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Nachtrag vom 22.10.2012
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Martin Thoma
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c61c8cb393
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@ -35,6 +35,8 @@ Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe
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Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger
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ist für den Inhalt nicht verantwortlich.
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Kapitel werden in Beweisen durch "`§"' abgekürzt.
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\section*{Wer}
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Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt an diesem
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Mitschrieb sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Jan Ihrens, Peter Pan
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@ -65,7 +67,7 @@ erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen.
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\chapter{Vorbereitungen}
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\label{Kapitel 0}
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In diesem Paragraphen seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und
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In diesem Kapitel seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und
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$f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
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\begin{enumerate}
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@ -148,7 +150,7 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
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\chapter{$\sigma$-Algebren und Maße}
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\label{Kapitel 1}
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In diesem Paragraphen sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
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In diesem Kapitel sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
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\begin{definition}
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\index{$\sigma$-!Algebra}
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@ -675,7 +677,7 @@ $(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
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\index{Figuren}
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Sei \(d\in\MdN\).
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\begin{enumerate}
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\item \(\ci_{d}:=\Set{(a,b] | a,b \in \MdR^{d}, \, a \leq b}\).
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\item \(\ci_d :=\Set{(a,b] | a,b \in \MdR^{d}, \, a \leq b} (\emptyset \in \ci_d)\).
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Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\MdR^d\)
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und \(I:=(a,b] \in \ci_{d}\)
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\[
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@ -705,10 +707,13 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\)
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||||
\item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},
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||||
\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};
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||||
\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},
|
||||
\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\)
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||||
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||||
Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) für ein \(k\in\{1,\dots,d\}\),
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so ist \(I\cap I'=\emptyset\in\ci_{d}\).
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||||
\(\exists k\in\Set{1,\dots,d} : \alpha_{k}'\geq\beta_{k}'
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\implies I\cap I'=\emptyset\in\ci_{d}\).\\
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||||
Sei \(\alpha_{k}'<\beta_{k}'\forall k\in\{1,\dots,d\}\), so
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ist \(I\cap I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k}',\beta_{k}']\in\ci_{d}}\)
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\item Induktion nach \(d\):
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@ -727,11 +732,14 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
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I.V.\(\implies\,I_{2}\setminus I_{2}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{d}\)\\
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Daraus folgt die Behauptung für \(d+1\)
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\end{itemize}
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\item Wir zeigen mit Induktion nach \(n\): ist
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\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
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||||
\(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\), so existiert
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||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
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||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
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||||
\item \begin{itemize}
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||||
\item[\underline{Vor.:}] Sei $n \in \mdn$ und
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\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
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||||
\(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\)
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||||
\item[\underline{Beh.:}] Es existiert
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||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
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||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
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||||
\item[\underline{Bew.:}] mit Induktion nach $n$:
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\begin{itemize}
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\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\)\checkmark
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\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\geq 1\)
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@ -750,6 +758,7 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
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|||
A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{\left(\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\right)}
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\]
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||||
Daraus folgt die Behauptung für \(n+1\).
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{itemize}
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||||
\item \((a,a]=\emptyset\implies\emptyset\in\cf_{d}\)
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||||
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@ -763,12 +772,13 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
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|||
\item[I.S.] Sei \(A'=A\cup I_{n+1}\quad(I_{n+1}\in\ci_{d})\). Dann:
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\[
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||||
B\setminus A'=\underbrace{(B\setminus A)}_{\in\cf_{d}}\setminus\underbrace{I_{n+1}}_{\in\cf_{d}}\in\cf_{d}
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||||
\text{ (siehe I.A.)}
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\]
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{lemma}
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ohne Beweis:
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\begin{lemma}[Unabhängigkeit von der Darstellung]
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\label{Lemma 2.2}
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Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und
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\(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit
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@ -784,8 +794,8 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
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\[
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||||
\lambda_{d}(A):=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}
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\]
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||||
Wegen Lemma \ref{Lemma 2.2} ist \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty)\)
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wohldefiniert.
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\folgtnach{\ref{Lemma 2.2}} \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty)\)
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||||
ist wohldefiniert.
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\end{definition}
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\begin{satz}
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\label{Satz 2.3}
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@ -1119,7 +1129,7 @@ Also ist $\lambda_d(C)=0$. Damit folgt aus (2):
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\chapter{Messbare Funktionen}
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\label{Kapitel 3}
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||||
In diesem Paragraphen seien $\emptyset\ne X,Y,Z$ Mengen.
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In diesem Kapitel seien $\emptyset\ne X,Y,Z$ Mengen.
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\begin{definition}
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\index{messbar!Raum}\index{Raum!messbarer}
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@ -1546,7 +1556,7 @@ Weiter gilt:
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\chapter{Konstruktion des Lebesgueintegrals}
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\label{Kapitel 4}
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||||
In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben außerdem $\lambda$ statt $\lambda_d$.
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||||
In diesem Kapitel sei $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben außerdem $\lambda$ statt $\lambda_d$.
