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Martin Thoma 2014-02-16 11:46:14 +01:00
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1
documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex
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@ -9,6 +9,7 @@
\acro{d. h.}{das heißt}
\acro{Def.}{Definition}
\acro{etc.}{et cetera}
\acro{Hom.}{Homomorphismus}
\acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit}
\acro{Prop.}{Proposition}
\acro{sog.}{sogenannte}

BIN
documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf
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5
documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex
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@ -54,3 +54,8 @@
\item ein Homöomorphismus, der kein Homomorphismus ist
\end{bspenum}
\end{aufgabe}
\begin{aufgabe}[Begriffe]\label{ub3:meinsExtra2}
Definieren sie die Begriffe \enquote{Isomorphismus},
\enquote{Isotopie} und \enquote{Isometrie}.
\end{aufgabe}

4
documents/GeoTopo/Kapitel1.tex
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@ -230,7 +230,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
$\fB = \Set{\fB_r(x) \subseteq \powerset{X} | x \in X, r \in \mdr^+}$ ist Basis einer Topologie auf $X$.
\end{bemerkung}
\begin{definition}\xindex{Isometrie}%
\begin{definition}\xindex{Isometrie}\label{def:Isometrie}%
Seien $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ metrische Räume und $\varphi: X \rightarrow Y$
eine Abbildung mit
\[\forall x_1, x_2 \in X: d_X(x_1, x_2) = d_Y(\varphi(x_1), \varphi(x_2)) \]
@ -1008,7 +1008,7 @@ $\qed$
\end{figure}
\end{beispiel}
\begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}%
\begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}\label{def:Isotopie}%
Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
\textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
\[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]

5
documents/GeoTopo/Kapitel3.tex
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@ -1194,12 +1194,13 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
&= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
&= (\varrho(g_1) \circ \varrho(g_2))(x)\\
&\overset{\varrho \text {ist Hom.}}{=} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
&\overset{\mathclap{\varrho \text { ist Hom.}}}{=}\hspace{3 mm} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
&= (g_1 \cdot g_2) \circ x
\end{align*}
z.~z. \cref{def:gruppenoperation.1}:
$1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ Homomorphismus ist.
$1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ ein
Homomorphismus ist.
\end{beweis}
\begin{beispiel}\label{bsp:13.4}%In Vorlesung: Beispiel 13.4

30
documents/GeoTopo/Kapitel4.tex
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@ -429,7 +429,7 @@ schneiden sich.
\label{fig:geometry-7}
}%
\label{fig:formen}
\label{fig:winkel-und-parallelogramm}
\caption{Situation aus \cref{bem:14.9}}
\end{figure}
@ -678,15 +678,18 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
\item $(\mdr^2, d_\text{Euklid})$ ist offensichtlich eine euklidische Ebene.
\item Sei $(X,d)$ eine euklidische Ebene und $g_1, g_2$ Geraden
in $X$, die sich in einem Punkt $0$ im rechten Winkel
schneiden. Sei $X$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf
$g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}).
schneiden.
Sei $Y$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_2$.
Sei $P \in X$ ein Punkt und $P_X$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf
$g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}) und $P_Y$ der Fußpunkt des Lots
von $P$ auf $g_2$.
Setze $h(P) := (x_P, y_P)$ mit
$x_P := d(X, 0)$ und $y_P := d(Y, 0)$.
$x_P := d(P_X, 0)$ und $y_P := d(P_Y, 0)$.
\begin{figure}[ht]
In \cref{fig:14.13.0.1} wurde die Situation skizziert.
\begin{figure}[htp]
\centering
\subfloat[Schritt 1]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-1.tex}}
@ -696,8 +699,8 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}}
\label{fig:14.13.2}
}%
\label{fig:14.13.0.1}
\caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
\label{fig:14.13.0.1}
\end{figure}
Dadurch wird $h:X \rightarrow \mdr^2$ auf dem Quadranten
@ -716,18 +719,11 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
$P'$ auf der gleichen Seite von $g_2$ wie $P$.
\end{beweis}
\begin{beweis}[von 2]
\begin{figure}[ht]
\begin{figure}[htp]
\centering
\subfloat[Schritt 1]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}}
\label{fig:14.13.3}
}%
\subfloat[Schritt 2 (Bild 13)]{
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/todo.tex}}
\label{fig:14.13.4}
}%
\label{fig:14.13.0.2}
\input{figures/coordinate-system-3.tex}
\caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
\label{fig:14.13.0.1}
\end{figure}
Zu Zeigen: $d(P, Q) = d(h(P), h(Q))$

