $C^\infty$-Struktur heißt auch \textbf{differenzierbare Struktur}\xindex{Struktur!differenzierbare} - auf $X$. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{bemerkung} - Für $n \geq 4$ gibt es auf $S^n$ mehrere verschiedene differenzierbare - Strukturen, die sogenannten \enquote{exotische Sphären}\xindex{Sphäre!exotische}. -\end{bemerkung} - -\begin{definition} - Seien $X, Y$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension - $n$ bzw. $m$, $x \in X$. - - \begin{defenum} - \item Eine stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ heißt\label{def:stetigeAbbildungDiffbar} - \textbf{differenzierbar}\xindex{Abbildung!differenzierbare} - in $x$ (von Klasse $C^k$), - wenn es Karten $(U, \varphi)$ von $X$ mit - $x \in U$ und $(V, \psi)$ von $Y$ mit $f(U) \subseteq V$ - gibt, sodass $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ stetig - differenzierbar von Klasse $C^k$ in $\varphi(x)$ ist. - \item $f$ heißt \textbf{differenzierbar} - (von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$ - differenzierbar ist. - \item $f$ heißt \textbf{Diffeomorphismus}\xindex{Diffeomorphismus}, - wenn $f$ differenzierbar von Klasse $C^\infty$ ist und - es eine differenzierbare Abbildung $g: Y \rightarrow X$ - von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \id_X$ - und $f \circ g = \id_Y$. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{bemerkung} - Die Bedingung in \cref{def:stetigeAbbildungDiffbar} hängt nicht - von den gewählten Karten ab. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$ - um $x$ bzw. $f(x)$ mit $f(U') \subseteq V'$. - - $\Rightarrow \psi' \circ f \circ (\varphi')^{-1}$\\ - $= \psi' \circ ( \psi^{-1} \circ \psi) \circ f \circ (\varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ (\varphi')^{-1}$ - - ist genau dann differenzierbar, wenn $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ - differenzierbar ist. -\end{beweis} - -\begin{beispiel} - $f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein - Diffeomorphismus, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$ - gilt: $f \circ g = \id_\mdr, \;\;\; g \circ f = \id_\text{\mdr}$ -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung} - Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann ist - \[\Diffeo(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\] - eine Untergruppe von $\Homoo(X)$. -\end{bemerkung} - -\begin{definition}\label{def:8.5}\xindex{Fläche!reguläre}\xindex{Parametrisierung!reguläre}% - $S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche} $:\gdw$ - $\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen: - $\exists \text{ differenzierbare Abbildung } F: U \rightarrow V \cap S$: - $\text{Rg}(J_F(u)) = 2\;\;\;\forall u \in U$. - - $F$ heißt (lokale) \textbf{reguläre Parametrisierung} von $S$. - - \begin{align*} - F(u,v) &= \left (x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right )\\ - J_F(u,v) &= \begin{pmatrix} - \frac{\partial x}{\partial u} (p) & \frac{\partial x}{\partial v} (p)\\ - \frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\ - \frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p) - \end{pmatrix} - \end{align*} -\end{definition} - -\begin{beispiel} - \begin{bspenum} - \item Rotationsflächen: Sei $r:\mdr \rightarrow \mdr_{> 0}$ - eine differenzierbare Funktion. - - $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3 \;\;\; (u,v) \mapsto (r(u) \cos (u), r(v) \sin(u), v)$ - - - \begin{figure}[htp] - \centering - \subfloat[Kugelkoordinaten]{ - \includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/spherical-coordinates.pdf} - \label{fig:spherical-coordinates} - }% - \subfloat[Rotationskörper]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/solid-of-revolution.tex}} - \label{fig:solid-of-revolution} - }% - - \subfloat[Sinus und Kosinus haben keine gemeinsame Nullstelle]{ - \includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf} - \label{fig:sin-cos} - }% - \label{fig:example-image-gallery-1} - %\caption{} - \end{figure} - - \[J_F(u,v) = - \begin{pmatrix} - -r(v) \sin u & r'(v) \cos u\\ - r(v) \cos u & r'(v) \sin u\\ - 0 & 1 - \end{pmatrix}\] - hat Rang 2 für alle $(u,v) \in \mdr^2$. - \item Kugelkoordinaten: $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$,\\ - $(u, v) \mapsto (R \cos v \cos u, R \cos v \sin u, R \sin v)$\\ - Es gilt: $F(u,v) \in S_R^2$, denn - \begin{align*} - & R^2 \cos^2(v) \cos^2(u) + R^2 \cos^2(v) \sin^2(u) + R^2 \sin^2(v)\\ - =& R^2 (\cos^2(v) \cos^2(u) + \cos^2(v) \sin^2(u) + \sin^2(v))\\ - =& R^2 \left (\cos^2(v) (\cos^2(u) + \sin^2(u)) + \sin^2(v) \right)\\ - =& R^2 \left (\cos^2(v) + \sin^2(v) \right)\\ - =&R^2 - \end{align*} - - Die Jacobi-Matrix - \[J_F(u,v) = - \begin{pmatrix} - -R \cos v \sin u & -R \sin v \cos u\\ - R \cos v \cos u & -R \sin v \sin u\\ - 0 & R \cos v - \end{pmatrix}\] - hat Rang 2 für $\cos v \neq 0$. In $N$ und $S$ ist - $\cos v = 0$. - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 21.11.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{bemerkung}\label{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit} - Jede reguläre Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine 2-dimensionale, - differenzierbare Mannigfaltigkeit. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - - $S \subseteq \mdr^3$ ist als reguläre Fläche eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. - Aus der Definition von regulären Flächen folgt direkt, dass Karten $(U_i, F_i)$ und - $(U_j \subseteq \mdr^2, F_j:\mdr^2 \rightarrow \mdr^3)$ von $S$ mit - $U_i \cap U_j \neq \emptyset$ existieren, wobei $F_i$ und $F_j$ nach - Definition differenzierbare Abbildungen sind. - - \underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist ein Diffeomorphismus. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/topology-parametric-surface-mapping.tex} - \caption{Reguläre Fläche $S$ zum Beweis von \cref{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}} - \label{fig:parametric-surface-mapping} - \end{figure} - - - \underline{Idee:} Finde differenzierbare Funktion $\widetilde{F_j^{-1}}$ - in Umgebung $W$ von $s$, sodass $\widetilde{F_j^{-1}}|_{S \cap W} = F_j^{-1}$. - - \underline{Ausführung:} Sei $u_0 \in U_i$, $v_0 \in U_j$ mit $F_i(u_0) = s = F_j(v_0)$. - - Da $\rang(J_{F_j}(v_0)) = 2$ ist, ist \obda - \[\det - \begin{pmatrix} - \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ - \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} - \end{pmatrix} (v_0) \neq 0 - \] - - und $F_j(u,v) = \left ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \right)$. - - Definiere $\widetilde{F_j}: U_j \times \mdr \rightarrow \mdr^3$ durch - \[\widetilde{F_j} (u, v, t) := \left(x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t \right )\] - - Offensichtlich: $\widetilde{F_j} |_{U_j \times \Set{0}} = F_j$ - - \[J_{\widetilde{F_j}} = - \begin{pmatrix} - \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & 0\\ - \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0\\ - \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & 1 - \end{pmatrix} \Rightarrow \det J_{\widetilde{F_j}} (v_0, 0) \neq 0\] - - $\xRightarrow{\text{Analysis II}}$ Es gibt Umgebungen $W$ von - $F_j$ von $\widetilde{F_j}(v_0, 0) = F_j(v_0) = s$, sodass $\widetilde{F_j}$ - auf $W$ eine differenzierbar Inverse $F_j^{-1}$ hat. - - Weiter gilt: - \begin{align*} - \widetilde{F_j}^{-1}|_{W \cap S} &= F_j^{-1} |_{W \cap S}\\ - \Rightarrow F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)} &= F_j^{-1} \circ F_i |_{F_i^{-1} (W \cap S)} - \end{align*} - ist differenzierbar. -\end{beweis} - -\begin{definition}% - Sei $G$ eine Mannigfaltigkeit und $(G, \circ)$ eine Gruppe. - - \begin{defenum} - \item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische}, - wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$ - und $\iota: G \rightarrow G$ definiert durch - \[g \circ h := g \cdot h \text{ und } \iota(g) := g^{-1}\] - stetig sind. - \item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt - $G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn - $(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{beispiel}[Lie-Gruppen] - \begin{bspenum} - \item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen. - \item $\GL_n(\mdr)$ - % ist eine Lie-Gruppe, da sie nach \cref{bsp:gln-ist-mf} eine Mannigfaltigkeit ist. - % $\det: \GL_n \rightarrow \mdr$ ist eine stetige Abbildung. - \item $(\mdr^\times, \cdot)$ - \item $(\mdr_{>0}, \cdot)$ - \item $(\mdr^n, +)$, denn $A \cdot B (i,j) = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ ist - nach allen Variablen differenzierbar - - $(A^{-1}) (i,j) = \frac{\det(A_{ij})}{\det A}$ - - \[A_{ij} = \begin{pmatrix} - a_{i1} & \dots & a_{in}\\ - \vdots & \ddots & \vdots\\ - a_{n1} & \dots & a_{nn} - \end{pmatrix} \in \mdr^{(n-1) \times (n-1)}\] - - ist differenzierbar. - - $\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da: - \[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\] - \item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \det(A) = 1}$ - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung} - Ist $G$ eine Lie-Gruppe und $g \in G$, so ist die Abbildung - \begin{align*} - l_g &: G \rightarrow G\\ - h &\mapsto g \cdot h - \end{align*} - - ein Diffeomorphismus. -\end{bemerkung} - -\section{Simplizialkomplex} -\begin{definition}\xindex{Lage!allgemeine}% - Seien $v_0, \dots, v_k \in \mdr^n$ Punkte.\xindex{Punkt} - \begin{defenum} - \item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage}\\ - \hspace{\labelwidth}\phantom{--}$\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen - affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält\\ - \hspace{\labelwidth}\phantom{--}$\gdw v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear unabhängig. - \item $\conv(v_0, \dots, v_k) := \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $ heißt die \textbf{konvexe Hülle}\xindex{Hülle!konvexe} von $v_0, \dots, v_k$. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{definition} - \begin{defenum} - \item Sei $\Delta^n = \conv(e_0, \dots, e_n) \subseteq \mdr^{n+1}$ - die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_n$. - - Dann heißt $\Delta^n$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex} - und $n$ die Dimension des Simplex. - \item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner - Lage heißt $\Delta (v_0, \dots, v_k) = \conv(v_0, \dots, v_k)$ - ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$. - \item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und - $I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$, - so ist $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$ - ein $r$-Simplex und heißt - \textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite} - von $\Delta$. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[0-Simplex $\Delta^0$]{ - \parbox{5cm}{\centering\input{figures/topology-simplex-0.tex}} - \label{fig:simplex-0} - } - - \subfloat[1-Simplex $\Delta^1$]{ - \input{figures/topology-simplex-1.tex} - \label{fig:simplex-1} - }% - \subfloat[2-Simplex $\Delta^2$]{ - \input{figures/topology-simplex-2.tex} - \label{fig:simplex-2} - }% - \subfloat[3-Simplex $\Delta^3$]{ - \input{figures/topology-simplex-3.tex} - \label{fig:simplex-3} - }% - \label{fig:k-simplexe} - \caption{Beispiele für $k$-Simplexe} -\end{figure} - - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 21.11.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{definition}% - \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*] - \item Eine endliche Menge $K$ von Simplizes im $\mdr^n$ - heißt (endlicher) \textbf{Simplizialkomplex}\xindex{Simplizialkomplex}, - wenn gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*] - \item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex - ist $S \in K$. - \item \label{def:simplizialkomplex.ii} Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist - $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein - Teilsimplex von $\Delta_1$ und von - $\Delta_2$. - \end{enumerate} - \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Teilraumtopologie) - heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische} - von $K$. - \item Ist $d = \max \Set{ k \in \mdn_0 | K \text{ enthält } k\text{-Simplex}}$, - so heißt $d$ die \textbf{Dimension}\xindex{Dimension} von - $K$. - \end{enumerate} -\end{definition} - -\xindex{Oktaeder}\xindex{Würfel} -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[1D Simplizialkomplex]{ - \parbox[c][4cm]{3.5cm}{\centering\input{figures/topology-1-d-simplizialkomplex}} - \label{fig:simplizialkomplex-1-d} - }% - \subfloat[2D Simplizialkomplex (ohne untere Fläche!)]{ - \parbox[c][4cm]{3.5cm}{\centering\input{figures/topology-pyramid.tex}} - \label{fig:simplizialkomplex-2-d} - }% - \subfloat[2D Simplizialkomplex]{ - \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-oktaeder.tex}} - \label{fig:simplizialkomplex-2-d-okateder} - }% - - \subfloat[1D Simplizialkomplex]{ - \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-cube.tex}} - \label{fig:simplizialkomplex-cube} - }% - \subfloat[2D Simplizialkomplex]{ - \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-cube-divided.tex}} - \label{fig:simplizialkomplex-cube-divided} - } - - \subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft \cref{def:simplizialkomplex.ii} verletzt ist]{ - \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex}} - \label{fig:no-simplizialkomplex-triangles} - }% - \subfloat[Simplizialkomplex]{ - \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex}} - \label{fig:simplizialkomplex-triangles} - }% - \label{fig:simplizialkomplexe} - \caption{Beispiele für Simplizialkomplexe} -\end{figure} - -\begin{definition}\xindex{Abbildung!simpliziale}% - Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung - \[f:|K| \rightarrow |L|\] - heißt \textbf{simplizial}, wenn für - jedes $\Delta \in K$ gilt: - \begin{defenum} - \item $f(\Delta) \in L$ - \item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine - affine Abbildung. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{beispiel}[Simpliziale Abbildungen] - \begin{bspenum} - \item $\varphi(e_1) := b_1$, $\varphi(e_2) := b_2$\\ - $\varphi$ ist eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung - - \input{figures/topology-linear-mapping.tex} - - \item Folgende Abbildung $\varphi: \Delta^n \rightarrow \Delta^{n-1}$ - ist simplizial: - - \input{figures/topology-triangle-to-line.tex} - \item Tori können simplizial auf Sphären abgebildet werden (vgl. \cref{fig:faltungsdiagramm}) - \begin{figure}[htp] - \centering - \includegraphics[width=0.9\linewidth, keepaspectratio]{figures/faltungsdiagramm.pdf} - \caption{Abbildung eines Torus auf eine Sphäre} - \label{fig:faltungsdiagramm} - \end{figure} - %\resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/topology-2}} - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{definition}\xindex{Eulerzahl}% - Sei $K$ ein endlicher Simplizialkomplex. Für $n \geq 0$ sei - $a_n(K)$ die Anzahl der $n$-Simplizes in $K$. - - Dann heißt - \[\chi(K) := \sum_{n=0}^{\dim K} (-1)^n a_n(K)\] - \textbf{Eulerzahl} (oder Euler-Charakteristik\index{Euler-Charakteristik|see{Eulerzahl}}) - von $K$. -\end{definition} - -\begin{beispiel} - \begin{bspenum} - \item $\chi(\Delta^1) = 2 - 1 = 1$\\ - $\chi(\Delta^2) = 3 - 3 + 1 = 1$\\ - $\chi(\Delta^3) = 4 - 6 + 4 - 1 = 1$ - \item $\chi(\text{Oktaeder-Oberfläche}) = 6 - 12 + 8 = 2$\\ - $\chi(\text{Rand des Tetraeders}) = 2$\\ - $\chi(\text{Ikosaeder}) = 12 - 30 + 20 = 2$ - \item $\chi(\text{Würfel}) = 8 - 12 + 6 = 2$\\ - $\chi(\text{Würfel, unterteilt in Dreiecksflächen}) = 8 - (12 + 6) + (6 \cdot 2) = 2$ - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung} - $\chi(\Delta^n) = 1$ für jedes $n \in \mdn_0$ -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - $\Delta^n$ ist die konvexe Hülle von $(e_0, \dots, e_n)$ in $\mdr^{n+1}$. - Jede $(k+1)$-elementige Teilmenge von $\Set{e_0, \dots, e_n}$ - definiert ein $k$-Simplex.\\ - $\Rightarrow a_k(\Delta^n) = \binom{n+1}{k+1}, \;\;\; k = 0, \dots, n$\\ - $\Rightarrow \chi(\Delta^n) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k+1}$\\ - $f(x) = (x+1)^{n+1} \overset{\substack{\text{\tiny{Binomischer}}\\\text{\tiny{Lehrsatz}}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\ - $\Rightarrow 0 = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^k = \chi(\Delta^n) -1$\\ - $\Rightarrow \chi(\Delta^n) = 1 \qed$ -\end{beweis} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 28.11.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{definition}% - \begin{defenum} - \item Ein 1D-Simplizialkomplex heißt \textbf{Graph}\xindex{Graph}. - \item Ein Graph, der homöomorph zu $S^1$ ist, heißt \textbf{Kreis}\xindex{Kreis}. - \item Ein zusammenhängender Graph heißt \textbf{Baum}\xindex{Baum}, - wenn er keinen Kreis enthält. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[Dies wird häufig auch als Multigraph bezeichnet.]{ - \parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-simple.tex}} - \label{fig:topology-graph-simple} - }% - \subfloat[Planare Einbettung des Tetraeders]{ - \parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder.tex}} - \label{fig:topology-graph-tetraeder} - } - - \subfloat[$K_5$]{ - \parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-k-5.tex}} - \label{fig:k-5} - }% - \subfloat[$K_{3,3}$]{ - \parbox[c][3cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-k-3-3.tex}} - \label{fig:k-3-3} - }% - \caption{Beispiele für Graphen} - \label{fig:graphen-beispiele} -\end{figure} - -\begin{bemerkung} - Für jeden Baum $T$ gilt $\chi(T) = 1$. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Induktion über die Anzahl der Ecken. -\end{beweis} - -\begin{bemerkung} - \begin{bemenum} - \item Jeder zusammenhängende Graph $\Gamma$ enthält einen - Teilbaum $T$, der alle Ecken von $\Gamma$ enthält.% - \footnote{$T$ wird \enquote{Spannbaum} genannt.} - \item Ist $n = a_1(\Gamma) - a_1(T)$, so ist $\chi(\Gamma) = 1 - n$. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*] - \item Siehe \enquote{Algorithmus von Kruskal}. - \item $\begin{aligned}[t]\chi(\Gamma) &= a_0(\Gamma) - a_1(\Gamma)\\ - &= a_0(\Gamma) - (n+a_1(T))\\ - &= a_0(T) - a_1(T) - n\\ - &= \chi(T) - n\\ - &= 1-n - \end{aligned}$ - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\label{kor:simplex-unterteilung} - Sei $\Delta$ ein $n$-Simplex und $x \in \Delta^\circ \subseteq \mdr^n$. - Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch - \enquote{Unterteilung} in $x$ entsteht. Dann ist $\chi(K) = \chi(\Delta) = 1$. -\end{bemerkung} - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[$K$]{ - \parbox{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder-area.tex}} - \label{fig:topology-simplizial-complex-k} - }% - \subfloat[$\Delta$, das aus $K$ durch Unterteilung entsteht]{ - \parbox{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder-area-2.tex}} - \label{fig:topology-simplizial-complex-k-division} - }% - \caption{Beispiel für \cref{kor:simplex-unterteilung}.} - \label{fig:simplex-unterteilung-beispiel} -\end{figure} - -\begin{beweis} - $\chi(K) = \chi(\Delta) - \underbrace{\underbrace{(-1)^n}_{n\text{-Simplex}} + \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k}}_{(1+(-1))^{n+1}} = \chi(\Delta) \qed$ -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Triangulierung} - Sei $X$ ein topologischer Raum, $K$ ein Simplizialkomplex und - \[h:|K| \rightarrow X\] - ein Homöomorphismus von der geometrischen Realisierung $|K|$ auf $X$. - Dann heißt $h$ eine \textbf{Triangulierung} von $X$. -\end{definition} - -\begin{beispiel}[Triangulierung des Torus]\xindex{Torus}% - Für eine Triangulierung des Torus werden mindestens 14 Dreiecke benötigt. - Beispiele für fehlerhafte \enquote{Triangulierungen} sind in \cref{fig:torus-triangulierung-fails} - zu sehen. Korrekte Triangulierungen sind in \cref{fig:torus-triangulierung}. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \subfloat[Die beiden markierten Dreiecke schneiden sich im Mittelpunkt und in einer Seite.]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/torus-invalid-triangulation-1.tex}} - \label{fig:torus-triangulierung-fail-1} - }% - \subfloat[Die beiden markierten Dreiecke schneiden sich im Mittelpunkt und außen.]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/torus-invalid-triangulation-2.tex}} - \label{fig:torus-triangulierung-fail-2} - }% - \label{fig:torus-triangulierung-fails} - \caption{Fehlerhafte Triangulierungen} - \end{figure} - - \begin{figure}[htp] - \centering - \subfloat[Einfache Triangulierung]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/torus-triangulation.tex}} - \label{fig:torus-triangulierung-simple} - }% - \subfloat[Minimale Triangulierung]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/torus-triangulation-minimal.tex}} - \label{fig:torus-triangulierung-minimal} - }% - \label{fig:torus-triangulierung} - \caption{Triangulierungen des Torus} - \end{figure} -\end{beispiel} - -\begin{satz}[Eulersche Polyederformel]\xindex{Eulersche Polyederformel}% - Sei $P$ ein konvexes Polyeder in $\mdr^3$, d.~h. $\partial P$ ist - ein 2-dimensionaler Simplizialkomplex, sodass gilt: - \[\forall x,y \in \partial P: [x,y] \subseteq P\] - - Dann ist $\chi(\partial P) = 2$. -\end{satz} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\arabic*)] - \item Die Aussage ist richtig für den Tetraeder. - \item \Obda{} sei $0 \in P$ und $P \subseteq \fB_1(0)$. Projeziere - $\partial P$ von $0$ aus auf $\partial \fB_1(0) = S^2$. - Erhalte Triangulierung von $S^2$. - \item Sind $P_1$ und $P_2$ konvexe Polygone und $T_1, T_2$ - die zugehörigen Triangulierungen von $S^2$, so gibt es - eine Triangulierung $T$, die sowohl um $T_1$ als - auch um $T_2$ Verfeinerung ist (vgl. \cref{fig:topology-3}). - - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/topology-3.tex} - \caption{$T$ ist eine Triangulierung, die für $T_1$ und $T_2$ eine Verfeinerung ist.} - \label{fig:topology-3} - \end{figure} - - Nach \cref{kor:simplex-unterteilung} ist - $\chi(\partial P_1) = \chi(T_1) = \chi(T) = \chi(T_2) = \chi(\partial P_2) = 2$, - weil \obda{} $P_2$ ein Tetraeder ist. - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11} - Sei $K$ ein endlicher Simplizialkomplex mit Knotenmenge $V$ - und $<$ eine Totalordnung auf $V$. - - Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h. - \[A_n(K) := \Set{ \sigma \in K | \dim(\sigma) = n} \;\;\; \text{für } n=0, \dots, d=\dim(K)\] - - und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit Basis $A_n(K)$, d.~h. - \[C_n(K) = \Set{\sum_{\sigma \in A_n(K)} c_\sigma \cdot \sigma | c_\sigma \in \mdr}\] - - Sei $\sigma = \Delta(x_0, \dots, x_n) \in A_n(K)$, sodass - $x_0 < x_1 < \dots < x_n$. - - Für $i = 0, \dots, n$ sei $\partial_i \sigma := \Delta(x_0, \dots, \hat{x_i}, \dots, x_n)$ - die $i$-te Seite von $\sigma$ und $d_\sigma = d_n \sigma := \sum_{i=0} (-1)^i \partial_i \sigma \in C_{n-1} (K)$ - und $d_n: C_n(K) \rightarrow C_{n-1}(K)$ die dadurch definierte lineare - Abbildung. - - Dann gilt: $d_{n-1} \circ d_n = 0$ -\end{bemerkung} - -\begin{beispiel} - \begin{figure}[h!] - \centering - \input{figures/topology-oriented-triangle.tex} - \caption{Simplizialkomplex mit Totalordnung} - \end{figure} - - Sei $a < b < c$. Dann gilt: - - \begin{align*} - d_2 \sigma &= e_1 - e_2 + e_3\\ - d_1(e_1- e_2 + e_3) &= (c - b) - (c-a) + (b - a)\\ - &= 0 - \end{align*} - - Sei $a] (Y) edge node {$p$} (X); - \path[anchor=south,->] (Z) edge node {$\tilde{f}$} (Y); - \path[anchor=north west,->] (Z) edge node {$f$} (X); - \end{tikzpicture} -\end{figure} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \resizebox{0.95\linewidth}{!}{\input{figures/liftung-torus-r.tex}} - \caption{Beim Liften eines Weges bleiben geschlossene Wege im allgemeinen nicht geschlossen} - \label{fig:satz-seifert-van-kampen} -\end{figure} - -\begin{bemerkung}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung - Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, f_1: Z \rightarrow Y$ - Liftungen von $f$. - - $\exists z_0 \in Z: f_0(z_0) = f_1(z_0) \Rightarrow f_0 = f_1$ -\end{bemerkung} - -% \begin{figure}[htp] -% \centering -% \input{figures/commutative-diagram-2.tex} -% \caption{Situation aus \cref{kor:12.5}} -% \label{fig:situation-kor-12.5} -% \end{figure} - -\begin{beweis} - Sei $T = \Set{z \in Z | f_0(z) = f_1(z)}$. - - \underline{Z.~z.}: $T$ ist offen und $Z \setminus T$ ist auch offen. - - Sei $z \in T, x = f(z), U$ Umgebung von $x$ wie in \cref{def:12.1}, - $V$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y:=f_0(z) = f_1(z)$ - enthält. - - Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$. - - Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist - offene Umgebung in $Z$ von $z$. - - \underline{Behauptung:} $W \subseteq T$ - - Denn für $w \in W$ ist $q(f(w)) = q((p \circ f_0))(w) = ((q \circ p) \circ f_0) (w) = f_0(w) = q(f(w)) = f_1(w)$ - - $\Rightarrow T$ ist offen. - - Analog: $Z \setminus T$ ist offen. -\end{beweis} - -\begin{satz}\label{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6} - Sei $p: Y \rightarrow X$ Ãœberlagerung, $\gamma: I \rightarrow X$ - ein Weg, $y \in Y$ mit $p(y) = \gamma(0) =: x$. - - Dann gibt es genau einen Weg $\tilde{\gamma}: I \rightarrow Y$ - mit $\tilde{\gamma}(0)=y$ und $p \circ \tilde{\gamma} = \gamma$. -\end{satz} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Sebastians Mitschrieb vom 17.12.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -$p:Y \rightarrow X$ Ãœberlagerung, $X,Y$ wegzusammenhängend. -$p$ stetig und surjektiv, zu $x \in X \exists$ Umgebung $U$, so dass -$p^{-1}(U) = \bigcup V_j$ - -$p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus. - -\begin{bemerkung}%Bemerkung 12.6 der Vorlesung - Wege in $X$ lassen sich zu Wegen in $Y$ liften. - - Zu jedem $y \in p^{-1}(\gamma(0))$ gibt es genau einen Lift von - $\gamma$. -\end{bemerkung} - -\begin{proposition}\label{proposition:12.7}%Proposition 12.7 der Vorlesung - Seien $p: Y \rightarrow X$ eine Ãœberlagerung, $a,b \in X$, - $\gamma_0, \gamma_1: I \rightarrow X$ homotope Wege von $a$ nach - $b$, $\tilde{a} \in p^{-1}(a), \tilde{\gamma_0}, \tilde{\gamma_1}$ - Liftungen von $\gamma_0$ bzw. $\gamma_1$ mit - $\tilde{\gamma_i}(0) = \tilde{a}$. - - Dann ist $\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)$ und - $\tilde{\gamma_0} \sim \tilde{\gamma_1}$. -\end{proposition} - -\begin{beweis} - Sei $H: I \times I \rightarrow X$ Homotopie zwischen $\gamma_1$ - und $\gamma_2$. - - Für $s \in I$ sei $\gamma_s: I \rightarrow X$, $t \mapsto H(t,s)$. - - Sei $\tilde{\gamma_s}$ Lift von $\gamma_s$ mit $\tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{a}$ - - Sei $\tilde{H}: I \times I \rightarrow Y,\;\;\; \tilde{H}(t,s) := (\tilde{\gamma_s}(t), s)$ - - Dann gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item $\tilde{H}$ ist stetig (Beweis wie für \cref{kor:12.5}) - \item $\tilde{H}(t,0) = \tilde{\gamma_0}(t), \;\;\; \tilde{H}(t,1) = \tilde{\gamma_1}(t)$ - \item $\tilde{H}(0,s) = \tilde{\gamma_s}(0) = \tilde{a}$ - \item $\tilde{H}(1,s) \in p^{-1}(b)$ - \end{enumerate} - - Da $p^{-1}(b)$ diskrete Teilmenge von $Y$ ist\\ - $\Rightarrow \tilde{b_s} = \tilde{H}(1,s) = \tilde{H}(1,0) \;\forall s \in I$\\ - $\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $\tilde{H}$ ist Homotopie - zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{folgerung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8" - Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Ãœberlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$ - \begin{bemenum} - \item \label{folg:12.8a} $p_*: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a} - \item \label{folg:12.8b} $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b} - \end{bemenum} -\end{folgerung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei $\tilde{\gamma}$ ein Weg in $Y$ um $y_0$ und - $p_* ([\tilde{\gamma}]) = e$, also $p \circ \tilde{\gamma} \sim \gamma_{x_0}$ - - Nach \cref{proposition:12.7} ist dann - $\tilde{\gamma}$ homotop zum Lift des konstanten Wegs - $\gamma_{x_0}$ mit Anfangspunkt $y_0$, also zu - $\gamma_{y_0} \Rightarrow [\tilde{\gamma}] = e$ - \item Sei $d = \deg{p}$ und $p^{-1}(x_0) = \Set{y_0, y_1, \dots, y_{d-1}}$. - Für einen geschlossenen Weg $\gamma$ in $X$ um $x_0$ - sei $\tilde{\gamma}$ die Liftung mit $\tilde{\gamma}(0) = y_0$. - - $\tilde{\gamma}(1) \in \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$ hängt - nur von $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$ ab. - - Für geschlossene Wege $\gamma_0, \gamma_1$ um $x$ gilt: - - \begin{align*} - &\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)\\ - \Leftrightarrow &[\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] \in \pi_1(Y, y_0)\\ - \Leftrightarrow &[\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] \in p_* (\pi_1(Y,y_0))\\ - \Leftrightarrow &[\gamma_0] \text{ und } [\gamma_1] \text{liegen in der selben Nebenklasse bzgl. } p_*(\pi_1(Y, y_0)) - \end{align*} - - Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in - $Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\delta_i(1) = y_i$\\ - $\Rightarrow p \cup \delta_i$ ist geschlossener Weg in - $X$ um $x_0$.\\ - $\Rightarrow$ Jedes $y_i$ mit $i=0, \dots, d-1$ ist - $\tilde{\gamma}(1)$ für ein $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$. - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.9" - Sei $p: Y \rightarrow X$ Ãœberlagerung und $X$ einfach zusammenhängend. - - Dann ist $p$ ein Homöomorphismus. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Wegen \cref{folg:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend - und wegen \cref{folg:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also - bijektiv. - - Nach \cref{bem:12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$ - ist stetig. $\Rightarrow p$ ist Homöomorphismus. $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung!universelle}%In Vorlesung: "Definition 12.10" - Eine Ãœberlagerung $p: \tilde{X} \rightarrow X$ heißt - \textbf{universell}, wenn - $\tilde{X}$ einfach zusammenhängend ist. -\end{definition} - -\begin{beispiel}[Universelle Ãœberlagerungen] - $\mdr \rightarrow S^1, \;\;\; t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$ - - $\mdr^2 \rightarrow T^2 = \mdr^2 / \mdz^2$ - - $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$ für $n \geq 2$ -\end{beispiel} - -\begin{satz}\label{thm:12.11}%In Vorlesung: Satz 12.11 - Sei $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Ãœberlagerung, - $q:Y \rightarrow X$ weitere Ãœberlagerung. - - Sei $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}, y_0 \in Y$ mit - $q(y_0) = x_0 = p(\tilde{x_0})$. - - Dann gibt es genau eine Ãœberlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow Y$ - mit $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = y_0$. -\end{satz} - -\begin{beweis} - Sei $z \in \tilde{X}, \gamma_z: I \rightarrow \tilde{X}$ ein Weg von - $\tilde{x_0}$ nach $z$. - - Sei $\delta_z$ die eindeutige Liftung von $p \circ \gamma_z$ - nach $Y$ mit $\delta_z(0) = y_0$. - - Setze $\tilde{p}(z) = \delta_z(1)$. - - Da $\tilde{X}$ einfach zusammenhängend ist, hängt $\tilde{p}(z)$ - nicht vom gewählten Weg $\gamma_z$ ab. - - Offensichtlich ist $q(\tilde{p}(z)) = p(z)$. - - \underline{Zu zeigen:} $\tilde{p}$ ist stetig in $z \in \tilde{X}$: - - Sei $W \subseteq Y$ offene Umgebung von $\tilde{p}(z)$. - - $\xRightarrow{q \text{ offen}} q(W)$ ist offene Umgebung von $p(z) \cdot d(\tilde{p}(z))$. - - Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in \cref{def:12.1} und - $V \subseteq q^{-1}(U)$ die Komponente, die $\tilde{p}(z)$ - enthält. - - \Obda sei $V \subseteq W$. - - Sei $Z := p^{-1}(U)$. Für $u \in Z$ sei $\delta$ ein Weg in $Z$ - von $z$ nach $u$. - - $\Rightarrow \gamma_z * \delta$ ist Weg von $x_0$ nach $u$\\ - $\Rightarrow \tilde{p}(u) \in V$\\ - $\Rightarrow Z \subseteq \tilde{p^{-1}}(W)$\\ - $\Rightarrow \tilde{p}$ ist stetig -\end{beweis} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 19.12.2013 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{folgerung}%Vorlesung: Folgerung 12.12 - Sind $p:\tilde{X} \rightarrow X$ und $q: \tilde{Y} \rightarrow X$ - universelle Ãœberlagerungen, so sind $\tilde{X}$ und $\tilde{Y}$ - homöomorph. -\end{folgerung} - -\begin{beweis} - Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit - $p(\tilde{x_0}) = x_0$ und - $\tilde{y_0} \in q^{-1}(x_0) \subseteq \tilde{Y}$. - - Nach \cref{thm:12.11} gibt es genau eine Ãœberlagerung - \[f:\tilde{X} \rightarrow \tilde{Y} \text{ mit } f(x_0) = \tilde{y_0} \text{ und } q \circ f = p\] - und genau eine Ãœberlagerung - \[g: \tilde{Y} \rightarrow \tilde{X} \text{ mit } g(\tilde{y_0}) = \tilde{x_0} \text{ und } p \circ g = q\] - - Damit gilt: $p \circ q \circ f = q \circ f = p$, $q \circ f \circ g = p \circ g = q$. - Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von - $p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$. - - Da auch $\id_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit - \cref{kor:12.4}: $g \circ f = \id_{\tilde{X}}$.\\ - Analog gilt $f \circ g = \id_{\tilde{Y}}$. $\qed$ -\end{beweis} - -Die Frage, wann es eine universelle Ãœberlagerung gibt, beantwortet -der folgende Satz: - -\begin{definition}\xindex{Umgebungsbasis}% - Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $x \in X$. - - $U \subseteq \fT$ heißt eine \textbf{Umgebungsbasis} von $x$, wenn jede offene Umgebung - von $x$ eine Teilmenge von $U$ enthält. -\end{definition} - -\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 12.13 - Es sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum in dem - jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus einfach zusammenhängenden - Mengen hat. - - Dann gibt es eine universelle Ãœberlagerung. -\end{satz} - -\begin{beweis} - Sei $x_0 \in X$ und $\tilde{X} := \Set{(x, [\gamma]) | x \in X, \gamma \text{ Weg von } x_o \text{ nach } x}$ - und $p: \tilde{X} \rightarrow X, (x, [\gamma]) \mapsto x$. - - Die Topologie auf $\tilde{X}$ ist folgende: - Definiere eine Umgebungsbasis von $(x, [\gamma])$ wie folgt: - Es sei $U$ eine einfach zusammenhängende Umgebung von $x$ und - \[\tilde{U} = \tilde{U}(x, [\gamma]) := \Set{(y, [\gamma * \alpha]) | y \in U, \alpha \text{ Weg in } U \text{ von } x \text{ nach } y} \] - - $p$ ist Ãœberlagerung: $p|_{\tilde{U}} : \tilde{U} \rightarrow U$ - bijektiv. $p$ ist stetig und damit $p|_{\tilde{U}}$ ein - Homöomorphismus. - - Sind $\gamma_1, \gamma_2$ Wege von $x_0$ nach $x$ und $\gamma_1 \sim \gamma_2$, - so ist $\tilde{U}(x, [\gamma_1]) \cap \tilde{U}(x, [\gamma_2]) = \emptyset$, - denn: Ist $\gamma_1 * \alpha \sim \gamma_2 * \alpha$, so ist auch - $\gamma_1 \sim \gamma_2$. Also ist $p$ eine Ãœberlagerung. - - $\tilde{X}$ ist einfach zusammenhängend: Es sei $\tilde{x_0} := (x_0, e)$ - und $\tilde{\gamma}: I \rightarrow \tilde{X}$ ein geschlossener - Weg um $\tilde{x_0}$. - - Sei $\gamma := p(\tilde{\gamma})$. - - \underline{Annahme}: $[\tilde{\gamma}] \neq e$ - - Mit \cref{kor:12.8a} folgt dann: $[\gamma] \neq e$. - - Dann ist der Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit Anfangspunkt - $\tilde{x_0}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $(x_0, [\gamma])$. - Widerspruch. -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Decktransformation}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung!reguläre}%In Vorlesung: Def+Bem 12.14 - Es sei $p:Y \rightarrow X$ eine Ãœberlagerung und $f:Y \rightarrow Y$ - ein Homöomorphismus. - - \begin{defenum} - \item $f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$. - \item Die Decktransformationen von $p: Y \rightarrow X$ bilden mit der Verkettung eine Gruppe, - die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}. - Man schreibt: - $\Deck(p)$, $\Deck(Y/X)$ oder $\Deck(Y \rightarrow X)$. - \item $p$ heißt \textbf{regulär}, wenn $|\Deck(Y/X)| = \deg{p}$ gilt. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften der Decktransformation]%In Vorlesung:12.14 - \begin{bemenum} - \item $(\Deck{Y/X}, \circ)$ ist eine Gruppe - \item Ist $f \in \Deck(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat - $f$ keinen Fixpunkt. - \item $|\Deck(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c} - \item Ist $f$ eine reguläre Ãœberlagerung, dann gilt: - $\forall x \in X: \Deck(Y/X)$ operiert transitiv - auf der Menge der Urbilder $f^{-1}(x)$. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Es gilt: - \begin{itemize} - \item $\id_Y \in \Deck{Y/X}$, - \item $f,g \in \Deck{Y/X} \Rightarrow p \circ (f \circ g) = (p \circ f) \circ g = p \circ g \Rightarrow f \circ g \in \Deck{Y/X}$ - \item $f \in \Deck{Y/X} \Rightarrow p \circ f =$ - $p \Rightarrow p \circ f^{-1} =$ - $(p \circ f) \circ f^{-1} =$ - $p \circ (f \circ f^{-1}) = p \Rightarrow f^{-1} \in \Deck{Y/X}$ - \end{itemize} - \item Die Menge - \[\Fix(f) = \Set{y \in Y | f(y) = y}\] - ist abgeschlossen als Urbild der Diagonale - $\Delta \subseteq Y \times Y$ unter der stetigen - Abbildung $y \mapsto (f(y),y)$. Außerdem ist $\Fix(f)$ - offen, denn ist $y \in \Fix(f)$, so sei $U$ eine - Umgebung von $p(y) \in X$ wie in \cref{def:12.1} - und $U \subseteq p^{-1}(U)$ die Komponente, die $y$ - enthält; also $p:V \rightarrow U$ ein Homöomorphismus. - Dann ist $W := f^{-1}(V) \cap V$ offene Umgebung von $y$. - - Für $z \in W$ ist $f(z) \in V$ und $p(f(z)) = p(z)$. - Da $p$ injektiv auf $V$ ist, folgt $f(z) = z$, d.~h. - $\Fix(f) \neq \emptyset$. - - Da $Y$ zusammenhängend ist, folgt aus $\Fix(\tilde{f}) \neq \emptyset$ - schon $\Fix(f) = Y$, also $f = \id_Y$. - \item Es sei $x_0 \in X$, $\deg(p) = d$ und $p^{-1}(x_0) = \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$. - Für $f \in \Deck(Y/X)$ ist $f(y_0)= \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$. - - Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein - $f \in \Deck(Y/X)$ mit $f(y_0) = y_1$, denn ist - $f(y_0) = g(y_0)$, so ist $(g^{-1} \circ f)(y_0) = y_0$, - also nach \cref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$. - \item Wenn jemand den Beweis macht, bitte an info@martin-thoma.de schicken.%TODO - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{beispiel}[Decktransformationen] - \begin{bspenum} - \item $p: \mdr \rightarrow S^1: \Deck(\mdr / S^1) = \Set{t \mapsto t + n | n \in \mdz} \cong \mdz$ - \item $p: \mdr^2 \rightarrow T^2: \Deck(\mdr^2 / T^2) \cong \mdz \times \mdz = \mdz^2$ - \item $p: S^n \rightarrow \praum^n(\mdr): \Deck(S^n / \praum^n(\mdr)) = \Set{x \mapsto \pm x} \cong \mdz / 2 \mdz$ - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -Nun werden wir eine Verbindung zwischen der Decktransformationsgruppe -und der Fundamentalgruppe herstellen: - -\begin{satz}\label{thm:12.15}%In Vorlesung: Satz 12.15 - Ist $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Ãœberlagerung, - so gilt: - \[\Deck(\tilde{X}/X) \cong \pi_1(X, x_0)\;\;\;\forall x_0 \in X\] -\end{satz} - -\begin{beweis} - Wähle $\tilde{x_0} \in p^{-1}(x_0)$. Es sei $\rho: \Deck(\tilde{x}/x) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ - die Abbildung, die $f$ auf $[p(\gamma_f)]$ abbildet, wobei $\gamma_f$ - ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $f(\tilde{x_0})$ sei. Da $\tilde{x}$ - einfach zusammenhängend ist, ist $\gamma_f$ bis auf Homotopie - eindeutig bestimmt und damit auch $\rho$ wohldefiniert. - - \begin{itemize} - \item \underline{$\rho$ ist Gruppenhomomorphismus}: Seien - $f, g \in \Deck(\tilde{X}/ X) \Rightarrow \gamma_{g \circ f} = \gamma_g * g(\gamma_f)$ - $\Rightarrow p(\gamma_{g \circ f}) = p(\gamma_g) * \underbrace{(p \circ g)}_{=p} (\gamma_f) = \rho(g) \neq \rho(f)$ - \item \underline{$\rho$ ist injektiv}: $\rho(f) = e \Rightarrow p (\gamma_f) \sim \gamma_{x_0}$ - $\xRightarrow{\cref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$ - $\Rightarrow f(x_0) = \tilde{x_0} \xRightarrow{\crefabbr{kor:12.14c}} f = \id_{\tilde{x}}$. - \item \underline{$\rho$ ist surjektiv}: Sei $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$, - $\tilde{\gamma}$ Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit - Anfangspunkt $\tilde{x_0}$. Der Endpunkt von $\tilde{\gamma}$ - sei $\tilde{x_1}$. - - \underline{$p$ ist reguläre Ãœberlagerung}: Seien - $\tilde{x_0}, \tilde{x_1} \in \tilde{X}$ mit - $p(\tilde{x_0}) = p(\tilde{x_1})$. Nach \cref{thm:12.11} - gibt es genau eine Ãœberlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow X$ - mit $p=p \circ \tilde{p}$ und $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$. - Somit ist $\tilde{p}$ eine Decktransformation und damit - $p$ eine reguläre Ãœberlagerung. - - Da $p$ reguläre Ãœberlagerung ist, gibt es ein $f \in \Deck(\tilde{X}/X)$ - mit $f(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$. - - Aus der Definition von $\rho$ folgt: $\rho(f) = p (\gamma_f) = \gamma$ - \end{itemize} - $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{beispiel}[Bestimmung von $\pi_1(S^1)$] - $p: \mdr \rightarrow S^1$, $t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$ - ist universelle Ãœberlagerung, da $\mdr$ zusammenhängend ist. - - Für $n \in \mdz$ sei $f_n: \mdr \rightarrow \mdr, t \mapsto t + n$ - die Translation um $n$. - - Es gilt: $(p \circ f_n)(t) = p(f_n(t)) = p(t) \;\;\; \forall t \in \mdr$, - d.