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Korollar -> Folgerung

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76
documents/GeoTopo/Kapitel1.tex
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@ -19,7 +19,7 @@
Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
\begin{korollar}[Mengen, die offen und abgeschlossen sind, existieren]
\begin{folgerung}[Mengen, die offen und abgeschlossen sind, existieren]
Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie}
\xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$.
@ -27,7 +27,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$
und $X \setminus \emptyset = X \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
sind als Komplement offener Mengen abgeschlossen.$\qed$
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beispiel}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
@ -286,10 +286,10 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
sodass $x_n \in U$ für alle $n \geq n_0$.
\end{definition}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Ist $X$ hausdorffsch, so hat jede Folge in $X$ höchstens einen
Grenzwert.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $(x_n)$ eine konvergierende Folge und $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge.
@ -316,7 +316,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
\begingroup
\renewcommand{\thmfoot}{\footnotemark}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
\footnotetext[\thefootnote]{Im Grunde wird die Äquivalenz
von Stetigkeit im Sinne der Analysis und Topologie auf metrischen
Räumen gezeigt.}
@ -327,7 +327,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
jedem $\varepsilon > 0$ gibt es $\delta(x, \varepsilon) > 0$, sodass
für alle $y \in X$ mit $d(x,y) < \delta $ gilt $d_Y(f(x), f(y)) <
\varepsilon$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\endgroup
\begin{beweis}
@ -377,7 +377,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{korollar}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig]
\begin{folgerung}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig]
Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und
$g:Y \rightarrow Z$ stetige Abbildungen.
@ -391,7 +391,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
}
\end{xy}
}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $U \subseteq Z$ offen $\Rightarrow (g \circ f)^{-1} (U) = f^{-1} (g^{-1}(U))$.
@ -412,26 +412,26 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$
und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen
\[\pi_X: (x,y) \mapsto x \text{ und } \pi_Y: (x,y) \mapsto y\]
Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$
und $\pi_Y$ stetig.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $U \subseteq X$ offen $\Rightarrow \pi_x^{-1} (U) = U \times Y$
ist offen in $X \times Y$. $\qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf
$X$, $\overline{X} = X /_\sim$ der Bahnenraum versehen mit der
Quotiententopologie, $\pi:X \rightarrow \overline{X}$, $x \mapsto [x]_\sim$.
Dann ist $\pi$ stetig.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Nach Definition ist
@ -529,10 +529,10 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{korollar}\label{zusammenhangAbschluss}
\begin{folgerung}\label{zusammenhangAbschluss}
Sei $X$ ein topologischer Raum und $A \subseteq X$ zusammenhängend.
Dann ist auch $\overline{A}$ zusammenhängend.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
\underline{Annahme}: $\overline{A} = A_1 \cup A_2,\; A_i$ abgeschlossen, $\neq \emptyset$,
@ -551,11 +551,11 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
$\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend $ \qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{zusammenhangVereinigung}
\begin{folgerung}\label{zusammenhangVereinigung}
Sei $X$ ein topologischer Raum und $A, B \subseteq X$ zusammenhängend.
Ist $A \cap B \neq \emptyset$, dann ist $A \cup B$ zusammenhängend.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $A \cup B = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset$ offen, disjunkt
@ -577,7 +577,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
$Z(x)$ heißt \textbf{Zusammenhangskomponente}.
\end{definition}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $Z(X)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$,
@ -585,7 +585,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
\item $Z(X)$ ist abgeschlossen.
\item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten.
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
@ -596,7 +596,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
Teilmenge $A$, die auch $x$ enthält.
$\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(A \cap A_2)}_{\ni y}$
ist unerlaubte Zerlegung.
\item Nach Korollar \ref{zusammenhangAbschluss} ist $\overline{Z(x)}$
\item Nach \cref{zusammenhangAbschluss} ist $\overline{Z(x)}$
zusammenhängend $\Rightarrow \overline{Z(x)} \subseteq Z(x)$
$\Rightarrow Z(x) = \overline{Z(x}$
\item Ist $Z(y) \cap Z(x) \neq \emptyset \xRightarrow{\ref{zusammenhangVereinigung}} Z(y) \cup Z(x)$
@ -610,10 +610,10 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
$\qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Sei $f:X \rightarrow Y$ stetig. Ist $A \subseteq X$ zusammenhängend,
so ist $f(A) \subseteq y$ zusammenhängend.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $f(A) = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset,$ offen, disjunkt.
