tex-projects/LaTeX-examples
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Martin Thoma 2013-12-18 12:28:21 +01:00
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@ -561,19 +561,21 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\begin{definition} \begin{definition}
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*] \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
\item Sei $\Delta^n = \text{conv}(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$ \todo{stimmen die indizes?} \item Sei $\Delta^k = \text{conv}(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$. die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
$\Delta^k$ heißt \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}.
Dann heißt $\Delta^k$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
und $k$ die Dimension des Simplex.
\item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner \item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \text{conv}(v_0, \dots, v_k)$ Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \text{conv}(v_0, \dots, v_k)$
ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$. ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
\item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und \item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
$I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$, $I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
so heißt $s_{i_0} \dots i_r := \text{conv}(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$ so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \text{conv}(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
\textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite} \textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
von $\Delta$. von $\Delta$.
$s_{i_0} \dots i_r$ ist $r$-Simplex. $s_{i_0, \dots, i_r}$ ist $r$-Simplex.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{definition} \end{definition}
@ -862,7 +864,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
Für $i = 0, \dots, n$ sei $\partial_i \sigma := \Delta(x_0, \dots, \hat{x_i}, \dots, x_n)$ Für $i = 0, \dots, n$ sei $\partial_i \sigma := \Delta(x_0, \dots, \hat{x_i}, \dots, x_n)$
die $i$-te Seite von $\sigma$ und $d_\sigma = d_n \sigma := \sum_{i=0} (-1)^i \partial_i \sigma \in C_{n-1} (K)$ die $i$-te Seite von $\sigma$ und $d_\sigma = d_n \sigma := \sum_{i=0} (-1)^i \partial_i \sigma \in C_{n-1} (K)$
und $d: C_n(K) \rightarrow C_{n-1}(K)$ die dadurch definierte lineare und $d_n: C_n(K) \rightarrow C_{n-1}(K)$ die dadurch definierte lineare
Abbildung. Abbildung.
Dann gilt: $d_{n-1} \circ d_n = 0$ Dann gilt: $d_{n-1} \circ d_n = 0$