~h. $f_n$ ist Decktransformation. - - Ist umgekehrt $g$ irgendeine Decktransformation, so gilt insbesondere - für $t=0$: - \[(\cos(2 \pi g(0)), \sin(2 \pi g(0))) = (p \circ g)(0) = p(0) = (1,0)\] - - Es existiert $n \in \mdz$ mit $g(0) = n$. Da auch $f_n(0) = 0 + n = n$ - gilt, folgt mit \cref{kor:12.14c} $g = f_n$. Damit folgt: - \[\Deck(\mdr/S^1) = \Set{f_n | n \in \mdz} \cong \mdz\] - Nach \cref{thm:12.15} also $\pi_1(S^1) \cong \Deck(\mdr/S^1) \cong \mdz$ -\end{beispiel} -\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|)} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Lea's Mitschrieb vom 07.01.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Gruppenoperationen}\index{Gruppenoperation|(}\index{Aktion|see{Gruppenoperation}}\index{Gruppenaktion|see{Gruppenoperation}} -\begin{definition}\xindex{Gruppenoperation}% in Vorlesung: Definition 13.1 - Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe und $X$ eine Menge. - - Eine \textbf{Gruppenoperation} von $G$ auf - $X$ ist eine Abbildung $\circ: G \times X \rightarrow X$ für die gilt: - \begin{defenum} - \item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.1} - \item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.2} - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{beispiel} - \begin{enumerate}[label=\arabic*),ref=\thebeispiel.\arabic*] - \item $G = (\mdz, +), X = \mdr, n \circ x = x + n$\label{bsp:gruppenoperation1} - \item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h$ - \item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn - \begin{enumerate}[label=\roman*)] - \item $1_G \circ h = 1_G \cdot h \cdot 1_G^{-1} = h$ - \item $\!\begin{aligned}[t] - (g_1 \cdot g_2) \circ h &= (g_1 \cdot g_2) \cdot h \cdot (g \cdot g_2)^{-1}\\ - &= g_1 \cdot (g_2 \cdot h \cdot g_2^{-1}) \cdot g_1^{-1}\\ - &= g_1 \circ (g_2 \circ h) - \end{aligned}$ - \end{enumerate} - \end{enumerate} -\end{beispiel} - -\begin{definition} - Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und - $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation. - - \begin{defenum} - \item \xindex{Gruppe operiert durch Homöomorphismen}\textbf{$G$ operiert durch Homöomorphismen}, wenn für jedes $g \in G$ - die Abbildung - \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\] - ein Homöomorphismus ist. - \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$ - \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn - \[\forall g \in G: m_g \text{ ist stetig}\] - gilt. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2 - Jede stetige Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation durch Homöomorphismen. -\end{bemerkung} -\begin{beweis}\leavevmode - Nach Voraussetzung ist $m_g := \circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig. - - Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$: - \begin{align*} - (m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\ - &= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\ - &= g^{-1} \circ (g \circ x)\\ - &\overset{\mathclap{\crefabbr{def:gruppenoperation.2}}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\ - &= 1_G \circ x\\ - &\overset{\mathclap{\crefabbr{def:gruppenoperation.1}}}{=} x - \end{align*} -\end{beweis} - -\begin{beispiel} - In Beispiel~\ref{bsp:gruppenoperation1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen. -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3 - Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge. - - \begin{bemenum} - \item Die Gruppenoperation von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv - den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$ - \item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei - die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen - $G \rightarrow \Homoo(X)$ - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - \item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation von $G$ - auf $X$. Dann sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ definiert - durch $\varrho(g)(X) = g \cdot x \;\;\; \forall g \in G, x \in X$, - also $\varrho(g) = m_g$. - - $\varrho$ ist Homomorphismus: $\varrho(g_1 \cdot g_2) = m_{g_1 \cdot g_2} = m_{g_1} \circ m_{g_2} = \varrho(g_1) \circ \varrho(g_2)$, - denn für $x \in X: \varrho(g_1 \cdot g_2) (x) = (g_1 \cdot g_2) \circ x = g_1 \circ (g_2 \circ x) = \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x)) = (\varrho(g_1) \circ \varrho (g_2)) (x)$ - - Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$. - - z.~z. \cref{def:gruppenoperation.2}: - \begin{align*} - g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\ - &= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\ - &= (\varrho(g_1) \circ \varrho(g_2))(x)\\ - &\overset{\mathclap{\varrho \text { ist Hom.}}}{=}\hspace{3 mm} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\ - &= (g_1 \cdot g_2) \circ x - \end{align*} - - z.~z. \cref{def:gruppenoperation.1}: - $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ ein - Homomorphismus ist. -\end{beweis} - -\begin{beispiel}\label{bsp:13.4}%In Vorlesung: Beispiel 13.4 - Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $p: \tilde{X} \rightarrow X$ - eine universelle Ãœberlagerung, $x_0 \in X$, $\tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit - $p(\tilde{x_0}) = x_0$. - - Dann operiert $\pi_1(X, x_0)$ auf $\tilde{X}$ durch Homöomorphismen wie folgt: - - Für $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$ und $\tilde{x} \in \tilde{X}$ sei - $[\gamma] \circ \tilde{x} = \tilde{\gamma * \varrho} (1)$ wobei - $\tilde{\gamma}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $\tilde{x}$ in - $\tilde{X}$ sei, $\varrho := p(\tilde{\delta}) = p \circ \delta$. - - Also: $\delta$ ist ein Weg in $X$ von $x_0$ nach $x=p(\tilde{x})$ - und $\rtilde{\gamma * \delta}$ die Liftung von $\gamma * \delta$ - mit Anfangspunkt $\tilde{x_0}$. - - $[\gamma] \cdot \tilde{x}$ hängt nicht von der Wahl von $\tilde{\gamma}$ - ab; ist $\tilde{\gamma}'$ ein anderer Weg von $\tilde{x_0}$ nach - $\tilde{x}$, so sind $\tilde{\delta}$ und $\tilde{\delta}'$ homotop, - also auch $\rtilde{\gamma * \delta}$ und $\rtilde{\gamma * \delta'}$ - homotop. - - Gruppenoperation, denn: - \begin{enumerate}[label=\roman*)] - \item $[e] \circ \tilde{x} = \rtilde{e * \delta} = \tilde{x}$ - \item $\rtilde{\gamma_1 * \gamma_2 * \delta}(1) = [\gamma_1 * \gamma_2] \circ \tilde{x} = ([\gamma_1] * [\gamma_2]) \circ \tilde{x}$\\ - $\gamma_1 * \gamma_2 * \delta(1) = [\gamma_1] \circ (\tilde{\gamma_2 * \delta})(1) = [\gamma_1] \circ ([\gamma_2] \circ \tilde{x})$ - \end{enumerate} -\end{beispiel} - -\textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5 -Die Konstruktion aus \cref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation -$\pi_1(X, x_0)$ aus \cref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus -$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach \cref{thm:12.15} -ist \begin{align*}\varrho(\pi_1(X, x_0)) &= \Deck(\tilde{X} / X)\\ - &= \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p} - \end{align*} - -\begin{beispiel}% In Vorlesung: Beispiel 13.6 - Sei $X := S^2 \subseteq \mdr^3$ und $\tau$ die Drehung um die $z$-Achse - um $180^\circ$. - - $g = \langle \tau \rangle = \Set{\id, \tau}$ operiert auf $S^2$ - durch Homöomorphismen. - - Frage: Was ist $S^2 / G$? Ist $S^2 / G$ eine Mannigfaltigkeit? -\end{beispiel} - -\index{Gruppenoperation|)} -% Die Ãœbungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein. -\input{Kapitel3-UB} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex deleted file mode 100644 index 95efb95..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex +++ /dev/null @@ -1,49 +0,0 @@ -\clearpage -\section*{Ãœbungsaufgaben} -\addcontentsline{toc}{section}{Ãœbungsaufgaben} - -\begin{aufgabe}\label{ub11:aufg1} - Seien $(X, d)$ eine absolute Ebene und $P, Q, R \in X$ Punkte. - Der \textit{Scheitelwinkel}\xindex{Scheitelwinkel} des Winkels $\angle PQR$ ist - der Winkel, der aus den Halbgeraden $QP^-$ und $QR^-$ gebildet - wird. Die \textit{Nebenwinkel}\xindex{Nebenwinkel} von $\angle PQR$ - sind die von $QP^+$ und $QR^-$ bzw. $QP^-$ und $QR^+$ gebildeten - Winkel. - - Zeigen Sie: - \begin{aufgabeenum} - \item Die beiden Nebenwinkel von $\angle PQR$ sind gleich. - \item Der Winkel $\angle PQR$ ist gleich seinem Scheitelwinkel. - \end{aufgabeenum} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe}\label{ub11:aufg3} - Sei $(X, d)$ eine absolute Ebene. Der \textit{Abstand}\xindex{Abstand} eines - Punktes $P$ zu einer Menge $Y \subseteq X$ von Punkten ist - definiert durch $d(P, Y) := \inf{d(P, y) | y \in Y}$. - - Zeigen Sie: - \begin{aufgabeenum} - \item \label{ub11:aufg3.a} Ist $\triangle ABC$ ein Dreieck, in dem die Seiten - $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ kongruent sind, so - sind die Winkel $\angle ABC$ und $\angle BCA$ gleich. - \item \label{ub11:aufg3.b} Ist $\triangle ABC$ ein beliebiges Dreieck, so liegt - der längeren Seite der größere Winkel gegenüber und - umgekehrt. - \item \label{ub11:aufg3.c} Sind $g$ eine Gerade und $P \notin g$ ein Punkt, so gibt - es eine eindeutige Gerade $h$ mit $P \in h$ und die - $g$ im rechten Winkel schneidet. Diese Grade heißt - \textit{Lot}\xindex{Lot} von $P$ auf $g$ und der - Schnittpunkt des Lots mit $g$ heißt \textit{Lotfußpunkt}\xindex{Lotfußpunkt}. - \end{aufgabeenum} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe}\label{ub-tut-24:a1} - Seien $f, g, h \in G$ und paarweise verschieden. - - Zeigen Sie: $f \parallel g \land g \parallel h \Rightarrow f \parallel h$ -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe}\label{ub-tut-24:a3}% - Beweise den Kongruenzsatz $SSS$. -\end{aufgabe} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex deleted file mode 100644 index 8b06be0..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex +++ /dev/null @@ -1,1201 +0,0 @@ -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 09.01.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\chapter{Euklidische und nichteuklidische Geometrie} - -\begin{definition}% - Das Tripel $(X, d, G)$ heißt genau dann eine \textbf{Geometrie}\xindex{Geometrie}, - wenn $(X, d)$ ein metrischer Raum und $\emptyset \neq G \subseteq \powerset{X}$ - gilt. Dann heißt $G$ die Menge aller \textbf{Geraden}\xindex{Gerade}. -\end{definition} - -\section{Axiome für die euklidische Ebene} -Axiome\xindex{Axiom} bilden die Grundbausteine jeder mathematischen Theorie. Eine -Sammlung aus Axiomen nennt man Axiomensystem\xindex{Axiomensystem}. -Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch -ein paar sehr grundlegende Forderungen an ihn: Axiomensysteme sollen -\textbf{widerspruchsfrei} sein, die Axiome sollen möglichst -\textbf{unabhängig} sein und \textbf{Vollständigkeit} wäre auch toll. -Mit Unabhängigkeit ist gemeint, dass kein Axiom sich aus einem anderem -herleiten lässt. Dies scheint auf den ersten Blick eine einfache -Eigenschaft zu sein. Auf den zweiten Blick muss man jedoch einsehen, -dass das Parallelenproblem, also die Frage ob das Parallelenaxiom -unabhängig von den restlichen Axiomen ist, über 2000 Jahre nicht -gelöst wurde. Ein ganz anderes Kaliber ist die Frage nach der -Vollständigkeit. Ein Axiomensystem gilt als Vollständig, wenn -jede Aussage innerhalb des Systems verifizierbar oder falsifizierbar -ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz, -der z.~B. für die Arithmetik beweist, dass nicht alle Aussagen -formal bewiesen oder widerlegt werden können. - -Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner -Abhandlung \enquote{Die Elemente} ein Axiomensystem für die Geometrie -aufgestellt. - -\textbf{Euklids Axiome} -\begin{itemize} - \item \textbf{Strecke} zwischen je zwei Punkten - \item Jede Strecke bestimmt genau eine \textbf{Gerade} - \item \textbf{Kreis} (um jeden Punkt mit jedem Radius) - \item Je zwei rechte Winkel sind gleich (Isometrie, Bewegung) - \item Parallelenaxiom von Euklid:\xindex{Parallelenaxiom}\\ - Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die - Summe der Innenwinkel kleiner als zwei Rechte ist, dann schneiden sich - diese Geraden auf der Seite dieser Winkel.\\ - \\ - Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist, - wenn beide Geraden parallel sind und senkrecht auf die erste stehen. -\end{itemize} - -\begin{definition}\xindex{Ebene!euklidische}%In Vorlesung: Definition 14.2 - Eine \textbf{euklidische Ebene} ist eine Geometrie $(X,d, G)$, die - Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:5} erfüllt: - \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*] - \item \textbf{Inzidenzaxiome}\xindex{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1} - \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)] - \item \label{axiom:1.1} Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit - $\Set{P, Q} \subseteq g$. - \item \label{axiom:1.2} $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$ - \item \label{axiom:1.3} $X \notin G$ - \end{enumerate} - \item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2} - genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$, - wenn gilt: - \begin{itemize}[] - \item $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$ oder - \item $d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q)$ oder - \item $d(Q, R) = d(Q, P) + d(P, R)$ - \end{itemize} - \end{enumerate} -\end{definition} - -\begin{definition} - Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie und seien $P, Q, R \in X$. - \begin{defenum} - \item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear}, - wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$. - \item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$ - und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$ - \item \textbf{Strecke}\xindex{Strecke} $\overline{PR} := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R}$ - \item \textbf{Halbgeraden}\xindex{Halbgerade}:\\ - $\begin{aligned}[t] - PR^+ &:= \{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } \\ - &\hphantom{:= \{Q \in X |\;} R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q\}\\ - PR^- &:= \Set{Q \in X | P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R} - \end{aligned}$ - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/topo-halbgerade.tex} - \caption{Halbgeraden} - \label{fig:halbgeraden} -\end{figure} - -\begin{bemerkung} - \begin{bemenum} - \item $PR^+ \cup PR^- = PR$ - \item $PR^+ \cap PR^- = \Set{P}$ - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\ - \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$ - sind kollinear.\\ - $\overset{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow} - \begin{cases} - Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\ - R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \Rightarrow Q \in PR\\ - P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR - \end{cases}$ - \item \enquote{$\supseteq$} ist offensichtlich\\ - \enquote{$\subseteq$}: Sei $PR^+ \cap PR^-$. Dann ist - $d(Q,R) = d(P,Q) + d(P,R)$ weil $Q \in PR^-$ und - \begin{align*} - &\left \{ \begin{array}{l} - d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R) \text{ oder }\\ - d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q) - \end{array} \right \}\\ - &\Rightarrow d(Q,R) = 2d(P,Q) + d(Q,R)\\ - &\Rightarrow d(P,Q) = 0\\ - &\Rightarrow P=Q\\ - &d(P,Q) = 2d(P,R) + d(P,Q)\\ - &\Rightarrow P=R\\ - &\Rightarrow \text{Widerspruch} - \end{align*} - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{definition}% - \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3] - \item \label{axiom:3}\textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome} - \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)] - \item \label{axiom:3.1} Zu jeder - Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P \in X$ und jedem - $r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein - $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$. - \item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt - $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei - nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$, - sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ mit - $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: - $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$.\\ - Diese Teilmengen $H_i$ heißen - \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. - $g$. - \end{enumerate} - \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: - Zu $P, Q, P', Q' \in X$ - mit $d(P,Q) = d(P', Q')$ gibt es mindestens 2 Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$ - mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ mit $i=1,2$.\footnote{Die \enquote{Verschiebung} von $P'Q'$ nach $PQ$ und die Isometrie, die zusätzlich an der Gerade durch $P$ und $Q$ spiegelt.} - \item \label{axiom:5}\textbf{Parallelenaxiom}\xindex{Parallele}: - Zu jeder Geraden $g \in G$ und jedem Punkt - $P \in X \setminus g$ gibt es höchstens ein $h \in G$ mit $P \in h$ und - $h \cap g = \emptyset$. $h$ heißt \textbf{Parallele zu $g$ durch $P$}. - \end{enumerate} -\end{definition} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 14.01.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{satz}[Satz von Pasch]\label{satz:pasch} %In Vorlesung: Bemerkung 14.5 - Seien $P$, $Q$, $R$ nicht kollinear, $g \in G$ mit $g \cap \Set{P, Q, R} = \emptyset$ - und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$. - - Dann ist entweder $g \cap \overline{PR} \neq \emptyset$ oder - $g \cap \overline{QR} \neq \emptyset$. -\end{satz} - -Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks -(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite -schneiden. - -\begin{beweis} - $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$\\ - $\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.2}}}{\Rightarrow} P$ und $Q$ liegen in verschiedenen Halbebenen bzgl. $g$\\ - $\Rightarrow$ \obda $R$ und $P$ liegen in verschieden - Halbebenen bzgl. $g$\\ - $\Rightarrow g \cap \overline{RP} \neq \emptyset$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\label{kor:beh3} - Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$ - mit $A \neq B$. - Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie - $Q$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PA$. - - Dann gilt: $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$ -\end{bemerkung} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/geometry-5.tex} - \caption{Situation aus \cref{kor:beh3}} - \label{fig:geometry-5} -\end{figure} - -Auch \cref{kor:beh3} lässt sich umgangssprachlich sehr viel -einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks -schneiden sich. - -\begin{beweis}%In Vorlesung: Behauptung 3 - Sei $P' \in PQ^-, P' \neq P$ - $\xRightarrow{\cref{satz:pasch}} PB$ schneidet - $\overline{AP'} \cup \overline{AQ}$ - - Sei $C$ der Schnittpunkt. Dann gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item $C \in PB^+$, denn $A$ und $B$ liegen in derselben - Halbebene bzgl. $PQ = P'Q$, also auch - $\overline{AP'}$ und $\overline{AQ}$. - \item $C$ liegt in derselben Halbebene bzgl. $PA$ wie - $B$, weil das für $Q$ gilt. - - $\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene - bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$ - \end{enumerate} - Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt: - $\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6 - Seien $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $A, B \in X \setminus PQ$ - in der selben Halbebene bzgl. $PQ$. Außerdem sei $d(A,P)=d(B,P)$ - und $d(A, Q) = d(B, Q)$. - - Dann ist $A = B$. -\end{bemerkung} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/geometry-2.tex} - \caption{\cref{kor:14.6}: Die beiden roten und die beiden blauen Linien sind gleich lang. Intuitiv weiß man, dass daraus folgt, dass $A = B$ gilt.} - \label{fig:geometriy-2} -\end{figure} - -\begin{beweis} durch Widerspruch\\ - \underline{Annahme}: $A \neq B$ - - Dann ist $B \notin (PA \cup QA)$ wegen \ref{axiom:2}. - - \begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[1. Fall]{ - \input{figures/geometry-3.tex} - \label{fig:geometry-3} - }% - \subfloat[2. Fall]{ - \input{figures/geometry-4.tex} - \label{fig:geometry-4} - }% - \label{fig:bem:14.6} - \caption{Fallunterscheidung aus \cref{kor:14.6}} - \end{figure} - - \underline{1. Fall}: $Q$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bzgl. $PA$ - - $\xRightarrow{\crefabbr{kor:beh3}} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$. - - Sei $C$ der Schnittpunkt vom $PB$ und $AQ$. - - Dann gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item $d(A, C) + d(C, Q) = d(A, Q) \overset{\text{Vor.}}{=} d(B, Q) < d(B, C) + d(C, Q) \Rightarrow d(A, C) < d(B, C)$ \label{enum:komischer-beweis-i} - \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $B$ liegt zwischen $P$ und $C$. - - $d(P,A) + d(A, C) > d(P,C) = d(P,B) + d(B,C) = d(P,A) + d(B,C)$ - $\Rightarrow d(A,C) > d(B,C) \Rightarrow$ Widerspruch zu \cref{enum:komischer-beweis-i} - \item $C$ liegt zwischen $P$ und $B$ - - $d(P,C) + d(C,A) > d(P,A) = d(P,B) = d(P,C) + d(C, B)$\\ - $\Rightarrow d(C, A) > d(C, B)$\\ - $\Rightarrow$ Widerspruch zu \cref{enum:komischer-beweis-i} - \end{enumerate} - \end{enumerate} - - \underline{2. Fall}: $Q$ und $B$ liegen auf verschieden Halbebenen bzgl. $PA$. - - Dann liegen $A$ und $Q$ in derselben Halbebene bzgl. $PB$. - - Tausche $A$ und $B \Rightarrow$ Fall 1 $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}\label{kor:beh2'} - Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} - erfüllt, $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $\varphi$ eine Isometrie mit - $\varphi(P) = P$ und $\varphi(Q) = Q$. - - Dann gilt $\varphi(S) = S\;\;\;\forall S \in PQ$. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - \begin{align*} - \text{\Obda sei } S \in \overline{PQ} &\overset{\mathclap{\ref{axiom:2}}}{\Leftrightarrow} d(P,Q) = d(P,S) + d(S,Q)\\ - &\overset{\mathclap{\varphi \in \Iso(X)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(\varphi(P),\varphi(Q)) = d(\varphi(P),\varphi(S)) + d(\varphi(S),\varphi(Q))\\ - &\overset{\mathclap{P, Q \in \Fix(\varphi)}}{\Rightarrow}\hspace{4 mm} d(P, Q) = d(P,\varphi(S)) + d(\varphi(S), Q)\\ - &\Rightarrow \varphi(S) \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q\\ - &\Rightarrow d(P,S) = d(\varphi(P), \varphi(S)) = d(P, \varphi(S))\\ - &\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.1}}}{\Rightarrow} \varphi(S) = S - \end{align*} - - $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{proposition}\label{satz:14.4}%In Vorlesung: Satz 14.4 - In einer Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3} erfüllt, - gibt es zu $P, P', Q, Q'$ mit $d(P, Q) = d(P', Q')$ höchstens - zwei Isometrien mit $\varphi(P) = P'$ und $\varphi(Q) = Q'$ - - Aus den Axiomen folgt, dass es in - der Situation von \ref{axiom:4} höchstens zwei Isometrien mit - $\varphi_i(P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ gibt. -\end{proposition} - -\begin{beweis} - Seien $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ Isometrien mit - $\varphi_i(P) = P'$, $\varphi_i(Q) = Q'$ mit $i=1,2,3$. - - Der Beweis von \cref{satz:14.4} erfolgt über zwei Teilaussagen: - - \begin{enumerate}[label=(Teil \roman*),ref=(Teil \roman*)] - \item \label{bew:teil1} $\exists R \in X \setminus PQ$ mit $\varphi_{1} (R) = \varphi_{2} (R)$. - \item \label{bew:teil2} Hat $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kollinear sind, so ist $\varphi = \id_X$. - \end{enumerate} - - Aus \ref{bew:teil1} und \ref{bew:teil2} folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$, - also $\varphi_2 = \varphi_1$, da $P$, $Q$ und $R$ in diesem Fall - Fixpunkte sind. - - Nun zu den Beweisen der Teilaussagen: - \begin{enumerate}[label=(Teil \roman*),ref=(Teil \roman*)] - \item Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten - $\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei - in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$. - - \Obda seien $\varphi_1(R)$ und $\varphi_2(R)$ in der - selben Halbebene. - - Es gilt: $\begin{aligned}[t] - d(P', \varphi_1(R)) &= d(\varphi_1(P), \varphi_1(R))\\ - &= d(P, R)\\ - &= d(\varphi_2(P), \varphi_2(R))\\ - &= d(P', \varphi_2(R))\\ - \end{aligned}$\\ - und analog $d(Q', \varphi_1(R)) = d(Q', \varphi_2(R))$ - \item Seien $P$, $Q$ und $R$ Fixpunkte von $\varphi$, $R \notin PQ$ - und $A \notin \overline{PQ} \cup \overline{PR} \cup \overline{QR}$. - Sei $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P, Q}$. Dann ist - $\varphi(B) = B$ wegen \cref{kor:beh2'}. - - Ist $R \in AB$, so enthält $AB$ 2 Fixpunkte von $\varphi$ - $\xRightarrow{\crefabbr{kor:beh2'}} \varphi(A) = A$. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/geometry-1.tex} - \caption{$P, Q, R$ sind Fixpunkte, $B \in \overline{PQ} \setminus \Set{P,Q}$, $A \notin PQ \cup PR \cup QR$} - \label{fig:geometry-1} - \end{figure} - - Ist $R \notin AB$, so ist $AB \cap \overline{PR} \neq \emptyset$ - oder $AB \in \overline{RQ} \neq \emptyset$ nach \cref{satz:pasch}. - Der Schnittpunkt $C$ ist dann Fixpunkt von $\varphi'$ - nach \cref{kor:beh2'} $\Rightarrow \varphi(A) = A$. - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}[SWS-Kongruenzsatz]\xindex{Kongruenzsatz!SWS}% - Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} erfüllt. - Seien außerdem $\triangle ABC$ und $\triangle A'B'C'$ Dreiecke, für die gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item \label{bem:sws.i} $d(A, B) = d(A', B')$ - \item \label{bem:sws.ii} $\angle CAB \cong \angle C'A'B'$ - \item \label{bem:sws.iii} $d(A, C) = d(A', C')$ - \end{enumerate} - - Dann ist $\triangle ABC$ kongruent zu $\triangle A'B'C'$ . -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A') = A$, $\varphi(A'C'^+) = AC^+$ - und $\varphi(A'B'^+) = AB^+$. Diese Isometrie existiert wegen \cref{axiom:4}. - - $\Rightarrow C \in \varphi(A'C'^+)$ und $B \in \varphi(A'B'^+)$. - - $d(A',C')= d(\varphi(A'), \varphi(C')) = d(A, \varphi(C')) \xRightarrow{\ref{axiom:3.1}} \varphi(C') = C$ - - $d(A',B')= d(\varphi(A'), \varphi(B')) = d(A, \varphi(B')) \xRightarrow{\ref{axiom:3.1}} \varphi(B') = B$ - - Also gilt insbesondere $\varphi(\triangle A'B'C') = \triangle ABC$. $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}[WSW-Kongruenzsatz]\xindex{Kongruenzsatz!WSW}% - Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} erfüllt. - Seien außerdem $\triangle ABC$ und $\triangle A'B'C'$ Dreiecke, für die gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item \label{bem:wsw.i} $d(A, B) = d(A', B')$ - \item \label{bem:wsw.ii} $\angle CAB \cong \angle C'A'B'$ - \item \label{bem:wsw.iii} $\angle ABC \cong \angle A'B'C'$ - \end{enumerate} - - Dann ist $\triangle ABC$ kongruent zu $\triangle A'B'C'$ . -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A') = A$, $\varphi(B') = B$ - und $\varphi(C')$ liegt in der selben Halbebene bzgl. $AB$ wie $C$. - Diese Isometrie existiert wegen \ref{axiom:4}. - - Aus $\angle CAB = \angle C'A'B' = \angle \varphi(C')\varphi(A')\varphi(B') = \angle \varphi(C')AB$ folgt, dass $\varphi(C')\in AC^+$.\\ - Analog folgt aus $\angle ABC = \angle A'B'C' = \angle \varphi(A')\varphi(B')\varphi(C') = \angle AB\varphi(C')$, dass $\varphi(C') \in BC^+$. - - Dann gilt $\varphi(C') \in AC \cap BC = \Set{C} \Rightarrow \varphi(C')=C$. - - Es gilt also $\varphi(\triangle A'B'C') = \triangle ABC$. $\qed$ -\end{beweis} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 16.01.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -\begin{definition}\label{def:14.8}%In Vorlesung: 14.8 - \begin{defenum} - \item \label{def:14.8a} Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$ - zusammen mit $2$ Halbgeraden mit Anfangspunkt $P$.\\ - Man schreibt: $\angle R_1 P R_2$ bzw. $\angle R_2 P R_1$\footnote{Für dieses Skript gilt: $\angle R_1 P R_2 = \angle R_2 P R_1$. Also sind insbesondere alle Winkel $ \leq 180^\circ$.} - \item Zwei Winkel sind \textbf{gleich}, wenn es eine Isometrie gibt, - die den einen Winkel auf den anderen abbildet. - \item \label{def:14.8c} $\angle R_1' P' R_2'$ heißt \textbf{kleiner} als - $\angle R_1 P R_2$, wenn es eine Isometrie $\varphi$ - gibt, mit $\varphi(P') = P$, $\varphi(P'R'^{+}_{1}) = PR_{1}^{+}$ - und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene - bzgl. $PR_1$ wie $R_2$ und in der gleichen Halbebene - bzgl. $PR_2$ wie $R_1$ - \item \label{def:14.8d} Im Dreieck $\triangle PQR$ gibt es \textbf{Innenwinkel}\xindex{Innenwinkel} und - \textbf{Außenwinkel}\xindex{Außenwinkel}. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[$\angle R_1' P' R_2'$ ist kleiner als $\angle R_1 P R_2$, vgl. \cref{def:14.8c}]{ - \input{figures/smaller-angle.tex} - \label{fig:def.14.8.1} - }% - \subfloat[{\color{green} Innenwinkel} und {\color{blue} Außenwinkel} in $\triangle PQR$, vgl. \cref{def:14.8d}]{ - \input{figures/interiour-exteriour-angles-triangle.tex} - \label{fig:def.14.8.2} - } - \label{fig:def.14.8.0} - \caption{Situation aus \cref{def:14.8}} -\end{figure} - -\begin{bemerkung}\label{bem:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9 - In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht - anliegende Außenwinkel. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Zeige $\angle PRQ < \angle RQP'$. - - Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{QR}$ und $P' \in PQ^+ \setminus \overline{PQ}$. - Sei $A \in MP^-$ mit $d(P,M) = d(M,A)$. - - - \begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[Parallelogramm AQPR]{ - \input{figures/geometry-9.tex} - \label{fig:bem:14.9} - }% - \subfloat[Innen- und Außenwinkel von $\triangle PQR$]{ - \input{figures/geometry-7.tex} - \label{fig:geometry-7} - }% - - \label{fig:winkel-und-parallelogramm} - \caption{Situation aus \cref{bem:14.9}} - \end{figure} - - Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie - $\angle PMR = \angle AMQ \Rightarrow \triangle MRQ$ ist - kongruent zu $\triangle AMQ$, denn eine der beiden Isometrien, die - $\angle PMR$ auf $\angle AMQ$ abbildet, bildet $R$ auf $Q$ und - $P$ auf $A$ ab. - - $\Rightarrow \angle MQA = \angle MRP = \angle QRP = \angle PRQ$. - - Noch zu zeigen: $\angle MQA < \angle RQP'$, denn $A$ liegt in der - selben Halbebene bzgl. $PQ$ wie $M$. -\end{beweis} - -\begin{proposition}[Existenz der Parallelen]\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7 - Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}. - - Dann gibt es zu jeder Geraden $g \in G$ und jedem Punkt $P \in X \setminus g$ - mindestens eine Parallele $h \in G$ mit $P \in h$ und $g \cap h = \emptyset$. -\end{proposition} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/geometry-6.tex} - \caption{Situation aus \cref{prop:14.7}} - \label{fig:geometry-6} -\end{figure} - -\begin{beweis} - Seien $P, Q \in f \in G$ und $\varphi$ die Isometrie, die $Q$ auf $P$ und $P$ auf $P' \in f$ - mit $d(P,P') = d(P, Q)$ abbildet und die Halbebenen bzgl. $f$ erhält. - - \underline{Annahme:} $\varphi(g) \cap g \neq \emptyset$\\ - $\Rightarrow$ Es gibt einen Schnittpunkt $\Set{R} = \varphi(g) \cap g$.\\ - Dann ist $\angle RQP = \angle RQP' < \angle RPP'$ nach - \cref{bem:14.9} und $\angle RQP = \angle RPP'$, weil - $\varphi(\angle RQP) = \angle RPP'$.\\ - $\Rightarrow$ Widerspruch\\ - $\Rightarrow \varphi(g) \cap g = \emptyset \qed$ -\end{beweis} - -\begin{folgerung}\label{folgerung:14.10}%In Vorlesung: Folgerung 14.10 - Die Summe zweier Innenwinkel in einem Dreieck ist kleiner als $\pi$. -\end{folgerung} - -D.~h. es gibt eine Isometrie $\varphi$ mit $\varphi(Q) = P$ -und $\varphi(QP^+) = PR^+$, sodass $\varphi(R)$ in der gleichen -Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$. - -\begin{beweis} - Die Summe eines Innenwinkels mit den anliegenden Außenwinkeln ist - $\pi$, d.~h. die beiden Halbgeraden bilden eine Gerade. -\end{beweis} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \includegraphics[width=0.4\linewidth, keepaspectratio]{figures/Spherical_triangle_3d_opti.png} - \caption{In der sphärischen Geometrie gibt es, im Gegensatz zur euklidischen Geometrie, Dreiecke mit drei $90^\circ$-Winkeln.} - \label{fig:spherical-triangle} -\end{figure} - -\begin{proposition}\label{prop:14.11}%In Vorlesung: Proposition 14.11 - In einer Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} - ist in jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\leq \pi$. -\end{proposition} - -Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}. - -\begin{beweis} - Sei $\triangle$ ein Dreieck mit $\IWS(\triangle) = \pi + \varepsilon$ - - \begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[Summe der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$]{ - \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/three-angles.tex}} - \label{fig:prop14.11.1} - }% - \subfloat[Situation aus \cref{prop:14.11}]{ - \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/geometry-8.tex}} - \label{fig:prop14.11.2} - } - \label{fig:prop14.11.0} - \caption{Situation aus \cref{prop:14.11}} - \end{figure} - - Sei $\alpha$ ein Innenwinkel von $\triangle$. - - \begin{behauptung} - Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit - $\IWS(\triangle') = \IWS(\triangle)$ und einem Innenwinkel - $\alpha' \leq \frac{\alpha}{2}$. - - Dann gibt es für jedes $n$ ein $\triangle_n$ mit $\IWS(\triangle_n) = \IWS(\triangle)$ - und Innenwinkel $\alpha' \leq \frac{\alpha}{2^n}$. Für $\frac{\alpha}{2^n} < \varepsilon$ - ist dann die Summe der beiden Innenwinkel - um $\triangle_n$ größer als $\pi \Rightarrow$ Widerspruch zu - \cref{folgerung:14.10}. - \end{behauptung} - - \begin{beweis} - Es seien $A, B, C \in X$ und $\triangle $ das Dreieck mit den - Eckpunkten $A, B, C$ und $\alpha$ sei der Innenwinkel bei $A$, - $\beta$ der Innenwinkel bei $B$ und $\gamma$ der Innenwinkel bei $C$. - - Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$. Sei außerdem - $\alpha_1 = \angle CAM$ und $\alpha_2 = \angle BAM$. - - Sei weiter $A' \in MA^-$ mit $d(A', M) = d(A, M)$. - - Die Situation ist in \cref{fig:prop14.11.2} skizziert. - - $ \Rightarrow \triangle(MA'C)$ und - $\triangle(MAB)$ sind kongruent. - $\Rightarrow \angle ABM = \angle A'CM$ und $\angle MA'C = \angle MAB$. - $\Rightarrow \alpha + \beta + \gamma =\IWS(\triangle ABC) = \IWS(\triangle AA'C)$ - und $\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha$, also \obda $\alpha_1 \leq \frac{\alpha}{2}$ - \end{beweis} -\end{beweis} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 21.01.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{bemerkung}\label{bem:14.12}%In Vorlesung: Bemerkung 14.12 - In einer euklidischen Ebene ist in jedem Dreieck die Innenwinkelsumme - gleich $\pi$. -\end{bemerkung} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/triangle-2.tex} - \caption{Situation aus \cref{bem:14.12}} - \label{fig:14.12} -\end{figure} - -\begin{beweis} - Sei $g$ eine Parallele von $AB$ durch $C$. - - \begin{itemize} - \item Es gilt $\alpha' = \alpha$ wegen \cref{prop:14.7}. - \item Es gilt $\beta' = \beta$ wegen \cref{prop:14.7}. - \item Es gilt $\alpha'' = \alpha'$ wegen \cref{ub11:aufg1}. - \end{itemize} - $\Rightarrow \IWS(\triangle ABC) = \gamma + \alpha'' + \beta' = \pi$ -\end{beweis} - -Aus der Eigenschaft, dass die Innenwinkelsumme von Dreiecken in der euklidischen Ebene -gleich $\pi$ ist, folgen direkt die Kongruenzsätze SWW und WWS über den Kongruenzsatz -WSW.\xindex{Kongruenzsatz!SWW} - -\section{Weitere Eigenschaften einer euklidischen Ebene} -\begin{satz}[Strahlensatz] - In ähnlichen Dreiecken sind Verhältnisse entsprechender Seiten gleich. -\end{satz} - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/hyberbolische-geometrie-2.tex} - \caption{Strahlensatz} - \label{fig:hyperbolische-geometrie-2} -\end{figure} - -Der Beweis wird hier nicht geführt. Für Beweisvorschläge wäre ich -dankbar. - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/triangle-similar.tex} - \caption{Die Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle AB'C'$ sind ähnlich.} - \label{fig:triangle-similar} -\end{figure} - -\subsection{Flächeninhalt} -\begin{definition}\xindex{Simplizialkomplexe!flächengleiche}% - \enquote{Simplizialkomplexe} in euklidischer Ebene $(X,d)$ heißen - \textbf{flächengleich}, - wenn sie sich in kongruente Dreiecke zerlegen lassen. -\end{definition} - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[Zwei kongruente Dreiecke]{ - \input{figures/rectangle-2.1.tex} - \label{fig:rectangle-2.1} - }% - \subfloat[Zwei weitere kongruente Dreiecke]{ - \input{figures/rectangle-2.2.tex} - \label{fig:rectangle-2.2} - }% - \label{fig:flaechengleichheit} - \caption{Flächengleichheit} -\end{figure} - -Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist $\nicefrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$. - -\begin{figure}[htp] - \centering - \subfloat[$\nicefrac{1}{2} \cdot |\overline{AB}| \cdot |h_c|$]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/triangle-5.tex}} - \label{fig:triangle-5} - }% - \subfloat[$\nicefrac{1}{2} \cdot |\overline{BC}| \cdot |h_a|$]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/triangle-4.tex}} - \label{fig:triangle-4} - }% - \caption{Flächenberechnung im Dreieck} - \label{fig:flaechenberechnung-dreieck} -\end{figure} - -\underline{Zu zeigen:} Unabhängigkeit von der gewählten Grundseite. - -\begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/triangle-3.tex} - \caption{$\triangle ABL_a$ und $\triangle C{L_C}B$ sind ähnlich, weil $\IWS = \pi$} - \label{fig:flaechenberechnung-dreieck-2} -\end{figure} - -$\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \cdot h_a = c \cdot h_c$ - -\begin{satz}[Satz des Pythagoras] - Im rechtwinkligen Dreieck gilt $a^2 + b^2 = c^2$, wobei $c$ die - Hypotenuse und $a, b$ die beiden Katheten sind. -\end{satz} - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[$a,b$ sind Katheten und $c$ ist die Hypotenuse]{ - \input{figures/pythagoras.tex} - \label{fig:pythagoras-bezeichnungen} - }% - \subfloat[Beweisskizze]{ - \input{figures/pythagoras-2.tex} - \label{fig:pythagoras-2} - }% - \label{fig:pythagoras} - \caption{Satz des Pythagoras} -\end{figure} - -\begin{beweis} - $(a+b) \cdot (a+b) = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 +4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot b)$ -\end{beweis} - -\begin{satz}\label{satz:14.13} %In Vorlesung: Satz 14.13 - Bis auf Isometrie gibt es genau eine euklidische Ebene $(X, d, G)$, nämlich - $X=\mdr^2$, $d = \text{euklidischer Abstand}$, $G = \text{Menge der üblichen Geraden}$. -\end{satz} -\goodbreak -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item $(\mdr^2, d_\text{Euklid})$ ist offensichtlich eine euklidische Ebene. - \item Sei $(X,d)$ eine euklidische Ebene und $g_1, g_2$ Geraden - in $X$, die sich in einem Punkt $0$ im rechten Winkel - schneiden. - - Sei $P \in X \setminus (g_1 \cup g_2)$ ein Punkt und $P_X$ der - Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}) - und $P_Y$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_2$. - - Sei $x_P := d(P_X, 0)$ und $y_P := d(P_Y, 0)$. - - In \cref{fig:14.13.0.1} wurde die Situation skizziert. - - \begin{figure}[htp] - \centering - \subfloat[Schritt 1]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-1.tex}} - \label{fig:14.13.1} - }% - \subfloat[Schritt 2]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}} - \label{fig:14.13.2} - }% - \caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}} - \label{fig:14.13.0.1} - \end{figure} - - - Sei $h:X \rightarrow \mdr^2$ eine Abbildung mit - $h(P) := (x_P, y_P)$ - Dadurch wird $h$ auf dem Quadranten - definiert, in dem $P$ liegt, d.