@ -643,9 +643,9 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
% Mitschrieb vom 05.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{korollar}\label{abgeschlossen01IstKompakt}
\begin{folgerung}\label{abgeschlossen01IstKompakt}
$I = [0, 1]$ ist kompakt bezüglich der euklidischen Topologie.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
\todo{Der Beweis ist komisch. Das würde ich gerne mit jemanden durchsprechen.}
@ -683,10 +683,10 @@ $\qed$
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{korollar}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt}
\begin{folgerung}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt}
Sei $X$ kompakter Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen. Dann ist
$A$ kompakt.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $(V_{i})_{i \in I}$ offene Überdeckung von A.\\
@ -702,10 +702,10 @@ $\qed$
$\qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt}
\begin{folgerung}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt}
Seien $X, Y$ kompakte topologische Räume. Dann ist $X \times Y$
mit der Produkttopologie kompakt.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $(W_i)_{i \in I}$ eine offene Überdeckung von $X \times Y$.
@ -732,10 +732,10 @@ $\qed$
$\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen}
\begin{folgerung}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen}
Sei $X$ ein Hausdorffraum und $K \subseteq X$ kompakt.
Dann ist $K$ abgeschlossen.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
\underline{z.~Z.:} Komplement ist offen
@ -762,10 +762,10 @@ $\qed$
Damit ist $K$ abgeschlossen. $\qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kor:5.6}%In Vorlesung: Bemerkung 5.6
\begin{folgerung}\label{kor:5.6}%In Vorlesung: Bemerkung 5.6
Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig.
Ist $K \subseteq X$ kompakt, so ist $f(K) \subseteq Y$ kompakt.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Überdeckung von $f(K)$\\
@ -788,8 +788,8 @@ $\qed$
\enquote{$\Rightarrow$}: Sei $K \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
kompakt.
Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach Korollar
\ref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen.
Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach
\cref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen.
Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von
Radien 1 überdeckt werden $\Rightarrow K$ ist beschränkt.
@ -800,9 +800,9 @@ $\qed$
mit $A \subseteq W$ bzw. \enquote{Polyzylinder}\xindex{Polyzylinder}
$Z = \Set{(z_1, \dots, z_n) \in \mdc^n | z_i \leq N \text{ für } i= 1, \dots, n}$
Nach Korollar \ref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und Korollar
\ref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$
nach Korollar \ref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt.
Nach \cref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und
\cref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$
nach \cref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt.
Genauso ist $Z$ kompakt, weil
\[\Set{z \in \mdc | |z| \leq 1}\]
homöomorph zu
@ -836,14 +836,14 @@ $\qed$
gibt mit $\gamma(0)=x$ und $\gamma(1)=y$.
\end{definition}
\begin{korollar}\label{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}
\begin{folgerung}\label{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}
Sei $X$ ein topologischer Raum.
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $X$ ist wegzusammenhängend $\Rightarrow X$ ist zusammenhängend
\item $X$ ist wegzusammenhängend $\not\Leftarrow X$ ist zusammenhängend
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}~\\
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]

48
documents/GeoTopo/Kapitel2.tex
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@ -124,10 +124,10 @@
Mannigfaltigkeit.
\end{definition}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist
$X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Produkte von Karten sind Karten. $\qed$
@ -156,7 +156,7 @@
\end{figure}
\end{beispiel}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar
und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}.
@ -166,7 +166,7 @@
\item Ist $\grad(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
$X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
@ -208,7 +208,7 @@
\caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
\end{figure}
Es gilt: $\grad(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\grad(0,0) = (0,0)$.