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\begin{definition}
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\index{Lebesgueintegral}
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@ -1950,7 +1960,7 @@ Außerdem wissen wir aus Analysis I, dass R-$\int_0^1\frac{1}{x}$ divergent ist.
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\chapter{Nullmengen}
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\label{Kapitel 5}
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||||
In diesem Paragraphen sei stets $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben wieder $\lambda$ statt $\lambda_d$.
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||||
In diesem Kapitel sei stets $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben wieder $\lambda$ statt $\lambda_d$.
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\begin{definition}
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\index{Nullmenge}\index{Borel!Nullmenge}
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@ -2136,7 +2146,7 @@ messbar, \(\hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf \(X\) für alle \(n\in\mdn\).
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\chapter{Der Konvergenzsatz von Lebesgue}
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\label{Kapitel 6}
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Stets in diesem Paragraphen: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
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Stets in diesem Kapitel: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
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\begin{lemma}[Lemma von Fatou]
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\label{Lemma 6.1}
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@ -2347,7 +2357,7 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
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\chapter{Parameterintegrale}
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\label{Kapitel 7}
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In diesem Paragraphen sei stets \(\emptyset\neq X\in \fb_d\).
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||||
In diesem Kapitel sei stets \(\emptyset\neq X\in \fb_d\).
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\begin{satz}
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\label{Satz 7.1}
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@ -2423,7 +2433,7 @@ Es ist nach Konstruktion gerade \(\int_X g_n\,dx =\frac{F(t_0+h_n)-F(t_0)}{h_n}
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\chapter{Vorbereitungen auf das, was kommen mag}
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\label{Kapitel 8}
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||||
In diesem Paragraphen seien \(k,l,d\in\mdn\) und \(k+l=d\). \(\mdr^d\cong\mdr^k\times\mdr^l\). Für Punkte \(z\in\mdr^d\) schreiben wir \(z=(x,y)\), wobei \(x\in\mdr^k\) und \(y\in\mdr^l\).
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||||
In diesem Kapitel seien \(k,l,d\in\mdn\) und \(k+l=d\). \(\mdr^d\cong\mdr^k\times\mdr^l\). Für Punkte \(z\in\mdr^d\) schreiben wir \(z=(x,y)\), wobei \(x\in\mdr^k\) und \(y\in\mdr^l\).
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||||
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}
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@ -2521,7 +2531,7 @@ Für \(C\in\fb_d\) gilt:
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\chapter{Das Prinzip von Cavalieri}
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\label{Kapitel 9}
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Die Bezeichnungen seien wie im Paragraphen 8.
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Die Bezeichnungen seien wie im Kapitel 8.
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\begin{satz}[Prinzip von Cavalieri]
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\label{Satz 9.1}
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@ -2684,7 +2694,7 @@ Dann ist
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\chapter{Der Satz von Fubini}
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\label{Kapitel 10}
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Die Bezeichnungen seien wie in den Paragraphen 8 und 9.
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||||
Die Bezeichnungen seien wie in den Kapitel 8 und 9.
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\begin{satz}[Satz von Tonelli]
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\label{Satz 10.1}
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@ -2997,7 +3007,7 @@ und daraus folgt \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy=\frac1x\)
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\chapter{Der Transformationssatz (Substitutionsregel)}
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\label{Kapitel 11}
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Die Sätze in diesem Paragraphen geben wir \textbf{ohne} Beweis an. Es seien
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||||
Die Sätze in diesem Kapitel geben wir \textbf{ohne} Beweis an. Es seien
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\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen.
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\begin{definition}
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@ -3292,7 +3302,9 @@ Sei $\gamma:[a,b]\to\mdr^n$ ein Weg. Ist $\gamma$ in $t_0\in[a,b]$ differenzierb
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\chapter{Der Integralsatz von Gauß im $\MdR^2$}
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\label{Kapitel 13}
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In diesem Paragraphen sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei $R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei
|
||||
In diesem Kapitel sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei
|
||||
$R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig
|
||||
differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei
|
||||
\begin{displaymath}
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||||
\gamma(t) := (x_0 + R(t)\cos t,y_0 + R(t)\sin t) \text{ } (t\in[0,2\pi])
|
||||
\end{displaymath}
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||||
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@ -3421,7 +3433,8 @@ Dann ist \(\varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2})\), \(f_{u}=2u\) und \(f_{v}=2v\). Also
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\chapter{Integralsatz von Stokes}
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\label{Kapitel 15}
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||||
In diesem Paragraphen sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\)
|
||||
In diesem Kapitel sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\)
|
||||
kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\)
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||||
und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das heißt: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit
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||||
Parameterbereich \(B\), \(S:=\varphi(B)\)
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@ -3441,7 +3454,7 @@ Definiere die folgenden \textbf{Oberflächenintegrale}:
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\end{definition}
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\begin{beispiel}
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Seien \(D,\,B,\,f,\,\varphi\) wie im letzten Beispiel in Kapitel 14. % Paragraphenzeichen!?