~h. - \[\forall Q \in X \text{ mit } \overline{PQ} \cap g_1 = \emptyset = \overline{PQ} \cap g_2\] - - Fortsetzung auf ganz $X$ durch konsistente Vorzeichenwahl. - - Im Folgenden werden zwei Aussagen gezeigt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item \label{bew:euklid-1} $h$ ist surjektiv - \item \label{bew:euklid-2} $h$ ist eine Isometrie - \end{enumerate} - - Da jede Isometrie injektiv ist, folgt aus \ref{bew:euklid-1} - und \ref{bew:euklid-2}, dass $h$ bijektiv ist. - - Nun zu den Beweisen der Teilaussagen: - - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item Sei $(x, y) \in \mdr^2$, z.~B. $x \geq 0, y \geq 0$. - Sei $P' \in g_1$ mit $d(0, P') = x$ und - $P'$ auf der gleichen Seite von $g_2$ wie $P$. - \item \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/coordinate-system-3.tex} - \caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}} - \label{fig:14.13.0.1} - \end{figure} - Zu Zeigen: $d(P, Q) = d(h(P), h(Q))$ - - $d(P, Q)^2 \overset{\text{Pythagoras}}{=} d(P, R)^2 + d(R, Q)^2 = (y_Q - y_P)^2 + (x_Q - x_P)^2$. - - $h(Q) = (x_Q, y_Q)$ - \end{enumerate} - \end{enumerate} -\end{beweis} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 23.01.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Hyperbolische Geometrie} -\begin{definition}\xindex{Gerade!hyperbolische}% - Sei - \[\mdh:= \Set{z \in \mdc | \Im(z) > 0} = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | y > 0}\] - die obere Halbebene bzw. Poincaré-Halbebene und $G = G_1 \cup G_2$ - mit - \begin{align*} - G_1 &= \Set{g_1 \subseteq \mdh | \exists m \in \mdr, r \in \mdr_{>0}: g_1 = \Set{z \in \mdh : |z-m|=r}}\\ - G_2 &= \Set{g_2 \subseteq \mdh | \exists x \in \mdr: g_2 = \Set{z \in \mdh: \Re(z) = x}} - \end{align*} - - Die Elemente aus $G$ heißen \textbf{hyperbolische Geraden}. -\end{definition} - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden] - Die hyperbolischen Geraden erfüllen\dots - \begin{bemenum} - \item \dots die Inzidenzaxiome \ref{axiom:1} - \item \dots das Anordnungsaxiom \ref{axiom:3.2} - \item \dots nicht das Parallelenaxiom \ref{axiom:5} - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*), ref=\theproposition (\alph*)] - \item Offensichtlich sind \ref{axiom:1.3} und \ref{axiom:1.2} - erfüllt. Für \ref{axiom:1.1} gilt:\\ - Gegeben $z_1, z_2 \in \mdh$\\ - \textbf{Existenz:} - \begin{enumerate} - \item[Fall 1] $\Re(z_1) = \Re(z_2)$\\ - $\Rightarrow z_1$ und $z_2$ liegen auf - \[g = \Set{z \in \mdc | \Re(z) = \Re(z_1) \land \mdh}\] - Siehe \cref{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-1}. - \item[Fall 2] $\Re(z_1) \neq \Re(z_2)$\\ - Betrachte nun $z_1$ und $z_2$ als Punkte in der - euklidischen Ebene. Die Mittelsenkrechte zu diesen - Punkten schneidet die $x$-Achse. Alle Punkte auf - der Mittelsenkrechten zu $z_1$ und $z_2$ sind gleich - weit von $z_1$ und $z_2$ entfernt. Daher ist - der Schnittpunkt mit der $x$-Achse der Mittelpunkt - eines Kreises durch $z_1$ und $z_2$ (vgl. \cref{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2}) - \end{enumerate} - - \begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[Fall 1]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-1.tex}} - \label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-1} - }% - \subfloat[Fall 2]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-2.tex}} - \label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2} - }% - \label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-0} - \caption{Zwei Punkte liegen in der hyperbolischen Geometrie immer auf genau einer Geraden} - \end{figure} - \item Sei $g \in G_1 \dcup G_2$ eine hyperbolische Gerade.\\ - - Es existieren disjunkte Zerlegungen von $\mdh \setminus g$: - - \underline{Fall 1:} $g = \Set{z \in \mdh | |z-m| = r} \in G_1$\\ - Dann gilt: - \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_1 \text{ (Kreisinneres)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| > r}}_{=:H_2 \text{ (Kreisäußeres)}}\] - Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer. - - \underline{Fall 2:} $g = \Set{z \in \mdh | \Re{z} = x} \in G_2$\\ - Die disjunkte Zerlegung ist: - \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\] - - \underline{Zu zeigen:} - $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit - $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: - $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\ - \enquote{$\Leftarrow$}: $A \in H_1, B \in H_2: \overline{AB} \cap g \neq \emptyset$ - - Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung - direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner - ist als $r$ und alle Punkte in $H_2$ haben einen Abstand von $m$ der - größer ist als $r$. Da man jede Strecke von $A$ nach $B$ insbesondere - auch als stetige Abbildung $f: \mdr \rightarrow \mdr_{>0}$ auffassen - kann, greift der Zwischenwertsatz $\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$ - - \enquote{$\Rightarrow$}: $A \in H_i, B \in H_j \text{ mit } i,j \in \Set{1,2}: \overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Rightarrow i \neq j$ - - Sei $h$ die Gerade, die durch $A$ und $B$ geht. - - Da $A,B \notin g$, aber $A, B \in h$ gilt, haben $g$ und $h$ - insbesondere - mindestens einen unterschiedlichen Punkt. Aus \ref{axiom:1.1} folgt, dass sich - $g$ und $h$ in höchstens einen Punkt schneiden. Sei $C$ dieser - Punkt. - - Aus $A,B \notin g$ folgt: $C \neq A$ und $C \neq B$. Also liegt - $C$ zwischen $A$ und $B$. Daraus folgt, dass $A$ und $B$ bzgl. - $g$ in verschiedenen Halbebenen liegen. - - \item Siehe \cref{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}. - \begin{figure}[hp] - \centering - \input{figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex} - \caption{Hyperbolische Geraden erfüllen \ref{axiom:5} nicht.} - \label{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5} - \end{figure} - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Möbiustransformation}% - Es seien $a,b,c,d \in \mdr$ mit $ad - bc \neq 0$ und - $\sigma: \mdc \rightarrow \mdc$ eine Abbildung definiert durch - \[\sigma(z) := \frac{az + b}{cz+d}\] - - $\sigma$ heißt \textbf{Möbiustransformation}. -\end{definition} - -\begin{proposition}%In Vorlesung: Proposition 15.2 - \begin{propenum} - \item Die Gruppe $\SL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdh$ durch die Möbiustransformation - \[\sigma(z):= \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \circ z := \frac{az + b}{cz + d}\] - \item Die Gruppe $\PSL_2(\mdr) = \SL_2(\mdr) /_{(\pm I)}$ operiert durch $\sigma$ auf $\mdh$. - \item \label{prop:15.2c} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdr \cup \Set{\infty}$. - Diese Gruppenoperation ist 3-fach transitiv, d.~h. zu - $x_0 < x_1 < x_\infty \in \mdr$ gibt es genau ein - $\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ mit $\sigma(x_0) = 0$, - $\sigma(x_1) = 1$, $\sigma(x_\infty) = \infty$. - \item \label{prop:15.2d} $\SL_2(\mdr)$ wird von den Matrizen - \[\underbrace{\begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}}_{=: A_{\lambda}}, - \underbrace{\begin{pmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix}}_{=: B_{t}} \text{ und } - \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}}_{=: C} \text{ mit } t, \lambda \in \mdr^\times\] - erzeugt. - \item \label{prop:15.2e} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$. - \end{propenum} -\end{proposition} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei $z = x + \iu y \in \mdh$, d.~h. $y>0$ und - $\sigma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \in \SL_2(\mdr)$ - \begin{align*} - \Rightarrow \sigma(z) &= \frac{a(x + \iu y) + b}{c(x + \iu y) +d}\\ - &= \frac{(ax + b) + \iu ay}{(cx + d) + \iu cy} \cdot \frac{(cx+d)-\iu cy}{(cx+d)-\iu cy}\\ - &= \frac{(ax+b)(cx+d) + aycy}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{ay(cx + d) - (ax+b)cy}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\ - &= \frac{axcx+axd+bcx+bd+aycy}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{(ad-bc)y}{(cx+d)^2 + (cy)^2}\\ - &\overset{\mathclap{\SL_2(\mdr)}}{=}\hspace{5 mm} \frac{ac(x^2+y^2)+adx+bcx+bd}{(cx+d)^2 + (cy)^2} + \iu \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} - \end{align*} - $\Rightarrow \Im(\sigma(z)) = \frac{y}{(cx+d)^2 + (cy)^2} > 0$ - - Die Abbildung bildet also nach $\mdh$ ab. Außerdem gilt: - \[\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \circ z = \frac{x+\iu y}{1} = x + \iu y = z\] - und - \begin{align*} - \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \circ \left ( \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \circ z \right )&= - \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \circ \frac{a'z + b'}{c'z + d'}\\ - &= \frac{a \frac{a'z + b'}{c'z + d'} + b}{c \frac{a'z + b'}{c'z + d'} + d}\\ - &= \frac{\frac{a(a'z+b') + b(c'z+d')}{c'z+d'}}{\frac{c(a'z+b')+d(c'z+d')}{c'z+d'}}\\ - &= \frac{a(a'z+b')+b(c'z+d')}{c(a'z+b') + d(c'z+d')}\\ - &= \frac{(aa'+bc')z + ab' + bd'}{(ca'+db')z + cb' + dd'}\\ - &= \begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+db'&cb'+dd'\end{pmatrix} \circ z\\ - &= \left ( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right ) \circ z - \end{align*} - \item Es gilt $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$ - und $z \in \mdh$. - \item Ansatz: $\sigma = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ - $\sigma(x_0) = \frac{ax_0 + b}{c x_0 + d} \overset{!}{=} 0$ - $\Rightarrow a x_0 + b = 0 \Rightarrow b = -a x_0$\\ - $\sigma(x_\infty) = \infty \Rightarrow c x_\infty + d = 0 \Rightarrow d = - c x_\infty$\\ - $\sigma(x_1) = 1 \Rightarrow a x_1 + b = c x_1 + d$\\ - $a (x_1 - x_0) = c (x_1 - x_\infty) \Rightarrow c = a \frac{x_1 - x_0}{x_1 - x_\infty}$\\ - $\Rightarrow - a^2 \cdot x_\infty \frac{x_1 - x_0}{x_1 - x_\infty} + a^2 x_0 \frac{x_1 - x_0}{x_1 - x_\infty} = 1$\\ - $\Rightarrow a^2 \frac{x_1 - x_0}{x_0 - x_\infty} (x_0 - x_\infty) = 1$ - $\Rightarrow a^2 = \frac{x_1 - x_\infty}{(x_1 - x_\infty) (x_1 - x_0)}$ - \item Es gilt: - \begin{align*} - A_{\lambda}^{-1} &= A_{\frac{1}{\lambda}}\\ - B_t^{-1} &= B_{-t}\\ - C^{-1} &= C^3 - \end{align*} - - Daher genügt es zu zeigen, dass man mit $A_{\lambda}$, $B_t$ und $C$ alle Matrizen - aus $\SL_2(\mdr)$ erzeugen kann, genügt es also von einer beliebigen - Matrix durch Multiplikation mit Matrizen der Form $A_{\lambda}$, - $B_t$ und $C$ die Einheitsmatrix zu generieren. - - Sei also - \[M = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \in \SL_2(\mathbb{R})\] - beliebig. - - \underline{Fall 1:} $a = 0$\\ - Da $M \in \SL_2(\mdr)$ ist, gilt $\det{M} = 1 = ad - bc = -bc$. - Daher ist insbesondere $c \neq 0$. Es folgt: - - \[\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d\\ -a & -b\end{pmatrix}\] - - Gehe zu Fall 2. - - \underline{Fall 2:} $a \neq 0$\\ - Nun wird in $M$ durch $M \cdot A_{\frac{1}{a}}$ an der Stelle von - $a$ eine $1$ erzeugt: - - \[\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0\\ 0 & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & ab\\ \frac{c}{a} & ad\end{pmatrix}\] - - Gehe zu Fall 3. - - \underline{Fall 3:} $a = 1$\\ - \[\begin{pmatrix} 1 & b\\ c & d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -b\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ c & d-bc\end{pmatrix}\] - Da wir $\det M = 1 = ad - bc = d - bc$ wissen, gilt sogar - $M_{2,2} = 1$. - - Gehe zu Fall 4. - - \underline{Fall 4:} $a = 1$, $b=0$, $d=1$\\ - \[A_{-1} C B_c C \begin{pmatrix}1 & 0 \\ c & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\] - Daher erzeugen Matrizen der Form $A_{\lambda}$, $B_t$ und $C$ - die Gruppe $\SL_2{\mdr}$. $\qed$ - \item Es genügt die Aussage für Matrizen aus \cref{prop:15.2d} - zu zeigen. - \begin{itemize} - \item $\sigma = \begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = \lambda^2 z$. - Daraus ergeben sich die Situationen, die in \cref{fig:prop15.2.e.fall1.1} und - \cref{fig:prop15.2.e.fall1.2} dargestellt sind. - \begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[Fall 1]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyberbolische-geometrie-1.tex}} - \label{fig:prop15.2.e.fall1.1} - }% - \subfloat[Fall 2 (Strahlensatz)]{ - \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyberbolische-geometrie-2.tex}} - \label{fig:prop15.2.e.fall1.2} - }% - \label{fig:prop15.2.e.fall1.0} - \caption{Beweis von \cref{prop:15.2e} für eine Diagonalmatrix} - \end{figure} - \item Offensichtlich gilt die Aussage für $\sigma = \begin{pmatrix}1 & a\\0 & 1\end{pmatrix}$ - \item Sei nun $\sigma = \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = - \frac{1}{z}$ - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/inversion-am-kreis.tex} - \caption{Inversion am Kreis} - \label{fig:inversion-am-kreis} - \end{figure} - \end{itemize} - \end{enumerate} -\end{beweis} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 28.01.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 15.3 - Zu hyperbolischen Geraden $g_1, g_2$ gibt es $\sigma \in \PSL_2(\mdr)$ - mit $\sigma(g_1) = g_2$. -\end{bemerkung} -\begin{beweis} - Nach \cref{prop:15.2c} gibt es $\sigma$ mit $\sigma(a_1) = b_1$ - und $\sigma(a_2) = b_2$. Dann existiert $\sigma(g_1) := g_2$ - wegen dem Inzidenzaxiom \ref{axiom:1} und ist eindeutig bestimmt. -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Doppelverhältnis}%In Vorlesung: Def+Prop 15.4 - Seien $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mdc$ paarweise verschieden. - - Dann heißt - \[\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) := \frac{\frac{z_1 - z_4}{z_1 - z_2}}{\frac{z_3 - z_4}{z_3 - z_2}} = \frac{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)}{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}\] - \textbf{Doppelverhältnis} von - $z_1, \dots, z_4$. -\end{definition} - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften des Doppelverhältnisses] - \begin{bemenum} - \item $\DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdc \setminus \Set{0,1}$ - \item \label{bem:15.4b.ii} $\DV(z_1, z_4, z_3, z_2) = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$ - \item \label{bem:69.c} $\DV(z_3, z_2, z_1, z_4) = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$ - \item $\DV$ ist auch wohldefiniert, wenn eines der $z_i = \infty$ - oder wenn zwei der $z_i$ gleich sind. - \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = z_4$ (Der Fall $z_4 \in \Set{0, 1, \infty}$ ist zugelassen). - \item \label{bem:15.4d} Für $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ und $z_1, \dots, z_4 \in \mdc \cup \Set{\infty}$ - ist - \[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \DV(z_1, z_2, z_3, z_4)\] - und für $\sigma(z) = \frac{1}{\overline{z}}$ gilt - \[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \overline{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}\] - \item \label{bem:15.4e} $\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty} \Leftrightarrow z_1, \dots, z_4$ - liegen auf einer hyperbolischen Geraden. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $\DV(z_1, \dots, z_4) \neq 0$, da $z_i$ paarweise verschieden\\ - $\DV(z_1, \dots, z_4) \neq 1$, da: - - \begin{adjustwidth}{2.5em}{0pt} - \underline{Annahme:} $\DV(z_1, \dots, z_4) = 1$ - \begin{align*} - \Leftrightarrow (z_1 - z_2) (z_3 - z_4) &= (z_1 - z_4) (z_3 - z_2)\\ - \Leftrightarrow z_1 z_3 - z_2 z_3 - z_1 z_4 + z_2 z_4 &= z_1 z_3 - z_3 z_4 - z_1 z_2 + z_2 z_4\\ - \Leftrightarrow z_2 z_3 + z_1 z_4 &= z_3 z_4 + z_1 z_2\\ - \Leftrightarrow z_2 z_3 - z_3 z_4 &= z_1 z_2 - z_1 z_4\\ - \Leftrightarrow z_3 (z_2 - z_4) &= z_1 (z_2 - z_4)\\ - \Leftrightarrow z_3 &= z_1 \text{ oder } z_2 = z_4 - \end{align*} - Alle $z_i$ sind paarweise verschieden $\Rightarrow$ Widerspruch $\qed$ - \end{adjustwidth} - \item $\DV(z_1, z_4, z_3, z_2) = \frac{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)} = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$ - \item $\DV(z_3, z_2, z_1, z_4) = \frac{(z_3 - z_4) \cdot (z_1 - z_2)}{(z_3 - z_2) \cdot (z_1 - z_4)} = \frac{1}{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}$ - \item Zwei der $z_i$ dürfen gleich sein, da: - \begin{itemize} - \item[Fall 1] $z_1 = z_4$ oder $z_3 = z_2$\\ - In diesem Fall ist $\DV(z_1, \dots, z_4) = 0$ - \item[Fall 2] $z_1 = z_2$ oder $z_3 = z_4$\\ - Mit der Regel von L'Hospital folgt, dass in diesem - Fall $\DV(z_1, \dots, z_4) = \infty$ gilt. - \item[Fall 3] $z_1 = z_3$ oder $z_2 = z_4$\\ - Durch Einsetzen ergibt sich $\DV(z_1, \dots, z_4)=1$. - \end{itemize} - - Im Fall, dass ein $z_i = \infty$ ist, ist - entweder $\DV(0, 1, \infty, z_4) = 0$ oder $\DV(0, 1, \infty, z_4) \pm \infty$ - \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = \frac{(0- z_4) \cdot (\infty - 1)}{(0 -1) \cdot (\infty - z_4)} = \frac{z_4 \cdot (\infty - 1)}{\infty - z_4} = z_4$ - \item Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de schicken.%TODO - \item Sei $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ mit $\sigma(z_1) = 0$, $\sigma(z_2) = 1$, - $\sigma(z_3) = \infty$. Ein solches $\sigma$ existiert, da man drei - Parameter von $\sigma$ wählen darf. - - $\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4d}}}{\Rightarrow}\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) = \DV(0, 1, \infty, \sigma(z_4))$\\ - $\Rightarrow\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty}$\\ - $\Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty}$ - - Behauptung folgt, weil $\sigma^{-1}(\mdr \cup \infty)$ ein Kreis oder - eine Gerade in $\mdc$ ist. - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Metrik!hyperbolische}% - Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische - Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die - \enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$. - - Dann sei $d_{\mdh}(z_1, z_2) := \frac{1}{2} | \ln \DV(a_1, z_1, a_2, z_2) |$ - und heiße \textbf{hyperbolische Metrik}. -\end{definition} - -\begin{behauptung} - Für $z_1, z_2 \in \mdh$ sei $g_{z_1, z_2}$ die eindeutige hyperbolische - Gerade durch $z_1$ und $z_2$ und $a_1, a_2$ die - \enquote{Schnittpunkte} von $g_{z_1, z_2}$ mit $\mdr \cup \Set{\infty}$. - - Dann gilt: - \[\frac{1}{2} | \ln \DV(a_1, z_1, a_2, z_2) | = \frac{1}{2} | \ln \DV(a_2, z_1, a_1, z_2) |\] -\end{behauptung} - -\begin{beweis} - Wegen \cref{bem:69.c} gilt: - \[\DV(a_1, z_1, a_2, z_2) = \frac{1}{\DV(a_2, z_1, a_1, z_2)}\] - Außerdem gilt: - \[\ln \frac{1}{x} = \ln x^{-1} = (-1) \cdot \ln x = - \ln x\] - Da der $\ln$ im Betrag steht, folgt direkt: - \[\frac{1}{2} | \ln \DV(a_1, z_1, a_2, z_2) | = \frac{1}{2} | \ln \DV(a_2, z_1, a_1, z_2)|\] - Es ist also egal in welcher Reihenfolge die \enquote{Schnittpunkte} mit - der $x$-Achse im Doppelverhältnis genutzt werden. $\qed$ -\end{beweis} - -\begin{behauptung} - Die hyperbolische Metrik ist eine Metrik auf $\mdh$. -\end{behauptung} - -\begin{beweis} - Wegen \cref{bem:15.4d} ist - \[d(z_1, z_2) := d(\sigma(z_1), \sigma(z_2)) \text{ mit } \sigma(a_1) = 0,\; \sigma(a_2) = \infty\] - d.~h. $\sigma(g_{z_1, z_2}) = \iu \mdr$ (imaginäre Achse). - - also gilt \obda $z_1 = \iu a$ und $z_2 = \iu b$ mit $a,b \in \mdr$ und $a < b$. - \begin{align*} - 2d(\iu a, \iu b)&= \mid \ln \DV(0, \iu a, \infty, \iu b) \mid \\ - &= \mid \ln \frac{(0 - \iu b) (\infty - \iu a)}{(0 - \iu a)(\infty - \iu b)} \mid \\ - &= \mid \ln \frac{b}{a} \mid\\ - &= \ln b - \ln a - \end{align*} - - Also: $d(z_1, z_2) \geq 0$, $d(z_1, z_2) = 0 \gdw z_1 = z_2$ - - \begin{align*} - 2 d(z_2, z_1) &= \mid \ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1) \mid\\ - &= \mid \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a) \mid\\ - &\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}}{=}\hspace{5mm} \mid \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a) \mid \\ - &= 2 d(z_1, z_2) - \end{align*} - - Liegen drei Punkte $z_1, z_2, z_3 \in \mdc$ auf einer hyperbolischen - Geraden, so gilt $d(z_1, z_3) = d(z_1, z_2) + d(z_2, z_3)$ - (wenn $z_2$ zwischen $z_1$ und $z_3$ liegt). - - Dreiecksungleichung: Beweis ist umständlich und wird hier nicht geführt. Es sei auf die Vorlesung \enquote{Hyperbolische Geometrie} - verwiesen. -\end{beweis} - -\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 15.6 - Die hyperbolische Ebene $\mdh$ mit der hyperbolischen Metrik $d$ - und den hyperbolischen Geraden bildet eine \enquote{nichteuklidische Geometrie}, - d.~h. die Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} sind erfüllt, - aber Axiom~\ref{axiom:5} ist verletzt. -\end{satz} - -% Die Ãœbungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein. -\input{Kapitel4-UB} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel5.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel5.tex deleted file mode 100644 index c807148..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel5.tex +++ /dev/null @@ -1,655 +0,0 @@ -%!TEX root = GeoTopo.tex -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 30.01.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\chapter{Krümmung} - -\begin{definition}\xindex{Kurve}% - Sei $f: [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine eine Funktion aus $C^\infty$. - Dann heißt $f$ \textbf{Kurve}. -\end{definition} - -\section{Krümmung von Kurven}\label{sec:Kurvenkrümmung} -\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1 - Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine Kurve. - - \begin{defenum} - \item Die Kurve $\gamma$ heißt - \textbf{durch Bogenlänge parametrisiert}\xindex{parametrisiert!durch Bogenlänge}, - wenn gilt: - \[\|\gamma'(t)\|_2 = 1 \;\;\; \forall t \in I\] - Dabei ist $\gamma'(t) = \left (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \dots, \gamma_n'(t) \right)$. - \item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t$ heißt - \textbf{Länge von $\gamma$}\xindex{Kurve!Länge einer}. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Kurven I]%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1 - Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine $C^\infty$-Funktion. - - \begin{bemenum} - \item Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist $l(\gamma) = b-a$. - \item \label{bem:16.1d} Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist - $\gamma'(t)$ orthogonal zu $\gamma''(t)$ für alle $t \in I$. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t = \int_a^b 1 \mathrm{d} t = b - a$. - \item Im Folgenden wird die Aussage nur für $\gamma: [a, b] \rightarrow \mdr^2$ bewiesen. - Allerdings funktioniert der Beweis im $\mdr^n$ analog. Es muss nur - die Ableitung angepasst werden. - \begin{align*} - 1 &= \|\gamma'(t)\| = \|\gamma'(t)\|^2 = \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\ - \Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\ - &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\gamma_1'(t)\gamma_1'(t) + \gamma_2'(t)\gamma_2'(t))\\ - &= 2 \cdot (\gamma_1''(t) \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_2''(t) \cdot \gamma_2'(t))\\ - &= 2 \cdot \langle \gamma''(t), \gamma'(t) \rangle - \end{align*} - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{definition}%In Vorlesung: Definition 16.2 - Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^2$ eine durch Bogenlänge - parametrisierte Kurve. - - \begin{defenum} - \item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor} - an $\gamma$ in $t$ wenn gilt: - \[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0 \text{, } \|n(t)\|=1 \text{ und } \det((\gamma'(t), n(t))) = +1\] - \item Seit $\kappa: I \rightarrow \mdr$ so, dass gilt: - \[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\] - Dann heißt $\kappa(t)$ \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung} - von $\gamma$ in $t$. - \end{defenum} -\end{definition} - -Da $n(t)$ und $\gamma''(t)$ nach \cref{bem:16.1d} linear - abhängig sind, existiert $\kappa(t)$. - -\begin{beispiel}%In Vorlesung: Beispiel 16.3 - Gegeben sei ein Kreis mit Radius $r$, d.~h. mit Umfang $2\pi r$. - Es gilt: - - \[\gamma(t) = \left (r \cdot \cos \frac{t}{r}, r \cdot \sin \frac{t}{r} \right ) \text{ für } t \in [0, 2\pi r]\] - ist parametrisiert durch Bogenlänge, da gilt: - - \begin{align*} - \gamma'(t) &= \left ((r \cdot \frac{1}{r}) (- \sin \frac{t}{r}), r \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r} \right )\\ - &= \left (- \sin \frac{t}{r}, \cos \frac{t}{r} \right ) - \end{align*} - - Der Normalenvektor von $\gamma$ in $t$ ist - \[n(t) = \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\] - da gilt: - - \begin{align*} - \langle n(t), \gamma'(t) \rangle &= - \left \langle - \begin{pmatrix}- \cos \frac{t}{r}\\ - \sin \frac{t}{r}\end{pmatrix}, - \begin{pmatrix}- \sin \frac{t}{r}\\ \cos \frac{t}{r}\end{pmatrix} - \right \rangle\\ - &= (- \cos \frac{t}{r}) \cdot (- \sin \frac{t}{r}) + (- \sin \frac{t}{r}) \cdot (\cos \frac{t}{r})\\ - &= 0\\ - \|n(t)\| &= \left \| (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r}) \right \|\\ - &=(- \cos \frac{t}{r})^2 + (- \sin \frac{t}{r})^2\\ - &= 1\\ - \det(\gamma_1'(t), n(t)) &= \left \| - \begin{pmatrix} - - \sin \frac{t}{r} & - \cos \frac{t}{r}\\ - \cos \frac{t}{r} & - \sin \frac{t}{r} - \end{pmatrix} - \right \|\\ - &= (- \sin \frac{t}{r})^2 - (- \cos \frac{t}{r}) \cdot \cos \frac{t}{r}\\ - &= 1 - \end{align*} - - Die Krümmung ist für jedes $t$ konstant $\frac{1}{r}$, da gilt: - \begin{align*} - \gamma''(t) &= \left (- \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r}, - \frac{1}{r} \sin \frac{t}{r} \right )\\ - &= \frac{1}{r} \cdot \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\\ - \Rightarrow \kappa(t) &= \frac{1}{r} - \end{align*} -\end{beispiel} - -\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.4 - Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^3$ eine durch Bogenlänge parametrisierte - Kurve. - - \begin{defenum} - \item Für $t \in I$ heißt $\kappa(t) := \|\gamma''(t)\|$ die - \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung} von $\gamma$ in $t$. - \item Ist für $t \in I$ die Ableitung $\gamma''(t) \neq 0$, - so heißt $\frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\|}$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor} - an $\gamma$ in $t$. - \item \label{def:16.4c} $b(t)$ sei ein Vektor, der $\gamma'(t), n(t)$ - zu einer orientierten Orthonormalbasis von $\mdr^3$ ergänzt. - Also gilt: - \[\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1\] - $b(t)$ heißt \textbf{Binormalenvektor}\xindex{Binormalenvektor}, - die Orthonormalbasis - \[\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}\] - heißt \textbf{begleitendes Dreibein}\xindex{Dreibein!begleitendes}. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Kurven II]%In Vorlesung: Def.+Bem 16.4 - Sei $\gamma: I \rightarrow \mdr^3$ durch Bogenlänge parametrisierte - Kurve. - - \begin{bemenum} - \item $n(t)$ ist orthogonal zu $\gamma'(t)$. - \item $b(t)$ aus \cref{def:16.4c} ist eindeutig. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\section{Tangentialebene}\index{Tangentialebene|(} -Erinnerung Sie sich an \cref{def:8.5} \enquote{reguläre Fläche}. - -Äquivalent dazu ist: $S$ ist lokal von der Form -\[V(f) = \Set{x \in \mdr^3 | f(x) = 0 }\] -für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$. - -\begin{definition}\label{def:Tangentialebene}%In Vorlesung: 17.1 - Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, - $F: U \rightarrow V \cap S$ eine lokale Parametrisierung um $s \in V$: - \[(u,v) \mapsto (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\] - Für $p=F^{-1}(s) \in U$ sei - \[ J_F(p) = \begin{pmatrix} - \frac{\partial x}{\partial u} (p) & \frac{\partial x}{\partial v} (p)\\ - \frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\ - \frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p) - \end{pmatrix}\] - und $D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$ die durch $J_F (p)$ - definierte lineare Abbildung. - - Dann heißt $T_s S := \Bild(D_p F)$ die \textbf{Tangentialebene}\xindex{Tangentialebene} - an $s \in S$. -\end{definition} - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften der Tangentialebene]% - \begin{bemenum} - \item $T_s S$ ist $2$-dimensionaler Untervektorraum von $\mdr^3$.%In Vorlesung: 17.2 - \item $T_s S = \langle \tilde{u}, \tilde{v} \rangle$, wobei $\tilde{u}, \tilde{v}$ - die Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix $J_F(p)$ sind. - \item $T_s S$ hängt nicht von der gewählten Parametrisierung ab.%In Vorlesung: 17.3 - \item Sei $S=V(f)$ eine reguläre Fläche in $\mdr^3$, also %In Vorlesung: Bemerkung 17.4 - $f:V \rightarrow \mdr$ eine $C^\infty$-Funktion, $V \subseteq \mdr^3$ - offen, $\grad(f)(x) \neq 0$ für alle $x \in S$. - - Dann ist $T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$ für jedes $s \in S$. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item \label{bew:tangentialebene.a} $J_F$ ist eine $3 \times 2$-Matrix, die mit einem $2 \times 1$-Vektor - multipliziert wird. Das ist eine lineare Abbildung und aus der - linearen Algebra ist bekannt, das das Bild ein Vektorraum ist. - Da $\rang(J_F) = 2$, ist auch $\dim (T_s S) = 2$. - \item Hier kann man wie in \cref{bew:tangentialebene.a} argumentieren - \item $T_s S = \{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } - \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S - \text{ für ein } \varepsilon > 0 - \text{ mit } \gamma(0) = s \text{ und } \gamma'(0) = x - \}$\\ - Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de - schicken.%TODO - \item Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$ - eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$, - sodass $\gamma'(0) = x$ gilt. Da $\gamma(t) \in S$ für alle - $t \in [-\varepsilon, \varepsilon]$, ist $f \circ \gamma = 0$\\ - $\Rightarrow 0 = (f \circ \gamma)'(0) = \langle \grad(f)(\gamma(0)), \gamma'(0) \rangle$\\ - $\Rightarrow T_s S \subseteq \grad (f)(s)^\perp$\\ - $\xRightarrow{\dim = 2} T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$ - \end{enumerate} -\end{beweis} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 04.02.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem 17.5 - \begin{defenum} - \item Ein \textbf{Normalenfeld}\xindex{Normalenfeld} auf der regulären - Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine Abbildung $n: S \rightarrow S^2 \subseteq \mdr^3$ - mit $n(s) \in T_s S^\perp$ für jedes $s \in S$. - \item $S$ heißt \textbf{orientierbar}\xindex{Fläche!orientierbare}, - wenn es ein stetiges Normalenfeld auf $S$ gibt. - \end{defenum} -\end{definition} - -Manchmal wird zwischen einem \textit{Normalenfeld} und einem -\textit{Einheitsnormalenfeld}\xindex{Einheitsnormalenfeld} unterschieden. -Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt. - -\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Normalenfeldern]%In Vorlesung: Def.+Bem 17.5 - \begin{bemenum} - \item Ein Normalenfeld auf $S$ ist genau dann stetig, wenn es - glatt ist (also $C^\infty$). - \item Zu jedem $s \in S$ gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ - von $s$ und eine lokale Parametrisierung $F: U \rightarrow V$ - von $S$ um $s$, sodass auf $F(U) = V \cap S$ - ein stetiges Normalenfeld existiert. - \item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen - differenzierbaren Atlas von $S$ aus lokalen Parametrisierungen - $F_i: U_i \rightarrow V_i,\;i \in I$ gibt, sodass - für alle $i, j \in F$ und alle $s \in V_i \cap V_j \cap S$ - gilt: - \[\det(\underbrace{D_s \overbrace{F_j \circ F_i^{-1}}^{V_i \rightarrow V_j}}_{\in \mdr^{3 \times 3}}) > 0\] - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - Wird hier nicht geführt.%TODO: Ãœbung? Ãœbungsblatt? -\end{beweis} - -\begin{beispiel}[Normalenfelder] - \begin{bspenum} - \item $S = S^2$, $n_1 = \id_{S^2}$ ist ein stetiges Normalenfeld.\\ - Auch $n_2 = - \id_{S^2}$ ist ein stetiges Normalenfeld. - \item $S = \text{Möbiusband}$ (vgl. \cref{fig:moebius-strip}) - ist nicht orientierbar. Es existiert ein Normalenfeld, - aber kein stetiges Normalenfeld. - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{figure}[htp]\xindex{Möbiusband} - \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf} - \caption{Möbiusband} - \label{fig:moebius-strip} -\end{figure} -\index{Tangentialebene|)} -\section{Gauß-Krümmung}\index{Gauß-Krümmung|(} -\begin{bemerkung}\label{bem:18.1}%In Vorlesung: Bemerkung 18.1 - Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor - in $s$, $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$. - - Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale - Untervektorraum von $\mdr^3$. - - Dann gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$, sodass - \[C := (s + E) \cap S \cap V\] - das Bild einer durch Bogenlänge parametrisierten Kurve - $\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow S$ enthält mit - $\gamma(0) = s$ und $\gamma'(0) = x$. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - \enquote{Satz über implizite Funktionen}\footnote{Siehe z.~B. - \url{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}} -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Definition 18.2 - In der Situation aus \cref{bem:18.1} heißt die Krümmung $\kappa_\gamma(0)$ - der Kurve $\gamma$ in der Ebene $(s+ E)$ im Punkt $s$ die - \textbf{Normalkrümmung} von $S$ in $s$ in Richtung - $x = \gamma'(0)$. - - Man schreibt: $\kappanor(s, x) := \kappa_\gamma(0)$ -\end{definition} - -\underline{Hinweis}: Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt. - -\begin{beispiel}[Gauß-Krümmung]%In Vorlesung: Beispiel 18.3 - \begin{bspenum} - \item $S = S^2 = V(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius~1, - $n = \id$, $s=(0,0,1)$, $x=(1,0,0)$\\ - $\Rightarrow E = \mdr \cdot x + \mdr \cdot n(s)$ ($x,z\text{-Ebene}$) - - $C = E \cap S$ ist Kreislinie\\ - $\kappanor(s, x) = \frac{1}{r} = 1$ - \item $S = V(X^2 + Z^2 - 1) \subseteq \mdr^3$ ist ein Zylinder (siehe \cref{fig:regular-zylinder}). - $s = (1,0,0)$\\ - $x_1 = (0,1,0) \Rightarrow E_1 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_2$ ($x,y\text{-Ebene}$)\\ - $S \cap E_1 = V(X^2 + Y^2 - 1) \cap E$, Kreislinie in $E$\\ - $\Rightarrow \kappanor(s, x_1) = \pm 1$\\ - $x_2 = (0, 0, 1), E_2 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_3$ ($x,z\text{-Ebene}$)\\ - $V \cap E_2 \cap S = \Set{(1, 0, z) \in \mdr^3 | z \in \mdr}$ ist eine Gerade\\ - $\Rightarrow \kappanor(s, x_2) = 0$ - \item $S = V(X^2 - Y^2 - Z)$, $s = (0,0,0)$ (Hyperbolisches Paraboloid\xindex{Paraboloid!hyperbolisches}, siehe \cref{fig:hyperbolic-paraboloid})\\ - $x_1 = (1,0,0)$, $n(s) = (0,0,1)$\\ - $x_2 = (0, 1, 0)$\\ - $\kappanor(s, x_1) = \hphantom{-}2$\\ - $\kappanor(s, x_2) = -2$ - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[$S = V(X^2 + Z^2 - 1)$]{ - \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/cylinder.tex}} - \label{fig:regular-zylinder} - }% - \subfloat[$S = V(X^2 - Y^2 - Z)$]{ - \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolic-paraboloid.tex}} - \label{fig:hyperbolic-paraboloid} - }% - \label{fig:regular-surfaces} - \caption{Beispiele für reguläre Flächen} -\end{figure} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 06.02.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{definition}\label{def:18.4}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Def. 18.4 - Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$ und $n$ ein - stetiges Normalenfeld auf $S$. - - $\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow S$ eine nach - Bogenlänge parametrisierte Kurve ($\varepsilon > 0$) mit - $\gamma(0) = s$ und $\gamma''(0) \neq 0$. - - Sei $n(0) := \frac{\gamma''(0)}{\|\gamma''(0)\|}$. Zerlege - \[n(0) = n(0)^t + n(0)^\perp \text{ mit } n(0)^t \in T_s S \text{ und } n(0)^\perp \in (T_s S)^\perp\] - - Dann ist $n(0)^\perp = \langle n(0), n(s) \rangle \cdot n(s)$\\ - $\kappanor(s, \gamma) := \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$ - die \textbf{Normalkrümmung}. -\end{definition} - -\begin{bemerkung} - Sei $\overline{\gamma}(t) = \gamma(-t)$, $t \in [- \varepsilon, \varepsilon]$. - Dann ist $\kappanor(s, \overline{\gamma}) = \kappanor(s, \gamma)$. -\end{bemerkung} - -\begin{beweis} - $\overline{\gamma}''(0) = \gamma''(0)$, da $\overline{\gamma}'(0) = - \gamma'(0)$. - - Es gilt: $\kappanor(s,\gamma)$ hängt nur von $|\gamma'(0)|$ ab - und ist gleich $\kappanor(s, \gamma'(0))$. -\end{beweis} - -\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 - Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an - $S$ in $s$. - - Sei $T_{s}^{1} S = \Set{x \in T_s S | \|x\| = 1} \cong S^1$. - Dann ist - \[ \kappanor^n(s): T^1_s S \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto \kappanor(s,x)\] - eine glatte Funktion und - $\Bild \kappanor^n(s)$ ist ein abgeschlossenes Intervall. -\end{bemerkung} - -\begin{definition}\xindex{Hauptkrümmung}\xindex{Gauß-Krümmung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 - Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an - $S$ in $s$. - - \begin{defenum} - \item $\begin{aligned}[t] - \kappa^n_1(s) :&= \min \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S} \text{ und }\\ - \kappa^n_2(s) :&= \max \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S} - \end{aligned}$ - heißen \textbf{Hauptkrümmungen} von $S$ in $s$. - \item $K(s) := \kappa_1^n(s) \cdot \kappa_2^n(s)$ heißt - \textbf{Gauß-Krümmung} von $S$ in $s$. - \end{defenum} -\end{definition} - -\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6 - Ersetzt man $n$ durch $-n$, so gilt: - - \begin{align*} - \kappanor^{-n}(s, x) &= - \kappanor^n(x)\; \forall x \in T_s^1 S\\ - \Rightarrow \kappa_1^{-n}(s) &= - \kappa_2^n(s)\\ - \kappa_2^{-n}(s) &= - \kappa_1^n (s)\\ - \text{ und } K^{-n}(s) &= K^n(s) =: K(s) - \end{align*} -\end{bemerkung} - -\begin{beispiel} - \begin{bspenum} - \item $S = S^2$. Dann ist $\kappa_1(s) = \kappa_2(s) = \pm 1\;\forall s \in S^2$\\ - $\Rightarrow K(s) = 1$ - \item Zylinder:\\ - $\kappa_1(s) = 0, \kappa_2(s) = 1 \Rightarrow K(s) = 0$ - \item Sattelpunkt auf hyperbolischem Paraboloid:\\ - $\kappa_1(s) < 0, \kappa_2(s) = 0 \rightarrow K(s) < 0$ - \item $S = \text{Torus}$. Siehe \cref{fig:torus-gauss-kruemmung}\\ - \begin{figure}[htp]\xindex{Torus} - \centering - \includegraphics[width=0.95\linewidth, keepaspectratio]{figures/torus-gauss-kruemmung.pdf} - \caption{$K(s_1) > 0$, $K(s_2) = 0$, $K(s_3) < 0$} - \label{fig:torus-gauss-kruemmung} - \end{figure} - \end{bspenum} -\end{beispiel} - -\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem. 18.7 - Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$ ein Punkt. - \begin{bemenum} - \item Ist $K(s) > 0$, so liegt $S$ in einer Umgebung von $s$ - ganz auf einer Seite von $T_s S + s$. - \item Ist $K(s) < 0$, so schneidet jede Umgebung von $s$ in $S$ - beide Seiten von $T_s S + s$. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} -\index{Gauß-Krümmung|)} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 11.02.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19 -Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $T_s S$ die Tangentialebene -an $S$ in $s$ und $F: U \rightarrow V$ eine lokale Parametrisierung von $S$ um -$s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$. - -\begin{definition}\xindex{Fundamentalform!erste}%In Vorlesung: Bem.