Daher ist Korollar \ref{Mannigfaltigkeitskriterium}
Daher ist \cref{Mannigfaltigkeitskriterium}
nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
\end{enumerate}
@ -334,10 +334,10 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Die Bedingung in Definition~\ref{def:stetigeAbbildungDiffbar} hängt nicht
von den gewählten Karten ab.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$
@ -439,10 +439,10 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 21.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{korollar}\label{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}
\begin{folgerung}\label{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}
Jede reguläre Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine 2-dimensionale,
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
\todo{Hier muss ich nochmals drüber lesen.}
@ -451,7 +451,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{figures/topology-parametric-surface-mapping.tex}
\caption{Reguläre Fläche $S$ zum Beweis von Korollar~\ref{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}}
\caption{Reguläre Fläche $S$ zum Beweis von \cref{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}}
\label{fig:parametric-surface-mapping}
\end{figure}
@ -719,9 +719,9 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
$\chi(\Delta^n) = 1$ für jedes $n \in \mdn_0$
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
$\Delta^n$ ist die konvexe Hülle von $(e_0, \dots, e_n)$ in $\mdr^{n+1}$.
@ -769,22 +769,22 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\caption{Beispiele für Graphen}
\end{figure}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Für jeden Baum $T$ gilt $\gamma(T) = 1$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Induktion über die Anzahl der Ecken.
\end{beweis}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
\item Jeder zusammenhängende Graph $\Gamma$ enthält einen
Teilbaum $T$, der alle Ecken von $\Gamma$ enthält.%
\footnote{$T$ wird \enquote{Spannbaum} genannt.}
\item Ist $n = a_1(\Gamma) = a_1(T)$, so ist $\chi(\Gamma) = 1 - n$.
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
@ -798,11 +798,11 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kor:simplex-unterteilung}
\begin{folgerung}\label{kor:simplex-unterteilung}
Sei $\Delta$ ein $n$-Simplex und $x \in \Delta^\circ \subseteq \mdr^n$.
Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch
\enquote{Unterteilung} in $x$ entsteht. Dann ist $\chi(K) = \chi(\Delta) = 1$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{figure}[ht]
\centering
@ -814,8 +814,8 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\parbox{4cm}{\centering\input{figures/topology-graph-tetraeder-area-2.tex}}
\label{fig:topology-simplizial-complex-k-division}
}%
\label{fig:korollar-beispiel}
\caption{Beispiel für Korollar~\ref{kor:simplex-unterteilung}.}
\label{fig:simplex-unterteilung-beispiel}
\caption{Beispiel für \cref{kor:simplex-unterteilung}.}
\end{figure}
\begin{beweis}
@ -845,13 +845,13 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\input{figures/topology-3.tex}\todo{Was bedeutet diese Zeichnung?}
\end{center}
Nach Korollar~\ref{kor:simplex-unterteilung} ist
Nach \cref{kor:simplex-unterteilung} ist
$\chi(\partial P_1) = \chi(T_1) = \chi(T) = \chi(T_2) = \chi(\partial P_2) = 2$,
weil \obda{} $P_2$ ein Tetraeder ist.
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{korollar}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
\begin{folgerung}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Knotenmenge $V$
und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
@ -870,7 +870,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
Abbildung.
Dann gilt: $d_{n-1} \circ d_n = 0$
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beispiel}
\begin{figure}[h!]
@ -914,7 +914,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Nach Korollar~\ref{kor:9.11} ist $B_n \subseteq Z_n$, denn
Nach \cref{kor:9.11} ist $B_n \subseteq Z_n$, denn
$d_{n+1}(C) \in \text{Kern}(d_n)$ für $C \in C_{n+1}$.
\end{bemerkung}

84
documents/GeoTopo/Kapitel3.tex
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@ -37,10 +37,10 @@
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
\enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{itemize}
@ -105,12 +105,12 @@
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 05.12.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{korollar}\label{kor:homotope-wege}
\begin{folgerung}\label{kor:homotope-wege}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein
Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
$\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
homotop.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$.
@ -131,7 +131,7 @@
schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
\end{definition}
\begin{korollar}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
\begin{folgerung}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf
Homotopie assoziativ, d.~h.:
\begin{align*}
@ -139,7 +139,7 @@
\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3
\end{align*}
mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
\begin{figure}[ht]
@ -167,13 +167,13 @@
\end{cases}\]
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kor:bemerkung-10-6}
\begin{folgerung}\label{kor:bemerkung-10-6}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$
Wege von $a$ nach $b$ und $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$.
Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so
ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{figure}
\centering
@ -256,14 +256,14 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{korollar}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
\begin{folgerung}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$
ein Weg von $a$ nach $b$.
Dann ist die Abbildung
\[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\]
ein Gruppenisomorphismus.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{figure}
\centering
@ -290,7 +290,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
für ein \todo{was denn nun?}{(jedes)} $x \in X$.
\end{definition}
\begin{korollar}\label{korr:11.5}
\begin{folgerung}\label{korr:11.5}
Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine
stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$.
@ -301,7 +301,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
eine stetige Abbildung $z:= g(y)$. Dann ist
$(g \circ f)_* = g_* \circ f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Z,z)$
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
@ -329,13 +329,13 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
\end{enumerate}
\end{beispiel}
\begin{korollar}%Folgerung 11.6
\begin{folgerung}%Folgerung 11.6
Sei $f:X \rightarrow Y$ ein Homöomorphismus zwischen topologischen
Räumen $X, Y$. Dann gilt:
\[f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, f(x))\]
ist ein Isomorphismus für jedes $x \in X$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $g: Y \rightarrow X$ die Umkehrabbildung, d.~h. $g$ ist stetig
@ -354,9 +354,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
für alle $x \in X$ und $H(x_0, S) = y_0$ für alle $s \in I$.
\end{definition}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Sind $f$ und $g$ homotop, so ist $f_* = g_*: \pi_1 (X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, y_0)$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $\gamma$ ein geschlossener Weg in $X$ um $x_0$, d.~h.
@ -472,9 +472,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
\end{figure}
\end{beispiel}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
Überlagerungen sind surjektiv.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}durch Widerspruch\\
Sei $p$ eine Überlagerung.
@ -500,9 +500,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
$f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
\end{definition}
\begin{korollar} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
\begin{folgerung} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
Überlappungen sind offene Abbildungen.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $y \in V$ und $x \in p(V)$, sodass $x=p(y)$ gilt.
@ -527,13 +527,13 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
Häufungspunkt hat.
\end{definition}
\begin{korollar} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
\begin{folgerung} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x \in X$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $X$ hausdorffsch $\Rightarrow Y$ hausdorffsch
\item $p^{-1}(X)$ ist diskret in $Y$
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
@ -571,11 +571,11 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{korollar}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
\begin{folgerung}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in Definition~\ref{def:12.1}, $x \in U$.
@ -602,12 +602,12 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\label{fig:satz-seifert-van-kampen}
\end{figure}
\begin{korollar}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
\begin{folgerung}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, \dots, f_1: Z \rightarrow Y$
Liftungen von $f$.
$\exists z_0 \in Z: f_0(z) = f_1(z) \Rightarrow f_0 = f_1$
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{figure}
\centering
@ -707,13 +707,13 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
\begin{folgerung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
\item $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
\item $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
@ -747,15 +747,15 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
\end{enumerate}
\end{beweis}
\begin{korollar}%In Vorlesung: "Folgerung 12.9"
\begin{folgerung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.9"
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung und $X$ einfach zusammenhängend.
Dann ist $p$ ein Homöomorphismus.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Wegen Korollar~\ref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
und wegen Korollar~\ref{kor:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
Wegen Folgerung~\ref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
und wegen Folgerung~\ref{kor:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
bijektiv.
Nach \todo{Was ist das?}{12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
@ -824,12 +824,12 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Mitschrieb vom 19.12.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{korollar}%Vorlesung: Folgerung 12.12
\begin{folgerung}%Vorlesung: Folgerung 12.12
\todo{Hier stimmt was mit den Tilden nicht}
Sind $p:X \rightarrow X$ und $y: \tilde{Y} \rightarrow X$
universelle Überlagerungen, so sind $\tilde{X}$ und $\tilde{Y}$
homöomorph.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit
@ -887,7 +887,7 @@ der folgende Satz:
\underline{Annahme}: $[\tilde{\gamma}] \neq e$
Mit Korollar~\ref{kor:12.8a} folgt dann: $[\gamma] \neq e$.
