Einleitung zu Kapitel 4 überarbeitet

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@@ -23,3 +23,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |08.01.2014 | 16:15 - 17:50 | Digitalisieren der Vorlesung vom 07.01.2014
 |11.01.2014 | 20:30 - 23:00 | Digitalisieren der Vorlesung von 09.01.2014
 |11.01.2014 | 23:00 - 23:15 | Umfrage auf Doodle: http://www.doodle.com/xrscxa9rzfcrzr44
+|11.01.2014 | 23:15 - 23:50 | Überarbeitung der Einleitung zum Kapitel "Euklidische und Nichteuklidische Geometrie"

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

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 % Mitschrieb vom 09.01.2014                                         %
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 \chapter{Euklidische und Nichteuklidische Geometrie}
-\section{Axiome for die euklidische Ebene}
+\section{Axiome für die euklidische Ebene}
+Axiome\xindex{Axiom} bilden die Grundbausteine jeder mathematischen Theorie. Eine
+Sammlung aus Axiomen nennt man Axiomensystem\xindex{Axiomensystem}.
+Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch 
+ein paar sehr grundlegende Vorderungen an ihn: Axiomensysteme sollen
+\textbf{widerspruchsfrei} sein, die Axiome sollen möglichst
+\textbf{unabhängig} sein und \textbf{Vollständigkeit} wäre auch toll.
+Mit Unabhängigkeit ist gemeint, dass kein Axiom sich aus einem anderem
+herleiten lässt. Dies scheint auf den ersten Blick eine einfache
+Eigenschaft zu sein. Auf den zweiten Blick muss man jedoch einsehen, 
+dass das Parallelenproblem, also die Frage ob das Parallelenaxiom 
+unabhängig von den restlichen Axiomen ist, über 2000 Jahre nicht 
+gelöst wurde. Ein ganz anderes Kaliber ist die Frage nach der
+Vollständigkeit. Ein Axiomensystem gilt als Vollständig, wenn
+jede Aussage innerhalb des Systems verifizierbar oder falsifizierbar
+ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz, 
+der z.~B. für die Arithmetik beweist, dass nicht alle Aussagen
+formal bewiesen oder wiederlegt werden können.
 
-\begin{itemize}
-    \item Grundbegriife
-    \item Axiome
-    \item Sätze
-\end{itemize}
-
-\textbf{Wünschenswerte Eigenschaften:}
-\begin{itemize}
-    \item widerspruchsfrei $\rightarrow$ Gödelscher Unvollständigkeitssatz
-    \item unabhängigkeit: Kein Axiom lässt sich aus einem anderem herleiten
-    \item vollständigkeit: Jede Aussage lässt sich mit Schlussfolgerungen 
-          aus dem Axiomensystem verifizieren oder falsifizieren
-\end{itemize}
+Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner 
+Abhandlung \enquote{Die Elemente} ein Axiomensystem für die Geometrie
+aufgestellt. 
 
 \textbf{Euklids Axiome}
 \begin{itemize}