+Def. 19.1 - Sei $I_S \in \mdr^{2 \times 2}$ definiert als - \begin{align*} - I_S :&= \begin{pmatrix} - g_{1,1}(s) & g_{1,2}(s)\\ - g_{1,2}(s) & g_{2,2}(s) - \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} - E(s) & F(s) \\ - F(s) & G(s) - \end{pmatrix}\\ -\text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_p F(e_i), D_p F(e_j))\\ - &= \langle \frac{\partial F}{\partial u_i} (p), \frac{\partial F}{\partial u_j} (p) \rangle \;\;\; i,j \in \Set{1,2} - \end{align*} - Die Matrix $I_S$ heißt \textbf{erste Fundamentalform} - von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$. -\end{definition} - -\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 19.1 - \begin{bemenum} - \item \label{bem:19.1a} Die Einschränkung des Standardskalarproduktes des $\mdr^3$ auf - $T_s S$ macht $T_s S$ zu einem euklidischen Vektorraum. - \item $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ ist eine Basis von $T_s S$. - \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das - Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix - $I_S$. - \item $g_{i,j}(s)$ ist eine differenzierbare Funktion von $s$. - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{bemerkung} - \[\det(I_S) = \left \| \frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) \right \|^2\] -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - Sei $\frac{\partial F}{\partial u_1}(p) = \begin{pmatrix} - x_1\\ x_2 \\ x_3 - \end{pmatrix}, \;\;\; \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) = \begin{pmatrix} - y_1\\ y_2 \\ y3 - \end{pmatrix}$ - - Dann ist $\frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) = \begin{pmatrix} - z_1 \\ z_2 \\ z_3 - \end{pmatrix}$ mit - \begin{align*} - z_1 &= x_2 y_3 - x_3 y_2\\ - z_2 &= x_3 y_1 - x_1 y_3\\ - z_3 &= x_1 y_2 - x_2 y_1\\ - \Rightarrow \|\frac{\partial F}{\partial u_1} (p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2} (p)\| &= z_1^2 + z_2^2 + z_3^2\\ - \end{align*} - \begin{align*} - \det(I_S) &= g_{1,1} g_{2,2} - g_{1,2}^2\\ - &= \left \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \right \rangle \left \langle \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \right \rangle - \left \langle \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \right \rangle^2\\ - &= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) (y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) - (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2 - \end{align*} -\end{beweis} - -\begin{definition}\xindex{Flächenelement}%In Vorlesung: Def.+Bem. 19.3 / Erinnerung - \begin{defenum} - \item Das Differential $\mathrm{d} A = \sqrt{\det (I)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2$ - heißt \textbf{Flächenelement} von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$. - \item \label{def:berechenbares-integral}Für eine Funktion $f: V \rightarrow \mdr$ heißt - \[\int_V f \mathrm{d} A := \int_U f(\underbrace{F(u_1, u_2)}_{=: s}) \sqrt{\det I(s)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\] - der \textbf{Wert des Integrals} von $f$ über $V$, falls das Integral rechts - existiert. - \end{defenum} - -\end{definition} - -\begin{bemerkung} - \begin{bemenum} - \item $\int_V f \mathrm{d} A$ ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung. - \item Sei $f: S \rightarrow \mdr$ eine Funktion, die im Sinne von - \cref{def:berechenbares-integral} lokal integrierbar ist. - - Dann ist $\int_S f \mathrm{d} A$ wohldefiniert, falls (z.~B.) $S$ - kompakt ist. - - Etwa: - \begin{align*} - \int_S f \mathrm{d} A &= \sum_{i=1}^n \int_{\mathrlap{V_i}} f \mathrm{d} A \\ - &- \sum_{i \neq j} \int_{\mathrlap{V_i \cap V_j}} f \mathrm{d} A \\ - &+ \sum_{i,j,k} \int_{\mathrlap{V_i \cap V_j \cap V_k}} f \mathrm{d} A\\ - &- \dots - \end{align*} - \end{bemenum} -\end{bemerkung} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Mit Transformationsformel.%TODO - \item Ist dem Leser überlassen.%TODO - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{proposition}\xindex{Weingarten-Abbildung}\label{prop:5.1}% - Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche mit glatten - Normalenfeld $n: S \rightarrow S^2$. Dann gilt: - - \begin{propenum} - \item \label{prop:5.1a} $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_s n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$ - durch - \[d_s n(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} n (\underbrace{s \text{\enquote{+}} tx}_{\mathclap{\text{Soll auf Fläche $S$ bleiben}}}) \Bigr |_{t=0}\] - Die Abbildung $d_s n$ heißt \textbf{Weingarten-Abbildung} - \item $T_{n(s)} S^2 = T_s S$. - \item $d_s n$ ist ein Endomorphismus von $T_s S$. - \item $d_s n$ ist selbstadjungiert bzgl. des Skalarproduktes $I_S$. - \end{propenum} -\end{proposition} - -\underline{Hinweis:} Die Weingarten-Abbildung wird auch \textit{Formoperator}\index{Formoperator|see{Weingarten-Abbildung}} genannt. -\clearpage -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de - schicken. - \item $T_{n(S)} S^2 = \langle n(s) \rangle^\perp = T_s S$ - \item Wegen \cref{prop:5.1a} ist $d_s n$ ein Homomorphismus.%\\ - %TODO: Warum sollte das ein Endomorphismus sein? - \item Zu zeigen: $\forall x,y \in I_s S: \langle x, d_s n (y) \rangle = \langle d_s n(x), y \rangle$ - - Aufgrund der Bilinearität des Skalarproduktes genügt es diese Eigenschaft - für die Basisvektoren zu zeigen. - - Sei $x_i = D_p F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$ - - \underline{Beh.:} - $\langle x_i, d_s n(x_j) \rangle = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle$ - - $\Rightarrow \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle = \langle x_j, d_s n (x_i) \rangle$ - - \underline{Bew.:} $ - \begin{aligned}[t] - 0 &= \hphantom{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\right.} \langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle\\ -\Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle \right) \Bigr |_{t=0}\\ - &= \langle \underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial F}{\partial u_i} (p + t e_j)}_{\frac{\partial^2 F}{\partial u_j \partial u_i} (p)} \Bigr |_{t=0}, n(s) \rangle + \langle x_i, d_s n \underbrace{D_p F (e_j)}_{x_j}\rangle - \end{aligned}$ - \end{enumerate} -\end{beweis} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mitschrieb vom 13.02.2014 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{definition}\xindex{Fundamentalform!zweite}%In Vorlesung: Def. + Bem. 19.5 a) - Die durch $-d_s n$ definierte symmetrische Bilinearform auf $T_s S$ heißt - \textbf{zweite Fundamentalform} von $S$ in $s$ bzgl. $F$. - - Man schreibt: $II_s(x,y) = \langle - d_s n(x), y \rangle = I_s (-d_s n(x), y)$ -\end{definition} - -\begin{bemerkung}%%In Vorlesung: Def. + Bem. 19.5 b) - Bezüglich der Basis $\Set{x_1, x_2}$ von $T_s S$ hat $II_s$ die Darstellungsmatrix - \[(h^{(s)}_{i,j})_{i,j=1,2} \text{ mit } h_{i,j}(s) = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), n(s) \rangle \] -\end{bemerkung} - -\begin{proposition}\label{prop:19.6}%In Vorlesung: Proposition 19.6 - Sei $\gamma:[- \varepsilon, \varepsilon] \rightarrow S$ eine nach Bogenlänge - parametrisierte Kurve mit $\gamma(0) = s$. Dann gilt: - \[\kappanor(s, \gamma) = II_s(\gamma'(0), \gamma'(0))\] -\end{proposition} - -\begin{beweis} - Nach \cref{def:18.4} ist $\kappanor(s, \gamma) = \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$. - Nach Voraussetzung gilt - \[n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0\] - Die Ableitung nach $t$ ergibt - \begin{align*} - 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\langle n (\gamma(t)), \gamma'(t))\\ - &= \left \langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(\gamma(t)) \Bigr |_{t=0}, \gamma'(0) \right \rangle + \langle n(s), \gamma''(0) \rangle\\ - &= \langle d_s n (\gamma'(0)), \gamma'(0) \rangle + \kappanor(s,\gamma)\\ - &= - II_s(\gamma'(0), \gamma'(0)) + \kappanor(s, \gamma) - \end{align*} -\end{beweis} - -\begin{folgerung}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Folgerung 19.7 - Die beiden Definitionen von Normalkrümmung in \cref{sec:Kurvenkrümmung} stimmen - überein: - \[\kappanor(s, \gamma) = \kappanor(s, \gamma'(0))\] -\end{folgerung} - -\begin{satz}%In Vorlesung: Satz 19.8 - Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche und $s \in S$. - \begin{satzenum} - \item Die Hauptkrümmungen $\kappa_1(s), \kappa_2(s)$ sind die Eigenwerte - von $II_s$. - \item Für die Gauß-Krümmung gilt: $K(s) = \det(II_s)$ - \end{satzenum} -\end{satz} - -\begin{beweis}\leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $II_s$ ist symmetrisch, $I_s S$ hat also eine Orthonormalbasis aus - Eigenvektoren $y_1, y_2$ von $II_s$. Ist $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$, - so gibt es $\varphi \in [0,2\pi)$ mit $x = \cos \varphi \cdot y_1 + \sin \varphi \cdot y_2$. - - Seien $\lambda_1, \lambda_2$ die Eigenwerte von $II_s$, also - $II_s(y_i, y_i) = \lambda_i$. Dann gilt: - \begin{align*} - II_s (x,x) &= \cos^2 \varphi \lambda_1 + \sin^2 \varphi \lambda_2\\ - &= (1- \sin^2 \varphi) \lambda_1 + \sin^2 \varphi \lambda_2\\ - &= \lambda_1 + \sin^2 \varphi (\lambda_2 - \lambda_1) \geq \lambda_1\\ - &= \cos^2 \varphi + (1 - \cos^2 \varphi) \lambda_2\\ - &= \lambda_2 - \cos^2 \varphi (\lambda_2 - \lambda_1) \leq \lambda_2\\ - \xRightarrow{\crefabbr{prop:19.6}} \lambda_1 &= \min \Set{\kappanor (s,x) | x \in T^1_s S}\\ - \lambda_2 &= \max \Set{\kappanor (s,x) | x \in T^1_s S} - \end{align*} - \end{enumerate} -\end{beweis} - -\begin{satz}[Satz von Gauß-Bonnet]\xindex{Satz von!Gauß-Bonnet}% - Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine kompakte orientierbare reguläre Fläche. Dann gilt: - \[\int_S K(s) \mathrm{d}A = 2 \pi \chi(S)\] - Dabei ist $\chi(S)$ die Euler-Charakteristik von $S$. -\end{satz} - -\begin{beweis} - Der Beweis wird hier nicht geführt. Er kann in \enquote{Elementare Differentialgeometrie} - von Christian Bär (2. Auflage), ISBN 978-3-11-022458-0, ab Seite 281 nachgelesen werden. -\end{beweis} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/Loesungen.tex b/documents/GeoTopo/Loesungen.tex deleted file mode 100644 index 8240df5..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Loesungen.tex +++ /dev/null @@ -1,355 +0,0 @@ -%!TEX root = GeoTopo.tex -\chapter*{Lösungen der Ãœbungsaufgaben\markboth{Lösungen der Ãœbungsaufgaben}{Lösungen der Ãœbungsaufgaben}} -\addcontentsline{toc}{chapter}{Lösungen der Ãœbungsaufgaben} -\begin{solution}[\ref{ub1:aufg1}] - \textbf{Teilaufgabe a)} Es gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item $\emptyset, X \in \fT_X$. - \item $\fT_X$ ist offensichtlich unter Durchschnitten abgeschlossen, - d.~h. es gilt für alle $U_1, U_2 \in \fT_X: U_1 \cap U_2 \in \fT_X$. - \item Auch unter beliebigen Vereinigungen ist $\fT_X$ abgeschlossen, - d.~h. es gilt für eine beliebige Indexmenge $I$ und alle - $U_i \in \fT_X$ für alle $i \in I: \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT_X$ - \end{enumerate} - - Also ist $(X, \fT_X)$ ein topologischer Raum. - - \textbf{Teilaufgabe b)} Wähle $x=1, y=0$. Dann gilt $x \neq y$ - und die einzige Umgebung von $x$ ist $X$. Da $y=0 \in X$ können - also $x$ und $y$ nicht durch offene Mengen getrennt werden. - $(X, \fT_X)$ ist also nicht hausdorffsch. - - \textbf{Teilaufgabe c)} Nach Bemerkung \ref{Trennungseigenschaft} - sind metrische Räume hausdorffsch. Da $(X, \fT_X)$ nach (b) nicht - hausdorffsch ist, liefert die Kontraposition der Trennungseigenschaft, - dass $(X, \fT_X)$ kein metrischer Raum sein kann. -\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub1:aufg4}] - \textbf{Teilaufgabe a)} - - \textbf{Beh.:} $\forall a \in \mdz: \Set{a}$ ist abgeschlossen. - - Sei $a \in \mdz$ beliebig. Dann gilt: - - Wenn jemand diese Aufgabe gemacht hat, bitte die Lösung an info@martin-thoma.de - schicken.%TODO - - \textbf{Teilaufgabe b)} - - \textbf{Beh.:} $\Set{-1, 1}$ ist nicht offen - - \textbf{Bew.:} durch Widerspruch - - Annahme: $\Set{-1, 1}$ ist offen. - - Dann gibt es $T \subseteq \fB$, sodass $\bigcup_{M \in T} M = \Set{-1, 1}$. - Aber alle $U \in \fB$ haben unendlich viele Elemente. Auch endlich - viele Schnitte von Elementen in $\fB$ haben unendlich viele - Elemente $\Rightarrow$ keine endliche nicht-leere Menge kann - in dieser Topologie offen sein $\Rightarrow \Set{-1,1}$ ist - nicht offen. $\qed$ - - \textbf{Teilaufgabe c)} - - \textbf{Beh.:} Es gibt unendlich viele Primzahlen. - - \textbf{Bew.:} durch Widerspruch - - Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen $p \in \mdp$ - - Dann ist - \[\mdz \setminus \Set{-1, +1} \overset{\text{FS d. Arithmetik}}= \bigcup_{p \in \mdp} U_{0,p}\] - endlich. Das ist ein Widerspruch zu $|\mdz|$ ist unendlich und - $|\Set{-1,1}|$ ist endlich. $\qed$ -\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub2:aufg4}] - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item \textbf{Beh.:} Die offenen Mengen von $P$ sind - Vereinigungen von Mengen der Form - \[\prod_{j \in J} U_j \times \prod_{i \in \mdn, i \neq j} P_i\] - wobei $J \subseteq \mdn$ endlich und $U_j \subseteq P_j$ - offen ist. - \begin{beweis} - Nach Definition der Produkttopologie bilden Mengen - der Form - \[\prod_{i \in J} U_j \times \prod_{i \in \mdn \setminus J} P_i\] - wobei $J \subseteq \mdn$ endlich und $U_j \subseteq P_j$ offen - $\forall{j \in J}$ - eine Basis der Topologie. - - Damit sind die offenen - Mengen von $P$ Vereinigungen von Mengen der obigen - Form. $\qed$ - \end{beweis} - \item \textbf{Beh.:} Die Zusammenhangskomponenten von $P$ - sind alle einpunktig.\xindex{Total Unzusammenhängend} - \begin{beweis} - Es seinen $x,y \in P$ und $x$ sowie $y$ liegen in der - gleichen Zusammenhangskomponente $Z \subseteq P$. - Da $Z$ zusammenhängend ist und $\forall{i \in I}: p_i : P \rightarrow P_i$ - ist stetig, ist $p_i(Z) \subseteq P_i$ zusammenhängend - für alle $i \in \mdn$. Die zusammenhängenden Mengen - von $P_i$ sind genau $\Set{0}$ und $\Set{1}$, d.~h. - für alle $i \in \mdn$ gilt entweder $p_i(Z) \subseteq \Set{0}$ - oder $p_i(Z) \subseteq \Set{1}$. Es sei $z_i \in \Set{0,1}$ - so, dass $p_i(Z) \subseteq \Set{z_i}$ für alle $i \in \mdn$. - Dann gilt also: - \[\underbrace{p_i(x)}_{= x_i} = z_i = \underbrace{p_i(y)}_{= y_i} \forall i \in \mdn\] - Somit folgt: $x = y \qed$ - - \end{beweis} - \end{enumerate} -\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub3:aufg1}] - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item \textbf{Beh.:} $\GL_n(\mdr)$ ist nicht kompakt.\\ - \textbf{Bew.:} $\det: \GL_n(\mdr) \rightarrow \mdr \setminus \Set{0}$ - ist stetig. Außerdem ist - $\det(\GL_n(\mdr)) = \mdr \setminus \Set{0}$ nicht - kompakt. $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$ - $\GL_n(\mdr)$ ist nicht kompakt. $\qed$ - \item \textbf{Beh.:} $\SL_1(\mdr)$ ist nicht kompakt, für $n > 1$ ist $\SL_n(\mdr)$ kompakt.\\ - \textbf{Bew.:} Für $\SL_1(\mdr)$ gilt: - $\SL_1(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{1 \times 1} | \det A = 1} = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix} \cong \Set{1}$. - $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow} \SL_1(\mdr)$ ist - kompakt.\\ - - $\SL_n(\mdr) \subseteq \GL_n(\mdr)$ lässt sich mit einer - Teilmenge des $\mdr^{n^2}$ identifizieren. Nach \cref{satz:heine-borel} - sind diese genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und - abgeschlossen sind. Definiere nun für für $n \in \mdn_{\geq 2}, m \in \mdn$: - \[A_m = \text{diag}_n(m, \frac{1}{m}, \dots, 1)\] - Dann gilt: $\det A_m = 1$, d.~h. $A_m \in \SL_n(\mdr)$, - und $A_m$ ist unbeschränkt, da $\|A_m\|_\infty =m \xrightarrow[m \rightarrow \infty]{} \infty$.$\qed$ - \item \textbf{Beh.:} $\praum(\mdr)$ ist kompakt.\\ - \textbf{Bew.:} $\praum(\mdr) \cong S^n/_{x \sim -x}$. - Per Definition der Quotiententopologie ist die Klassenabbildung stetig. - Da $S^n$ als abgeschlossene und beschränkte Teilmenge - des $\mdr^{n+1}$ kompakt ist $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$ - $\praum(\mdr)$ ist kompakt. $\qed$ - \end{enumerate} -\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub3:meinsExtra}] - Die Definition von Homöomorphismus kann auf \cpageref{def:homoeomorphismus} - nachgelesen werden. - - \begin{definition}\xindex{Homomorphismus}% - Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und - $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung. - - $\varphi$ heißt \textbf{Homomorphismus}, wenn - \[\forall g_1, g_2 \in G: \varphi(g_1 * g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)\] - gilt. - \end{definition} - - Es folgt direkt: - \begin{bspenum} - \item Sei $X = \mdr$ mit der Standarttopologie und $\varphi_1: \id_\mdr$ und $\mdr = (\mdr,+)$. Dann ist $\varphi_1$ ein Gruppenhomomorphismus und ein Homöomorphismus. - \item Sei $G = (\mdz, +)$ und $H = (\mdz / 3 \mdz, +)$. Dann ist $\varphi_2 : G \rightarrow H, x \mapsto x \mod 3$ ein Gruppenhomomorphismus. - Jedoch ist $\varphi_2$ nicht injektiv, also sicher kein Homöomorphismus. - \item Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann ist $\id_X$ ein Homöomorphismus. Da keine Verknüpfung auf $X$ definiert wurde, ist $X$ keine Gruppe und daher auch kein Gruppenhomomorphismus. - \end{bspenum} - - Also: Obwohl die Begriffe ähnlich klingen, werden sie in ganz unterschiedlichen - Kontexten verwendet. -\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub3:meinsExtra2}] - Die Definition einer Isotopie kann auf \cpageref{def:Isotopie} nachgelesen - werden, die einer Isometrie auf \cpageref{def:Isometrie}. - - \begin{definition}\xindex{Isomorphismus}% - Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und - $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung. - - $\varphi$ heißt \textbf{Isomorphismus}, wenn $\varphi$ ein bijektiver - Homomorphismus ist. - \end{definition} - - Eine Isotopie ist also für Knoten definiert, Isometrien machen nur in - metrischen Räumen Sinn und ein Isomorphismus benötigt eine Gruppenstruktur. -\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub4:aufg1}] - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item \textbf{Vor.:} Sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit.\\ - \textbf{Beh.:} $M$ ist wegzusammehängend $\gdw M$ ist zusammenhängend - \begin{beweis} - \enquote{$\Rightarrow$}: Da $M$ insbesondere ein - topologischer Raum ist folgt diese Richtung direkt - aus \cref{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}. - - \enquote{$\Leftarrow$}: Seien $x,y \in M$ und - \[Z := \Set{z \in M | \exists \text{Weg von } x \text{ nach } z}\] - Es gilt: - \begin{enumerate}[label=(\roman*)] - \item $Z \neq \emptyset$, da $M$ lokal wegzusammenhängend ist - \item $Z$ ist offen, da $M$ lokal wegzusammenhängend ist - \item $Z^C := \Set{\tilde{z} \in M | \nexists \text{Weg von } x \text{ nach } \tilde{z}}$ ist offen - - Da $M$ eine Mannigfaltigkeit ist, existiert zu jedem - $\tilde{z} \in Z^C$ eine offene und wegzusammenhängende Umgebung - $U_{\tilde{z}} \subseteq M$. - - Es gilt sogar $U_{\tilde{z}} \subseteq Z^C$, denn - gäbe es ein $U_{\tilde{z}} \ni \overline{z} \in Z$, - so gäbe es Wege $\gamma_2:[0,1] \rightarrow M, \gamma_2(0) = \overline{z}, \gamma_2(1) = x$ - und $\gamma_1:[0,1] \rightarrow M, \gamma_1(0) = \tilde{z}, \gamma_1(1) = \overline{z}$. - Dann wäre aber - \begin{align*} - \gamma:[0,1] &\rightarrow M,\\ - \gamma(x) &= \begin{cases} - \gamma_1(2x) &\text{falls } 0 \leq x \leq \frac{1}{2}\\ - \gamma_2(2x-1) &\text{falls } \frac{1}{2} < x \leq 1 - \end{cases} - \end{align*} - ein stetiger Weg von $\tilde{z}$ nach $x$ - $\Rightarrow$ Widerspruch. - - Da $M$ zusammenhängend ist und $M = \underbrace{Z}_{\mathclap{\text{offen}}} \cup \underbrace{Z^C}_{\mathclap{\text{offen}}}$, - sowie $Z \neq \emptyset$ folgt $Z^C = \emptyset$. - Also ist $M=Z$ wegzusammenhängend.$\qed$ - \end{enumerate} - \end{beweis} - \item \textbf{Beh.:} $X$ ist wegzusammenhängend.\\ - \begin{beweis} - $X:= (\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1, 0_2}$ - und $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_2}$ sind - homöomorph zu $\mdr$. Also sind die einzigen kritischen - Punkte, die man nicht verbinden können könnte - $0_1$ und $0_2$. - - Da $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1}$ homöomorph - zu $\mdr$ ist, exisitert ein Weg $\gamma_1$ von $0_1$ - zu einem beliebigen Punkt $a \in \mdr \setminus \Set{0}$. - - Da $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_2}$ ebenfalls - homöomorph zu $\mdr$ ist, existiert außerdem ein Weg - $\gamma_2$ von $a$ nach $0_2$. Damit existiert ein - (nicht einfacher) - Weg $\gamma$ von $0_1$ nach $0_2$. $\qed$ - \end{beweis} - \end{enumerate} -\end{solution} - -%Das scheint mir etwas zu lang zu sein... -%\begin{solution}[\ref{ub7:aufg1}] -% \textbf{Beh.:} $H_k = \begin{cases}\mdr &\text{für } k\in \Set{0,1}\\ -% 0 &\text{für } k \geq 2$ -% \newcommand{\triangleSimplizialkomplex}{\mathord{\includegraphics[height=5ex]{figures/triangleSimplizialkomplex.pdf}}} -% \textbf{Bew.:} $S^1$ ist homöomorph zum Simplizialkomplex -% $X = \triangleSimplizialkomplex$, d.~h. dem Rand -% von $\Delta^2$. Es gilt: -% \[X = \Set{\underbrace{v_0, v_1, v_2}_{A_0(X)}, \underbrace{\Delta (v_1, v_2)}_{=: a_0}, \underbrace{\underbrace{\Delta (v_0, v_2)}_{=: a_1}, \underbrace{\Delta(v_0, v_1)}_{=: a_2}}_{A_1(X)}}\] -% Damit folgt: -% \begin{enumerate} -% \item Für $k \geq 2$ ist $C_k(X) \cong 0$, da es in diesen -% Dimensionen keine Simplizes gibt, d.~h. $A_k(X) = \emptyset$ gilt.\\ -% Also: $H_k(X) \cong 0 \; \forall k \geq 2$ -% \item $C_0(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i v_i | c_i \in \mdr}$, da -% $A_0(x)$ Basis von $C_0(X)$ ist;\\ -% $C_1(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i a_i | c_i \in \mdr}$, da -% $A_1(X)$ Basis von $C_1(X)$ ist. -% \item Für die Randabbildungen $d_i: C_i(X) \rightarrow C_{i-1}(X)$ gilt: -% $d_0 \equiv 0$, $d_1: C_1(X) \rightarrow C_0(X)$ ist definiert durch -% $d_1(a_k) = \sum_{i=0}^1 (-1)^i \partial_i(a_k) = \partial_0 (a_k) - \partial_1(a_k) \; \forall k \in \Set{0,1,2}$ -% \end{enumerate} -%\end{solution} - -%Auch diese Aufgabe ist zu lang -%\begin{solution}[\ref{ub7:aufg3}] -% -%\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub11:aufg3}] - \textbf{Vor.:} Sei $(X, d)$ eine absolute Ebene, $A, B, C \in X$ - und $\triangle ABC$ ein Dreieck. - - \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item \textbf{Beh.:} $\overline{AB} \cong \overline{AC} \Rightarrow \angle ABC \cong \angle ACB$\\ - \textbf{Bew.:} Sei $\overline{AB} \cong \overline{AC}$.\\ - $\Rightarrow \exists$ Isometrie $\varphi$ mit $\varphi(B) = C$ und - $\varphi(C) = B$ und $\varphi(A) = A$.\\ - $\Rightarrow \varphi(\angle ABC) = \angle ACB$\\ - $\Rightarrow \angle ABC \cong \angle ACB \qed$ - \item \textbf{Beh.:} Der längeren Seite von $\triangle ABC$ liegt der größere Winkel gegenüber und - umgekehrt.\\ - \textbf{Bew.:} Sei $d(A,C) > d(A,B)$. Nach \ref{axiom:3.1} - gibt es $C' \in AC^+$ mit $d(A, C') = d(A,B)$\\ - $\Rightarrow C'$ liegt zwischen $A$ und $C$.\\ - Es gilt $\measuredangle ABC' < \measuredangle ABC$ und - aus \cref{ub11:aufg3.a} folgt: $\measuredangle ABC' = \measuredangle AC' B$.\\ - $\angle BC' A$ ist ein nicht anliegender Außenwinkel zu - $\angle BCA \xRightarrow{\crefabbr{bem:14.9}} \measuredangle BC' A > \measuredangle BCA$\\ - $\Rightarrow \measuredangle BCA < \measuredangle BC' A = \measuredangle ABC' < \measuredangle ABC $ - Sei umgekehrt $\measuredangle ABC > \measuredangle BCA$, - kann wegen 1. Teil von \cref{ub11:aufg3.b} nicht - $d(A,B) > d(A,C)$ gelten.\\ - Wegen \cref{ub11:aufg3.a} kann nicht $d(A,B) = d(A,C)$ - gelten.\\ - $\Rightarrow d(A,B) < d(A, C) \qed$ - \item \textbf{Vor.:} Sei $g$ eine Gerade, $P \in X$ und $P \notin g$\\ - \textbf{Beh.:} $\exists!$ Lot\\ - \textbf{Bew.:} ÃœB10 A4(a): Es gibt Geradenspiegelung $\varphi$ - an $g$. $\varphi$ vertauscht die beiden Halbebenen bzgl. - $g$.\\ - $\Rightarrow \varphi(P)P$ schneidet $g$ in $F$. - - %Nach ÃœB 10 A4(a): - Es gibt eine Geradenspiegelung $\varphi$ an $g$. - $\varphi$ vertauscht die beiden Halbebenen bzgl. $g$ - $\Rightarrow \varphi(P)P$ schneidet $g$ in $F$. - - Sei $A \in g \setminus \Set{F}$. Dann gilt $\varphi(\angle AFP) = \angle AF \varphi(P) = \pi$ - $\Rightarrow \angle AFP$ ist rechter Winkel. - - Gäbe es nun $G \in g \setminus \Set{F}$, so dass $PG$ weiteres Lot von $P$ auf $g$ ist, - wäre $\triangle PFG$ ein Dreieck mit zwei rechten Innenwinkeln (vgl. \cref{fig:two-perpendiculars}). - - \begin{figure}[htp] - \centering - \input{figures/two-perpendiculars.tex} - \caption{Zwei Lote zu einer Geraden $g$ durch einen Punkt $P$} - \label{fig:two-perpendiculars} - \end{figure} - - Nach \cref{folgerung:14.10} ist die Summe von zwei Innenwinkeln immer $< \pi$\\ - $\Rightarrow G$ gibt es nicht. $\qed$ - \end{enumerate} -\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub-tut-24:a1}] - Sei $f \parallel h$ und \obda $f \parallel g$. - - $f \nparallel h \Rightarrow f \cap h \neq \emptyset$, sei also $x \in f \cap h$. - Mit Axiom \ref{axiom:5} folgt: Es gibt höchstens eine Parallele - zu $g$ durch $x$, da $x \notin g$. Diese ist $f$, da $x \in f$ - und $f \parallel g$. Da aber $x \in h$, kann $h$ nicht parallel - zu $g$ sein, denn ansonsten gäbe es zwei Parallelen zu $g$ durch - $x$ ($f \neq h$). - $\Rightarrow g \nparallel h$ $\qed$ -\end{solution} - -\begin{solution}[\ref{ub-tut-24:a3}]\xindex{Kongruenzsatz!SSS}% - Sei $(X,d,G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}-\ref{axiom:4} erfüllt. - Seien außerdem $\triangle ABC$ und $\triangle A'B' C'$ Dreiecke, für die gilt: - \begin{align*} - d(A, B) &= d(A', B')\\ - d(A, C) &= d(A', C')\\ - d(B, C) &= d(B', C') - \end{align*} - - Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A) = A'$, $\varphi(B) = B'$ und - $\varphi(C')$ liegt in der selben Halbebene bzgl. $AB$ wie $C$. Diese - Isometrie existiert wegen \ref{axiom:4}. - - Es gilt $d(A,C) = d(A', C') = d(\varphi(A'), \varphi(C')) = d(A, \varphi(C'))$ - und $d(B,C) = d(B', C') = d(\varphi(B'), \varphi(C')) = d(B, \varphi(C'))$.\\ - $\xRightarrow{\crefabbr{kor:14.6}} C = \varphi(C)$. - - Es gilt also $\varphi(\triangle A'B'C') = \triangle ABC$. $\qed$ -\end{solution} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/Makefile b/documents/GeoTopo/Makefile deleted file mode 100644 index 256c10a..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Makefile +++ /dev/null @@ -1,26 +0,0 @@ -SOURCE = GeoTopo - -make: - sketch figures/torus.sketch > figures/torus.tex - pdflatex $(SOURCE).tex -interaction=batchmode -output-format=pdf # aux-files for makeindex / makeglossaries - makeindex $(SOURCE) - pdflatex $(SOURCE).tex -interaction=batchmode -output-format=pdf # include index - pdflatex $(SOURCE).tex -interaction=batchmode -output-format=pdf # include symbol table - make clean # remove intermediate files like *.log and *.aux - -ebook: - latexml --dest=$(SOURCE).xml $(SOURCE).tex - latexmlpost -dest=$(SOURCE).html $(SOURCE).xml - ebook-convert $(SOURCE).html $(SOURCE).epub --language de --no-default-epub-cover - -all: - cd definitions;make - sed -i 's/\\newif\\ifAFive\\AFivefalse/\\newif\\ifAFive\\AFivetrue/' GeoTopo.tex - make - mv GeoTopo.pdf other-formats/GeoTopo-A5.pdf - sed -i 's/\\newif\\ifAFive\\AFivetrue/\\newif\\ifAFive\\AFivefalse/' GeoTopo.tex - make - - -clean: - rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.thm *.idx *.toc *.ind *.ilg figures/torus.tex *.glg *.glo *.gls *.ist *.xdy *.fdb_latexmk *.bak diff --git a/documents/GeoTopo/README.md b/documents/GeoTopo/README.md deleted file mode 100644 index 098c4b5..0000000 --- a/documents/GeoTopo/README.md +++ /dev/null @@ -1,69 +0,0 @@ -Dies ist ein **inoffizielles, von Studenten erstelltes Skript** -zur Vorlesung "Einführung in Geometrie und Topologie" am KIT bei -Herrn Prof. Dr. Herrlich (WS 2013/2014). Da es von Studenten erstellt -wird, die die Inhalte noch lernen, sind sehr wahrscheinlich einige -Fehler im Skript. Das können Ãœbertragungsfehler, Tippfehler oder -Verständnisprobleme sein. - -Verbesserungsvorschläge (auch wenn es nur einzelne Textsetzungsprobleme oder -Rechtschreibfehler sind) bitte immer direkt melden oder verbessern! - -Den Verbesserungsvorschlag kann man -* entweder direkt selbst umsetzen und einen pull request machen oder -* mir per E-Mail (info@martin-thoma.de) schicken. - -Ich werde dann versuchen die Verbesserungsvorschläge zeitnah einzuarbeiten. - -Zeichnungen -=========== -Das erstellen der Zeichnungen ist sehr zeitaufwendig. Das ist der -Grund, warum manchmal nur ein "TODO" im Dokument steht. - -Ihr könnt mir gerne Zeichnungen schicken (entweder schön auf Papier -Zeichnen und abfotographieren / einscannen oder schon mit Inscape / -Gimp / ... oder sogar mit TikZ erstellen). - -Akzeptable Formate sind: .jpg, .pdf, .svg, .png, .gif, .tex, .sketch -Alles andere kann ich vermutlich nicht einbinden. - - -Dokument erzeugen -================= -Zum erzeugen des Dokuments wird `sketch` und LaTeX benötigt. - -LaTeX installiert man so: [Link](http://martin-thoma.com/how-to-install-the-latest-latex-version/) - -Rechtliches -=========== -Die Autoren kann man über Git ermitteln. Ich schreibe meist nur den -Tafelanschrieb der Vorlesung ab; eventuell noch mit ein paar -Notizen meinerseits. Wenn mir Verbesserungsvorschläge per E-Mail -geschickt werden, ist der Autor sowie das Datum der E-Mail in der -Commit-Nachricht von Git zu sehen. - -Bilder habe ich entweder selbst erstellt oder von tex.stackexchange.com. -Bei Bildern von tex.stackexchange.com steht der Link auf die Quelle -im Quelltext des Bildes (siehe Ordner `figures`). - -Was noch kommen soll -==================== - -1. Alle `TODOS` auflösen - * "Punkt" suchen - * Checken, ob alle Seitenumbrüche / Bildgrößen stimmen -2. Reviews (Mathematik, LaTeX und Bilder) -3. A5-Version drucken - * In `GeoTopo.tex`: `\AFivefalse` → `\AFivetrue` - * Momentan sind es ca. 100 Seiten in A4. In A5 sind es ca. 159 Seiten. - * Druckereien - * An der Uni (ca. 8.50 Euro, SW, Spiralbindung) - * http://www.epubli.de/ (ca. 9.23 Euro SW + 2.95 Euro Versand, 26.99 Euro farbig) - * https://www.viaprinto.de/ (ca. 15 Euro SW, 35 Euro farbig) - * http://shop.kopie.de/article/show/diplomarbeit - * http://www.drucksofa.com/ - * http://www.mein-druck.de/category.htm?c=15510 - * http://www.1buch.de/preisuebersicht/ -4. Version für Sehgeschädigte: - * min `12pt`, besser `14pt` - * nicht `article`, `book`, `report` sondern `extarticle` - * Sans serif: Arial, Helvetica (`\usepackage{cmbright}`) diff --git a/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex b/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex deleted file mode 100644 index f52f62c..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex +++ /dev/null @@ -1,179 +0,0 @@ -%!TEX root = GeoTopo.tex -\markboth{Symbolverzeichnis}{Symbolverzeichnis} -\twocolumn -\chapter*{Symbolverzeichnis} -\addcontentsline{toc}{chapter}{Symbolverzeichnis} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Mengenoperationen % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section*{Mengenoperationen} - -Seien $A, B$ und $M$ Mengen. - -% Set \mylengtha to widest element in first column; adjust -% \mylengthb so that the width of the table is \columnwidth -\settowidth\mylengtha{$A \subsetneq B$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$A^C $ & Komplement von $A$\\ -$\mathcal{P}(M)$ & Potenzmenge von $M$\\ -$\overline{M}$ & Abschluss von $M$\\ -$\partial M$ & Rand der Menge $M$\\ -$M^\circ$ & Inneres der Menge $M$\\ -$A \times B$ & Kreuzprodukt\\ -$A \subseteq B$ & Teilmengenbeziehung\\ -$A \subsetneq B$ & echte Teilmengenbeziehung\\ -$A \setminus B$ & Differenzmenge\\ -$A \cup B$ & Vereinigung\\ -$A \dcup B$ & Disjunkte Vereinigung\\ -$A \cap B$ & Schnitt\\ -\end{xtabular} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Geometrie % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section*{Geometrie} - -\settowidth\mylengtha{$\overline{AB} \cong \overline{CD}$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$AB$ & Gerade durch die Punkte $A$ und $B$\\ -$\overline{AB}$ & Strecke mit Endpunkten $A$ und $B$\\ -$\triangle ABC$ & Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\ -$\overline{AB} \cong \overline{CD}$& Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ sind isometrisch\\ -$|K|$ & Geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes~$K$\\ -\end{xtabular} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Gruppen % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section*{Gruppen} - -Sei $X$ ein topologischer Raum und $K$ ein Körper. - -\settowidth\mylengtha{$\Homoo(X)$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$\Homoo(X)$ & Homöomorphis\-men\-gruppe\\ -$\Iso(X)$ & Isometrien\-gruppe\\ -$\GL_n(K)$ & Allgemeine lineare Gruppe (von \textit{\textbf{G}eneral \textbf{L}inear Group})\\ -$\SL_n(K)$ & Spezielle lineare Gruppe\\ -$\PSL_n(K)$ & Projektive lineare Gruppe\\ -$\Perm(X)$ & Permutations\-gruppe\\ -$\Sym(X)$ & Symmetrische Gruppe\\ -\end{xtabular} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Wege % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section*{Wege} - -Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein Weg. - -\settowidth\mylengtha{$\gamma_1 \sim \gamma_2$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$[\gamma]$ & Homotopieklasse von $\gamma$\\ -$\gamma_1 * \gamma_2$ & Zusammenhängen von Wegen\\ -$\gamma_1 \sim \gamma_2$ & Homotopie von Wegen\\ -$\overline{\gamma}(x)$ & Inverser Weg, also $\overline{\gamma}(x) := \gamma(1-x)$\\ -$C$ & Bild eines Weges $\gamma$, also $C := \gamma([0,1])$ -\end{xtabular} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Weiteres % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section*{Weiteres} - -\settowidth\mylengtha{$\fB_\delta(x)$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$\fB$ & Basis einer Topologie\\ -$\fB_\delta(x)$& $\delta$-Kugel um $x$\\ -$\calS$ & Subbasis einer Topologie\\ -$\fT$ & Topologie\\ -\end{xtabular} - -\settowidth\mylengtha{$X /_\sim$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$\atlas$ & Atlas\\ -$\praum$ & Projektiver Raum\\ -$\langle \cdot , \cdot \rangle$ & Skalarprodukt\\ -$X /_\sim$ & $X$ modulo $\sim$\\ -$[x]_\sim$ & Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\ -$\| x \|$ & Norm von $x$\\ -$| x |$ & Betrag von $x$\\ -$\langle a \rangle$ & Erzeugnis von $a$\\ -\end{xtabular} - -$S^n\;\;\;$ Sphäre\\ -$T^n\;\;\;$ Torus\\ - -\settowidth\mylengtha{$f^{-1}(M)$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$f \circ g$&Verkettung von $f$ und $g$\\ -$\pi_X$ &Projektion auf $X$\\ -$f|_U$ $f$ &eingeschränkt auf $U$\\ -$f^{-1}(M)$&Urbild von $M$\\ -$\rang(M)$ & Rang von $M$\\ -$\chi(K)$ & Euler-Charakteristik von $K$\\ -$\Delta^k$ & Standard-Simplex\\ -$X \# Y$ & Verklebung von $X$ und $Y$\\ -$d_n$ & Lineare Abbildung aus \cref{kor:9.11}\\ -$A \cong B$& $A$ ist isometrisch zu $B$\\ -$f_*$ & Abbildung zwischen Fundamentalgruppen (vgl. \cpageref{korr:11.5}) -\end{xtabular} - -\onecolumn - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Zahlenmengen % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section*{Zahlenmengen} -$\mdn = \Set{1, 2, 3, \dots} \;\;\;$ Natürliche Zahlen\\ -$\mdz = \mdn \cup \Set{0, -1, -2, \dots} \;\;\;$ Ganze Zahlen\\ -$\mdq = \mdz \cup \Set{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}} = \Set{\frac{z}{n} \text{ mit } z \in \mdz \text{ und } n \in \mdz \setminus \Set{0}} \;\;\;$ Rationale Zahlen\\ -$\mdr = \mdq \cup \Set{\sqrt{2}, -\sqrt[3]{3}, \dots}\;\;\;$ Reele Zahlen\\ -$\mdr_+\;$ Echt positive reele Zahlen\\ -$\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_n \geq 0}\;\;\;$ Halbraum\\ -$\mdr^\times = \mdr \setminus \Set{0} \;$ Einheitengruppe von $\mdr$\\ -$\mdc = \Set{a+ib|a,b \in \mdr}\;\;\;$ Komplexe Zahlen\\ -$\mdp = \Set{2, 3, 5, 7, \dots}\;\;\;$ Primzahlen\\ -$\mdh = \Set{z \in \mdc | \Im{z} > 0}\;\;\;$ obere Halbebene\\ -$I = [0,1] \subsetneq \mdr\;\;\;$ Einheitsintervall\\ - -\settowidth\mylengtha{$f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$& Einbettung der Kreislinie in die Ebene\\ -$\pi_1(X,x)$ & Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\ -$\Fix(f)$ & Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$\\ -$\|\cdot\|_2$ & 2-Norm; Euklidische Norm\\ -$\kappa$ & Krümmung\\ -$\kappa_{\ts{Nor}}$ & Normalenkrümmung\\ -$V(f)$ & Nullstellenmenge von $f$\footnotemark -\end{xtabular} -\footnotetext{von \textit{\textbf{V}anishing Set}} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Krümmung % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section*{Krümmung} - -\settowidth\mylengtha{$D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$} -\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax} - -\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}} -$D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$& Lineare Abbildung mit Jacobi-Matrix in $p$ (siehe \cpageref{def:Tangentialebene})\\ -$T_s S$ & Tangentialebene an $S \subseteq \mdr^3$ durch $s \in S$\\ -$d_s n(x)$ & Weingarten-Abbildung\\ -\end{xtabular} - -\index{Faser|see{Urbild}} -\index{kongruent|see{isometrisch}} -\index{Kongruenz|see{Isometrie}} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/Vorwort.tex b/documents/GeoTopo/Vorwort.tex deleted file mode 100644 index b1a0e01..0000000 --- a/documents/GeoTopo/Vorwort.tex +++ /dev/null @@ -1,80 +0,0 @@ -%!TEX root = GeoTopo.tex -\chapter*{Vorwort} -Dieses Skript wurde im Wintersemester 2013/2014 -von Martin Thoma geschrieben. Es beinhaltet die Mitschriften aus -der Vorlesung von Prof.~Dr.~Herrlich sowie die Mitschriften einiger -Ãœbungen und Tutorien. - -Das Skript ist kostenlos über \href{http://martin-thoma.com/geotopo/}{martin-thoma.com/geotopo} -verfügbar. Wer es gerne in A5 (Schwarz-Weiß, Ringbindung) für 10~Euro hätte, -kann mir eine E-Mail schicken (info@martin-thoma.de). - -\section*{Danksagungen} -An dieser Stelle möchte ich Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich für einige -Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten Tafelanschrieb -danken, der als Vorlage für dieses Skript diente. Tatsächlich basiert -die Struktur dieses Skripts auf der Vorlesung von Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich -und ganze Abschnitte konnten direkt mit \LaTeX{} umgesetzt werden. -Vielen Dank für die Erlaubnis, Ihre Inhalte in diesem Skript einbauen -zu dürfen! - -Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt -haben, ihre Ãœbungsaufgaben und Lösungen zu benutzen. - -Jérôme Urhausen hat durch viele Verbesserungsvorschläge und Beweise zu einer erheblichen -Qualitätssteigerung am Skript beigetragen und meine Tutorin Sarah hat mir -viele Fragen per E-Mail und nach dem Tutorium beantwortet. Danke! - - -\section*{Was ist Topologie?} - -Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen -und umformen zur Würfeloberfläche oder -der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$ -oder zu einem Torus $T^2$. