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Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes

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Martin Thoma 2014-02-08 21:23:01 +01:00
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1
documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md
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@ -70,3 +70,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
|07.02.2014 | 11:35 - 11:45 | Definition "operiert durch Homöomorphismen" korrigiert
|07.02.2014 | 15:00 - 15:30 | Verbesserungen von Jérôme Urhausen, Email vom 08.02.2014, eingefügt.
|07.02.2014 | 15:30 - 15:45 | Verbesserungen
|07.02.2014 | 19:30 - 21:20 | Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes

BIN
documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf
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Binary file not shown.

6
documents/GeoTopo/Kapitel3.tex
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@ -452,7 +452,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
\end{figure}
Sei $X$ wie in \cref{fig:top-raum-kreise}. $\pi_1(X,x)$ wird \enquote{frei} erzeugt von $a$ und $b$, weil
$\pi_1(U,x) = <a> \cong \mdz, \pi_1(V,x) = <b> \cong \mdz$,
$\pi_1(U,x) = \langle a \rangle \cong \mdz, \pi_1(V,x) = \langle b \rangle \cong \mdz$,
insbesondere ist $a*b$ nicht homotop zu $b*a$.
\item Torus: $\pi_1(T^2, X)$ wird erzeugt von $a$ und $b$.
\begin{figure}[htp]
@ -548,8 +548,6 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
$\Rightarrow p(V)$ ist offen.
\end{beweis}
\todo[inline]{Die Definition von Diskret habe ich mir überlegt. Hatten wir das schon mal?
Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\begin{definition}\xindex{diskret}%
Sei $X$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$.
@ -684,7 +682,7 @@ $p:Y \rightarrow X$ Überlagerung, $X,Y$ wegzusammenhängend.
$p$ stetig und surjektiv, zu $x \in X \exists$ Umgebung $U$, so dass
$p^{-1}(U) = \bigcup V_j$
$p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
$p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
\begin{bemerkung}%Bemerkung 12.6 der Vorlesung
Wege in $X$ lassen sich zu Wegen in $Y$ liften.

19
documents/GeoTopo/Kapitel4.tex
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@ -98,7 +98,7 @@ aufgestellt.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
\enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$
sind kollinear.\\
@ -996,7 +996,8 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
$\sigma(z_3) = \infty$ (gibt es?)
$\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4d}}}{\Rightarrow}\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) = \DV(0, 1, \infty, \sigma(z_4))$\\
$\Rightarrow\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty} \Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{infty}$
$\Rightarrow\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty}$\\
$\Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty}$
Behauptung folgt, weil $\sigma(\mdr \cup \infty)$ ein Kreis oder
eine Gerade in $\mdc$ ist.
@ -1023,19 +1024,19 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
also gilt \obda $z_1 = \iu a$ und $z_2 = \iu b$ mit $a,b \in \mdr$ und $a < b$.
\begin{align*}
2d(\iu a, \iu b) &= \ln(\DV(0, \iu a, \infty, \iu b))\\
&= \ln \frac{(0 - \iu b) (\infty - \iu a)}{(0 - \iu a)(\infty - \iu b)}\\
&= \ln \frac{b}{a}\\
2d(\iu a, \iu b)&= \ln \mid \DV(0, \iu a, \infty, \iu b) \mid \\
&= \ln \mid \frac{(0 - \iu b) (\infty - \iu a)}{(0 - \iu a)(\infty - \iu b)} \mid \\
&= \ln \mid \frac{b}{a} \mid\\
&= \ln b - \ln a
\end{align*}
Also: $d(z_1, z_2) \geq 0$, $d(z_1, z_2) = 0 \gdw z_1 = z_2$
\begin{align*}
2 d(z_2, z_1) &=\hspace{3mm}\ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
&=\hspace{3mm} \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
&\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}}{=}\hspace{3mm} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
&=\hspace{3mm} 2 d(z_1, z_2)
2 d(z_2, z_1) &= \ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
&= \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
&\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}}{=}\hspace{5mm} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
&= 2 d(z_1, z_2)
\end{align*}
Liegen drei Punkte $z_1, z_2, z_3 \in \mdc$ auf einer hyperbolischen