Mit Folgerung~\ref{kor:12.8a} folgt dann: $[\gamma] \neq e$.
Dann ist der Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit Anfangspunkt
$\tilde{x_0}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $(x_0, [\gamma])$.
@ -904,7 +904,7 @@ der folgende Satz:
so heißt $p$ \textbf{regulär}.\xindex{Decktransformation!reguläre}
\end{definition}
\begin{korollar}%In Vorlesung:12.14
\begin{folgerung}%In Vorlesung:12.14
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
\item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe,
die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}
@ -916,7 +916,7 @@ der folgende Satz:
$\forall x \in X: \Deck(Y/X)$ operiert transitiv
auf der Menge der Urbilder $p^{-1}(x)$.
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
@ -1023,7 +1023,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
\[(\cos(2 \pi g(0)), \sin(2 \pi g(0))) = (p \circ g)(0) = p(0) = (1,0)\]
Es existiert $n \in \mdz$ mit $g(0) = n$. Da auch $f_n(0) = 0 + n = n$
gilt, folgt mit Korollar~\ref{kor:12.14c} $g = f_n$. Damit folgt:
gilt, folgt mit Folgerung~\ref{kor:12.14c} $g = f_n$. Damit folgt:
\[\Deck(\mdr/S^1) = \Set{f_n | n \in \mdz} \cong \mdz\]
Nach Satz~\ref{thm:12.15} also $\pi_1(S^1) \cong \Deck(\mdr/S^1) \cong \mdz$
\end{beispiel}
@ -1079,9 +1079,9 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{korollar}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
\begin{folgerung}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
Jede stetige Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation durch Homöomorphismen.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
Nach Voraussetzung ist $\circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
@ -1100,7 +1100,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
In Beispiel~\ref{bsp:gruppenoperation1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
\end{beispiel}
\begin{korollar}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
\begin{folgerung}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
@ -1110,7 +1110,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
$G \rightarrow \Homoo(X)$
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
\item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation von $G$

20
documents/GeoTopo/Kapitel4.tex
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@ -83,12 +83,12 @@ aufgestellt.
\label{fig:halbgeraden}
\end{figure}
\begin{korollar}
\begin{folgerung}
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $PR^+ \cup PR^- = PR$
\item $PR^+ \cap PR^- = \Set{P}$
\end{enumerate}
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}\leavevmode
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
@ -172,14 +172,14 @@ scheiden.
$\Rightarrow g \cap \overline{RP} \neq \emptyset$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kor:beh3}
\begin{folgerung}\label{kor:beh3}
Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$
mit $A \neq B$.
Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie
$Q$ und $B$ in der selben Halbenebe bzgl. $PA$.
Dann gilt: $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{figure}[htp]
\centering
@ -212,13 +212,13 @@ schneiden sich.
$\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6
\begin{folgerung}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6
Seien $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $A, B \in X \setminus PQ$
in der selben Halbebene bzgl. $PQ$. Außerdem sei $d(A,P)=d(B,P)$
und $d(A, Q) = d(B, Q)$.
Dann ist $A = B$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{figure}[htp]
\centering
@ -275,12 +275,12 @@ schneiden sich.
Tausche $A$ und $B \Rightarrow$ Fall 1 $\qed$
\end{beweis}
\begin{korollar}\label{kor:beh2'}
\begin{folgerung}\label{kor:beh2'}
Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3}
erfüllt und $\varphi$ eine Isometrie mit $\varphi(P) = P$ und $\varphi(Q) = Q$.
Dann gilt $\varphi(S) = S\;\;\;\forall S \in PQ$.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{beweis}
\begin{align}
@ -462,10 +462,10 @@ schneiden sich.
\caption{Situation aus \cref{def:14.8}}
\end{figure}
\begin{korollar}\label{kor:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9
\begin{folgerung}\label{kor:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9
In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht
anliegende Außenwinkel.
\end{korollar}
\end{folgerung}
\begin{figure}[htp]
\centering