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche -unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen. - -\begin{figure}[ht] - \centering - \subfloat[$S^2$]{ - \input{figures/s2.tex} - \label{fig:s2} - }% - \subfloat[Würfel]{ - \input{figures/cube.tex} - \label{fig:cube} - }% - \subfloat[Pyramide]{ - \input{figures/pyramid.tex} - \label{fig:pyramide} - } - - \subfloat[$\mdr^2$]{ - \input{figures/plane-r2.tex} - \label{fig:plane-r2} - }% - \subfloat[$T^2$]{ - \input{figures/torus.tex} \xindex{Torus} - \label{fig:torus} - } - \label{fig:formen} - \caption{Beispiele für verschiedene Formen} -\end{figure} - -\section*{Erforderliche Vorkenntnisse} -Es wird ein sicherer Umgang mit den Quantoren ($\forall, \exists$), -Mengenschreibweisen ($\cup, \cap, \setminus, \emptyset, \mdr, \powerset{M}$) -und ganz allgemein formaler Schreibweise vorausgesetzt. Auch die -Beweisführung mittels Widerspruchsbeweisen sollte bekannt sein und -der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$, deren Betrag, Folgen und -Häufungspunkten nicht weiter schwer fallen. -Diese Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt. - -Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume, -lineare Unabhängigkeit, der Spektralsatz und der projektive Raum $\praum(\mdr)$ aus -\enquote{Lineare Algebra I} bekannt sind. In \enquote{Lineare Algebra II} -wird der Begriff der Orthonormalbasis eingeführt. - -Obwohl es nicht vorausgesetzt wird, könnte es von Vorteil sein -\enquote{Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} gehört zu -haben. diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/Makefile b/documents/GeoTopo/definitions/Makefile deleted file mode 100644 index 221f7a7..0000000 --- a/documents/GeoTopo/definitions/Makefile +++ /dev/null @@ -1,9 +0,0 @@ -SOURCE = definitionen -make: - ./generateDefinitions.py - pdflatex $(SOURCE).tex -interaction=batchmode -output-format=pdf - pdflatex $(SOURCE).tex -interaction=batchmode -output-format=pdf - make clean - -clean: - rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.thm definitionen.tex diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/a7cards.cfg b/documents/GeoTopo/definitions/a7cards.cfg deleted file mode 100644 index e900d23..0000000 --- a/documents/GeoTopo/definitions/a7cards.cfg +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1996/12/01] -\ProvidesFile{avery5388.cfg} -\newcommand{\cardpaper}{a4paper} -\newcommand{\cardpapermode}{portrait} -\newcommand{\cardrows}{4} -\newcommand{\cardcolumns}{2} -\setlength{\cardheight}{70mm} -\setlength{\cardwidth}{100mm} -\setlength{\topoffset}{2mm} -\setlength{\oddoffset}{5mm} -\setlength{\evenoffset}{5mm} -\endinput diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/definitionen.pdf b/documents/GeoTopo/definitions/definitionen.pdf deleted file mode 100644 index 37181f9..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/definitions/definitionen.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex b/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex deleted file mode 100644 index d307b47..0000000 --- a/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex +++ /dev/null @@ -1,67 +0,0 @@ -\documentclass[a7cards,frame]{flashcards} -\usepackage{etoolbox} -\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts -\usepackage{mathtools} % \xRightarrow -\usepackage{nicefrac} % \nicefrac -\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts -\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts -\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf -\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem} -\usepackage{framed} -\usepackage{marvosym} -\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index -\usepackage{xcolor} -\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx -\usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references -\usepackage{tabto} -\usepackage{braket} % needed for \Set -\usepackage{csquotes} % \enquote{} -\usepackage{subfig} % multiple figures in one -\usepackage{parskip} % nicer paragraphs -\usepackage{xifthen} % \isempty -\usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment -\usepackage{pst-solides3d} -\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes} -\usepackage{pgfplots} -\pgfplotsset{compat=1.7} -\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy} -\usepackage{caption} % get newlines within captions -\usepackage{tikz} % draw -\usepackage{tikz-3dplot} % draw -\usepackage{tkz-fct} % draw -\usepackage{tkz-euclide} % draw -\usetkzobj{all} % tkz-euclide -\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing} -\usepackage{tqft} -\usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command -\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm - -%% -\newcounter{chapter} -\newcommand\chapter{\if@openright\cleardoublepage\else\clearpage\fi - \thispagestyle{plain}% - \global\@topnum\z@ - \@afterindentfalse - \secdef\@chapter\@schapter} -%% -\usepackage{../shortcuts} - -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, - pdftitle = {Geometrie und Topologie - Definitionen} -} -\allowdisplaybreaks - -\makeatletter -\renewcommand{\flashcards@ps@back@begin@plain} -% {\vspace*{\fill}\center\flashcards@format@back}% REMOVED - {\vspace*{\fill}\flashcards@format@back}% ADDED -\makeatother - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Begin document % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{document} -%CONTENT% -\end{document} diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/generateDefinitions.py b/documents/GeoTopo/definitions/generateDefinitions.py deleted file mode 100755 index 4899ffc..0000000 --- a/documents/GeoTopo/definitions/generateDefinitions.py +++ /dev/null @@ -1,36 +0,0 @@ -#!/usr/bin/env python3 -# -*- coding: utf-8 -*- - -import re, glob - -def get_definitions(filename): - with open(filename) as f: - content = f.read() - - pattern = re.compile(r"^\\begin{definition}(.*?)\\end{definition}", re.DOTALL | re.UNICODE | re.MULTILINE) - index_pattern = re.compile(r"\\xindex{(?:.*?@)?(.*?)(?:\|.*?)?}", re.UNICODE) - todo_pattern = re.compile(r"\\todo{.*?}", re.UNICODE) - definitions = re.findall(pattern, content) - def_dict_list = [] - for definition in definitions: - names = re.findall(index_pattern, definition) - names = map(lambda s: s.replace("!", ", "), names) - name = "\\\\".join(names) - definition = re.sub(todo_pattern, "", definition) - def_dict_list.append({"name":name, "definition":definition}) - #return "\n\n".join('\\vspace*{{\\fill}}\n{0}\n\\vspace*{{\\fill}}\\clearpage'.format(definition["definition"]) for definition in def_dict_list) - return "\n\n".join('\\begin{{flashcard}}{{ {1} }}\n{{ {0} }}\n\\end{{flashcard}}'.format(definition["definition"], definition["name"]) for definition in def_dict_list) - -def write_definitions_to_template(definitions, template="mathe-vorlage.tex", target="definitionen.tex"): - with open(template) as f: - content = f.read() - content = content.replace('%CONTENT%', definitions) - - with open(target, 'w') as f: - f.write(content) - -if __name__ == "__main__": - definitions = [] - for texsource in sorted(glob.glob("../Kapitel*.tex")): - definitions.append(get_definitions(texsource)) - write_definitions_to_template("\n\n\n".join(definitions), "flashcards-try.tex") diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/mathe-vorlage.tex b/documents/GeoTopo/definitions/mathe-vorlage.tex deleted file mode 100644 index f627c90..0000000 --- a/documents/GeoTopo/definitions/mathe-vorlage.tex +++ /dev/null @@ -1,53 +0,0 @@ -\documentclass[a7paper,9pt,landscape]{scrbook} -\usepackage{etoolbox} -\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts -\usepackage{mathtools} % \xRightarrow -\usepackage{nicefrac} % \nicefrac -\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts -\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts -\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf -\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem} -\usepackage{framed} -\usepackage{marvosym} -\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index -\usepackage{xcolor} -\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx -\usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references -\usepackage{tabto} -\usepackage{braket} % needed for \Set -\usepackage{csquotes} % \enquote{} -\usepackage{subfig} % multiple figures in one -\usepackage{parskip} % nicer paragraphs -\usepackage{xifthen} % \isempty -\usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment -\usepackage{pst-solides3d} -\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes} -\usepackage{pgfplots} -\pgfplotsset{compat=1.7} -\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy} -\usepackage{caption} % get newlines within captions -\usepackage{tikz} % draw -\usepackage{tikz-3dplot} % draw -\usepackage{tkz-fct} % draw -\usepackage{tkz-euclide} % draw -\usetkzobj{all} % tkz-euclide -\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing} -\usepackage{tqft} -\usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command -\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm -\usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry} -\usepackage{../shortcuts} - -\hypersetup{ - pdfauthor = {Martin Thoma}, - pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, - pdftitle = {Geometrie und Topologie - Definitionen} -} -\allowdisplaybreaks - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Begin document % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\begin{document} -%CONTENT% -\end{document} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex b/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex deleted file mode 100644 index c04d12a..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex +++ /dev/null @@ -1,32 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - legend pos=south east, - axis x line=middle, - axis y line=middle, - grid = major, - %width=9cm, - %height=4.5cm, - grid style={dashed, gray!30}, - xmin= 0, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 12, % end the diagram at this x-coordinate - ymin=-10, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 10, % end the diagram at this y-coordinate - %axis background/.style={fill=white}, - xlabel=$x$, - ylabel=$y$, - %xticklabels={-2,-1.6,...,7}, - tick align=outside, - %minor tick num=-3, - enlargelimits=true] - \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; - - \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; - \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; - \addlegendentry{$a=\frac{1}{3}$} - \addlegendentry{$a=1$} - \addlegendentry{$a=2$} - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex b/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex deleted file mode 100644 index 417ee80..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex +++ /dev/null @@ -1,31 +0,0 @@ -\pgfplotsset{ - colormap={whitered}{ - color(0cm)=(white); - color(1cm)=(orange!75!red) - } -} -\begin{tikzpicture}[scale=0.5] - \begin{axis}[ - colormap name=whitered, - width=15cm, - view={155}{45}, - enlargelimits=false, - grid=major, - domain=-5:5, - y domain=-5:5, - samples=56, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000]. - % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645 - xlabel=$x$, - ylabel=$y$, - zlabel={$z$}, - colorbar, - colorbar style={ - at={(-0.1,0)}, - anchor=south west, - height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height}, - title={$f(x,y)$} - } - ] - \addplot3[surf] {y*y-x*x*x}; - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/Double-torus-illustration.png b/documents/GeoTopo/figures/Double-torus-illustration.png deleted file mode 100644 index 804d0b8..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/Double-torus-illustration.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/Spherical_triangle_3d_opti.png b/documents/GeoTopo/figures/Spherical_triangle_3d_opti.png deleted file mode 100644 index 1d40de5..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/Spherical_triangle_3d_opti.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/Torus.pdf b/documents/GeoTopo/figures/Torus.pdf deleted file mode 100644 index d40d953..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/Torus.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/blue-6-2-knot.png b/documents/GeoTopo/figures/blue-6-2-knot.png deleted file mode 100644 index af6f5cc..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/blue-6-2-knot.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/blue-eight-knot.png b/documents/GeoTopo/figures/blue-eight-knot.png deleted file mode 100644 index ae484ef..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/blue-eight-knot.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/blue-trefoil-knot.png b/documents/GeoTopo/figures/blue-trefoil-knot.png deleted file mode 100644 index bd8de33..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/blue-trefoil-knot.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/blue-unknot.png b/documents/GeoTopo/figures/blue-unknot.png deleted file mode 100644 index 03e1ea0..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/blue-unknot.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/commutative-diagram-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/commutative-diagram-2.tex deleted file mode 100644 index bccac45..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/commutative-diagram-2.tex +++ /dev/null @@ -1,14 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \node (Z) at (0,0) {$Z$}; - \node (Y) at (3,0) {$Y$}; - \node (X) at (1.5,-1.5) {$X$}; - \draw[->, above, dashed] (Z) to node {$\tilde{f}$} (Y); - \draw[->, below] (Z) to node {$f$} (X); - \draw[->, right] (Y) to node {$p$} (X); - - \begin{scope}[xshift=1.3cm,yshift=-0.6cm] - \draw (0,0) -- (0.3,0.3); - \draw (0.1,0) -- (0.4,0.3); - \draw (0.2,0) -- (0.5,0.3); - \end{scope} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-1.tex deleted file mode 100644 index 7703fda..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-1.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P} - - \tkzMarkAngle[fill=green!20,size=0.3cm,opacity=.5](X,O,Y) - \tkzLabelAngle[pos=0.15](X,O,Y){$\cdot$} - - \tkzDrawLine[add=3 and 2](O,X) - \tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$} - \tkzLabelLine[right,pos=3](O,Y){$g_2$} - \tkzDrawLine[add=3 and 2](O,Y) - - \tkzLabelPoint(P){$P$} - \node at ($(-2,2)$){$X$}; - \tkzDrawPoints(P) -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex deleted file mode 100644 index b2cc385..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex +++ /dev/null @@ -1,34 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P} - - \tkzMarkAngle[fill=green!20,size=0.3cm,opacity=.5](X,O,Y) - \tkzLabelAngle[pos=0.15](X,O,Y){$\cdot$} - - \tkzDrawLine[add=3 and 2](O,X) - \tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$} - \tkzLabelLine[right,pos=3](O,Y){$g_2$} - \tkzDrawLine[add=3 and 2](O,Y) - - \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(O,X)(P,helper) \tkzGetPoint{xp} - \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt,mirror}] - (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] - {\footnotesize $x_P$}; - - \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(O,Y)(P,helper) \tkzGetPoint{yp} - \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] - (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] - {\footnotesize $y_P$}; - - \tkzDrawPolygon(O,xp,P,yp) - - \tkzLabelPoint[above right](P){$P$} - \tkzLabelPoint[below left](O){$0$} - \tkzLabelPoint[below](xp){$P_X$} - \tkzLabelPoint[left](Y){$P_Y$} - \node at ($(-2,2)$){$X$}; - \tkzDrawPoints(P,Y,xp) -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-3.tex b/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-3.tex deleted file mode 100644 index 7452918..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-3.tex +++ /dev/null @@ -1,43 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P, 3/3/Q} - \tkzDrawLine[add=3 and 2.2](O,X) - \tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$} - \tkzLabelLine[left,pos=3](O,Y){$g_2$} - \tkzDrawLine[add=3 and 2.2](O,Y) - - \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(O,X)(P,helper) \tkzGetPoint{xp} - \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt,mirror}] - (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] - {\footnotesize $x_P$}; - - \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(O,Y)(P,helper) \tkzGetPoint{yp} - \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}] - (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] - {\footnotesize $y_P$}; - - \tkzDrawPolygon(O,xp,P,yp) - - \tkzDefLine[orthogonal=through Q,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(O,X)(Q,helper) \tkzGetPoint{xq} - \tkzDefLine[orthogonal=through Q,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(O,Y)(Q,helper) \tkzGetPoint{yq} - - \tkzInterLL(yp,P)(Q,xq) \tkzGetPoint{qxp} - \tkzInterLL(xp,P)(Q,yq) \tkzGetPoint{R} - - \tkzDrawPolygon(O,xq,Q,yq) - - \tkzDrawSegments[green](xp,xq R,Q) - \tkzDrawSegments[very thick,orange](yp,yq P,R) - - \tkzLabelPoint[above right](P){$P$} - \tkzLabelPoint[above right](Q){$Q$} - \tkzLabelPoint[below left](O){$0$} - \tkzLabelPoint[above](R){$R$} - \node at ($(-2,2)$){$X$}; - \tkzDrawPoints(P,Q,R) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/cube.tex b/documents/GeoTopo/figures/cube.tex deleted file mode 100644 index 2959f80..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/cube.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -% Source: http://tex.stackexchange.com/a/12069/5645 -\begin{tikzpicture}[scale=0.5] - \clip (-3,-3) rectangle (3,3); - \coordinate (tf) at (0,0); - \coordinate (bf) at (0,-3); - \coordinate (tr) at (15:2.5cm); - \coordinate (tl) at (165:2.5cm); - - % You can change the perspective by playing with the 5, 5, 15: - \coordinate (fr) at ($ (tf)!5!(tr) $); - \coordinate (fl) at ($ (tf)!5!(tl) $); - \coordinate (fb) at ($ (tf)!15!(bf) $); - - \path[name path=brpath] (bf) -- (fr); - \path[name path=rbpath] (tr) -- (fb); - \path[name path=blpath] (bf) -- (fl); - \path[name path=lbpath] (tl) -- (fb); - \path[name path=trpath] (tl) -- (fr); - \path[name path=tlpath] (tr) -- (fl); - - \draw[name intersections={of=brpath and rbpath}] (intersection-1)coordinate (br){}; - \draw[name intersections={of=blpath and lbpath}] (intersection-1)coordinate (bl){}; - \draw[name intersections={of=trpath and tlpath}] (intersection-1)coordinate (tb){}; - - \shade[right color=gray!10, left color=black!50, shading angle=105] (tf) -- (bf) -- (bl) -- (tl) -- cycle; - \shade[left color=gray!10, right color=black!50, shading angle=75] (tf) -- (bf) -- (br) -- (tr) -- cycle; - - \begin{scope} - \clip (tf) -- (tr) -- (tb) -- (tl) -- cycle; - \shade[inner color = gray!5, outer color=black!50, shading=radial] (tf) ellipse (3cm and 1.5cm); - \end{scope} - - \draw (tf) -- (bf); - \draw (tf) -- (tr); - \draw (tf) -- (tl); - \draw (tr) -- (br); - \draw (bf) -- (br); - \draw (tl) -- (bl); - \draw (bf) -- (bl); - \draw (tb) -- (tr); - \draw (tb) -- (tl); - - %set the sizes of the little cubes: - \def\tone{.4}\def\ttwo{.75}\def\fone{.36}\def\ftwo{.70} - \draw ($ (bf)!\tone!(br) $) -- ($ (tf)!\tone!(tr) $) -- ($ (tl)!\tone!(tb) $); - \draw ($ (bf)!\ttwo!(br) $) -- ($ (tf)!\ttwo!(tr) $) -- ($ (tl)!\ttwo!(tb) $); - \draw ($ (bf)!\tone!(bl) $) -- ($ (tf)!\tone!(tl) $) -- ($ (tr)!\tone!(tb) $); - \draw ($ (bf)!\ttwo!(bl) $) -- ($ (tf)!\ttwo!(tl) $) -- ($ (tr)!\ttwo!(tb) $); - \draw ($ (tl)!\fone!(bl) $) -- ($ (tf)!\fone!(bf) $) -- ($ (tr)!\fone!(br) $); - \draw ($ (tl)!\ftwo!(bl) $) -- ($ (tf)!\ftwo!(bf) $) -- ($ (tr)!\ftwo!(br) $); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/cylinder.tex b/documents/GeoTopo/figures/cylinder.tex deleted file mode 100644 index d9e7dcc..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/cylinder.tex +++ /dev/null @@ -1,33 +0,0 @@ -\pgfplotsset{ - colormap={whitered}{ - color(0cm)=(white); - color(1cm)=(orange!75!red) - } -} -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - colormap name=whitered, - width=15cm, - view={340}{25}, - enlargelimits=false, - grid=major, - domain=0:5, - y domain=0:2*pi, - xmin=-1.5, xmax=1.5, - ymin=-1.5, ymax=1.5, zmin=0.0, - samples=30, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000]. - % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645 - xlabel=$x$, - ylabel=$y$, - zlabel={$z$}, - %colorbar, - colorbar style={ - at={(-0.1,0)}, - anchor=south west, - height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height}, - title={$f(x,y)$} - } - ] - \addplot3 [surf,z buffer=sort] ({cos(deg(y))},{sin(deg(y))},{x}); - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/faltungsdiagramm.pdf b/documents/GeoTopo/figures/faltungsdiagramm.pdf deleted file mode 100644 index 4962e40..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/faltungsdiagramm.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-1.tex deleted file mode 100644 index 005762a..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-1.tex +++ /dev/null @@ -1,24 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (P)[point,label={[label distance=0cm]210:$P$}] at (0,0) {}; - \node (B)[point,label={[label distance=0cm]-90:$B$}] at (2.5,0) {}; - \node (Q)[point,label={[label distance=0cm]-90:$Q$}] at (4,0) {}; - \node (C)[point,label={[label distance=0cm]90:$C$}] at (1.5,1.5) {}; - \node (R)[point,label={[label distance=0cm]90:$R$}] at (2.5,2.5) {}; - - \node (A)[point,label={[label distance=0cm]0:$A$}] at (0.5,3) {}; - - \draw[very thick] (P) edge node {} (B); - \draw[very thick] (B) edge node {} (Q); - \draw[very thick] (P) edge node {} (C); - \draw[very thick] (C) edge node {} (R); - - \draw[very thick] (B) edge node {} (C); - \draw[very thick] (C) edge node {} (A); - - \draw[very thick] (Q) edge node {} (R); - - \draw[very thick] ($(P)!-1cm!(Q)$) -- ($(Q)!-1cm!(P)$); - \draw[very thick] ($(A)!-0.3cm!(B)$) -- ($(B)!-1cm!(A)$); - \draw[very thick] ($(R)!-1cm!(Q)$) -- ($(Q)!-1cm!(R)$); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-2.tex deleted file mode 100644 index ab26e4e..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-2.tex +++ /dev/null @@ -1,15 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (P)[point,label={[label distance=0cm]-90:$P$}] at (0,0) {}; - \node (Q)[point,label={[label distance=0cm]-90:$Q$}] at (5,1) {}; - \node (A)[point,label={[label distance=0cm]180:$A$}] at (2,2) {}; - \node (B)[point,label={[label distance=0cm]190:$B$}] at (1,3) {}; - - \draw[very thick] (P) edge node {} (Q); - \draw[very thick, red] (P) edge node {} (A); - \draw[very thick, red] (P) edge node {} (B); - \draw[very thick, blue] (Q) edge node {} (A); - \draw[very thick, blue] (Q) edge node {} (B); - - \draw[very thick] ($(P)!-1cm!(Q)$) -- ($(Q)!-1cm!(P)$); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-3.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-3.tex deleted file mode 100644 index d45e7a5..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-3.tex +++ /dev/null @@ -1,21 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 4/0/Q, 1/0.5/B, 1/2/A} - \tkzInterLL(P,B)(Q,A) \tkzGetPoint{C} - - \tkzDrawLine[color=red](P,A) - \tkzDrawLine(Q,A) - \tkzDrawLine(P,Q) - \tkzDrawLine[add=0 and 0.5](P,C) - \tkzDrawSegments(B,Q) - \tkzDrawLine(P,Q) - - \tkzDrawPoints(P,C,A) - \tkzDrawPoints[fill=red,color=red](Q,B) - \tkzLabelPoint[below](P){$P$} - \tkzLabelPoint[below](Q){$Q$} - \tkzLabelPoint[below](B){$B$} - \tkzLabelPoint[below](C){$C$} - \tkzLabelPoint[below](A){$A$} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-4.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-4.tex deleted file mode 100644 index 8321007..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-4.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 0/3/B} - - \tkzDrawSegments(P,Q Q,A A,P) - \tkzDrawSegments[dashed](P,B B,Q) - \tkzDrawLine(P,Q) - \tkzDrawLine[color=red](P,A) - - \tkzDrawPoints(P,C,A) - \tkzDrawPoints[fill=red,color=red](Q,B) - \tkzLabelPoint[below](P){$P$} - \tkzLabelPoint[below](Q){$Q$} - \tkzLabelPoint[above](A){$A$} - \tkzLabelPoint[above](B){$B$} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-5.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-5.tex deleted file mode 100644 index d915ae6..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-5.tex +++ /dev/null @@ -1,20 +0,0 @@ -\usetkzobj{all} -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 4/1/Q, 2/3/A, 5/3/B, -0.6/-0.15/Pstrich} - \tkzInterLL(P,B)(A,Q) \tkzGetPoint{C} - \tkzDrawPoints(P,Q,A,B,C,Pstrich) - - \tkzDrawLine(P,Q) - \tkzDrawLine(P,A) - \tkzDrawLine(A,Q) - \tkzDrawLine(P,B) - - \tkzLabelPoint[below](P){$P$} - \tkzLabelPoint[above](Pstrich){$P'$} - \tkzLabelPoint[below](Q){$Q$} - \tkzLabelPoint[below](A){$A$} - \tkzLabelPoint[below](B){$B$} - \tkzLabelPoint[above](C){$C$} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-6.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-6.tex deleted file mode 100644 index 8301bb5..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-6.tex +++ /dev/null @@ -1,20 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/Q, 4/1/H1, 1/2/P} - \tkzDefPoint(1.5,3){Phelper} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=1cm,color=green,fill=green!20](H1,Q,P) - \tkzDrawLine(Q,H1) - - \tkzLabelPoint[above left](Q){$Q$} - \tkzDefLine[parallel=through P](Q,H1) \tkzGetPoint{b} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=1cm,color=green,fill=green!20](b,P,Phelper) - \tkzDrawLine[dashed](P,b) - \tkzLabelLine[pos=0.8,below](P,b){$h$} - \tkzLabelLine[pos=-0.6,left](P,Q){$f$} - \tkzLabelLine[pos=0.8,below](Q,H1){$g$} - \tkzLabelPoint[above left](P){$P$} - \tkzDrawLine[add=0.2 and 0.7](Q,P) - \tkzDrawPoints(P,Q) - \tkzMarkSegments[mark=||](Q,H1 P,b) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-7.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-7.tex deleted file mode 100644 index 4f8a6d0..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-7.tex +++ /dev/null @@ -1,21 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/Q, 2/0/P, 1/2/R} - - - \pgfmathsetmacro{\firstAngle}{0} - \pgfmathsetmacro{\secondAngle}{-120} - \path[draw,red, fill=red!40] (Q) -- ++(\firstAngle:.4) arc[start angle=\firstAngle, delta angle=\secondAngle,radius=.4]; - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.8cm,color=green,fill=green!20](Q,R,P) - \path[draw] ++(-50:.2) node[rotate=-50] {$\alpha$}; - \node at (1,1.5) {$\beta$}; - \tkzDrawLine(Q,P) - \tkzDrawLine(Q,R) - \tkzDrawLine(P,R) - \tkzDrawPoints(P,Q,R) - \node at ($(R) + (0.03,0.4)$) {$R$}; %top - \node at ($(Q) + (-0.3,-0.22)$) {$Q$}; %left - \node at ($(P) + ( 0.3,-0.18)$) {$P$}; %right -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-8.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-8.tex deleted file mode 100644 index 2a38f3a..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-8.tex +++ /dev/null @@ -1,32 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, 2/2/C, 6/2/A'} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=1.15cm,color=green,fill=green!20,opacity=.8](A',A,C) - \tkzLabelAngle[pos=0.9](A',A,C){$\alpha_1$} - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=1.15cm,color=green,fill=green!20,opacity=.8](B,A,A') - \tkzLabelAngle[pos=0.9](B,A,A'){$\alpha_2$} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.7cm,color=red,fill=red!20,opacity=.8](C,B,A) - \tkzLabelAngle[pos=0.5](C,B,A){$\beta$} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.6cm,color=blue,fill=blue!20,opacity=.8](A,C,B) - \tkzLabelAngle[pos=0.4](A,C,B){$\gamma$} - - \tkzDrawSegments(A,B A,C A,A' B,C C,A') - \tkzInterLL(A,A')(B,C)\tkzGetPoint{M} - \node at ($(M) + (0.1,0.25)$) {$M$}; - - \tkzLabelPoint[below left](A){$A$} - \tkzLabelPoint[below right](B){$B$} - \tkzLabelPoint[above left](C){$C$} - \tkzLabelPoint[above right](A'){$A'$} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.6cm,color=green,fill=green!20,opacity=.8](B,A,C) - \path[draw] ++(25:.35) node[rotate=0] {$\alpha$}; - - - \tkzDrawSegments(A,B A,C) - \tkzDrawPoints(A,B,C,A',M) -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/geometry-9.tex b/documents/GeoTopo/figures/geometry-9.tex deleted file mode 100644 index 0b2258d..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/geometry-9.tex +++ /dev/null @@ -1,19 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{-1/0/Q, 0/0/M, 0/-2/A, 0/2/P, 1/0/R, -1.2/-0.5/helper} - \tkzFillPolygon[color = green!10](Q,M,A) - \tkzFillPolygon[color = green!10](M,P,R) - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](P,R,M) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.4cm,color=green,fill=green!20](helper,Q,M) - %\path[draw] ++(25:.3) node[rotate=0] {$\alpha$}; - %\node at (1,1.5) {$\beta$}; - \tkzDrawSegments(Q,A) - \tkzDrawLines(Q,R A,P Q,P P,R) - \tkzDrawPoints(Q,M,A,P,R) - \tkzLabelPoint[below left](Q){$Q$} - \tkzLabelPoint[below right](M){$M$} - \tkzLabelPoint[above left](A){$A$} - \tkzLabelPoint[above right](P){$P$} - \tkzLabelPoint[above right](R){$R$} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/hilbert-curve.tex b/documents/GeoTopo/figures/hilbert-curve.tex deleted file mode 100644 index 18c511e..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/hilbert-curve.tex +++ /dev/null @@ -1,56 +0,0 @@ -% Author: Marc van Dongen -% Source: http://www.texample.net/tikz/examples/hilbert-curve/ -\newdimen\HilbertLastX -\newdimen\HilbertLastY -\newcounter{HilbertOrder} - -\def\DrawToNext#1#2{% - \advance \HilbertLastX by #1 - \advance \HilbertLastY by #2 - \pgfpathlineto{\pgfqpoint{\HilbertLastX}{\HilbertLastY}} - % Alternative implementation using plot streams: - % \pgfplotstreampoint{\pgfqpoint{\HilbertLastX}{\HilbertLastY}} -} - -% \Hilbert[right_x,right_y,left_x,left_x,up_x,up_y,down_x,down_y] -\def\Hilbert[#1,#2,#3,#4,#5,#6,#7,#8] { - \ifnum\value{HilbertOrder} > 0% - \addtocounter{HilbertOrder}{-1} - \Hilbert[#5,#6,#7,#8,#1,#2,#3,#4] - \DrawToNext {#1} {#2} - \Hilbert[#1,#2,#3,#4,#5,#6,#7,#8] - \DrawToNext {#5} {#6} - \Hilbert[#1,#2,#3,#4,#5,#6,#7,#8] - \DrawToNext {#3} {#4} - \Hilbert[#7,#8,#5,#6,#3,#4,#1,#2] - \addtocounter{HilbertOrder}{1} - \fi -} - - -% \hilbert((x,y),order) -\def\hilbert((#1,#2),#3){% - \advance \HilbertLastX by #1 - \advance \HilbertLastY by #2 - \pgfpathmoveto{\pgfqpoint{\HilbertLastX}{\HilbertLastY}} - % Alternative implementation using plot streams: - % \pgfplothandlerlineto - % \pgfplotstreamstart - % \pgfplotstreampoint{\pgfqpoint{\HilbertLastX}{\HilbertLastY}} - \setcounter{HilbertOrder}{#3} - \Hilbert[1mm,0mm,-1mm,0mm,0mm,1mm,0mm,-1mm] - \pgfusepath{stroke}% -} - -\begin{figure}[htp]% - \centering - % draw Hilbert curves of order n=1,...,5 - % Warning! Curves with order > 6 may crash TeX - \subfloat[$n=1$]{\tikz[scale=18] \hilbert((0mm,0mm),1);}~~ - \subfloat[$n=2$]{\tikz[scale=6] \hilbert((0mm,0mm),2);}~~ - \subfloat[$n=3$]{\tikz[scale=2.6] \hilbert((0mm,0mm),3);}~~ - \subfloat[$n=4$]{\tikz[scale=1.2] \hilbert((0mm,0mm),4);}~~ - \subfloat[$n=5$]{\tikz[scale=0.58] \hilbert((0mm,0mm),5);}% - \caption{Hilbert-Kurve}\xindex{Hilbert-Kurve} - \label{fig:hilbert-curve} -\end{figure}% diff --git a/documents/GeoTopo/figures/hyberbolische-geometrie-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/hyberbolische-geometrie-1.tex deleted file mode 100644 index b85de93..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/hyberbolische-geometrie-1.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzInit[xmax=7,ymax=3,xmin=-1,ymin=0] - \tkzDefPoints{2/0/m1,4/0/m2,1/1.1/a1,1/0/a1x, 2.5/2.0/a2,2.5/0/a2x} - \tkzDrawSegments(a1x,a1 a2x,a2) - \tkzAxeXY[ticks=false] - - \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=red](m1,1.5 cm)(0,180) - \tkzDrawArc[R,line width=1pt](m2,2.5 cm)(0,180) - \tkzDrawPoints(m1,m2,a1,a2) - \tkzLabelPoint[above](m1) {$m$} - \tkzLabelPoint[above](m2) {$\lambda^2 m$} - \tkzLabelPoint[above](a1) {$m+\iu r$} - \tkzLabelPoint[above](a2) {$\lambda^2 m+\iu \lambda^2 r$} - \node[red] at ($(m1)+(1.5,-0.2)$) {$m+1$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/hyberbolische-geometrie-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/hyberbolische-geometrie-2.tex deleted file mode 100644 index 360289d..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/hyberbolische-geometrie-2.tex +++ /dev/null @@ -1,18 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=0.5] - \tkzInit[xmax=4.5,ymax=3,xmin=-1,ymin=0] - \tkzDefPoints{0/0/O, 3/3/lz, 2/2/z, 3/0/lzx, 2/0/zx} - \tkzDrawLines(O,lz zx,z) - \tkzDrawLine[add=0 and 0.2](lzx,lz) - \tkzAxeXY[ticks=false] - - %\tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=red](m1,1.5 cm)(0,180) - %\tkzDrawArc[R,line width=1pt](m2,2.5 cm)(0,180) - \tkzDrawPoints(z,lz) - \tkzLabelPoint[left](z) {$z$} - \tkzLabelPoint[above right](zx) {$x$} - \tkzLabelPoint[right](lz) {$\lambda^2 z$} - \tkzLabelPoint[above right](lzx) {$\lambda^2 x$} - %\node[red] at ($(m1)+(1.5,-0.2)$) {$m+1$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex b/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex deleted file mode 100644 index 8841a7b..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-geometry-not-parallel.tex +++ /dev/null @@ -1,15 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzInit[xmax=6,ymax=5,xmin=-5,ymin=0] - \tkzDefPoints{-2/0/A,3.5/0/B,-0.85/0/C,2/0/D,2/2/P} - \tkzDefPoints{-1/0/X, -1/5/Y} - \tkzDrawLine[add=0.1 and 0.1](X,Y) - \tkzAxeXY - - \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=red](A,0.5 cm)(0,180) - \tkzDrawArc[R,line width=1pt](B,2.5 cm)(0,180) - \tkzDrawArc[R,line width=1pt](C,3.5 cm)(0,180) - \tkzDrawArc[R,line width=1pt](D,2.0 cm)(0,180) - \tkzDrawPoints(P) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-paraboloid.tex b/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-paraboloid.tex deleted file mode 100644 index 7a0f2d8..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-paraboloid.tex +++ /dev/null @@ -1,31 +0,0 @@ -\pgfplotsset{ - colormap={whitered}{ - color(0cm)=(white); - color(1cm)=(orange!75!red) - } -} -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - colormap name=whitered, - width=15cm, - view={340}{25}, - enlargelimits=false, - grid=major, - domain=-2:2, - y domain=-2:2, - samples=40, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000]. - % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645 - xlabel=$x$, - ylabel=$y$, - zlabel={$z$}, - colorbar, - colorbar style={ - at={(-0.1,0)}, - anchor=south west, - height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height}, - title={$f(x,y)$} - } - ] - \addplot3[surf,draw=black] {x^2-y^2}; - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-1.tex deleted file mode 100644 index 82b6101..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-1.tex +++ /dev/null @@ -1,13 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzInit[xmax=5,ymax=4,xmin=-1,ymin=0] - \tkzDefPoints{2/2/Z1,2/3/Z2,2/0/A} - \tkzAxeXY - - \tkzDrawLine[add=2 and 1, color=orange](Z1,Z2) - \tkzDrawPoints(Z1, Z2) - \tkzLabelPoint[right](Z1){$Z_1$} - \tkzLabelPoint[right](Z2){$Z_2$} - \node[orange] at ($(A)+(0.5,0.3)$) {$\Re(Z_1)$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-2.tex deleted file mode 100644 index 523f923..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-2.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzInit[xmax=5,ymax=4,xmin=-1,ymin=0] - \tkzDefPoints{1/1/Z1,2/2/Z2,3/0/A} - \tkzAxeXY - - \tkzDrawPoints(Z1, Z2) - \tkzLabelPoint[right](Z1){$Z_1$} - \tkzLabelPoint[below](Z2){$Z_2$} - \node (m) at ($(Z1)!0.5!(Z2)$) {}; - \tkzDrawSegments[dashed](Z1,Z2 A,Z1 A,Z2) - - \tkzDefLine[perpendicular=through m](Z1,Z2)\tkzGetPoint{c} - \tkzDrawLine[add=2 and 1,dashed,thick](m, c) - \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=orange](A,2.24 cm)(0,180) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/interiour-exteriour-angles-triangle.tex b/documents/GeoTopo/figures/interiour-exteriour-angles-triangle.tex deleted file mode 100644 index c4b951a..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/interiour-exteriour-angles-triangle.tex +++ /dev/null @@ -1,28 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/1/P, -1/-1/Q, 1/-1/R, -2/-1/links, 2/-1/rechts, -1.5/-2/helperLeft, 1.5/-2/helperRight, -0.25/1.5/helperTopLeft, 0.25/1.5/helperTopRight} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.6cm,color=green,fill=green!20](R,Q,P) - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.6cm,color=green,fill=green!20](P,R,Q) - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.6cm,color=green,fill=green!20](Q,P,R) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.6cm,color=blue,fill=blue!20](P,Q,links) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.6cm,color=blue,fill=blue!20](helperLeft,Q,R) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.6cm,color=blue,fill=blue!20](helperTopLeft,P,Q) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.6cm,color=blue,fill=blue!20](R,P,helperTopRight) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.6cm,color=blue,fill=blue!20](rechts,R,P) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.6cm,color=blue,fill=blue!20](Q,R,helperRight) - \tkzDrawLine[add=0.35 and 0.35](P,Q) - \tkzDrawLine[add=0.35 and 0.35](P,R) - \tkzDrawLine[add=0.4 and 0.4](Q,R) - - - - \node at ($(P) + (0.03,0.4)$) {$P$}; - \node at ($(Q) + (-0.3,-0.22)$) {$Q$}; - \node at ($(R) + ( 0.3,-0.18)$) {$R$}; - %\tkzLabelPoint[above=0.2cm](P){$P$} - %\tkzLabelPoint[below left](Q){$Q$} - %\tkzLabelPoint[below right](R){$R$} - \tkzDrawPoints(P, Q, R) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/inversion-am-kreis.tex b/documents/GeoTopo/figures/inversion-am-kreis.tex deleted file mode 100644 index 10e68ca..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/inversion-am-kreis.tex +++ /dev/null @@ -1,24 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture}[scale=3] - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=3,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzInit[xmax=1.2,ymax=1,xmin=-1.2,ymin=0] - \pgfmathsetmacro{\Radius}{1} - \tkzDefPoints{2.0/1.5/Z, 0/0/O, 0/1/i} - - %% Konstruktion von 1/ \overline{z} und -1/ \overline{z} - \tkzTangent[from with R = Z,/tikz/overlay](O,\Radius cm) \tkzGetPoints{T1}{T2} - \tkzInterLL(T1,T2)(O,Z) \tkzGetPoint{dZ} - %% - - \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=orange](O,\Radius cm)(0,180) - \tkzMarkAngle[size=1mm](Z,dZ,T1) - \tkzLabelAngle[pos=0.06](Z,dZ,T1){$\cdot$} - \tkzAxeXY - - \tkzDrawPoints(Z, dZ, T1) - \tkzLabelPoint[above left](Z){$z = r \cdot e^{\iu \varphi}$} - \tkzLabelPoint[below right](dZ){$\frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{r} \cdot e^{\iu \varphi}$} - \tkzDrawSegments[dashed](O,Z) - \tkzDrawLine[dashed, add=0 and 0.5](Z,T1) - \tkzDrawSegments[dashed](T1,dZ) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/knot-trefoil.pdf b/documents/GeoTopo/figures/knot-trefoil.pdf deleted file mode 100644 index 4e32f9f..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/knot-trefoil.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/liftung-torus-r.tex b/documents/GeoTopo/figures/liftung-torus-r.tex deleted file mode 100644 index 3d9a3a5..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/liftung-torus-r.tex +++ /dev/null @@ -1,42 +0,0 @@ -% The following answers were used to create this image: -% - http://tex.stackexchange.com/a/45824/5645 - Grid -% - http://tex.stackexchange.com/a/373/5645 - Torus -\begin{tikzpicture} -\tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] -\newcommand*{\xMin}{0}% -\newcommand*{\xMax}{6}% -\newcommand*{\yMin}{0}% -\newcommand*{\yMax}{6}% - -\draw (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[xscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[rotate=180] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[yscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); - -\draw (-2,.2) .. controls (-1.5,-0.3) and (-1,-0.5) .. (0,-.5) .. controls (1,-0.5) and (1.5,-0.3) .. (2,0.2); - -\draw (-1.75,0) .. controls (-1.5,0.3) and (-1,0.5) .. (0,.5) .. controls (1,0.5) and (1.5,0.3) .. (1.75,0); - -\begin{scope}[shift={(5,-3)}] - \foreach \i in {\xMin,...,\xMax} { - \draw [very thin,gray] (\i,\yMin) -- (\i,\yMax) node [below] at (\i,\yMin) {$\i$}; - } - \foreach \i in {\yMin,...,\yMax} { - \draw [very thin,gray] (\xMin,\i) -- (\xMax,\i) node [left] at (\xMin,\i) {$\i$}; - } - - \node (P)[point,red] at (1.2,2.2) {}; - \node (Q)[point,red] at (1.2,1.6) {}; - \draw[ultra thick, red] (P) -- (Q); - - \begin{scope}[shift={(2,1)}] - \node (P)[point,red] at (1.2,2.2) {}; - \node (Q)[point,red] at (1.2,1.6) {}; - \draw[ultra thick, red] (P) -- (Q); - \end{scope} - \draw (-1, -0.5) node[below] {$T \xrightarrow{\text{Liften}} \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$}; - \draw[red,dashed] (-5,1.5) ellipse (0.5cm and 1cm); - - \draw[red] (-5,2.5) arc (-270:-90:0.5 and 1) ; -\end{scope} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/moebius-strip.pdf b/documents/GeoTopo/figures/moebius-strip.pdf deleted file mode 100644 index f474587..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/moebius-strip.