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||||
Seien \(D,\,B,\,f,\,\varphi\) wie im letzten Beispiel in Kapitel 14.
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||||
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||||
Sei \(F(x,y,z):=(x,y,z)\); bekannt: \(N(u,v)=(-2u,-2v,1)\). Dann:
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||||
\begin{align*}
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||||
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@ -3458,7 +3471,7 @@ Also:
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\begin{satz}[Integralsatz von Stokes]
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||||
\label{Satz 15.1}
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||||
Es sei \(B\) zulässig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{1},\gamma_{2})\) wie zu Beginn des Paragraphen
|
||||
Es sei \(B\) zulässig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{1},\gamma_{2})\) wie zu Beginn des Kapitels
|
||||
13 ist. Es sei \(\varphi\in C^{2}(D,\mdr^{3})\). Weiter sei \(G\subseteq\mdr^{3}\) offen, \(S\subseteq G\) und \(F=(F_{1},F_{2},F_{3})\in C^{1}(G,\mdr^{3})\). Dann:
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||||
\[
|
||||
\underbrace{\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}}_{\text{Oberflächenint.}}=
|
||||
|
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@ -3518,7 +3531,7 @@ Damit:
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|||
\chapter{$\fl^{p}$-Räume und $\mathrm{L}^{p}$-Räume}
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||||
\label{Kapitel 16}
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||||
|
||||
Stets in diesem Paragraphen: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
|
||||
Stets in diesem Kapitel: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei \(p\in[1,+\infty]\).
|
||||
|
|
@ -3747,7 +3760,7 @@ Dann ist $f\in\fl^p(X)$ und es gilt
|
|||
|
||||
\begin{beweis}
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||||
Aus (i) und (ii) folgt: $|f|^p \leq g$ f.ü.
|
||||
Im Paragraphen 5 haben wir gesehen, dass dann gilt:
|
||||
Im Kapitel 5 haben wir gesehen, dass dann gilt:
|
||||
\[ \int_X |f|^p \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \]
|
||||
(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar).
|
||||
Daraus folgt: $f \in \fl^p(X)$.
|
||||
|
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@ -3809,7 +3822,7 @@ Sei $(B, \| \cdot \|)$ ein normierter Raum. Gilt mit einem Skalarprodukt $( \cdo
|
|||
so heißt $B$ ein \textbf{Prähilbertraum}. Ist $B$ ein Banachraum mit $(*)$, so heißt $B$ ein \textbf{Hilbertraum}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\textbf{Vereinbarung:} ab jetzt sei stets in diesem Paragraphen $1 \leq p < \infty$.
|
||||
\textbf{Vereinbarung:} ab jetzt sei stets in diesem Kapitel $1 \leq p < \infty$.
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
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\index{Chauchyfolge}
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@ -4116,7 +4129,7 @@ Also ist $f\in L^p(X)$.
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|||
\chapter{Das Integral im Komplexen}
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||||
\label{Kapitel 17}
|
||||
|
||||
In diesem Paragraphen sei $\emptyset \ne X \in \fb_d, f: X \to \MdC$ eine Funktion, $ u:= \Re(f), v:= \Im(f)$, also: $u,v: X \to \MdR, f= u+iv$.
|
||||
In diesem Kapitel sei $\emptyset \ne X \in \fb_d, f: X \to \MdC$ eine Funktion, $ u:= \Re(f), v:= \Im(f)$, also: $u,v: X \to \MdR, f= u+iv$.
|
||||
|
||||
Wir versehen $\MdC$ mit der $\sigma$-Algebra $\fb_2$ (wir identifizieren $\MdC$ mit $\mdr^2$).
|
||||
|
||||
|
|
@ -4244,7 +4257,7 @@ Sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}. \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\
|
|||
\chapter{Fourierreihen}
|
||||
\label{Kapitel 18}
|
||||
|
||||
In diesem Paragraphen sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und
|
||||
In diesem Kapitel sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und
|
||||
\(L^2_\mdr:=L^2([0,2\pi],\mdr)\). Weiter sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
|
|
@ -4582,7 +4595,7 @@ und damit
|
|||
\addcontentsline{toc}{chapter}{Stichwortverzeichnis}
|
||||
\printindex
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||||
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||||
\chapter{Credits für Analysis III} Abgetippt haben die folgenden Paragraphen:\\% no data in Ana2Vorwort.tex
|
||||
\chapter{Credits für Analysis III} Abgetippt haben die folgenden Kapitel:\\% no data in Ana2Vorwort.tex
|
||||
\textbf{§ 1: $\sigma$-Algebren und Maße}: Rebecca Schwerdt, Peter Pan, Philipp Ost\\
|
||||
\textbf{§ 2: Das Lebesgue-Maß}: Rebecca Schwerdt, Philipp Ost\\
|
||||
\textbf{§ 3: Messbare Funktionen}: Rebecca Schwerdt, Philipp Ost\\
|
||||
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