20
documents/GeoTopo/Loesungen.tex
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@ -131,11 +131,11 @@
Die Definition von Homöomorphismus kann auf \cpageref{def:homoeomorphismus}
nachgelesen werden.
\begin{definition}
\begin{definition}\xindex{Homomorphismus}%
Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und
$\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung.
$\varphi$ heißt \textbf{Homomorphismus}\xindex{Homomorphismus}, wenn
$\varphi$ heißt \textbf{Homomorphismus}, wenn
\[\forall g_1, g_2 \in G: \varphi(g_1 * g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)\]
gilt.
\end{definition}
@ -152,6 +152,22 @@
Kontexten verwendet.
\end{solution}
\begin{solution}[\ref{ub3:meinsExtra2}]
Die Definition einer Isotopie kann auf \cpageref{def:Isotopie} nachgelesen
werden, die einer Isometrie auf \cpageref{def:Isometrie}.
\begin{definition}\xindex{Isomorphismus}%
Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und
$\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung.
$\varphi$ heißt \textbf{Isomorphismus}, wenn $\varphi$ ein bijektiver
Homomorphismus ist.
\end{definition}
Eine Isotopie ist also für Knoten definiert, Isometrien machen nur in
metrischen Räumen Sinn und ein Isomorphismus benötigt eine Gruppenstruktur.
\end{solution}
\begin{solution}[\ref{ub4:aufg1}]
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item \textbf{Vor.:} Sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit.\\

BIN
documents/GeoTopo/definitions/definitionen.pdf
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Binary file not shown.

6
documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-1.tex
View file

@ -2,6 +2,10 @@
\tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
\tkzSetUpLine[line width=1]
\tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P}
\tkzMarkAngle[fill=green!20,size=0.3cm,opacity=.5](X,O,Y)
\tkzLabelAngle[pos=0.15](X,O,Y){$\cdot$}
\tkzDrawLine[add=3 and 2](O,X)
\tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$}
\tkzLabelLine[right,pos=3](O,Y){$g_2$}
@ -10,4 +14,4 @@
\tkzLabelPoint(P){$P$}
\node at ($(-2,2)$){$X$};
\tkzDrawPoints(P)
\end{tikzpicture}
\end{tikzpicture}

10
documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex
View file

@ -2,6 +2,10 @@
\tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
\tkzSetUpLine[line width=1]
\tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P}
\tkzMarkAngle[fill=green!20,size=0.3cm,opacity=.5](X,O,Y)
\tkzLabelAngle[pos=0.15](X,O,Y){$\cdot$}
\tkzDrawLine[add=3 and 2](O,X)
\tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$}
\tkzLabelLine[right,pos=3](O,Y){$g_2$}
@ -23,6 +27,8 @@
\tkzLabelPoint[above right](P){$P$}
\tkzLabelPoint[below left](O){$0$}
\tkzLabelPoint[below](xp){$P_X$}
\tkzLabelPoint[left](Y){$P_Y$}
\node at ($(-2,2)$){$X$};
\tkzDrawPoints(P)
\end{tikzpicture}
\tkzDrawPoints(P,Y,xp)
\end{tikzpicture}

4
documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md
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@ -82,4 +82,6 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
|14.02.2014 | 06:15 - 07:10 | Verbesserungsvorschläge von Arthur (Email) umgesetzt.
|14.02.2014 | 18:30 - 18:50 | Verbesserungsvorschläge von Henrieke (RL) umgesetzt.
|14.02.2014 | 18:50 - 19:00 | Verbesserungsvorschläge von Jan (Facebook) umgesetzt.
|14.02.2014 | 20:30 - 24:00 | Überarbeitung des Beweises der Eindeutigkeit einer Parallelen
|14.02.2014 | 20:30 - 24:00 | Überarbeitung des Beweises der Eindeutigkeit einer Parallelen
|15.02.2014 | 13:00 - 21:00 | Textsetzung; Kleine Korrekturen
|16.02.2014 | 10:30 - 11:30 | Textsetzung; TODO entfernt; Kleine Korrekturen

BIN
documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf
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