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex b/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex deleted file mode 100644 index b6dd0a6..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex +++ /dev/null @@ -1,67 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - axis x line=middle, - axis y line=middle, - %width=9cm, - %height=4.5cm, - xmin=-1, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 5, % end the diagram at this x-coordinate - ymin=-1, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 5, % end the diagram at this y-coordinate - xlabel=$Y$, - ylabel=$X$, - ticks=none, - enlargelimits=true, - after end axis/.code={ - \draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=15pt}, orange] (axis cs:0,3.6) -- (axis cs:0,2.5) node [midway,left=20pt,orange] {$V_{x,y}$}; - \draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=12pt}, green] (axis cs:1.5,0) -- (axis cs:2.5,0) node [midway,below=16pt,green] {$U_{x,y}$}; - }] - - \addplot[mark=none, red, smooth cycle, thick, fill=red!30] coordinates {(1,1) (2,0.5) (3,1.5) (3,2) (3.5,3) (3.2, 5) (2.2, 4.7) (1.5, 4.2) (1.1, 3.9) (0.9, 2.5)}; - \node[red] at (axis cs:4,4) [anchor=south] {$W_i$}; - - % Draw help lines - %\addplot[dashed] coordinates {(1.5,0) (1.5,3.6)}; - %\addplot[dashed] coordinates {(2.5,0) (2.5,3.6)}; - %\addplot[dashed] coordinates {(0,2.5) (2.5,2.5)}; - %\addplot[dashed] coordinates {(0,3.6) (2.5,3.6)}; - - % Draw solid square - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(2.5,2.5) (2.5,3.6)}; - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(2.5,3.6) (1.5,3.6)}; - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(1.5,3.6) (1.5,2.5)}; - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.5,2.5) (2.5,2.5)}; - - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(3.0,1.5) (3.0,2.6)}; - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(3.0,2.6) (1.1,2.6)}; - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(1.1,1.5) (1.1,2.6)}; - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.1,1.5) (3.0,1.5)}; - - - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(3.0,1.5) (3.0,2.6)}; - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(3.0,2.6) (1.1,2.6)}; - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(1.1,1.5) (1.1,2.6)}; - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.1,1.5) (3.0,1.5)}; - - \addplot[mark=none, blue, thick, dashed] coordinates {((1.8,0) (1.8,5)}; - \addplot[mark=none, blue, thick, dashed] coordinates {((2.2,0) (2.2,5)}; - - % Draw x and annotation - \node at (axis cs:2,3) [anchor=-90] {$x$}; - \addplot[mark=*] coordinates {(2,3)}; - - % Draw ticks of help lines - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.5, -0.1) (1.5,0.1)}; - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(2.5, -0.1) (2.5,0.1)}; - \addplot[mark=none, green, thick] coordinates {(1.5, 0) (2.5,0)}; - - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(-0.1, 2.5) (0.1,2.5)}; - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(-0.1, 3.6) (0.1,3.6)}; - \addplot[mark=none, orange, thick] coordinates {(0, 2.5) (0,3.6)}; - - % Draw axis text - \node at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$y$}; - \node at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x$}; - - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology.tex b/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology.tex deleted file mode 100644 index 507834b..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology.tex +++ /dev/null @@ -1,47 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - axis x line=middle, - axis y line=middle, - %width=9cm, - %height=4.5cm, - xmin=-1, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 5, % end the diagram at this x-coordinate - ymin=-1, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 5, % end the diagram at this y-coordinate - xlabel=$X_1$, - ylabel=$X_2$, - ticks=none, - enlargelimits=true, - after end axis/.code={ - \draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=15pt}] (axis cs:0,3.6) -- (axis cs:0,2.5) node [midway,left=20pt] {$U_2$}; - \draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=12pt}] (axis cs:1.5,0) -- (axis cs:2.5,0) node [midway,below=16pt] {$U_1$}; - }] - - \addplot[mark=none, orange, smooth cycle, thick, fill=orange!30] coordinates {(1,1) (2,0.5) (3,1.5) (3,2) (3.5,3) (3.2, 5) (2.2, 4.7) (1.5, 4.2) (1.1, 3.9) (0.9, 2.5)}; - \node[orange] at (axis cs:4,4) [anchor=south] {$U$}; - - % Draw help lines - \addplot[dashed] coordinates {(1.5,0) (1.5,3.6)}; - \addplot[dashed] coordinates {(2.5,0) (2.5,3.6)}; - \addplot[dashed] coordinates {(0,2.5) (2.5,2.5)}; - \addplot[dashed] coordinates {(0,3.6) (2.5,3.6)}; - - % Draw solid square - \addplot[mark=none, red, thick, fill=red!30] coordinates {(2.5,2.5) (2.5,3.6) (1.5,3.6) (1.5,2.5) (2.5,2.5)}; - - % Draw x and annotation - \node[blue] at (axis cs:2,3) [anchor=south west] {$x$}; - \addplot[mark=*, blue] coordinates {(2,3)}; - - % Draw ticks of help lines - \addplot[mark=none, red, thick] coordinates {(1.5, -0.1) (1.5,0.1)}; - \addplot[mark=none, red, thick] coordinates {(2.5, -0.1) (2.5,0.1)}; - \addplot[mark=none, red, thick] coordinates {(-0.1, 2.5) (0.1,2.5)}; - \addplot[mark=none, red, thick] coordinates {(-0.1, 3.6) (0.1,3.6)}; - - % Draw axis text - \node[blue] at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$x_2$}; - \node[blue] at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x_1$}; - - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex b/documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex deleted file mode 100644 index 44ec08b..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex +++ /dev/null @@ -1,37 +0,0 @@ -\tikzset{ - point/.style={ - thick, - draw=gray, - cross out, - inner sep=0pt, - minimum width=4pt, - minimum height=4pt, - }, -} -\begin{tikzpicture} - - \draw[->] (-1.5,0) -- (5.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$}; - - \foreach \x in {-1,...,5} - \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node [below] {\x}; - - \foreach \x in {-1,...,4} { - \draw[red] (\x+0.6,0.01) -- (\x+0.6,-0.14) node [below] {}; - \draw[red] (\x+1.2,0.01) -- (\x+1.2,-0.14) node [below] {}; - \draw[red] (\x+0.6,-0.07) -- (\x+1.2,-0.07) node [below] {}; - } - - \begin{scope}[shift={(0,-2)}] - \draw[thick] (0cm,0cm) circle(1cm); - \draw[thick, red] ([shift={(216:1cm)}]-0.0,0) arc (216:-72:1cm); - \draw (0:1cm) node[point, label=right:{$0$}] {}; - \path node[point, blue, label={[blue,above]{$\overline{a}$}}] (posU) at (-252:1cm) {}; - \path node[label={[red,left]{$U$}}] at (30:1cm) {}; - \end{scope} - \draw (3.7cm,0cm) node[point, blue, label={[blue,above]{$a$}}] (posA) {}; - \draw (0.7cm,0cm) node[point, blue, label={[blue,above]{$\pi^{-1}(u)$}}] {}; - \draw[dashed, blue, thick] plot [smooth] coordinates{(posU) (0.2,-0.8) (2.5,-1) (posA)}; - - \draw[blue, dashed, thick] (3.7cm,0cm) arc (0:180:1.5 and 0.5); - -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/open-square.tex b/documents/GeoTopo/figures/open-square.tex deleted file mode 100644 index ef50c79..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/open-square.tex +++ /dev/null @@ -1,27 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - axis x line=middle, - axis y line=middle, - xmin=-1.5, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 1.5, % end the diagram at this x-coordinate - ymin=-1.5, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 1.5, % end the diagram at this y-coordinate - ticks=none, - enlargelimits=true, - after end axis/.code={ - \draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=2pt}] (axis cs:0,1) -- (axis cs:-1,1) node [midway,above=5pt] {$r$}; - \draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=2pt}] (axis cs:1,1) -- (axis cs:0,1) node [midway,above=5pt] {$r$}; - \draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=2pt}] (axis cs:1,0) -- (axis cs:1,1) node [midway,right=5pt] {$r$}; - \draw [decorate,decoration={brace,mirror,raise=2pt}] (axis cs:1,-1) -- (axis cs:1,0) node [midway,right=5pt] {$r$}; - }] - - - % Draw solid square - \addplot[mark=none, thick] coordinates {(-1,-1) (1,-1) (1,1) (-1,1) (-1,-1)}; - \addplot[mark=*] coordinates {(0,0)}; - - % Draw axis text - \node at (axis cs:-1,0.5) [anchor=east] {$\mathfrak{B}_r(0) = $}; - - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/plane-r2.tex b/documents/GeoTopo/figures/plane-r2.tex deleted file mode 100644 index d92bbad..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/plane-r2.tex +++ /dev/null @@ -1,21 +0,0 @@ -\tdplotsetmaincoords{110}{50} -\begin{tikzpicture} - [tdplot_main_coords, - cube/.style={very thick,black}, - grid/.style={very thin,gray}, - axis/.style={->,blue,thick}] - - %draw a grid in the x-y plane - \foreach \x in {-0.5,0,...,2.5} - \foreach \y in {-0.5,0,...,2.5} - { - \draw[grid] (\x,-0.5) -- (\x,2.5); - \draw[grid] (-0.5,\y) -- (2.5,\y); - } - - - %draw the axes - \draw[axis] (-1,0,0) -- (3,0,0) node[anchor=west]{$y$}; - \draw[axis] (0,-1,0) -- (0,3,0) node[anchor=west]{$x$}; - -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex b/documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex deleted file mode 100644 index f9a5eec..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex +++ /dev/null @@ -1,7 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture}[scale=.5, z={(.707,.3)}] - \draw (2,3,2) -- (0,0,0) -- (4,0,0) -- (4,0,4) -- (2,3,2) - -- (4,0,0); - \draw[color=gray, style=dashed] (2,3,2) -- (0,0,4) - -- (0,0,0); - \draw[color=gray, style=dashed] (0,0,4) -- (4,0,4); - \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/pythagoras-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/pythagoras-2.tex deleted file mode 100644 index ca889ed..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/pythagoras-2.tex +++ /dev/null @@ -1,25 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, 4/4/C, 0/4/D, 1/0/W, 4/1/X, 3/4/Y, 0/3/Z} - \tkzDrawPolygon(A,B,C,D) - \tkzDrawPolygon(W,X,Y,Z) - \tkzLabelSegment[below](A,W){$b$} - \tkzLabelSegment[below](W,B){$a$} - \tkzLabelSegment[right](B,X){$b$} - \tkzLabelSegment[right](X,C){$a$} - \tkzLabelSegment[above](C,Y){$b$} - \tkzLabelSegment[above](Y,D){$a$} - \tkzLabelSegment[left](D,Z){$b$} - \tkzLabelSegment[left](Z,A){$a$} - \tkzLabelAngle[pos=-0.24](D,C,B){$\cdot$} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm](D,C,B) - \tkzLabelAngle[pos=0.24](C,B,A){$\cdot$} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm](C,B,A) - \tkzLabelAngle[pos=0.24](B,A,D){$\cdot$} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm](B,A,D) - \tkzLabelAngle[pos=0.24](A,D,C){$\cdot$} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm](A,D,C) - \tkzLabelAngle[pos=0.24](W,Z,Y){$\gamma$} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm](W,Z,Y) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/pythagoras.tex b/documents/GeoTopo/figures/pythagoras.tex deleted file mode 100644 index 6a02a24..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/pythagoras.tex +++ /dev/null @@ -1,16 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 5/0/B} - \tkzInterCC[R,/tikz/overlay](A,4cm)(B,3cm) \tkzGetPoints{C}{D} - \tkzDrawPolygon(A,B,C) - \tkzDrawPoints(A,B,C) - \tkzLabelSegment[below](A,B){$c$} - \tkzLabelSegment[above left](A,C){$b$} - \tkzLabelSegment[above right](B,C){$a$} - \tkzLabelPoint[below](A){$A$} - \tkzLabelPoint[below](B){$B$} - \tkzLabelPoint[above](C){$C$} - \tkzLabelAngle[pos=0.24](A,C,B){$\cdot$} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm](A,C,B) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/quadrat-in-kreis-in-dots.tex b/documents/GeoTopo/figures/quadrat-in-kreis-in-dots.tex deleted file mode 100644 index 8a2c8e4..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/quadrat-in-kreis-in-dots.tex +++ /dev/null @@ -1,9 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture}[thick] - \draw (-1,-1) -- (1,-1) -- (1,1) -- (-1,1) -- cycle; - \draw (0cm,0cm) circle(0.9cm); - - \begin{scope}[scale=1.7] - \draw (-1,-1) -- (1,-1) -- (1,1) -- (-1,1) -- cycle; - \draw (0cm,0cm) circle(0.9cm); - \end{scope} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/rectangle-2.1.tex b/documents/GeoTopo/figures/rectangle-2.1.tex deleted file mode 100644 index a6e71a3..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/rectangle-2.1.tex +++ /dev/null @@ -1,9 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, 4/2/C, 0/2/D, 3/2/E, 4/1/F, 1/0/G, 1/-1/H} - \tkzDrawPolygon[fill=black!20](A,B,C,D) - \tkzDrawPolygon[orange,fill=orange!20](E,C,F) - \tkzDrawPolygon[orange,fill=orange!20](A,G,H) - \tkzDrawPoints(A,B,C,D) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/rectangle-2.2.tex b/documents/GeoTopo/figures/rectangle-2.2.tex deleted file mode 100644 index 07733de..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/rectangle-2.2.tex +++ /dev/null @@ -1,9 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, 4/2/C, 0/2/D} - \tkzDrawPolygon(A,B,C,D) - \tkzDrawPolygon[pattern=north east lines](A,B,C) - \tkzDrawPolygon[pattern=north west lines](C,D,A) - \tkzDrawPoints(A,B,C,D) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-1.png b/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-1.png deleted file mode 100644 index 29ad2ed..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-1.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-2.png b/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-2.png deleted file mode 100644 index 5b1b3c3..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-2.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-3.png b/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-3.png deleted file mode 100644 index ff52a0b..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/reidemeister-move-3.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/s2.tex b/documents/GeoTopo/figures/s2.tex deleted file mode 100644 index 31286df..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/s2.tex +++ /dev/null @@ -1,9 +0,0 @@ -% Source: http://tex.stackexchange.com/a/42865/5645 -\begin{tikzpicture} - \draw (-1,0) arc (180:360:1cm and 0.5cm); - \draw[dashed] (-1,0) arc (180:0:1cm and 0.5cm); - \draw (0,1) arc (90:270:0.5cm and 1cm); - \draw[dashed] (0,1) arc (90:-90:0.5cm and 1cm); - \draw (0,0) circle (1cm); - \shade[ball color=blue!10!white,opacity=0.20] (0,0) circle (1cm); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/sin-cos.pdf b/documents/GeoTopo/figures/sin-cos.pdf deleted file mode 100644 index 828ce46..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/sin-cos.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/smaller-angle.tex b/documents/GeoTopo/figures/smaller-angle.tex deleted file mode 100644 index e47422c..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/smaller-angle.tex +++ /dev/null @@ -1,21 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 1.5/0/R1S, 3/0/R1, 1/1/G, 1/2/R2} - - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=1.2cm,color=red,fill=red!20](R1S,P,R2) - \tkzDrawLine[add=0 and 0.3,color=green](P,R1) - \tkzDrawLine[add=0 and 0.6](P,R2) - \tkzLabelPoint[below left](P){$P$} - \tkzLabelPoint[below](R1S){$R_1'$} - \tkzLabelPoint[below](R1){$R_1$} - - \tkzInterLC(P,R1)(R1S,P) \tkzGetPoints{D}{E} - \tkzInterLC(P,G)(R1S,P) \tkzGetPoints{F}{R2S} - %\tkzDrawCircle(R1S,D) - \tkzLabelPoint[below](R2S){$R_2'$} - \tkzLabelPoint[above left](R2){$R_2$} - \tkzDrawLine[add=0 and 1,color=green](P,R2S) - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.8cm,color=green,fill=green!20](R1S,P,R2S) - \tkzDrawPoints(P, R1S, R1, R2,R2S) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex b/documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex deleted file mode 100644 index a945ca0..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex +++ /dev/null @@ -1,41 +0,0 @@ -\tikzset{ - point/.style={ - thick, - draw=gray, - cross out, - inner sep=0pt, - minimum width=4pt, - minimum height=4pt, - }, -} -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - legend pos=south east, - axis x line=middle, - axis y line=middle, - %grid = major, - width=12cm, - height=8cm, - %grid style={dashed, gray!30}, - xmin=-4, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 8, % end the diagram at this x-coordinate - ymin=-4, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 4, % end the diagram at this y-coordinate - axis background/.style={fill=white}, - %xticklabels={-2,-1.6,...,2}, - %yticklabels={-8,-7,...,8}, - %tick align=outside, - enlargelimits=true, - tension=0.08] - % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; - \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; - \addplot[domain=-4:4, red, thick,samples=500] {x}; - \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; - \addplot[color=red,only marks,mark=o] - plot coordinates { - (1.5,3) - (1.5,1.5) - }; - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/solid-of-revolution.tex b/documents/GeoTopo/figures/solid-of-revolution.tex deleted file mode 100644 index 31d9a25..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/solid-of-revolution.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\pgfplotsset{ - colormap={whitered}{ - color(0cm)=(white); - color(1cm)=(orange!75!red) - } - %colormap={color}{color(0cm)=(white); color(1cm)=(blue)} -} -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[view={60}{30}] - \addplot3[surf, - samples=50, - domain=1:2,y domain=0:2*pi, - z buffer=sort] - %({(2 + tan(deg(y)))*cos((deg(x)))}, {(2 + cos(x)) * sin(x)}, {x}); - ({x * cos(deg(y))}, {x * sin(deg(y))}, {1/x}); - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/spherical-coordinates.pdf b/documents/GeoTopo/figures/spherical-coordinates.pdf deleted file mode 100644 index 854229f..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/spherical-coordinates.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/star-shaped-domain.tex b/documents/GeoTopo/figures/star-shaped-domain.tex deleted file mode 100644 index 518a14b..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/star-shaped-domain.tex +++ /dev/null @@ -1,5 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture}[thick] - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \draw[fill=orange!20] (-2,0) -- (-1,0.5) -- (0,2) -- (1,0.5) -- (2,0) -- (1,-0.5) -- (0,-2) -- (-1,-0.5) -- cycle; - \node (a)[point,label=$x$] at (0,0) {}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/stereographic-projection.tex b/documents/GeoTopo/figures/stereographic-projection.tex deleted file mode 100644 index 9459e21..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/stereographic-projection.tex +++ /dev/null @@ -1,97 +0,0 @@ -%% helper macros -\begin{tikzpicture} % CENT -\newcommand\pgfmathsinandcos[3]{% - \pgfmathsetmacro#1{sin(#3)}% - \pgfmathsetmacro#2{cos(#3)}% -} -\newcommand\LongitudePlane[3][current plane]{% - \pgfmathsinandcos\sinEl\cosEl{#2} % elevation - \pgfmathsinandcos\sint\cost{#3} % azimuth - \tikzset{#1/.estyle={cm={\cost,\sint*\sinEl,0,\cosEl,(0,0)}}} -} -\newcommand\LatitudePlane[3][current plane]{% - \pgfmathsinandcos\sinEl\cosEl{#2} % elevation - \pgfmathsinandcos\sint\cost{#3} % latitude - \pgfmathsetmacro\yshift{\cosEl*\sint} - \tikzset{#1/.estyle={cm={\cost,0,0,\cost*\sinEl,(0,\yshift)}}} % -} -\newcommand\DrawLongitudeCircle[2][1]{ - \LongitudePlane{\angEl}{#2} - \tikzset{current plane/.prefix style={scale=#1}} - % angle of "visibility" - \pgfmathsetmacro\angVis{atan(sin(#2)*cos(\angEl)/sin(\angEl))} % - \draw[current plane] (\angVis:1) arc (\angVis:\angVis+180:1); - \draw[current plane,dashed] (\angVis-180:1) arc (\angVis-180:\angVis:1); -} -\newcommand\DrawLatitudeCircle[2][1]{ - \LatitudePlane{\angEl}{#2} - \tikzset{current plane/.prefix style={scale=#1}} - \pgfmathsetmacro\sinVis{sin(#2)/cos(#2)*sin(\angEl)/cos(\angEl)} - % angle of "visibility" - \pgfmathsetmacro\angVis{asin(min(1,max(\sinVis,-1)))} - \draw[current plane] (\angVis:1) arc (\angVis:-\angVis-180:1); - \draw[current plane,dashed] (180-\angVis:1) arc (180-\angVis:\angVis:1); -} - -\tikzset{% - >=latex, % option for nice arrows - inner sep=0pt,% - outer sep=2pt,% - mark coordinate/.style={inner sep=0pt,outer sep=0pt,minimum size=3pt, - fill=black,circle}% -} -%% some definitions - -\def\R{2.5} % sphere radius -\def\angEl{35} % elevation angle -\def\angAz{-105} % azimuth angle -\def\angPhi{-40} % longitude of point P -\def\angBeta{19} % latitude of point P - -%% working planes - -\pgfmathsetmacro\H{\R*cos(\angEl)} % distance to north pole -\tikzset{xyplane/.estyle={cm={cos(\angAz),sin(\angAz)*sin(\angEl),-sin(\angAz), - cos(\angAz)*sin(\angEl),(0,-\H)}}} -\LongitudePlane[xzplane]{\angEl}{\angAz} -\LongitudePlane[pzplane]{\angEl}{\angPhi} -\LatitudePlane[equator]{\angEl}{0} - -%% draw xyplane and sphere - -\draw[xyplane] (-2*\R,-2*\R) rectangle (2.2*\R,2.8*\R); -\fill[ball color=white] (0,0) circle (\R); % 3D lighting effect -\draw (0,0) circle (\R); - -%% characteristic points - -\coordinate (O) at (0,0); -\coordinate[mark coordinate] (N) at (0,\H); -\coordinate[mark coordinate] (S) at (0,-\H); -\path[pzplane] (\angBeta:\R) coordinate[mark coordinate] (P); -\path[pzplane] (\R,0) coordinate (PE); -\path[xzplane] (\R,0) coordinate (XE); -\path (PE) ++(0,-\H) coordinate (Paux); % to aid Phat calculation -\coordinate[mark coordinate] (Phat) at (intersection cs: first line={(N)--(P)}, - second line={(S)--(Paux)}); - -%% draw meridians and latitude circles - -\DrawLatitudeCircle[\R]{0} % equator -\DrawLongitudeCircle[\R]{\angAz} % xzplane -\DrawLongitudeCircle[\R]{\angAz+90} % yzplane -\DrawLongitudeCircle[\R]{\angPhi} % pzplane - -%% draw xyz coordinate system - -\draw[xyplane,<->] (1.8*\R,0) node[below] {$x$} -- (0,0) -- (0,2.4*\R) - node[right] {$y$}; -\draw[->] (0,-\H) -- (0,1.6*\R) node[above] {$z$}; - -%% draw lines and put labels - -\draw[blue,dashed] (P) -- (N) +(0.3ex,0.6ex) node[above left,black] {$\mathbf{N}$}; -\draw[blue] (P) -- (Phat) node[above right,black] {$\mathbf{\hat{P}}$}; -\path (S) +(0.4ex,-0.4ex) node[below] {$\mathbf{0}$}; -\draw (P) node[above right] {$\mathbf{P}$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/three-angles.tex b/documents/GeoTopo/figures/three-angles.tex deleted file mode 100644 index 3aff0e3..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/three-angles.tex +++ /dev/null @@ -1,21 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/P, 1/0/helperRight, 1/1/helperTopRight, -1/1/helperTopLeft, -1/0/helperLeft, -1/-0.3/helperBottomLeft} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.8cm,color=green,fill=green!20](helperRight,P,helperTopRight) - \tkzMarkAngle[arc=ll,size=0.8cm,color=blue,fill=blue!20](helperTopRight,P,helperTopLeft) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.8cm,color=red,fill=red!20](helperTopLeft,P,helperBottomLeft) - \path[draw] ++(25:.4) node[rotate=0] {$\alpha$}; - \path[draw] ++(90:.4) node[rotate=0] {$\beta$}; - \path[draw] ++(160:.4) node[rotate=0] {$\gamma$}; - - \tkzDrawLine[add=0 and 1.0](P, helperRight) - \tkzDrawLine[add=0 and 0.3](P, helperTopRight) - \tkzDrawLine[add=0 and 0.3](P, helperTopLeft) - \tkzDrawLine[add=0 and 1.0](P, helperLeft) - \tkzDrawLine[add=0 and 0.8](P, helperBottomLeft) - - \tkzDrawPoints(P) - \tkzLabelPoint[below](P){$P$} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/todo/skizze-1.jpg b/documents/GeoTopo/figures/todo/skizze-1.jpg deleted file mode 100644 index a350ffe..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/todo/skizze-1.jpg and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/todo/ueberlappung-kaestchen-torus.jpg b/documents/GeoTopo/figures/todo/ueberlappung-kaestchen-torus.jpg deleted file mode 100644 index d495724..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/todo/ueberlappung-kaestchen-torus.jpg and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-hin-zurueck.jpg b/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-hin-zurueck.jpg deleted file mode 100644 index 4e86e58..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-hin-zurueck.jpg and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-parametrisierung.jpg b/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-parametrisierung.jpg deleted file mode 100644 index 92d184c..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-parametrisierung.jpg and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-skizze-1.jpg b/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-skizze-1.jpg deleted file mode 100644 index 6fc6414..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/todo/wege-skizze-1.jpg and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topo-halbgerade.tex b/documents/GeoTopo/figures/topo-halbgerade.tex deleted file mode 100644 index 68fbd71..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topo-halbgerade.tex +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (Pleft) at (0,0) {}; - \node (P)[point,label=90:$P$] at (2,0) {}; - \node (R)[point,label=90:$R$] at (4,0) {}; - \node (Rright) at (6,0) {}; - \draw[dashed,very thick] (Pleft) -- (P); - \draw[dotted,very thick] (P) -- (R) -- (Rright); - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (Pleft) -- (P) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$PR^-$}; - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (P) -- (R) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$\overline{PR}$}; - \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.8cm},decorate] (P) -- (Rright) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.85cm] {$PR^+$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topologischer-raum-x.tex b/documents/GeoTopo/figures/topologischer-raum-x.tex deleted file mode 100644 index ca951ba..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topologischer-raum-x.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture}[thick] - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node[blue] at (4.5, 1.7) {$a$}; - \node[purple] at (7.5, 1.7) {$b$}; - \begin{scope}[xshift=5cm, yshift=1cm] - \draw[blue,->] ( 0,0)+(150:0.7cm) arc (150:510:0.7cm); - \draw[purple,<-] (1.4,0)+( 40:0.7cm) arc (40:400:0.7cm); - \node (z)[point,label={[label distance=0.2cm]-90:$x$}] at (0.7,0) {}; - \end{scope} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-1-d-simplizialkomplex.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-1-d-simplizialkomplex.tex deleted file mode 100644 index 2ae6154..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-1-d-simplizialkomplex.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0.4,0) {}; - \node (b)[point] at (1,1) {}; - \node (c)[point] at (2,1) {}; - \node (d)[point] at (2.6,0) {}; - \node (e)[point] at (2,-1) {}; - \node (f)[point] at (1,-1) {}; - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- (d.center) -- (e.center) -- (f.center) -- cycle; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex deleted file mode 100644 index c8b3abb..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex +++ /dev/null @@ -1,33 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - axis x line=none, - axis y line=none, - %width=9cm, - %height=4.5cm, - xmin= 0, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 5, % end the diagram at this x-coordinate - ymin= 0, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 5, % end the diagram at this y-coordinate - xlabel=$Y$, - ylabel=$X$, - ticks=none, - enlargelimits=true] - - \addplot[mark=none, red, smooth cycle, thick, fill=red!30] coordinates {(0,0) (2,0.2) (3,1.5) (3,2) (3.5,3) (3.2, 5) (2.2, 4.7) (1.5, 4.2) (1.1, 3.9) (0.2, 2.5)}; - \node[red] at (axis cs:4,4) [anchor=south] {$X_i$}; - - % Draw solid square - \addplot[mark=none, thick] coordinates {(1.5,2.0) (2.5,2.0) (2.5,3.6) (1.5,3.6) (1.5,2.0)}; - \node at (axis cs:2.7,3.2) [anchor=90] {$K$}; - - - % Draw x and annotation - \node at (axis cs:1.8,3.2) [anchor=-90] {$x$}; - \draw (axis cs:1.8,3.2) circle[radius=0.6]; - \addplot[mark=*] coordinates {(1.8,3.2)}; - - \node at (axis cs:0.8,1.2) [anchor=-90] {$y$}; - \draw (axis cs:0.8,1.2) circle[radius=0.6]; - \addplot[mark=*] coordinates {(0.8,1.2)}; - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-2.tex deleted file mode 100644 index 357a53f..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-2.tex +++ /dev/null @@ -1,78 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture}[scale=1.5] - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (1,0) {}; - \node (c)[point] at (2,0) {}; - - \node (d)[point] at (0,1) {}; - \node (M)[point,label={[label distance=0cm]5:$M$}] at (1,1) {}; - \node (f)[point] at (2,1) {}; - - \node (g)[point] at (0,2) {}; - \node (h)[point] at (1,2) {}; - \node (i)[point] at (2,2) {}; - - \draw (a.center) -- node[below] {$a$} (b.center); - \draw (b.center) -- node[below] {$b$} (c.center); - \draw (g.center) -- node[above] {$a$} (h.center); - \draw (h.center) -- node[above] {$b$} (i.center); - \draw (d.center) -- node[left] {$c$} (g.center); - \draw (d.center) -- node[left] {$d$} (a.center); - \draw (f.center) -- node[right] {$d$} (c.center); - \draw (i.center) -- node[right] {$c$} (f.center); - - \draw (a.center) -- (b.center) -- (M.center) -- (d.center) -- cycle; - \draw (b.center) -- (c.center) -- (f.center) -- (M.center) -- cycle; - \draw (d.center) -- (M.center) -- (h.center) -- (g.center) -- cycle; - \draw (M.center) -- (f.center) -- (i.center) -- (h.center) -- cycle; - - \draw[thick, blue] (d.center) -- (M.center) -- (f.center); - - \draw[thick, red] (a.center) -- (b.center); - \draw[thick, red] (h.center) -- (i.center); - - % Draw again so that lines are below nodes - \draw (a.center) -- (i.center); - \draw (c.center) -- (g.center); - - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (1,0) {}; - \node (c)[point] at (2,0) {}; - - \node (d)[point] at (0,1) {}; - \node (M)[point,label={[label distance=0cm]5:$M$}] at (1,1) {}; - \node (f)[point] at (2,1) {}; - - \node (g)[point] at (0,2) {}; - \node (h)[point] at (1,2) {}; - \node (i)[point] at (2,2) {}; - - \draw[->] (3,1) -- node[above] {Quotient nach} node[below] {Punktspiegelung} (5,1); - - \begin{scope}[xshift=6.5cm,yshift=1cm] - \node (w)[point] at (-1,0) {}; - \node (x)[point] at (0,-1) {}; - \node (y)[point] at (1,0) {}; - \node (z)[point] at (0,1) {}; - \node (m)[point] at (0,0) {}; - - \node (1) at (-0.3,+0.35) {1}; - \node (2) at (+0.3,+0.35) {2}; - \node (3) at (+0.3,-0.35) {3}; - \node (4) at (-0.3,-0.35) {4}; - - \draw (w.center) -- (x.center) -- (y.center) -- (z.center) -- cycle; - - \draw[thick, blue] (w.center) -- (m.center); - \draw (m.center) -- (y.center); - \draw (x.center) -- (m.center) -- (z.center); - \draw[thick, red] (z.center) -- (y.center) -- (x.center); - - % Draw again, as lines should be below points - \node (w)[point] at (-1,0) {}; - \node (x)[point] at (0,-1) {}; - \node (y)[point] at (1,0) {}; - \node (z)[point] at (0,1) {}; - \node (m)[point] at (0,0) {}; - \end{scope} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-3.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-3.tex deleted file mode 100644 index 415e903..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-3.tex +++ /dev/null @@ -1,86 +0,0 @@ -\newenvironment{customlegend}[1][]{% - \begingroup - % inits/clears the lists (which might be populated from previous - % axes): - \csname pgfplots@init@cleared@structures\endcsname - \pgfplotsset{#1}% -}{% - % draws the legend: - \csname pgfplots@createlegend\endcsname - \endgroup -}% - -% makes \addlegendimage available (typically only available within an -% axis environment): -\def\addlegendimage{\csname pgfplots@addlegendimage\endcsname} - -%%-------------------------------- - -% definition to insert numbers -\pgfkeys{/pgfplots/number in legend/.style={% - /pgfplots/legend image code/.code={% - \node at (0.295,-0.0225){#1}; - },% - }, -} - -\pgfdeclarelayer{background} -\pgfdeclarelayer{foreground} -\pgfsetlayers{background,main,foreground} -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - - \tkzDefPoints{0/0/A, 2/0/B, 3/0.5/C, 0/3/D, 2/3/E, 3/1.5/F, 2/2/G, 1/1.5/H} - - \begin{pgfonlayer}{foreground} - %Get intersections - \tkzInterLL(B,H)(A,C) \tkzGetPoint{I} - \tkzInterLL(B,F)(A,C) \tkzGetPoint{J} - \tkzInterLL(A,G)(B,H) \tkzGetPoint{K} - \tkzInterLL(A,G)(H,F) \tkzGetPoint{L} - \tkzInterLL(C,G)(B,F) \tkzGetPoint{M} - \tkzInterLL(C,G)(H,F) \tkzGetPoint{N} - \tkzInterLL(G,D)(H,E) \tkzGetPoint{O} - - \tkzDrawPoints[color=green,fill=green](A,C,G,D) - \tkzDrawPoints[color=blue,fill=blue](B,F,E,H) - \tkzDrawPoints[color=red,fill=red](I,J,K,L,M,N,O) - \end{pgfonlayer} - - \tkzDrawPolygon[blue,very thick](H,E,F,B) - \tkzDrawSegment[blue,very thick](H,F) - - \tkzDrawPolygon[green,very thick](A,D,G,C) - \tkzDrawSegment[green,very thick](A,G) - - \tkzDrawSegments[red,very thick](I,M I,N I,L A,H H,D L,O N,E G,E) - - % \tkzLabelPoint(A){A} - % \tkzLabelPoint(B){B} - % \tkzLabelPoint(C){C} - % \tkzLabelPoint(D){D} - % \tkzLabelPoint(E){E} - % \tkzLabelPoint(F){F} - % \tkzLabelPoint(G){G} - % \tkzLabelPoint(H){H} - % \tkzLabelPoint(I){I} - % \tkzLabelPoint(J){J} - % \tkzLabelPoint(K){K} - % \tkzLabelPoint(L){L} - % \tkzLabelPoint(M){M} - % \tkzLabelPoint(N){N} - % \tkzLabelPoint(O){O} - - \begin{customlegend}[ - legend entries={ - $T_1$, - $T_2$, - $T$ - }, - legend style={at={(4.5,3.5)},font=\footnotesize}] % <= to define position and font legend - % the following are the "images" and numbers in the legend - \addlegendimage{blue,very thick} - \addlegendimage{green,very thick} - \addlegendimage{red,very thick} - \end{customlegend} -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-4.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-4.tex deleted file mode 100644 index 4b6af5a..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-4.tex +++ /dev/null @@ -1,60 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture}[thick] - \draw[pattern=north east lines] (-3,3) -- (3,3) -- (3,-3) -- (-3,-3) -- cycle; - \begin{scope} - \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle; - \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5); - \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5); - \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3); - \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3); - \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3); - \end{scope} - \begin{scope}[rotate=90] - \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle; - \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5); - \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5); - \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3); - \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3); - \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3); - \end{scope} - \begin{scope}[rotate=180] - \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle; - \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5); - \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5); - \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3); - \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3); - \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3); - \end{scope} - \begin{scope}[rotate=270] - \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle; - \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5); - \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5); - \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3); - \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3); - \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3); - \end{scope} - - \node[red] at (3.3,-1) {$V$}; - \node[green] at (3.3,2) {$U$}; - \node[blue] at (1.5, 3.2) {$a$}; - \node[purple] at (-0.4, 1.8) {$b$}; - \draw[purple] (-1.5,1.5) -- (1.5,1.5); - - \begin{scope}[xshift=6cm, yshift=-2cm] - \node[red] at (-0.5,0.5) {$V$}; - \draw[red,pattern color=red, pattern=north west lines] (-1,1) -- (1,1) -- (1,-1) -- (-1,-1) -- cycle; - \draw[red] (-1,0) -- (1,0); - \draw[red] (0,-1) -- (0,1); - \end{scope} - - \node[blue] at (4.5, 1.7) {$a$}; - \node[purple] at (7.5, 1.7) {$b$}; - \begin{scope}[xshift=5cm, yshift=1cm] - \draw[black,fill=white] (0,0) circle(1.2cm); - \draw[black, fill=white] (2,0) circle(1.2cm); - \path[fill=white] (0,0) circle(1.19cm); - \draw[black] (0,0) circle(0.5cm); - \draw[black] (2,0) circle(0.5cm); - \draw[blue,->] (0,0)+(30:0.7cm) arc (30:390:0.7cm); - \draw[purple,<-] (2,0)+(150:0.7cm) arc (150:510:0.7cm); - \end{scope} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-circle-two-paths.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-circle-two-paths.tex deleted file mode 100644 index 927d1f8..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-circle-two-paths.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \draw [red, thick,domain=90:-90, samples=100] plot ({cos(\x)}, {sin(\x)}); - \draw [green,thick,domain=-90:-270,samples=100] plot ({cos(\x)}, {sin(\x)}); - \node (a)[point,label=90:$a$] at (0,-1cm) {}; - \node (b)[point,label=-90:$b$] at (0, 1cm) {}; - - \node at (1,0) [anchor=180, red] {$\gamma_1$}; - \node at (-1,0) [anchor=0, green] {$\gamma_2$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex deleted file mode 100644 index 69e5f91..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex +++ /dev/null @@ -1,39 +0,0 @@ -\tikzset{ - point/.style={ - thick, - draw=gray, - cross out, - inner sep=0pt, - minimum width=4pt, - minimum height=4pt, - }, -} -\begin{tikzpicture} - - \draw[->] (-0.5,0) -- (1.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$}; - - \foreach \x in {0,...,1} - \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node [below] {\x}; - - - \draw[thick,red] (0.07,0.1) -- (0,0.1) -- (0,-0.1) -- (0.07,-0.1) node [below] {}; - \draw[thick,red] plot [smooth] coordinates{(0.47,0.1) (0.5,0) (0.47,-0.1)}; - \draw[thick,red] (0,0) -- (0.5,0); - \draw[dotted,red] (0,-0.03) -- (0.5,-0.03); - - \begin{scope}[shift={(4,0)}] - \draw[thick] (0cm,0cm) circle(1cm); - \draw[thick, red] ([shift={(180:1cm)}]-0.0,0) arc (180:0:1cm); - \draw[red, dotted] ([shift={(180:0.97cm)}]-0.0,0) arc (180:0:0.97cm); - \draw (0:1cm) node[point, label=right:{$0$}] {}; - \end{scope} - - \coordinate (circleUp) at (2.6, 0.1); - \coordinate (circleDown) at (2.6,-0.1); - \coordinate (numberlineUp) at (1.7, 0.1); - \coordinate (numberlineDown) at (1.7,-0.1); - - \path[->] (numberlineUp) edge [bend left] node[label=$f$] {} (circleUp); - \path[<-] (numberlineDown) edge [bend right] node[label=below:$g$] {} (circleDown); - -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-cube-divided.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-cube-divided.tex deleted file mode 100644 index f298b41..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-cube-divided.tex +++ /dev/null @@ -1,30 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (4,0) {}; - \node (c)[point] at (5,1) {}; - \node (d)[point] at (1,1) {}; - \node (e)[point] at (0,2) {}; - \node (f)[point] at (4,2) {}; - \node (g)[point] at (5,3) {}; - \node (h)[point] at (1,3) {}; - \draw (a.center) -- (b.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle; - \draw (b.center) -- (c.center) -- (g.center) -- (f.center) -- cycle; - \draw (e.center) -- (f.center) -- (g.center) -- (h.center) -- cycle; - \draw[dashed] (a.center) -- (d.center) -- (c.center); - \draw[dashed] (d.center) -- (h.center); - - \draw[orange] (b.center) -- (e.center) -- (g.center); - \draw[orange,dashed] (a.center) -- (c.center) -- (h.center); - \draw[orange,dashed] (d.center) -- (e.center); - \draw[orange] (f.center) -- (c.center); - - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (4,0) {}; - \node (c)[point] at (5,1) {}; - \node (d)[point] at (1,1) {}; - \node (e)[point] at (0,2) {}; - \node (f)[point] at (4,2) {}; - \node (g)[point] at (5,3) {}; - \node (h)[point] at (1,3) {}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-cube.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-cube.tex deleted file mode 100644 index add1842..