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documents/GeoTopo/Kapitel5.tex
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@ -58,15 +58,15 @@
Gegeben sei ein Kreis mit Radius $r$, d.~h. mit Umfang $2\pi r$.
Es gilt:
\[\gamma(t) = (r \cdot \cos \frac{t}{r}, r \cdot \sin \frac{t}{r}) \text{ für } t \in [0, 2\pi r]\]
\[\gamma(t) = \left (r \cdot \cos \frac{t}{r}, r \cdot \sin \frac{t}{r} \right ) \text{ für } t \in [0, 2\pi r]\]
ist parametrisiert durch Bogenlänge.
\begin{align*}
\gamma'(t) &= ((r \cdot \frac{1}{r}) (- \sin \frac{t}{r}), r \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r})\\
&= (- \sin \frac{t}{r}, \cos \frac{t}{r})\\
\Rightarrow n(t) &= (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r})\\
\gamma''(t) &= (- \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r}, - \frac{1}{r} \sin \frac{t}{r})\\
&= \frac{1}{r} \cdot (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r})\\
\gamma'(t) &= \left ((r \cdot \frac{1}{r}) (- \sin \frac{t}{r}), r \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r} \right )\\
&= \left (- \sin \frac{t}{r}, \cos \frac{t}{r} \right )\\
\Rightarrow n(t) &= \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\\
\gamma''(t) &= \left (- \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r}, - \frac{1}{r} \sin \frac{t}{r} \right )\\
&= \frac{1}{r} \cdot \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\\
\Rightarrow \kappa(t) &= \frac{1}{r}
\end{align*}
\end{beispiel}
@ -124,7 +124,7 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^\infty \rightarrow \mdr$.\todo{Wirklich $
definierte lineare Abbildung.
Dann heißt $T_s S := \Bild(D_p F)$ die \textbf{Tangentialebene}\xindex{Tangentialebene}
an $S \in s$.
an $s \in S$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}%In Vorlesung: 17.2

5
documents/GeoTopo/Loesungen.tex
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@ -113,7 +113,8 @@
$\SL_n(\mdr) \subseteq \GL_n(\mdr)$ lässt sich mit einer
Teilmenge des $\mdr^{n^2}$ identifizieren. Nach \cref{satz:heine-borel}
sind diese genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und
abgeschlossen sind. Definiere nun für für $n \in \mdn_{\geq 2}, m \in \mdn: A_m = \text{diag}_n(m, \frac{1}{m}, \dots, 1)$.
abgeschlossen sind. Definiere nun für für $n \in \mdn_{\geq 2}, m \in \mdn$:
\[A_m = \text{diag}_n(m, \frac{1}{m}, \dots, 1)\]
Dann gilt: $\det A_m = 1$, d.~h. $A_m \in \SL_n(\mdr)$,
und $A_m$ ist unbeschränkt, da $\|A_m\|_\infty =m \xrightarrow[m \rightarrow \infty]{} \infty$.$\qed$
\item \textbf{Beh.:} $\praum(\mdr)$ ist kompakt.\\
@ -303,5 +304,5 @@
Da $d(A',C') = d(A,C) = d(\varphi(A), \varphi(C)) = d(A', \varphi(C))$
und $d(B', C') = d(B', \varphi(C))$
\todo[inline]{da fehlt was}
\todo[inline]{Da fehlt was.}
\end{solution}