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-cube.tex +++ /dev/null @@ -1,16 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (4,0) {}; - \node (c)[point] at (5,1) {}; - \node (d)[point] at (1,1) {}; - \node (e)[point] at (0,2) {}; - \node (f)[point] at (4,2) {}; - \node (g)[point] at (5,3) {}; - \node (h)[point] at (1,3) {}; - \draw (a.center) -- (b.center) -- (f.center) -- (e.center) -- cycle; - \draw (b.center) -- (c.center) -- (g.center) -- (f.center) -- cycle; - \draw (e.center) -- (f.center) -- (g.center) -- (h.center) -- cycle; - \draw[dashed] (a.center) -- (d.center) -- (c.center); - \draw[dashed] (d.center) -- (h.center); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-k-3-3.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-k-3-3.tex deleted file mode 100644 index 071cfd4..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-k-3-3.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - - \foreach \x in {0,1,2} - \foreach \y in {0,1,2}{ - \node (a)[point] at (\y,0) {}; - \node (b)[point] at (\x,1) {}; - \draw (a) -- (b); - } -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-k-5.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-k-5.tex deleted file mode 100644 index 5f3006b..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-k-5.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ - \newcommand\n{5} - \begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - - \begin{scope}[rotate=17] - %the multiplication with floats is not possible. Thus I split the loop in two. - \foreach \number in {1,...,\n}{ - \node[point] (N-\number) at ({\number*(360/\n)}:1.5cm) {}; - } - - \foreach \number in {1,...,\n}{ - \foreach \y in {1,...,\n}{ - \draw (N-\number) -- (N-\y); - } - } - \end{scope} - \end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-simple.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-simple.tex deleted file mode 100644 index 0ba5840..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-simple.tex +++ /dev/null @@ -1,8 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (1,0) {}; - \path (a.center) edge [bend left] (b.center); - \path (a.center) edge (b.center); - \path (a.center) edge [bend right] (b.center); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder-area-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder-area-2.tex deleted file mode 100644 index c979a4f..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder-area-2.tex +++ /dev/null @@ -1,15 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (z)[point] at (0,0) {}; - \node (a)[point] at (90:1cm) {}; - \node (b)[point] at (210:1cm) {}; - \node (c)[point] at (330:1cm) {}; - \node (d)[point] at (10:1.5cm) {}; - \path (z.center) edge (a.center); - \path (z.center) edge (b.center); - \path (z.center) edge (c.center); - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; - - \draw (a.center) -- (d.center); - \draw (c.center) -- (d.center); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder-area.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder-area.tex deleted file mode 100644 index 391eb04..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder-area.tex +++ /dev/null @@ -1,15 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (z)[point] at (0,0) {}; - \node (a)[point] at (90:1cm) {}; - \node (b)[point] at (210:1cm) {}; - \node (c)[point] at (330:1cm) {}; - \path (z.center) edge (a.center); - \path (z.center) edge (b.center); - \path (z.center) edge (c.center); - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; - - \draw[pattern=north west lines] (a.center) -- (b.center) -- (z.center) --cycle; - \draw[pattern=dots] (b.center) -- (c.center) -- (z.center) --cycle; - \draw[pattern=crosshatch] (a.center) -- (c.center) -- (z.center) --cycle; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder.tex deleted file mode 100644 index c08c82b..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-graph-tetraeder.tex +++ /dev/null @@ -1,11 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (z)[point] at (0,0) {}; - \node (a)[point] at (90:1cm) {}; - \node (b)[point] at (210:1cm) {}; - \node (c)[point] at (330:1cm) {}; - \path (z.center) edge (a.center); - \path (z.center) edge (b.center); - \path (z.center) edge (c.center); - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-halfspace.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-halfspace.tex deleted file mode 100644 index a14c378..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-halfspace.tex +++ /dev/null @@ -1,11 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \draw [white,step=0.5cm, pattern=north east lines] (0,0) rectangle (2,1); - \draw[very thick] (0,0) -- (2,0); - - \node at (2.4,0.5) {$\stackrel{\sim}{=}$}; - -\begin{scope}[shift={(4,0)}] - \draw[white,pattern=north east lines] ([shift={(180:1cm)}]-0.0,0) arc (180:0:1cm); - \draw[very thick] (-1,0) -- (1,0); -\end{scope} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-homotop-paths-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-homotop-paths-2.tex deleted file mode 100644 index eecb3dc..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-homotop-paths-2.tex +++ /dev/null @@ -1,26 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node at (3,1) [red] {$\gamma_1$}; - \node at (1,1) [blue] {$\gamma_1'$}; - \node (a)[point,label=180:$a$] at (0,0) {}; - \node (b)[point,label=-90:$b$] at (4, 0) {}; - \node (c)[point,label=0:$c$] at (8, 0) {}; - \draw [rounded corners, thick, red] (a) .. controls (1,-1) .. (2,0) .. controls (3,1) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1,-0.8) .. (2,0) .. controls (3,0.8) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1,-0.6) .. (2,0) .. controls (3,0.6) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1,-0.4) .. (2,0) .. controls (3,0.4) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1,-0.2) .. (2,0) .. controls (3,0.2) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0) .. (2,0) .. controls (3,0.0) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0.2) .. (2,0) .. controls (3,-0.2) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0.4) .. (2,0) .. controls (3,-0.4) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0.6) .. (2,0) .. controls (3,-0.6) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 0.8) .. (2,0) .. controls (3,-0.8) .. (b); - \draw [rounded corners, dashed] (a) .. controls (1, 1.0) .. (2,0) .. controls (3,-1.0) .. (b); - \draw [rounded corners, thick, blue] (a) .. controls (1,1) .. (2,0) .. controls (3,-1) .. (b); - \draw [rounded corners, thick, green!80!black] (b) edge[bend right] node[below] {$\gamma_2'$} (c); - \draw [rounded corners, dashed] (b) edge[bend right=20] (c); - \draw [rounded corners, dashed] (b) edge[bend right=-20] (c); - \draw [rounded corners, dashed] (b) edge[bend right=10] (c); - \draw [rounded corners, dashed] (b) edge[bend right=-10] (c); - \draw [rounded corners, thick, orange] (b) edge[bend left] node[above] {$\gamma_2$} (c); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-homotop-paths.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-homotop-paths.tex deleted file mode 100644 index 93c70fd..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-homotop-paths.tex +++ /dev/null @@ -1,16 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point,label=180:$a$] at (0,0) {}; - \node (b)[point,label=0:$b$] at (3, 0) {}; - \draw [rounded corners] (a) .. controls (0.8,0.8) .. (1.5,0.8) .. controls (2.2,1) .. (b); - \draw [rounded corners] (a) .. controls (0.6,0.6) .. (1.3,0.6) .. controls (2.0,0.8) .. (b); - \draw [rounded corners] (a) .. controls (0.3,0.3) .. (1.0,0.3) .. controls (2.0,0.4) .. (b); - \draw [rounded corners] (a) -- (b); - \draw [rounded corners] (a) .. controls (1,-0.8) .. (2,-0.4) .. controls (2.2,-0.9) .. (b); - \draw [rounded corners] (a) .. controls (1,-0.6) .. (2,-0.2) .. controls (2.2,-0.5) .. (b); - \draw [rounded corners] (a) .. controls (1,-0.3) .. (2,-0.05) .. controls (2.2,-0.2) .. (b); - \draw [rounded corners,->, thick, red] (a) .. controls (1,1) .. (2,1) .. controls (2.5,1) .. (b); - \draw [rounded corners,->, thick, blue] (a) .. controls (1,-1) .. (2,-0.5) .. controls (2.2,-1) .. (b); - \node at (1,1.2) [red] {$\gamma_1$}; - \node at (0.5,-0.8) [blue] {$\gamma_2$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-jordan.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-jordan.tex deleted file mode 100644 index 8ddaad7..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-jordan.tex +++ /dev/null @@ -1,46 +0,0 @@ -% Code from Christian Feuersänger -% http://tex.stackexchange.com/questions/54794/using-a-pgfplots-style-legend-in-a-plain-old-tikzpicture#54834 -% argument #1: any options -\newenvironment{customlegend}[1][]{% - \begingroup - % inits/clears the lists (which might be populated from previous - % axes): - \csname pgfplots@init@cleared@structures\endcsname - \pgfplotsset{#1}% -}{% - % draws the legend: - \csname pgfplots@createlegend\endcsname - \endgroup -}% - -% makes \addlegendimage available (typically only available within an -% axis environment): -\def\addlegendimage{\csname pgfplots@addlegendimage\endcsname} - -%%-------------------------------- - -% definition to insert numbers -\pgfkeys{/pgfplots/number in legend/.style={% - /pgfplots/legend image code/.code={% - \node at (0.295,-0.0225){#1}; - },% - }, -} -\begin{tikzpicture} - \draw[draw=white,pattern=north west lines, pattern color=blue] (-1.5,-1.5) rectangle (1.5,1.5); - \draw[fill=white] (0cm,0cm) circle(1cm); - \draw[fill=white,thick,pattern=dots, pattern color=red] (0cm,0cm) circle(1cm); - - \begin{customlegend}[ - legend entries={ % <= in the following there are the entries - au{\ss}en, - innen, - Jordankurve - }, - legend style={at={(4.5,1.5)},font=\footnotesize}] % <= to define position and font legend - % the following are the "images" and numbers in the legend - \addlegendimage{area legend,pattern=north west lines, pattern color=blue,draw=white} - \addlegendimage{area legend,pattern=dots, pattern color=red,draw=white} - \addlegendimage{thick} - \end{customlegend} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-kartenwechsel.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-kartenwechsel.tex deleted file mode 100644 index 496bff9..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-kartenwechsel.tex +++ /dev/null @@ -1,46 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \draw (0,0) ellipse (2cm and 1cm); - \begin{scope}[xshift=-2.2cm,yshift=-2.8cm] - \draw[->] (0,0) -- (0,1.5); - \draw[->] (0,0) -- (1.5,0); - \node at (0.3,0.16) {$\mathbb{R}^n$}; - \end{scope} - \begin{scope}[xshift=0.4cm,yshift=-2.8cm] - \draw[->] (0,0) -- (0,1.5); - \draw[->] (0,0) -- (1.5,0); - \node at (0.3,0.16) {$\mathbb{R}^n$}; - \end{scope} - \def\ringa{(-0.3,0) circle (0.5cm)} - \def\ringb{(+0.3,0) circle (0.5cm)} - - \begin{scope}[even odd rule] - \clip \ringa; - \fill[pattern color=red,pattern=north east lines] \ringb; - \end{scope} - - \begin{scope}[even odd rule,shift={(-0.7,-2)}] - \clip \ringa; - \fill[draw=red,pattern color=red,pattern=north east lines] \ringb; - \end{scope} - - \begin{scope}[even odd rule,shift={(+0.7,-2)}] - \clip \ringb; - \fill[draw=red,pattern color=red,pattern=north east lines] \ringa; - \end{scope} - \draw \ringa; - \draw \ringb; - - \node at (-1,0.3) {$U_i$}; - \node at (+1,0.3) {$U_j$}; - \node at (-1.9,-2) {$V_i$}; - \node at (+1.9,-2) {$V_j$}; - \node at (+2.0,0.7) {$X$}; - - \path[->] (-0.35,0) edge [bend angle=10,bend right] node[label={[label distance=0.1cm]210:$\varphi_i$}] {} (-1,-1.5); - \path[->] (+0.35,0) edge [bend angle=10,bend left] node[label={[label distance=0.1cm]-30:$\varphi_j$}] {} (+1,-1.5); - - \draw (-1,-2) circle (0.5cm); - \draw (+1,-2) circle (0.5cm); - - \draw[->, red, thick] (-0.3,-2) -- (0.3,-2); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-linear-mapping.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-linear-mapping.tex deleted file mode 100644 index 2ffbfc1..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-linear-mapping.tex +++ /dev/null @@ -1,18 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - - \node (a)[point,label={[label distance=0cm]180:$0$}] at (0,0) {}; - \node (b)[point,label={[label distance=0cm]0:$e_2$}] at (2.5,0) {}; - \node (c)[point,label={[label distance=0cm]90:$e_1$}] at (2,1) {}; - - \begin{scope}[xshift=5cm] - \node (d)[point,label={[label distance=0cm]180:$0$}] at (0,0) {}; - \node (e)[point,label={[label distance=0cm]0:$b_1$}] at (4,0) {}; - \node (f)[point,label={[label distance=0cm]90:$b_2$}] at (2,2) {}; - \end{scope} - - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; - \draw (d.center) -- (e.center) -- (f.center) -- cycle; - - \draw[thick,->] (3,0.5) -- node[above] {$\varphi$} (5,0.5); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex deleted file mode 100644 index f0a10ec..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex +++ /dev/null @@ -1,82 +0,0 @@ -% defining the new dimensions and parameters -\newlength{\hatchspread} -\newlength{\hatchthickness} -\newlength{\hatchshift} -\newcommand{\hatchcolor}{} -% declaring the keys in tikz -\tikzset{hatchspread/.code={\setlength{\hatchspread}{#1}}, - hatchthickness/.code={\setlength{\hatchthickness}{#1}}, - hatchshift/.code={\setlength{\hatchshift}{#1}},% must be >= 0 - hatchcolor/.code={\renewcommand{\hatchcolor}{#1}}} -% setting the default values -\tikzset{hatchspread=6pt, - hatchthickness=0.4pt, - hatchshift=0pt,% must be >= 0 - hatchcolor=black} -% declaring the pattern -\pgfdeclarepatternformonly[\hatchspread,\hatchthickness,\hatchshift,\hatchcolor]% variables - {custom north west lines}% name - {\pgfqpoint{\dimexpr-2\hatchthickness}{\dimexpr-2\hatchthickness}}% lower left corner - {\pgfqpoint{\dimexpr\hatchspread+2\hatchthickness}{\dimexpr\hatchspread+2\hatchthickness}}% upper right corner - {\pgfqpoint{\dimexpr\hatchspread}{\dimexpr\hatchspread}}% tile size - {% shape description - \pgfsetlinewidth{\hatchthickness} - \pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{\dimexpr\hatchspread+\hatchshift}} - \pgfpathlineto{\pgfqpoint{\dimexpr\hatchspread+0.15pt+\hatchshift}{-0.15pt}} - \ifdim \hatchshift > 0pt - \pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{\hatchshift}} - \pgfpathlineto{\pgfqpoint{\dimexpr0.15pt+\hatchshift}{-0.15pt}} - \fi - \pgfsetstrokecolor{\hatchcolor} -% \pgfsetdash{{1pt}{1pt}}{0pt}% dashing cannot work correctly in all situation this way - \pgfusepath{stroke} - } - -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - legend pos=south west, - axis x line=middle, - axis y line=middle, - %grid = major, - %width=9cm, - %height=4.5cm, - grid style={dashed, gray!30}, - xmin=-1, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 6, % end the diagram at this x-coordinate - ymin=-0.25, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 5, % end the diagram at this y-coordinate - axis background/.style={fill=white}, - xlabel=$X_1$, - ylabel=$X_2$, - %xticklabels={,,}, - %yticklabels={,,}, - %xtick={-1,0,1,2,3,4,5}, - %ytick={-1,0,1,2,3,4,5}, - ticks=none, - %tick align=outside, - enlargelimits=true, - tension=0.08] - \addplot[hatchcolor=red,mark=none, pattern=custom north west lines, draw=none] coordinates {(0.5, 0) (0.5,5) (1.5,5) (1.5,0) }; - \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(0.5, 0) (0.5,5)}; - \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(1.5, 0) (1.5,5)}; - - \addplot[hatchcolor=red,mark=none, pattern=custom north west lines, draw=none] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5) (5.5,5) (5.5,0) }; - \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5)}; - \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(5.5, 0) (5.5,5)}; - - - \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(1, 0) (1,3)}; - \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(5, 0) (5,3)}; - - \addplot[mark=x] coordinates {(1, 3)}; - \addplot[mark=x] coordinates {(5, 3)}; - \node at (axis cs:1,3) [anchor=north west] {$(x_1, y_1)$}; - \node at (axis cs:5,3) [anchor=north west] {$(x_2, y_2)$}; - - \node at (axis cs:1,0) [anchor=north] {$x_1$}; - \node at (axis cs:5,0) [anchor=north] {$x_2$}; - - \node[red] at (axis cs:1,-0.3) [anchor=north] {$U_1 \times X_2$}; - \node[red] at (axis cs:5,-0.3) [anchor=north] {$U_2 \times X_2$}; - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-non-homotop-paths.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-non-homotop-paths.tex deleted file mode 100644 index 12a8a99..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-non-homotop-paths.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point,label=180:$a$] at (0,0) {}; - \node (b)[point,label=0:$b$] at (3, 0) {}; - \draw[orange,pattern color=orange,pattern=north east lines] (1.5,0) circle (0.3cm); - \draw [rounded corners,->, thick, red] (a) .. controls (1,1) .. (2,1) .. controls (2.5,1) .. (b); - \draw [rounded corners,->, thick, blue] (a) .. controls (1,-1) .. (2,-0.5) .. controls (2.2,-1) .. (b); - \node at (1,1.2) [red] {$\gamma_1$}; - \node at (0.5,-0.8) [blue] {$\gamma_2$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-oktaeder.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-oktaeder.tex deleted file mode 100644 index 8b1fa71..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-oktaeder.tex +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (2,0) {}; - \node (c)[point] at (3,1) {}; - \node (d)[point] at (1,1) {}; - \node (e)[point] at (1.5,3) {}; - \node (f)[point] at (1.5,-1) {}; - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- (e.center) -- (b.center); - \draw (a.center) -- (e.center); - \draw[dashed] (a.center) -- (d.center) -- (c.center); - \draw[dashed] (d.center) -- (e.center); - - \draw (a.center) -- (f.center) -- (b.center); - \draw (f.center) -- (c.center); - \draw[dashed] (f.center) -- (d.center); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-oriented-triangle.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-oriented-triangle.tex deleted file mode 100644 index f248b48..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-oriented-triangle.tex +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point,label={[label distance=0cm]210:$a$}] at (210:1cm) {}; - \node (b)[point,label={[label distance=0cm]-45:$b$}] at (330:1cm) {}; - \node (c)[point,label={[label distance=0cm]90:$c$}] at (90:1cm) {}; - - \node (sigma) at (0,0) {$\sigma$}; - - \draw[->, very thick] (a) edge node[label=below:$e_3$] {} (b); - \draw[->, very thick] (b) edge node[label=right:$e_1$] {} (c); - \draw[->, very thick] (a) edge node[label=left:$e_2$] {} (c); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-pair-of-pants.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-pair-of-pants.tex deleted file mode 100644 index 27c2a7b..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-pair-of-pants.tex +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture}[tqft/flow=east] - \node[tqft/pair of pants,draw,rotate=-180] (a) {}; - \draw (-1.02,-1) ellipse (0.2cm and 0.35cm); - \draw (-1.02,+1) ellipse (0.2cm and 0.35cm); - \draw[dashed] (1,0) ellipse (0.175cm and 0.35cm); - - \draw (2.3,0) ellipse (0.7cm and 1.5cm); - \draw (2.3,+0.5) circle (0.3cm); - \draw (2.3,-0.5) circle (0.3cm); - - \node at (1.38,0) {$\stackrel{\sim}{=}$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-parametric-surface-mapping.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-parametric-surface-mapping.tex deleted file mode 100644 index 891a5b6..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-parametric-surface-mapping.tex +++ /dev/null @@ -1,25 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=2pt,minimum height=2pt] - \draw (0,0) ellipse (2cm and 1cm); - \def\ringa{(-0.3,0) circle (0.5cm)} - \def\ringb{(+0.3,0) circle (0.5cm)} - - \draw \ringa; - \draw[red] \ringb; - - %\node at (-1,0.3) {$U_i$}; - %\node at (+1,0.3) {$U_j$}; - \node at (-1.9,-2) {$U_i$}; - \node[red] at (+1.9,-2) {$U_j$}; - \node at (+2.0,0.7) {$S$}; - \node[point,label={[label distance=-0.1cm]90:$s$}] at (0,0) {}; - - - \path[<-] (-0.35,0) edge [bend angle=10,bend right] node[label={[label distance=0.1cm]210:$F_i$}] {} (-1,-1.5); - \path[<-,red] (+0.35,0) edge [bend angle=10,bend left] node[label={[label distance=0.1cm]-30:$F_j$}] {} (+1,-1.5); - - \draw (-1,-2) circle (0.5cm); - \draw[red] (+1,-2) circle (0.5cm); - - \path[->, green, thick] (-0.3,-2) edge node[label=below:$\scriptstyle F_j^{-1} \circ F_i$] {} (0.3,-2); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-path-not-associative-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-path-not-associative-1.tex deleted file mode 100644 index 7b75d41..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-path-not-associative-1.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \draw[very thick,red] (0,0) -- (5,0) node [midway, below] {$\gamma_1$}; - \draw[very thick,green](5,0) -- (7.5,0) node [midway, below] {$\gamma_2$}; - \draw[very thick,blue] (7.5,0) -- (10,0) node [midway, below] {$\gamma_3$}; - - \draw[thick] (0,0.2) -- ( 0,-0.2) node[label=below:$0$] {}; - \draw[thick] (5,0.2) -- ( 5,-0.2) node[label=below:$\nicefrac{1}{2}$] {}; - \draw[thick] (7.5,0.2) -- (7.5,-0.2) node[label=below:$\nicefrac{3}{4}$] {}; - \draw[thick] (10,0.2) -- ( 10,-0.2) node[label=below:$1$] {}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-path-not-associative-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-path-not-associative-2.tex deleted file mode 100644 index 4e60a44..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-path-not-associative-2.tex +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \draw[very thick,red] (0,0) -- (2.5,0) node [midway, below] {$\gamma_1$}; - \draw[very thick,green](2.5,0) -- (5,0) node [midway, below] {$\gamma_2$}; - \draw[very thick,blue] (5,0) -- (10,0) node [midway, below] {$\gamma_3$}; - - \draw[thick] (0,0.2) -- ( 0,-0.2) node[label=below:$0$] {}; - \draw[thick] (2.5,0.2) -- (2.5,-0.2) node[label=below:$\nicefrac{1}{4}$] {}; - \draw[thick] (5.0,0.2) -- (5.0,-0.2) node[label=below:$\nicefrac{1}{2}$] {}; - \draw[thick] (10,0.2) -- ( 10,-0.2) node[label=below:$1$] {}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-paths-in-r2.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-paths-in-r2.tex deleted file mode 100644 index 5a8647b..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-paths-in-r2.tex +++ /dev/null @@ -1,27 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - legend pos=south west, - axis x line=middle, - axis y line=middle, - %grid = major, - width=9cm, - height=9cm, - grid style={dashed, gray!30}, - xmin=-2, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 1, % end the diagram at this x-coordinate - ymin=-1, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 5, % end the diagram at this y-coordinate - %axis background/.style={fill=white}, - %xlabel=$x$, - %ylabel=$y$, - ticks=none, - %tick align=outside, - %minor tick num=-3, - enlargelimits=true, - tension=0.08] - \addplot[mark=none, orange, smooth cycle, thick, tension=1, dashed] coordinates {% - (0,0) (-1,1) (-2,2) (-1,3) (0, 3) (1, 4)}; - \addplot[mark=none, blue, smooth cycle, thick, tension=3] coordinates {% - (0,0) (-1,1) (-2,2) (-1,3) (0, 3) (1, 4)}; - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-paths.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-paths.tex deleted file mode 100644 index 5c3ce87..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-paths.tex +++ /dev/null @@ -1,9 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point,label=180:$a$] at (0,0) {}; - \node (b)[point,label=0:$b$] at (3, 0) {}; - \draw [rounded corners,->, thick, red] (a) .. controls (0.5,2) .. (2,1) .. controls (2,0.5) .. (a); - \draw [rounded corners,->, thick, blue] (a) .. controls (1,-1) .. (2,-0.5) .. controls (2.2,-1) .. (b); - \node at (1,1.2) [red] {$\gamma$}; - \node at (2.25,-0.6) [blue] {$\delta$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-pyramid.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-pyramid.tex deleted file mode 100644 index e9226ca..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-pyramid.tex +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (2,0) {}; - \node (c)[point] at (3,1) {}; - \node (d)[point] at (1,1) {}; - \node (e)[point] at (1.5,3) {}; - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- (e.center) -- (b.center); - \draw (a.center) -- (e.center); - \draw[dashed] (a.center) -- (d.center) -- (c.center); - \draw[dashed] (d.center) -- (e.center); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-r-spiral-covering-s.pdf b/documents/GeoTopo/figures/topology-r-spiral-covering-s.pdf deleted file mode 100644 index 056d839..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/topology-r-spiral-covering-s.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-r-spiral-covering-s.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-r-spiral-covering-s.tex deleted file mode 100644 index 610382d..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-r-spiral-covering-s.tex +++ /dev/null @@ -1,63 +0,0 @@ -\documentclass{standalone} -\usepackage{asymptote} - -\begin{document} - -\begin{asy}[width=10cm,height=10cm] -import graph3; - -usepackage("amsfonts"); - -size3(200); - -currentprojection=orthographic(4,6,3); - -// parametrization -real x(real t) {return cos(2pi*t);} -real y(real t) {return sin(2pi*t);} -real z(real t) {return 0.5*t;} -real z0(real t) {return 0;} - -scale(true); - -// some parameters -real delta = 0.01; -real phix = 0.1; -real phim = 6.7; - -// spiral -path3 spiral1 = graph(x,y,z,0.9,1,operator ..); -draw(spiral1,dotted); -path3 spiral2 = graph(x,y,z,1,phim,operator ..); -draw(spiral2,Arrow3); - -// blue circle -draw(unitcircle3, blue); - -// orange segments -pen sp = orange+1; - -draw(graph(x,y,z0,phix-delta,phix+delta,operator ..),sp); -for(real i=1; i,>=stealth'] - plot ({\t r}: {1+2*exp(-0.1*\t)}); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Makefile b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Makefile deleted file mode 100644 index 0c1b58a..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/Makefile +++ /dev/null @@ -1,31 +0,0 @@ -SOURCE = topology-oriented-triangle -DELAY = 80 -DENSITY = 300 -WIDTH = 512 - -make: - pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf - make clean - -clean: - rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot - -gif: - pdfcrop $(SOURCE).pdf - convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif - make clean - -png: - make - make svg - inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png - -transparentGif: - convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif - make clean - -svg: - #inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg - pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg - # Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs: - inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/README.md b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/README.md deleted file mode 100644 index 1de15f1..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/README.md +++ /dev/null @@ -1,3 +0,0 @@ -Compiled example ----------------- -![Example](topology-oriented-triangle.png) diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/topology-oriented-triangle.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/topology-oriented-triangle.tex deleted file mode 100644 index 1ef8c3d..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-in-text/topology-oriented-triangle.tex +++ /dev/null @@ -1,19 +0,0 @@ -\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{calc,shadings} -\usepackage{pgfplots} - -\begin{document} -\begin{tikzpicture}[scale=0.5] - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point,label={[label distance=0cm]180:$v_0$}] at (210:1cm) {}; - \node (b)[point,label={[label distance=0cm]0:$v_2$}] at (330:1cm) {}; - \node (c)[point,label={[label distance=-0.1cm]90:$v_1$}] at (90:1cm) {}; - - \draw[very thick] (a) edge node {} (b); - \draw[very thick] (b) edge node {} (c); - \draw[very thick] (c) edge node {} (a); -\end{tikzpicture} -%\newcommand{\triangleSimplizialkomplex}{\mathord{\includegraphics[height=5ex]{triangle.pdf}}} -%Es gilt $x=\triangleSimplizialkomplex$ und -\end{document} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex deleted file mode 100644 index 23653c1..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex +++ /dev/null @@ -1,18 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (3,0) {}; - \node (c)[point] at (2,2) {}; - - \begin{scope}[yshift=2cm] - \node (d)[point] at (1,1) {}; - \node (e)[point] at (0,2) {}; - \node (f)[point] at (4,2) {}; - \end{scope} - - \node (p)[point,label={[label distance=0cm]5:$P$}] at (1.5,0.5) {}; - - \draw[pattern=north east lines] (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; - \draw[pattern=dots] (d.center) -- (e.center) -- (f.center) -- cycle; - \draw (p.center) -- (d.center); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex deleted file mode 100644 index 6e27f05..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex +++ /dev/null @@ -1,20 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (3,0) {}; - \node (c)[point] at (2,2) {}; - - \begin{scope}[yshift=2cm] - \node (d)[point] at (1,1) {}; - \node (e)[point] at (0,2) {}; - \node (f)[point] at (4,2) {}; - \end{scope} - - \node (p)[point,label={[label distance=0cm]5:$P$}] at (1.5,0.5) {}; - - \draw[pattern=north east lines] (a.center) -- (p.center) -- (b.center) -- cycle; - \draw[pattern=north west lines] (a.center) -- (p.center) -- (c.center) -- cycle; - \draw[pattern=vertical lines] (b.center) -- (p.center) -- (c.center) -- cycle; - \draw[pattern=dots] (d.center) -- (e.center) -- (f.center) -- cycle; - \draw (p.center) -- (d.center); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-to-line.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-to-line.tex deleted file mode 100644 index 9b3986f..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-to-line.tex +++ /dev/null @@ -1,23 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] - - \node (a)[point] at (0,0) {}; - \node (b)[point] at (2.5,0) {}; - \node (c)[point] at (2,1) {}; - - \begin{scope}[xshift=4.5cm, yshift=0.5cm] - \node (d)[point] at (0,0) {}; - \node (e)[point] at (2,0) {}; - \end{scope} - - \begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=0.6cm,rotate=-55] - \draw[->] (0,-0.1) -- (0.4,-0.1); - \draw[->] (0, 0.0) -- (0.5, 0.0); - \draw[->] (0, 0.1) -- (0.6, 0.1); - \end{scope} - - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle; - \draw (d.center) -- (e.center); - - \draw[thick,->] (3,0.5) -- node[above] {$\varphi$} (4,0.5); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/topology-ueberlagerung.tex b/documents/GeoTopo/figures/topology-ueberlagerung.tex deleted file mode 100644 index 2426dd7..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/topology-ueberlagerung.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -\newcommand\markangle[6]{% origin X Y radius radiusmark mark - % fill red circle - \begin{scope} - \path[clip] (#1) -- (#2) -- (#3); - \fill[color=red,fill opacity=0.5,draw=red,name path=circle] - (#1) circle (#4); - \end{scope} - % middle calculation - \path[name path=line one] (#1) -- (#2); - \path[name path=line two] (#1) -- (#3); - \path[% - name intersections={of=line one and circle, by={inter one}}, - name intersections={of=line two and circle, by={inter two}} - ] (inter one) -- (inter two) coordinate[pos=.5] (middle); - % put mark - \node at ($(#1)!#5!(middle)$) {#6}; -} - -\begin{tikzpicture}[scale=0.7] - \newcommand{\R}{2} - \draw (0,0) circle (\R); - \draw[->, thick] ({-(\R+0.2)},0) -- ({\R+0.2},0); - \draw[->, thick] (0,{-(\R+0.2)}) -- (0,{\R+0.2}); - \draw[thick] (\R,-0.06) -- (\R,0.06) node[label=below:$1$] {}; - \draw[thick] (-0.06,\R) -- (0.06,\R) node[label=left:$i$] {}; - \draw (0,0) -- ({\R*cos(30)},{\R*sin(30)}) node[label=15:$z$] {}; - \draw (0,0) -- ({\R*cos(60)},{\R*sin(60)}) node[label=35:$z^2$] {}; - - \coordinate (O) at (0,0); - \coordinate (X) at (1,0); - \coordinate (Y) at ({\R*cos(30)},{\R*sin(30)}); - \coordinate (Z) at ({\R*cos(60)},{\R*sin(60)}); - \markangle{O}{Y}{Z}{10mm}{7mm}{$\varphi$} - \markangle{O}{X}{Y}{10mm}{7mm}{$\varphi$} - - \begin{scope}[xshift=4cm, yshift=-1.2cm] - \draw (0,0) circle (\R/2); - \newcommand{\x}{1} - \draw [red,thick,domain=-30:30] plot ({cos(\x)}, {sin(\x)}); - \draw [red,thick,domain=210:150] plot ({cos(\x)}, {sin(\x)}); - \end{scope} - - \begin{scope}[xshift=4cm, yshift=+1.2cm] - \draw (0,0) circle (\R/2); - \newcommand{\x}{1} - \draw [red,thick,domain=-30:30] plot ({cos(\x)}, {sin(\x)}); - \end{scope} - - \coordinate (T) at (5.5,1); - \path[->] (5.5,-1) edge[bend right] node[label=right:$z^2$] {} (T); -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-gauss-kruemmung.pdf b/documents/GeoTopo/figures/torus-gauss-kruemmung.pdf deleted file mode 100644 index e16da2b..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/torus-gauss-kruemmung.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-gauss-kruemmung.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-gauss-kruemmung.tex deleted file mode 100644 index 6415561..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-gauss-kruemmung.tex +++ /dev/null @@ -1,18 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} -\tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] -\draw (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[xscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[rotate=180] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[yscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); - -\draw (-2,.2) .. controls (-1.5,-0.3) and (-1,-0.5) .. (0,-.5) .. controls (1,-0.5) and (1.5,-0.3) .. (2,0.2); -\draw (-1.75,0) .. controls (-1.5,0.3) and (-1,0.5) .. (0,.5) .. controls (1,0.5) and (1.5,0.3) .. (1.75,0); - -\draw[dashed] (2.65,0) ellipse (0.85 and 0.6); -\draw (3.5,0) arc (-360:-180:0.85 and 0.6); - -\node (s1)[point,orange,label={[label distance=0mm]\color{orange}$s_1$}] at (3.5,0) {}; -\node (s2)[point,red,label={[label distance=0mm]\color{red}$s_2$}] at (2.8,0.6) {}; -\node (s3)[point,green,label={[label distance=0mm]\color{green}$s_3$}] at (1.8,0) {}; -\draw[red] (0,0.07) ellipse (3cm and 1.5cm); -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-1.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-1.tex deleted file mode 100644 index ba65086..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-1.tex +++ /dev/null @@ -1,32 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \node (a) at (0,0) {}; - \node (b) at (1,0) {}; - \node (c) at (1,1) {}; - \node (d) at (0,1) {}; - \coordinate (m) at ($(a)!0.5!(c)$); - \coordinate (ab) at ($(a)!0.5!(b)$); - \coordinate (bc) at ($(b)!0.5!(c)$); - \coordinate (cd) at ($(c)!0.5!(d)$); - \coordinate (ad) at ($(a)!0.5!(d)$); - \draw[pattern=north west lines] (d.center) -- (ad.center) -- (m.center); - \draw[pattern=dots] (m.center) -- (bc.center) -- (c.center); - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle; - \begin{scope}[decoration={ - markings, - mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] - \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); - \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); - \end{scope} - - \begin{scope}[decoration={ - markings, - mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] - \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); - \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); - \end{scope} - \draw (ab.center) -- (cd.center); - \draw (a.center) -- (c.center); - \draw (b.center) -- (d.center); -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-2.tex deleted file mode 100644 index fe49bba..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-2.tex +++ /dev/null @@ -1,39 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \node (a) at (0,0) {}; - \node (b) at (1,0) {}; - \node (c) at (1,1) {}; - \node (d) at (0,1) {}; - \coordinate (m) at ($(a)!0.5!(c)$); - \coordinate (ab) at ($(a)!0.5!(b)$); - \coordinate (bc) at ($(b)!0.5!(c)$); - \coordinate (cd) at ($(c)!0.5!(d)$); - \coordinate (ad) at ($(a)!0.5!(d)$); - \coordinate (left-intersection) at ($(m)!0.5!(d)$); - \coordinate (right-intersection) at ($(m)!0.5!(c)$); - \draw[pattern=north west lines] (ad.center) -- (left-intersection.center) -- (m.center); - \draw[pattern=dots] (m.center) -- (right-intersection.center) -- (bc.center); - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle; - \draw (bc.center) -- (ad.center); - \draw (cd.center) -- (ad.center); - \draw (cd.center) -- (bc.center); - \draw (ad.center) -- (ab.center); - \draw (ab.center) -- (bc.center); - \begin{scope}[decoration={ - markings, - mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] - \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); - \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); - \end{scope} - - \begin{scope}[decoration={ - markings, - mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] - \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); - \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); - \end{scope} - \draw (ab.center) -- (cd.center); - \draw (a.center) -- (c.center); - \draw (b.center) -- (d.center); -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-three-paths.pdf b/documents/GeoTopo/figures/torus-three-paths.pdf deleted file mode 100644 index 7d0b9e6..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/torus-three-paths.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation-minimal.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation-minimal.tex deleted file mode 100644 index 51b4f46..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation-minimal.tex +++ /dev/null @@ -1,53 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \node (a) at (0,0) {}; - \node (b) at (1,0) {}; - \node (c) at (1,1) {}; - \node (d) at (0,1) {}; - \coordinate (m) at ($(a)!0.5!(c)$); - \coordinate (ab2) at ($(a)!0.5!(b)$); - \coordinate (ab1) at ($(a)!0.5!(ab2)$); - \coordinate (ab3) at ($(b)!0.5!(ab2)$); - \coordinate (bc2) at ($(b)!0.5!(c)$); - \coordinate (bc1) at ($(b)!0.5!(bc2)$); - \coordinate (bc3) at ($(c)!0.5!(bc2)$); - \coordinate (cd2) at ($(c)!0.5!(d)$); - \coordinate (cd1) at ($(c)!0.5!(cd2)$); - \coordinate (cd3) at ($(d)!0.5!(cd2)$); - \coordinate (ad2) at ($(a)!0.5!(d)$); - \coordinate (ad1) at ($(a)!0.5!(ad2)$); - \coordinate (ad3) at ($(d)!0.5!(ad2)$); - \coordinate (corner1) at ($(a)!0.25!(bc3)$); - \coordinate (corner2) at ($(c)!0.25!(ad1)$); - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle; - %horizontal - \draw (a.center) -- (bc3.center); - \draw (cd3.center) -- (ad3.center); - \draw (ab3.center) -- (bc1.center); - \draw (cd3.center) -- (ad1.center); - \draw (ab3.center) -- (bc3.center); - \draw (ab1.center) -- (corner1.center); - \draw (ad1.center) -- (corner1.center); - \draw (ab3.center) -- (corner1.center); - \draw (c.center) -- (corner2.center); - \draw (cd1.center) -- (corner2.center); - \draw (bc3.center) -- (corner2.center); - \draw (cd3.center) -- (corner2.center); - \draw (corner1.center) -- (corner2.center); - \draw (ad1.center) -- (corner2.center); - - \begin{scope}[decoration={ - markings, - mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] - \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); - \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); - \end{scope} - - \begin{scope}[decoration={ - markings, - mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] - \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); - \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); - \end{scope} -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation.tex b/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation.tex deleted file mode 100644 index 26ace55..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \node (a) at (0,0) {}; - \node (b) at (1,0) {}; - \node (c) at (1,1) {}; - \node (d) at (0,1) {}; - \coordinate (m) at ($(a)!0.5!(c)$); - \coordinate (ab2) at ($(a)!0.5!(b)$); - \coordinate (ab1) at ($(a)!0.5!(ab2)$); - \coordinate (ab3) at ($(b)!0.5!(ab2)$); - \coordinate (bc2) at ($(b)!0.5!(c)$); - \coordinate (bc1) at ($(b)!0.5!(bc2)$); - \coordinate (bc3) at ($(c)!0.5!(bc2)$); - \coordinate (cd2) at ($(c)!0.5!(d)$); - \coordinate (cd1) at ($(c)!0.5!(cd2)$); - \coordinate (cd3) at ($(d)!0.5!(cd2)$); - \coordinate (ad2) at ($(a)!0.5!(d)$); - \coordinate (ad1) at ($(a)!0.5!(ad2)$); - \coordinate (ad3) at ($(d)!0.5!(ad2)$); - \draw (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- (d.center) -- cycle; - %horizontal - \draw (bc1.center) -- (ad1.center); - \draw (bc2.center) -- (ad2.center); - \draw (bc3.center) -- (ad3.center); - %vertical - \draw (ab1.center) -- (cd3.center); - \draw (ab2.center) -- (cd2.center); - \draw (ab3.center) -- (cd1.center); - %diagonal - \draw (ad3.center) -- (cd3.center); - \draw (ad2.center) -- (cd2.center); - \draw (ad1.center) -- (cd1.center); - \draw (a.center) -- (c.center); - \draw (ab1.center) -- (bc3.center); - \draw (ab2.center) -- (bc2.center); - \draw (ab3.center) -- (bc1.center); - \begin{scope}[decoration={ - markings, - mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}} - ] - \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center); - \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center); - \end{scope} - - \begin{scope}[decoration={ - markings, - mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}} - ] - \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center); - \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center); - \end{scope} -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/torus.sketch b/documents/GeoTopo/figures/torus.sketch deleted file mode 100644 index 62178b7..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/torus.sketch +++ /dev/null @@ -1,10 +0,0 @@ -def torus { - def n_segs 40 - sweep [draw=black, fill=lightgray, fill opacity=0.75] {n_segs, rotate(360/n_segs, (0,0,0), [0,1,0])} - sweep {n_segs, rotate(360/n_segs, (1.5,0,0), [0,0,1])} - (2,0,0) -} - -put { view((10,4,2)) } {{torus}} - -global { language tikz } diff --git a/documents/GeoTopo/figures/triangle-2.tex b/documents/GeoTopo/figures/triangle-2.tex deleted file mode 100644 index ec4d804..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/triangle-2.tex +++ /dev/null @@ -1,32 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B, 2/2/C} - \tkzDefPoints{0/2/Phelper, 1.75/2.5/PaboveLeft, 2.5/2.5/PaboveRight} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.7cm,color=red,fill=red!20](B,A,C) - \tkzMarkAngle[arc=ll,size=0.7cm,color=orange,fill=orange!20](C,B,A) - \tkzMarkAngle[arc=lll,size=0.7cm,color=green,fill=green!20](A,C,B) - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.7cm,color=red,fill=red!20](Phelper,C,A) - \tkzMarkAngle[arc=ll,size=0.7cm,color=orange,fill=orange!20](PaboveLeft,C,Phelper) - \tkzDefLine[parallel=through C](A,B) \tkzGetPoint{Phelper2} - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.7cm,color=red,fill=red!20](Phelper2,C,PaboveRight) - \tkzLabelAngle[pos=0.4](Phelper2,C,PaboveRight){$\alpha'$} - \tkzLabelAngle[pos=-0.4](Phelper,C,A){$\alpha''$} - \tkzLabelAngle[pos=0.4](B,A,C){$\alpha$} - \tkzLabelAngle[pos=0.4](C,B,A){$\beta$} - \tkzLabelAngle[pos=0.4](PaboveLeft,C,Phelper){$\beta'$} - \tkzLabelAngle[pos=0.4](A,C,B){$\gamma$} - \tkzDrawLine(A,B) - \tkzDrawLine[add=0.2 and 0.4](A,C) - \tkzDrawLine[add=0.2 and 0.4](B,C) - - \node at ($(A)+(-0.47,-0.2)$) {$A$}; - \node at ($(B)+(0.35,-0.2)$) {$B$}; % \tkzLabelPoint[below](B){$B$} is not accurate enough - \node at ($(C)+(0.05,0.3)$) {$C$}; - \tkzDrawLine[add=0.6 and -0.1](C, Phelper2) - %\tkzMark[mark=||](C, PaboveRight) - %\tkzLabelLine[pos=0.8,below](A,B){$c$} - \tkzDrawPoints(A,B,C) - \tkzLabelSegment[pos=0.7,below](C,Phelper2){$g$} - \tkzMarkSegments[mark=||](A,B C,Phelper2) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/triangle-3.tex b/documents/GeoTopo/figures/triangle-3.tex deleted file mode 100644 index ef3b4f0..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/triangle-3.tex +++ /dev/null @@ -1,39 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, 3/3/C} - - \tkzDefLine[orthogonal=through A,/tikz/overlay](B,C) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(B,C)(A,helper) \tkzGetPoint{La} - \tkzDefLine[orthogonal=through C,/tikz/overlay](A,B) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(A,B)(C,helper) \tkzGetPoint{Lc} - - \tkzInterLL(A,La)(C,Lc) \tkzGetPoint{orthocenter} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=1.0cm,color=red,fill=red!20](B,A,La) - \tkzLabelAngle[pos=0.8](B,A,La){$\alpha$} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=1.0cm,color=red,fill=red!20](Lc,C,B) - \tkzLabelAngle[pos=0.8](Lc,C,B){$\alpha$} - - \tkzMarkAngle[arc=ll,size=0.6cm,color=green,fill=green!20](A,orthocenter,Lc) - \tkzLabelAngle[pos=0.4](A,orthocenter,Lc){$\gamma$} - - \tkzMarkAngle[arc=ll,size=0.4cm,color=green,fill=green!20](La,orthocenter,C) - \tkzLabelAngle[pos=0.2](La,orthocenter,C){$\gamma$} - - \tkzDrawPolygon(A,B,C) - - \node at ($(A)+(-0.47,-0.2)$){$A$}; - \node at ($(B)+(0.35,-0.2)$) {$B$}; % \tkzLabelPoint[below](B){$B$} is not accurate enough - \node at ($(C)+(0.05,0.3)$) {$C$}; - \node at ($(La)+(0.25,0.1)$) {$L_A$}; - \node at ($(Lc)+(0,-0.25)$) {$L_C$}; - - \tkzDrawSegment(C,Lc) - \tkzDrawSegments(A,La) - \tkzDrawPolygon[pattern=north east lines](A,B,La) - \tkzDrawPolygon[pattern=north west lines](Lc,B,C) - \tkzDrawPoints(A,B,C,La,Lc) - %\tkzLabelSegment[pos=0.7,below](A,B){$c$} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/triangle-4.tex b/documents/GeoTopo/figures/triangle-4.tex deleted file mode 100644 index 48a7c76..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/triangle-4.tex +++ /dev/null @@ -1,25 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, -2/3/C} - - \tkzDefLine[orthogonal=through A,/tikz/overlay](B,C) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(B,C)(A,helper) \tkzGetPoint{La} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](A,La,B) - \tkzLabelAngle[pos=0.25](A,La,B){$\cdot$} - - \tkzDrawPolygon(A,B,C) - - \node at ($(A)+(-0.47,-0.2)$){$A$}; - \node at ($(B)+(0.35,-0.2)$) {$B$}; % \tkzLabelPoint[below](B){$B$} is not accurate enough - \node at ($(C)+(0.05,0.3)$) {$C$}; - \node[green] at ($(La)+(-0.4,-0.1)$) {$L_A$}; - - \tkzDrawSegments[red](A,La) - \tkzDrawSegments[blue](B,C) - \tkzLabelSegment[right,red](A,La){$h_a$} - \tkzLabelSegment[above,blue](B,C){$c$} - \tkzDrawPoints(A,B,C) - \tkzDrawPoints[color=green,fill=green](La) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/triangle-5.tex b/documents/GeoTopo/figures/triangle-5.tex deleted file mode 100644 index cb8a0f0..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/triangle-5.tex +++ /dev/null @@ -1,26 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 4/0/B, -2/3/C} - - \tkzDefLine[orthogonal=through C,/tikz/overlay](A,B) \tkzGetPoint{helper} - \tkzInterLL(A,B)(C,helper) \tkzGetPoint{Lc} - - %\tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](A,La,B) - %\tkzLabelAngle[pos=0.25](A,La,B){$\cdot$} - - \tkzDrawPolygon(A,B,C) - - \node at ($(A)+(-0.47,-0.2)$){$A$}; - \node at ($(B)+(0.35,-0.2)$) {$B$}; % \tkzLabelPoint[below](B){$B$} is not accurate enough - \node at ($(C)+(0.05,0.3)$) {$C$}; - \node[green] at ($(Lc)+(-0.4,-0.1)$) {$L_C$}; - - \tkzDrawSegments[red](C,Lc) - \tkzDrawSegments[blue](A,B) - \tkzDrawSegments[dashed](Lc,A) - \tkzLabelSegment[right,red](C,Lc){$h_c$} - \tkzLabelSegment[above,blue](A,B){$c$} - \tkzDrawPoints(A,B,C) - \tkzDrawPoints[color=green,fill=green](Lc) -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/triangle-similar.tex b/documents/GeoTopo/figures/triangle-similar.tex deleted file mode 100644 index 6cd6b65..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/triangle-similar.tex +++ /dev/null @@ -1,25 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/0/A, 3/0/B', 2/2/C, 4/4/C'} - \tkzDefLine[parallel=through C](B',C') \tkzGetPoint{Phelper} - \tkzInterLL(A,B')(C,Phelper) \tkzGetPoint{B} - \tkzDrawLine[add=0 and 0.2](A,B') - \tkzDrawLine[add=0 and 0.2](A,C') - \tkzDrawSegment(B',C') - - \node at ($(A)+(-0.1,-0.2)$) {$A$}; - \node at ($(B')+(0.2,-0.2)$) {$B'$}; % \tkzLabelPoint[below](B){$B$} is not accurate enough - \node at ($(C')+(0,0.4)$) {$C'$}; - \node at ($(B)+(0.2,-0.2)$) {$B$}; - \node at ($(C)+(0.28,0.5)$) {$C$}; - \tkzDrawPolygon[ultra thick,color=blue,fill=blue!20](A,B',C') - \tkzDrawPolygon[line width=0.3pt,color=red,fill=red!20](A,B,C) - \tkzDrawPoints(A,B',C',B,C) - \tkzLabelSegment[below,red](A,B){$c$} - \tkzLabelSegment[left,red](A,C){$b$} - \tkzLabelSegment[right,red](B,C){$a$} - \tkzLabelSegment[below,blue,pos=0.8](A,B'){$c'$} - \tkzLabelSegment[left,blue,pos=0.8](A,C'){$b'$} - \tkzLabelSegment[right,blue](B',C'){$a'$} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/triangleSimplizialkomplex.pdf b/documents/GeoTopo/figures/triangleSimplizialkomplex.pdf deleted file mode 100644 index 2705ff0..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/triangleSimplizialkomplex.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/tricoloring.png b/documents/GeoTopo/figures/tricoloring.png deleted file mode 100644 index b7438ad..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/figures/tricoloring.png and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex b/documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex deleted file mode 100644 index be5928c..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex +++ /dev/null @@ -1,27 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black] - \tkzSetUpLine[line width=1] - \tkzDefPoints{0/3/A, 4/0/B, 3/3/P, 3/0.75/G} - \tkzDefLine[perpendicular=through P,/tikz/overlay](A,B)\tkzGetPoint{x} - \tkzInterLL(A,B)(P,x) \tkzGetPoint{F} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](B,F,P) - \tkzLabelAngle[pos = 0.2](B,F,P){$\cdot$} - - \tkzMarkAngle[arc=l,size=0.4cm,color=red,fill=red!20](P,G,A) - \tkzLabelAngle[pos = 0.2](P,G,A){$\cdot$} - - \tkzDrawPoints(A,F,P,G) - - - \tkzDrawSegments(A,B) - \tkzDrawLines(A,B) - \tkzDrawLine[dashed,color=orange,add=0.5 and 0.2](F,P) - \tkzDrawLine[dashed,color=blue,add=0.5 and 0.2](G,P) - % - \tkzLabelPoint[below left](A){$A$} - \tkzLabelPoint[below left](G){$G$} - \tkzLabelPoint[above left](P){$P$} - \tkzLabelPoint[left](F){$F$} - \tkzLabelLine[below,pos=1](A,B){$g$} -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/figures/ueberlappung-kaestchen-torus.tex b/documents/GeoTopo/figures/ueberlappung-kaestchen-torus.tex deleted file mode 100644 index 1a651c9..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/ueberlappung-kaestchen-torus.tex +++ /dev/null @@ -1,44 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} -\tikzstyle{point}=[circle,thick,draw=black,fill=black,inner sep=0pt,minimum width=4pt,minimum height=4pt] -\newcommand*{\xMin}{0}% -\newcommand*{\xMax}{6}% -\newcommand*{\yMin}{0}% -\newcommand*{\yMax}{6}% - -\draw (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[xscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[rotate=180] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); -\draw[yscale=-1] (-3.5,0) .. controls (-3.5,2) and (-1.5,2.5) .. (0,2.5); - -\draw (-2,.2) .. controls (-1.5,-0.3) and (-1,-0.5) .. (0,-.5) .. controls (1,-0.5) and (1.5,-0.3) .. (2,0.2); -\draw (-1.75,0) .. controls (-1.5,0.3) and (-1,0.5) .. (0,.5) .. controls (1,0.5) and (1.5,0.3) .. (1.75,0); - - -\begin{scope}[shift={(-12,-3)}] - \foreach \i in {\xMin,...,\xMax} { - \draw [very thin,gray] (\i,\yMin) -- (\i,\yMax) node [below] at (\i,\yMin) {$\i$}; - } - \foreach \i in {\yMin,...,\yMax} { - \draw [very thin,gray] (\xMin,\i) -- (\xMax,\i) node [left] at (\xMin,\i) {$\i$}; - } - - \begin{scope}[shift={(14,2)}] - \node (P) at (0.4,0.9) {}; - \node (Q) at (0.9,0.4) {}; - \draw [red] (P) rectangle (Q); - \draw (0.65, 0.6) node[red] {*}; - \end{scope} - - \foreach \x in {0,1,2,3,4,5} { - \foreach \y in {0,1,2,3,4,5} { - \begin{scope}[shift={(\x,\y)}] - \node (P) at (0.4,0.9) {}; - \node (Q) at (0.9,0.4) {}; - \draw [red] (P) rectangle (Q); - \draw (0.65, 0.6) node[red] {*}; - \end{scope} - } - } -\end{scope} - \draw (-4.5, 0) node[below] {$\xrightarrow{\text{\;\;\;\;\;\;\;\;}}$}; -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex b/documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex deleted file mode 100644 index 3a9d9e6..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex +++ /dev/null @@ -1,25 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - legend pos=south east, - axis x line=middle, - axis y line=middle, - %grid = major, - width=12cm, - height=8cm, - %grid style={dashed, gray!30}, - xmin=-4, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 8, % end the diagram at this x-coordinate - ymin=-4, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 4, % end the diagram at this y-coordinate - axis background/.style={fill=white}, - %xticklabels={-2,-1.6,...,2}, - %yticklabels={-8,-7,...,8}, - %tick align=outside, - enlargelimits=true, - tension=0.08] - % plot the stirling-formulae - \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; - \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; - \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/zariski-topology.tex b/documents/GeoTopo/figures/zariski-topology.tex deleted file mode 100644 index 2fe7824..0000000 --- a/documents/GeoTopo/figures/zariski-topology.tex +++ /dev/null @@ -1,33 +0,0 @@ -\begin{tikzpicture} - \begin{axis}[ - axis x line=middle, - axis y line=middle, - grid = major, - grid style={dashed, gray!30}, - xmin= 0, % start the diagram at this x-coordinate - xmax= 5, % end the diagram at this x-coordinate - ymin= 0, % start the diagram at this y-coordinate - ymax= 5, % end the diagram at this y-coordinate - xtick={-1,0,1,2,3,4,5}, - ytick={-1,0,1,2,3,4,5}, - xlabel={$U_1 = \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}$}, - xlabel style={xshift=-2.5cm,yshift=-0.7cm}, - ylabel={$U_2 = \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}$}, - ylabel style={rotate=-90, xshift=1.5cm}, - xticklabels={,,}, - yticklabels={,,}, - tick align=outside, - enlargelimits=true] - - - % Draw solid square - \addplot[mark=o] coordinates {(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)}; - \addplot[mark=o] coordinates {(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5)}; - - \foreach \i in {0,1,2,3,4,5} { - \addplot[mark=none] coordinates {(-0.2,\i) (5.2,\i)}; - \addplot[mark=none] coordinates {(\i,-0.2) (\i,5.2)}; - } - \addplot[mark=none] coordinates {(0,2) (5,2)}; - \end{axis} -\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/meta/.aspell.de.pws b/documents/GeoTopo/meta/.aspell.de.pws deleted file mode 100644 index 9f1babc..0000000 --- a/documents/GeoTopo/meta/.aspell.de.pws +++ /dev/null @@ -1,399 +0,0 @@ -personal_ws-1.1 de 398 -Flächenberechnung -elementige -Gini -Kettenbruch -Teilraum -Teilmengenbeziehung -Systementwerfer -Teilraumtopologie -Zwischenwertsatz -Brocot -DYCOS -Rechnerorganisation -selbstadjungiert -Roboteranzahl -Homöomorphismen -gelabelt -Simplizialkomplex -Formoperator -SNCF -Gödelsche -Axiomensysteme -Zustätzlich -Mehrfachsprüngen -Bewegungsaxiom -Systemrealisierung -hausdorffscher -Jacobi -Einheitsnormalenfeld -Axiomensystems -Lots -Klumpentopologie -Klassifikationsgüte -Achterknoten -Zusammenhangskomponenten -Fundamentalgruppe -Dimensionsformel -Transistortechnologie -Dreiecksungleichung -Häufungspunkt -Random -Parallelenaxiom -Stellenkomplement -Gruppenhomomorphismus -Vokabularbestimmung -Qualitätssteigerung -Kettenbrüche -Unvollständigkeitssatz -Time -Deformationsretraktionen -Informatikdozenten -Klassifkationsgüte -Färbbarkeit -Zielsystem -homöomorph -Eulerzahl -Industry -bzw -Dillmann -Homöomorphismus -Totalordnung -Decktransformationsgruppe -Poincaré -Systementwerfern -Umgebungsbasis -Reklassifizierung -Hexadezimalsystem -ggT -Decktransformationen -Orthonormalbasis -Gamification -Digitaltechnik -Gruppenaktion -Schaltwerkes -reele -Reele -wegzusammenhängend -Inversion -Dualsystem -Parallelogramm -Eisenbahnmetrik -Literaturverweisen -Definitheit -Kettenbruchdarstellung -Inzidenzaxiome -Inklusionsabbildung -Dezimaltrennzeichen -Potenzmenge -Clusteranalyse -Knotenmenge -Einheitsintervall -orientierbar -Görke -Anfangspunkt -orientierbare -Darstellungsmatrix -Proseminar -Standardtopologie -Teilsimplex -Isometriengruppe -flächengleich -Zahlenbereich -Jordankurve -interACT -Doppelverhältnis -Gruppenoperationen -Hauptkrümmung -Entwurfsverfahren -Nachkommateils -Spektralsatz -DBLP -Hausdorff -textuelle -Grundbausteine -datenverarbeitendes -Einheitengruppe -niedrigstwertigen -Strukturknoten -Schaltungsentwurfs -Planare -Zweifachtorus -Strukturverkleinerung -Lie -Schaltwerksbausteine -komplementiert -Korrekturvorschläge -Homotopieäquivalenz -Zariski -Vorzeichenwahl -Zahlenmengen -Logikminimierung -Simplizialkomplexe -Kreisäußeres -Einheitsmatrix -Papers -wegzusammenhängender -Proposition -Einerkomplement -Simplexe -Bilinearform -flächengleiche -Dreiecksflächen -Raumshuttles -Bogenlänge -Fundamentalform -Kruskal -Normalenfeld -Systementwurfs -Randecker -Bewegungsaxiome -Toleranzschwelle -Anordnungsaxiome -Zeitkomplexität -Schaltnetzen -Decktransformation -Softwareebene -Standardskalarproduktes -Jérôme -Dreibein -Längenverhältnis -Fußpunkt -Zustandsspeichern -Polarkoordinatensystem -Grapherweiterung -Stellenwertsysteme -Überanpassung -Faktorräume -Überdeckung -Vektorraum -Spurtopologie -Fundamentalgruppen -Semiconductor -Skalarproduktes -Elternknoten -Polyeder -homotop -Halbebenen -flächenfüllenden -Liftungen -Translation -Würfeloberfläche -Normalenkrümmung -Diffeomorphismus -Parametrisierungen -Rotationsflächen -Parkstraße -Kongruenzsatz -Abstandsaxiom -Feldeffekt -Margit -projektive -Teilaussagen -Innenwinkels -Außenwinkel -Häufungspunkte -surjektiv -Liftung -Flächenelement -Unterkategorie -Rödder -homotope -Mannigfaltigkeiten -simpliziale -Diskretisierung -dimensionalen -stereographische -see -Label -dimensionaler -Bahnenraum -Hierarchisierung -Pseudocode -Lösungsidee -Kartenwechselabbildung -Bundeswettbewerb -Gebietstreue -Kantenmenge -hochintegrierter -Schaltungslayout -Hardwareebene -Symbolverzeichnis -Ungleichverteilung -Klassifizierungsalgorithmus -Dezimalzahlen -Gruppenisomorphismus -affin -University -Adenauerring -CORA -Roboterabwürfe -Zahlentheorie -Gruppenoperation -gefärber -nichtleere -Ursprungsgerade -Zusammenhangskomponente -Hauptkrümmungen -homöotop -Tangentialebene -Kartenwechsel -Diagonalmatrix -Wortknoten -Mengenschreibweisen -Quotiententopologie -Standardzellen -Kettenbrüchen -textuellen -Vektorprodukt -projektiver -Mitschriften -Außenwinkeln -Thoma -Vorzeichenbit -Binormalenvektor -surjektive -Tafelanschrieb -Rotationskörper -Häufungspunkten -Association -Anordnungsaxiom -Hausdorffraum -Teilintervall -Wegzusammenhang -TTL -Halbebene -Kleeblattknoten -Netzwerkanalyse -Homotopiegruppe -Innenwinkel -Vokabulars -stereographischen -Minimalbeispiel -Spannbaum -simplizial -Permutationsgruppe -Kugelkoordinaten -Halbraum -Differentialgeometrie -Strahlensatz -Subbasis -ungelabelten -Sarah -Simplizes -Multigraph -Umkehrabbildung -Vektorräume -ungelabelter -Innenwinkelsumme -Reidemeister -Halbgerade -Transformationsformel -Urhausen -Grundrechenarten -Systemverhalten -Halbgeraden -Prozesstechnologie -Logikschaltung -Knotendiagramm -Homöomorphismengruppe -Christopher -hausdorffsch -Projeziere -Homotopie -Eckpunkten -affinen -Mehrfachsprung -Isotopie -Normalenvektor -zusammehängenden -Ikosaeder -Teilüberdeckung -Nachbarknotens -Bienentanz -Prof -Sprungtypen -Bilinearität -Knotendiagramme -gelabelten -Möbiustransformation -Knotenklassifizierungsalgorithmus -gelabelter -Mehrfachsprünge -Labels -Skalarprodukt -Zielsystems -Dr -Lösungsideen -Beweisvorschläge -Abwurfort -Kurvenkrümmung -Widerspruchsbeweisen -Synthesewerkzeuge -Kongruenzsätze -Retraktion -Standardskalarprodukt -Entwurfsmuster -Multimenge -Simplizialkomplexes -Basispunkt -Polyzylinder -Li -Walks -Nullstellenmenge -Zweierkomplement -Oßner -Brinkschulte -Untervektorraum -Carnegie -Clustervereinigung -Mehrfachsprungs -Schaltnetze -Lösungshinweise -Homotopien -Kreisinneres -Treffpunktfindung -Kugeloberfläche -Programmentwurf -hermiteischer -Verbindungsglied -dimensionale -Klassifikationsverfahren -Eschermann -Grundseite -Spaltenvektoren -to -Homophilie -Chiparchitekturen -Aggarwal -Polyederformel -Reklassifizieren -Sichtbereiche -Homotopieklasse -Strukturgröße -Kollinearität -Teilfunktionen -affine -Produkttopologie -Mittelsenkrechten -Anthropomatik -Ungerer -Knotengruppe -Flächengleichheit -Beweisskizze -Entwerfern -Deformationsretrakt -Gauß -Laufzeiteffekte -Sierpinskiraum -Normalkrümmung -Parallelenproblem -Abwurfabstände -Mellon -Softwaretechnik -Mittelsenkrechte -Metainformationen -Axiomensystem -Integrationsdichte -Gruppenhomomorphismen -Organisationsprinzipien diff --git a/documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md b/documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md deleted file mode 100644 index 116bc2f..0000000 --- a/documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md +++ /dev/null @@ -1,97 +0,0 @@ -Nur mal aus Interesse versuche ich zu verfolgen, wie viel Zeit -in dem Erstellen dieses Skripts steckt: - -|Datum | Uhrzeit |Zeit | Bemerkung -|-----------|---------------|-----|----------------------------------- -|03.12.2013 | 11:00 - 12:00 | 60 | -|03.12.2013 | 13:10 - 15:00 | 110 | -|05.12.2013 | 15:50 - 17:00 | 70 | -|12.12.2013 | 12:00 - 13:40 | 100 | -|12.12.2013 | 16:23 - 18:22 | 119 | -|13.12.2013 | 13:10 - 13:47 | 37 | -|14.12.2013 | 13:00 - 14:45 | 105 | -|15.12.2013 | 20:30 - 21:20 | 50 | -|16.12.2013 | 15:00 - 15:30 | 30 | -|17.12.2013 | 07:30 - 07:45 | 15 | -|17.12.2013 | 14:30 - 15:40 | 70 | -|17.12.2013 | 16:30 - 18:00 | 90 | -|17.12.2013 | 22:00 - 23:00 | 60 | -|20.12.2013 | 09:00 - 09:15 | 15 | -|22.12.2013 | 14:00 - 14:45 | 45 | -|22.12.2013 | 17:00 - 18:20 | 80 | -|26.12.2013 | 18:30 - 18:45 | 15 | http://tex.stackexchange.com/q/151393/5645 -|08.01.2014 | 16:15 - 17:50 | 95 | Digitalisieren der Vorlesung vom 07.01.2014 -|11.01.2014 | 20:30 - 23:00 | 150 | Digitalisieren der Vorlesung von 09.01.2014 -|11.01.2014 | 23:00 - 23:15 | 15 | Umfrage auf Doodle: http://www.doodle.com/xrscxa9rzfcrzr44 -|11.01.2014 | 23:15 - 23:50 | 35 | Ãœberarbeitung der Einleitung zum Kapitel "Euklidische und Nichteuklidische Geometrie" -|12.01.2014 | 16:00 - 16:15 | 15 | `cleveref` benutzt -|12.01.2014 | 22:15 - 22:30 | 15 | Beweis erstellt, dass Ãœberlagerungen surjektiv sind -|12.01.2014 | 23:30 - 00:00 | 30 | Gruppenaktion -> Gruppenoperation; Projektiver Raum zu Index hinzugefügt -|13.01.2014 | 19:00 - 00:00 | 300 | TODOs erledigen; Tippfehler korrigieren -|14.01.2014 | 11:15 - 12:45 | 90 | Digitalisieren der Vorlesung von 14.01.2014 -|14.01.2014 | 12:45 - 16:30 | 225 | TikZ'en der Bilder aus Vorlesung von 14.01.2014 -|16.01.2014 | 12:15 - 12:30 | 15 | Verbesserung an 2 Bildern -|16.01.2014 | 12:45 - 13:30 | 45 | TikZ'en eines Bildes -|16.01.2014 | 17:00 - 19:30 | 150 | Digitalisieren der Vorlesung von 14.01.2014 -|16.01.2014 | 21:30 - 23:50 | 140 | TikZ'en von Bildern -|18.01.2014 | 14:15 - 14:30 | 15 | Neuer Korollar; Tippfehler verbessert -|20.01.2014 | 20:00 - 20:15 | 15 | TikZ'en eines Bildes -|21.01.2014 | 19:30 - 21:30 | 120 | Digitalisieren der Vorlesung von 21.01.2014 -|22.01.2014 | 06:00 - 06:30 | 30 | TikZ'en eines Bildes -|22.01.2014 | 07:15 - 07:35 | 20 | TikZ'en eines Bildes -|23.01.2014 | 09:00 - 10:00 | 60 | TikZ'en eines Bildes und Bemerkungen -|23.01.2014 | 10:30 - 12:15 | 105 | TikZ'en von Bildern -|24.01.2014 | 15:00 - 15:15 | 15 | Flag um Dokument in A4 (für den Bildschirm) bzw. A5 (zum drucken und binden) -|24.01.2014 | 23:00 - 00:15 | 105 |Digitalisieren der Vorlesung von 23.01.2014 -|25.01.2014 | 09:30 - 12:45 | 195 | Digitalisieren der Vorlesung von 23.01.2014 -|25.01.2014 | 13:05 - 13:35 | 30 | Aufgabe aus Tutorium hinzugefügt -|26.01.2014 | 19:00 - 20:00 | 60 | Textsetzung: Figure bekommt htp; stackrel -> overset; \ref -> \cref -|26.01.2014 | 21:30 - 22:45 | 75 | Textsetzung: enumerate -|28.01.2014 | 06:45 - 07:45 | 60 | Textsetzung (http://tex.stackexchange.com/q/156058/5645); Lösung von Ãœbungsaufgabe geTeXt -|28.01.2014 | 10:00 - 10:40 | 40 | \cref in math mode is now never in italics for all defined names -|28.01.2014 | 10:40 - 11:25 | 45 | Verbesserungsvorschläge von Prof. Dr. Herrlich eingearbeitet. -|28.01.2014 | 11:35 - 12:20 | 45 | Digitalisieren der Vorlesung von 28.01.2014 -|28.01.2014 | 21:00 - 23:00 | 120 | Verbesserungen (Textsetzung, weitere Beweise / Beweisskizzen) -|30.01.2014 | 15:45 - 17:00 | 75 | Digitalisieren der Vorlesung von 30.01.2014 -|30.01.2014 | 19:30 - 21:30 | 120 | Textsetzung -|01.02.2014 | 15:40 - 15:50 | 10 | Beweis "Möbiustransformation ist Gruppenoperation" hinzugefügt -|02.02.2014 | 17:00 - 18:00 | 60 | TikZ'en von Bildern -|03.02.2014 | 14:15 - 15:00 | 45 | Textsetzung -|03.02.2014 | 18:35 - 19:10 | 45 | Verbesserungen -|04.02.2014 | 09:50 - 11:40 | 110 | Digitalisieren der Vorlesung von 04.02.2014 -|04.02.2014 | 18:15 - 19:30 | 75 | Verbesserungsvorschläge von Marco umgesetzt (Danke!); Beispiel 3.2 erstellt -|05.02.2014 | 08:15 - 08:30 | 15 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen umgesetzt (Danke!) -|06.02.2014 | 08:15 - 08:30 | 15 | Verbesserungen -|06.02.2014 | 15:45 - 16:00 | 15 | Karteikarten -|06.02.2014 | 16:00 - 16:55 | 55 | Digitalisieren der Vorlesung von 06.02.2014 -|06.02.2014 | 19:00 - 19:30 | 30 | TikZ'en eines Bildes -|07.02.2014 | 11:15 - 11:20 | 5 | Definitionen vereinfacht -|07.02.2014 | 11:35 - 11:45 | 10 | Definition "operiert durch Homöomorphismen" korrigiert -|07.02.2014 | 15:00 - 15:30 | 30 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, E-Mail vom 08.02.2014, umgesetzt. -|07.02.2014 | 15:30 - 15:45 | 15 | Verbesserungen -|07.02.2014 | 19:30 - 21:20 | 110 | Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes -|10.02.2014 | 10:30 - 11:05 | 35 | Formulierung in Definitionen vereinfacht; Textsetzung -|10.02.2014 | 11:05 - 11:20 | 15 | Verbesserungsvorschläge von Marco, E-Mail 1 vom 10.02.2014, umgesetzt. -|10.02.2014 | 11:40 - 13:20 | 100 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, E-Mail 1 vom 10.02.2014, umgesetzt. -|11.02.2014 | 05:30 - 06:00 | 30 | TikZ'en eines Bildes mit Hilfe von Jérôme Urhausen (E-Mail 1 vom 10.02.2014) -|11.02.2014 | 06:30 - 07:00 | 30 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, E-Mail 2 vom 10.02.2014, umgesetzt. -|11.02.2014 | 09:45 - 12:20 | 155 | Digitalisieren der Vorlesung von 11.02.2014 -|13.02.2014 | 10:00 - 11:00 | 60 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, E-Mail vom 13.02.2014, umgesetzt. -|13.02.2014 | 15:45 - 17:00 | 75 | Digitalisieren der Vorlesung von 13.02.2014 -|14.02.2014 | 06:15 - 07:10 | 55 | Verbesserungsvorschläge von Arthur (E-Mail) umgesetzt. -|14.02.2014 | 18:30 - 18:50 | 20 | Verbesserungsvorschläge von Henrieke (RL) umgesetzt. -|14.02.2014 | 18:50 - 19:00 | 10 | Verbesserungsvorschläge von Jan (Facebook) umgesetzt. -|14.02.2014 | 20:30 - 24:00 | 210 | Ãœberarbeitung des Beweises der Eindeutigkeit einer Parallelen -|15.02.2014 | 13:00 - 21:00 | 420 | Textsetzung; Kleine Korrekturen -|16.02.2014 | 10:30 - 11:30 | 60 | Textsetzung; TODO entfernt; Kleine Korrekturen -|18.02.2014 | 10:00 - 11:00 | 60 | Textsetzungsfehler und mathematische Fehler behoben; Beweis hinzugefügt -|18.02.2014 | 11:00 - 11:30 | 30 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, E-Mail vom 17.02.2014, umgesetzt. -|19.02.2014 | 20:00 - 20:50 | 50 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, E-Mail vom 19.02.2014, umgesetzt. -|19.02.2014 | 20:50 - 22:00 | 70 | Kongruenzsätze -|20.02.2014 | 12:00 - 13:00 | 60 | Beweis zu Erzeuger von SL_2(R) hinzugefügt. -|20.02.2014 | 12:00 - 13:00 | 60 | Verbesserungsvorschläge von Jonathan (Facebook, 20.02.2014) eingearbeitet. -|20.02.2014 | 13:00 - 13:45 | 45 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, E-Mail 1 vom 20.02.2014, umgesetzt. -|20.02.2014 | 19:30 - 20:15 | 45 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, E-Mail 2 vom 20.02.2014, umgesetzt. -| Zwischenstand | --- | --- | 6081 Minuten => Ãœber 100 Stunden! -|17.03.2014 | 16:00 - 18:00 | 120 | Textsetzung -|19.03.2014 | 08:00 - 10:00 | 120 | Verbesserung des Symbolverzeichnisses \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md b/documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md deleted file mode 100644 index f48172a..0000000 --- a/documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md +++ /dev/null @@ -1,38 +0,0 @@ -Zu diesem Skript haben einige Leute beigetragen. Die Personen, die am -meisten beigetragen haben, stehen direkt im Skript unter "Danksagungen". - -Hier ist eine (hoffentlich bald) vollständige Liste der Mitwirkenden -(alphabetisch geordnet) mit einer unvollständigen Beschreibung, wie die -Personen mitgewirkt haben. - -Standardmäßig trage ich die Personen nur mit dem Vornamen ein. Falls jemand mit -vollständigem Namen oder gar nicht genannt werden will, bitte mir eine E-Mail -(info@martin-thoma.de) schicken. - -* Henrieke: Beweis des SWS-Kongruenzsatzes; ein paar Fehlermeldungen was die - Notation in Beweisen und Rechtschreibung angeht. -* Herrlich, Frank (Prof. Dr): Erstellen der Inhalte und des Aufbaus der - Vorlesung. Dieses Skript war ursprünglich nur der Mitschrieb seiner - Vorlesung. -* Jonathan: Fehlermeldung -* Lenz, Sandra: Ãœbungsaufgaben und Lösungen (Ãœbungsleiterin) -* Marco: ein paar Fehlermeldungen -* Marktanner, Nilan: Mitschriebe von Tutorien; ein paar Fehlermeldungen -* Randecker, Anja: Ãœbungsaufgaben und Lösungen (Ãœbungsleiterin) -* Rocha, Tânia: Mitschriebe von Vorlesungen; ein paar Fehlermeldungen -* Sarah: Einige Ãœbungsaufgaben; Hilfestellung als Tutorin beim Verständnis der - Beweise / Inhalte -* Schickling, Johannes: Mitschriebe der Vorlesung -* Thoma, Martin: Erstellen des Grundgerüsts mit Hilfe des - Vorlesungsmitschriebs; Beweise; Bilder; Textsetzung; Kontrolle der - Korrektheit aller Verbesserungsvorschläge -* Urhausen, Jérôme: Beweise; Viele Verbesserungen (Notation und Textsetzung); - Bilder - -Indirekt haben noch viele weitere Personen geholfen: - -* Staats, Charles: Erstellung einiger Bilder von Tori auf tex.stackexchange -* Weitere Personen, die Bilder unter einer freien Lizenz online verfügbar - gemacht haben -* Viele Personen auf tex.stackexchange, die mir bei Textsetzungsproblemen - gehlofen haben \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/meta/README.md b/documents/GeoTopo/meta/README.md deleted file mode 100644 index 4a48182..0000000 --- a/documents/GeoTopo/meta/README.md +++ /dev/null @@ -1,34 +0,0 @@ -Im folgenden werden ein paar Entscheidungen, die das GeoTopo-Skript -betreffen, erläutert. Sollte ich in dem Skript dagegen verstoßen, -bitte ich um eine E-Mail. - -Konventionen -============ -* `\mathbb{N}` sollte vermieden werden. Stattdessen wird - `\mathbb{N}_0` und `\mathbb{N}_+` verwendet. -* `\subset` sollte vermieden werden. Stattdessen wird - `\subseteq` bzw. `\subsetneq` verwendet. -* Für Winkel werden 3 verschiedene Symbole verwendet - (siehe [math.SE](http://math.stackexchange.com/q/640838/6876)) -* Jede Abkürzung muss im Abkürzungsverzeichnis sein -* Für das Innere einer Menge wurde $M^\circ$ anstelle von $\overset{\circ}{M}$ - verwendet, da es so besser in eine Zeile passt und meiner Meinung nach - einfacher zu lesen ist. -* Zahlen werden als Zahlen geschrieben (also: "4 Zusammenhangskomponenten" und - nicht "vier Zusammenhangskomponenten") -* Die benutzten Symbole sollten ISO 80000-2 entsprechen. -* Adjektive sollten im Stichwortverzeichnis nur als Unterpunkt auftauchen - (=> "kompakt" nur unter "Raum, kompakter") -* Je weniger Fußnoten in Formeln / Definitionen sind, desto besser. Fußnoten - können zu leicht als Exponenten missverstanden werden. -* Obwohl es keine Rolle spielen sollte, sollten alle Winkel wie üblich (also - gegen den Uhrzeigersinn) notiert werden. (TODO!) - -Richtlinien und Hinweise -======================== -* Keine Definition sollte "für sich" stehen. Zu jedem Begriff sollten - insbesondere Eigenschaften, Beispiele und meist auch nichttriviale - Gegenbeispiele genannt werden. -* Begriffe sollten in einen Zusammenhang gestellt werden. - (X ist Spezialisierung / Generalisierung von Y) -* Beispiele und Bilder sind toll :-) diff --git a/documents/GeoTopo/meta/regex.md b/documents/GeoTopo/meta/regex.md deleted file mode 100644 index 417b0e6..0000000 --- a/documents/GeoTopo/meta/regex.md +++ /dev/null @@ -1,5 +0,0 @@ -Einige RegEx-Außdrücke haben mir geholfen, die Qualität des Dokuments zu erhöhen: - -```bash -grep -ni -E '\\begin{(.*?)}(\\xindex\{.*?\})+[^%]*$' * -``` \ No newline at end of file diff --git a/documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf b/documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf deleted file mode 100644 index 6bb840c..0000000 Binary files a/documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf and /dev/null differ diff --git a/documents/GeoTopo/shortcuts.sty b/documents/GeoTopo/shortcuts.sty deleted file mode 100644 index 624e6a1..0000000 --- a/documents/GeoTopo/shortcuts.sty +++ /dev/null @@ -1,163 +0,0 @@ -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% make the index link to the correct part of the page % -% http://tex.stackexchange.com/q/74493/5645 % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\newcounter{indexanchor} -\newcommand*{\xindex}[1]{% - \stepcounter{indexanchor}% make anchor unique - \def\theindexterm{#1}% - \edef\doindexentry{\noexpand\index - {\expandonce\theindexterm|indexanchor{index-\theindexanchor}}}% - \raisebox{\baselineskip}{\hypertarget{index-\theindexanchor}% - {\doindexentry}}% -} -\newcommand*{\indexanchor}[2]{\hyperlink{#1}{#2}} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Aufgaben-Environment % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\newcounter{aufgabe} -\newenvironment{aufgabe}[1][]{\refstepcounter{aufgabe}% - \ifthenelse{\isempty{#1}}% - {\subsection*{Aufgabe~\theaufgabe}}% if #1 is empty - {\subsection*{Aufgabe~\theaufgabe~(#1)}}% if #1 is not empty - \begin{adjustwidth}{1cm}{}}% - {\end{adjustwidth}} - -\newenvironment{solution}[1][]{% - \subsection*{Lösung zu Aufgabe~#1}% - \begin{adjustwidth}{1cm}{}}% - {\end{adjustwidth}} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% Define theorems % -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\newcommand{\thmfoot}{} -\theoremstyle{break} -\setlength\theoremindent{0.7cm} -\theoremheaderfont{\kern-0.7cm\normalfont\bfseries} -\theorembodyfont{\normalfont} % nicht mehr kursiv -\theoremseparator{\thmfoot} - -\newframedtheorem{satz}{Satz}[chapter] -\renewtheorem*{satz*}{Satz} -\newframedtheorem{lemma}[satz]{Lemma} -\newframedtheorem{proposition}[satz]{Proposition} -\newtheorem{korollar}[satz]{Korollar} -\newtheorem{folgerung}[satz]{Folgerung} -\newtheorem{definition}{Definition} -\newtheorem{beispiel}{Beispiel} -\newtheorem{bemerkung}{Bemerkung} -\theoremstyle{nonumberplain} -\newtheorem{beweis}{Beweis:} -\newtheorem{behauptung}{Beh.:} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -\def\fB{\mathfrak{B}}%Für Basis -\def\calS{\mathcal{S}}%Für Subbasis -\def\fT{\mathfrak{T}}%Für Topologie -\def\fU{\mathfrak{U}}%Für Topologie -\renewcommand{\qed}{\hfill\blacksquare} -\newcommand{\qedwhite}{\hfill \ensuremath{\Box}} -\newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)} -\def\praum{\ensuremath{\mathcal{P}}} -\def\mda{\ensuremath{\mathbb{A}}} -\def\mdp{\ensuremath{\mathbb{P}}} -\def\mdc{\ensuremath{\mathbb{C}}} -\def\mdk{\ensuremath{\mathbb{K}}} -\def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}} -\def\mdq{\ensuremath{\mathbb{Q}}} -\def\mdz{\ensuremath{\mathbb{Z}}} -\def\mdn{\ensuremath{\mathbb{N}}} -\def\mdh{\ensuremath{\mathbb{H}}} -\def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}} - -\def\atlas{\ensuremath{\mathcal{A}}} - -\def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}} -\def\SL{\ensuremath{\mathrm{SL}}} -\def\PSL{\ensuremath{\mathrm{PSL}}} -\newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}} -\newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}} -\newcommand\Dcup{\mathop{\dot{\bigcup}}} -\newcommand{\id}{\textnormal{id}} -\DeclareMathOperator{\Deck}{Deck} -\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix} -\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso} -\DeclareMathOperator{\grad}{grad} -\DeclareMathOperator{\Perm}{Perm} -\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} -\DeclareMathOperator{\Homoo}{\textnormal{Homöo}} -\DeclareMathOperator{\Diffeo}{Diffeo} -\DeclareMathOperator{\conv}{conv} -\DeclareMathOperator{\IWS}{IWS} -\DeclareMathOperator{\DV}{DV} -\DeclareMathOperator{\rang}{Rg} -\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild} -\newcommand{\iu}{{i\mkern1mu}} % imaginary unit -\newcommand{\kappanor}{\kappa_{\ts{Nor}}} -%\DeclareMathOperator{\Re}{Re} -%\DeclareMathOperator{\Im}{Im} - -%%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace} -\newcommand\Obda{O.~B.~d.~A.\xspace} -\newcommand{\ts}[1]{\textnormal{#1}} % textual subscript -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% http://tex.stackexchange.com/a/101138/5645 -\newcommand\rtilde[1]{\widetilde{\mathit{#1}}} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\crefname{satz}{\textup{Satz}}{\textup{Sätze}} -\crefname{proposition}{\textup{Proposition}}{\textup{Propositionen}} -\crefname{lemma}{\textup{Lemma}}{\textup{Lemmata}} -\crefname{korollar}{\textup{Korollar}}{\textup{Korollare}} -\crefname{folgerung}{\textup{Folgerung}}{\textup{Folgerungen}} -\crefname{definition}{\textup{Definition}}{\textup{Definitionen}} -\crefname{behauptung}{\textup{Behauptung}}{\textup{Behauptungen}} -\crefname{beispiel}{\textup{Beispiel}}{\textup{Beispiele}} -\crefname{aufgabe}{\textup{Aufgabe}}{\textup{Aufgaben}} -\crefname{bemerkung}{\textup{Bemerkung}}{\textup{Bemerkungen}} -%\let\OldAngle\angle -%\let\angle\sphericalangle - -\newlist{defenum}{enumerate}{1} -\setlist[defenum]{label=\alph*),ref=\textup{\thedefinition.\alph*}} -\crefalias{defenumi}{definition} - -\newlist{defenumprops}{enumerate}{1} -\setlist[defenumprops]{label=(\roman*),ref=\textup{\thedefinition.\roman*}} -\crefalias{defenumpropsi}{definition} - -\newlist{bemenum}{enumerate}{1} -\setlist[bemenum]{label=\alph*),ref=\textup{\thebemerkung.\alph*}} -\crefalias{bemenumi}{bemerkung} - -\newlist{satzenum}{enumerate}{1} -\setlist[satzenum]{label=\alph*),ref=\textup{\thebemerkung.\alph*}} -\crefalias{satzenumi}{satz} - -\newlist{bspenum}{enumerate}{1} -\setlist[bspenum]{label=\arabic*),ref=\textup{\thebeispiel.\arabic*}} -\crefalias{bspenumi}{beispiel} - -\newlist{propenum}{enumerate}{1} -\setlist[propenum]{label=\alph*), ref=\textup{\theproposition~(\alph*)}} -\crefalias{propenumi}{proposition} - -\newlist{aufgabeenum}{enumerate}{1} -\setlist[aufgabeenum]{label=(\alph*),ref=\textup{\theaufgabe~(\alph*)}} -\crefalias{aufgabeenumi}{aufgabe} - -% Commands for local abbreviations -\newcommand\crefabbr[1]{% -\begingroup - \crefname{bemerkung}{\textup{Bem.}}{\textup{Bem.}}% - \crefname{definition}{\textup{Def.}}{\textup{Def.}}% - \crefname{proposition}{\textup{Prop.}}{\textup{Prop.}}\cref{#1}% -\endgroup% -} -\newcommand\Crefabbr[1]{% -\begingroup - \Crefname{bemerkung}{\textup{Bem.}}{\textup{Bem.}}% - \Crefname{definition}{\textup{Def.}}{\textup{Def.}}% - \crefname{proposition}{\textup{Prop.}}{\textup{Prop.}}\Cref{#1}% -\endgroup% -} diff --git a/documents/GeoTopo/titlepage.tex b/documents/GeoTopo/titlepage.tex deleted file mode 100644 index cfb23f9..0000000 --- a/documents/GeoTopo/titlepage.tex +++ /dev/null @@ -1,19 +0,0 @@ -\begin{titlepage} -\thispagestyle{empty} -\ifAFive - \par\vspace{4cm} -\else - \par\vspace{10cm} -\fi -\begin{center} -{\Large \textbf{Einführung in die}} \\[2ex] -{\Large \textbf{Geometrie und Topologie}} -\vfill - -\includegraphics[width=0.9\linewidth]{figures/Torus.pdf} -\vfill -\hrulefill -\end{center} -\ \\[-5ex] -0. Auflage, \today \hfill Martin Thoma -\end{titlepage}