6
documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex
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@ -1,5 +1,6 @@
\markboth{Symbolverzeichnis}{Symbolverzeichnis}
\twocolumn
\chapter*{Symbolverzeichnis\markboth{Symbolverzeichnis}{Symbolverzeichnis}}
\chapter*{Symbolverzeichnis}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Symbolverzeichnis}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mengenoperationen %
@ -50,6 +51,7 @@ $X /_\sim\;\;\;$ $X$ modulo $\sim$\\
$[x]_\sim\;\;\;$ Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
$\| x \|\;\;\;$ Norm von $x$\\
$| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
$\langle a \rangle\;\;\;$ Erzeugnis von $a$\\
$S^n\;\;\;$ Sphäre\\
$T^n\;\;\;$ Torus\\
@ -59,7 +61,7 @@ $[\gamma]\;\;\;$ Homotopieklasse eines Weges $\gamma$\\
$\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
$f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
$f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
$\Rg(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
$\rang(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
$\chi(K)\;\;\;$ Euler-Charakteristik von $K$\\
$\Delta^k\;\;\;$ Standard-Simplex\\
$X \# Y\;\;\;$ Verklebung von $X$ und $Y$\\

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documents/GeoTopo/Vorwort.tex
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@ -59,8 +59,8 @@ Es wird ein sicherer Umgang mit den Quantoren ($\forall, \exists$),
Mengenschreibweisen ($\cup, \cap, \setminus, \emptyset, \mdr, \powerset{M}$)
und ganz allgemein formaler Schreibweise vorausgesetzt. Auch die
Beweisführung mittels Widerspruchsbeweisen sollte bekannt sein und
der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$ sowie deren Betrag nicht
weiter schwer fallen.
der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$, deren Betrag, Folgen und
Häufungspunkten nicht weiter schwer fallen.
Diese Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt.
Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume,

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documents/GeoTopo/figures/inversion-am-kreis.tex
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@ -3,24 +3,22 @@
\tkzSetUpLine[line width=1]
\tkzInit[xmax=1.2,ymax=1,xmin=-1.2,ymin=0]
\pgfmathsetmacro{\Radius}{1}
\tkzDefPoints{2.0/1.0/Z, 0/0/O, 0/1/i}
\tkzDefPoints{2.0/1.5/Z, 0/0/O, 0/1/i}
%% Konstruktion von 1/ \overline{z} und -1/ \overline{z}
\tkzTangent[from with R = Z,/tikz/overlay](O,\Radius cm) \tkzGetPoints{T1}{T2}
\tkzInterLL(T1,T2)(O,Z) \tkzGetPoint{dZ}
\tkzDefPointBy[reflection = over O--i](dZ) \tkzGetPoint{ndZ}
\tkzDefPointBy[symmetry = center O](dZ) \tkzGetPoint{other}
%%
\tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=orange](O,\Radius cm)(0,180)
\tkzMarkAngle[size=1mm](Z,dZ,T1)
\tkzLabelAngle[pos=0.06](Z,dZ,T1){$\cdot$}
\tkzAxeXY
\tkzDrawPoints(Z, dZ, ndZ, other)
\tkzLabelPoint[left](Z){$z = r \cdot e^{\iu \varphi}$}
\tkzLabelPoint[below](other){$-\frac{1}{\overline{z}}$}
\tkzDrawPoints(Z, dZ, T1)
\tkzLabelPoint[above left](Z){$z = r \cdot e^{\iu \varphi}$}
\tkzLabelPoint[below right](dZ){$\frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{r} \cdot e^{\iu \varphi}$}
\tkzLabelPoint[above left](ndZ){?}
\tkzDrawSegments[dashed](O,Z)
\tkzDrawSegments[dashed](O,ndZ)
\tkzDrawSegments[dashed](O,other)
\tkzDrawLine[dashed, add=0 and 0.5](Z,T1)
\tkzDrawSegments[dashed](T1,dZ)
\end{tikzpicture}

3
documents/GeoTopo/shortcuts.sty
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@ -68,7 +68,6 @@
\def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
\def\atlas{\ensuremath{\mathcal{A}}}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}
\def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}}
\def\SL{\ensuremath{\mathrm{SL}}}
@ -88,7 +87,7 @@
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
\DeclareMathOperator{\IWS}{IWS}
\DeclareMathOperator{\DV}{DV}
\DeclareMathOperator{\Rg}{Rg}
\DeclareMathOperator{\rang}{Rg}
\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
\newcommand{\iu}{{i\mkern1mu}} % imaginary unit
\newcommand{\kappanor}{\kappa_{\ts{Nor}}}