mirror of
https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git
synced 2025-04-26 06:48:04 +02:00
\mid -> \Set{... | ...}
This commit is contained in:
Martin Thoma
parent
7b77fbd585
commit
c5845349c1
1 changed files with 55 additions and 40 deletions
|
|
@ -659,13 +659,17 @@ In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
|
|||
\begin{definition}
|
||||
\index{Ring}
|
||||
Sei \(\emptyset\neq \fr \subseteq \cp(X)\).
|
||||
$\fr$ heißt ein \textbf{Ring} (auf \(X\)), genau dann wenn gilt:
|
||||
$\fr$ heißt ein \textbf{Ring} auf \(X\), genau dann wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\emptyset \in \fr\)
|
||||
\item \(A,B \in \fr \, \implies \; A\cup B, \, B \setminus A \in \fr\)
|
||||
\item[(R1)] \(\emptyset \in \fr\)
|
||||
\item[(R2)] \(A,B \in \fr \, \implies \; A\cup B, \, B \setminus A \in \fr\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\textbf{Hinweis}: $(\fr, \cup, \setminus)$ ist kein Ring im Sinne
|
||||
der linearen Algebra, $(\fr, \cup)$ kein Inverses Element hat und
|
||||
$(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Elementarvolumen}
|
||||
\index{Figuren}
|
||||
|
|
@ -679,7 +683,7 @@ In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
|
|||
0 & \text{falls }I=\emptyset\\
|
||||
(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\dots(b_{d}-a_{d}) & \text{falls }I\neq\emptyset\end{cases}\quad\text{(\textbf{Elementarvolumen})}
|
||||
\]
|
||||
\item \(\cf_d:=\left\{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j}\mid n\in\MdN,\,I_{1},\dots,I_{n}\in I_{d}\right\}\) (\textbf{Menge der Figuren})
|
||||
\item \(\cf_d:=\Set{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j} | n\in\MdN,\,I_{1},\dots,I_{n}\in I_{d}}\) (\textbf{Menge der Figuren})
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\)
|
||||
|
|
@ -947,7 +951,7 @@ dann: \(\nu=\lambda_{d}\) auf \(\fb_{d}\).
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Sei \(X\in\fb_{d}\). Aus 1.6 folgt: \(\fb(X)=\{A\in\fb_{d}\mid A\subseteq X\}\).
|
||||
Sei \(X\in\fb_{d}\). Aus 1.6 folgt: \(\fb(X)=\Set{A\in\fb_{d} | A\subseteq X}\).
|
||||
Die Einschränkung von \(\lambda_{d}\) auf \(\fb(X)\) heißt ebenfalls
|
||||
L-Maß\ und wird mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
|
@ -974,7 +978,7 @@ mit \(a_{j}\neq a_{i}\,(i\neq j)\). Dann: \(\mdq^{d}=\bigcup\{a_{j}\}\) %\bigcup
|
|||
Dann gilt: \(\mdq^{d}\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(\mdq^{d})=\sum{\lambda_{d}(\{a_{j}\})}=0\).
|
||||
\item Wie in Beispiel (3): Ist \(A\subseteq\mdr^{d}\) abzählbar, so ist
|
||||
\(A\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(A)=0\).
|
||||
\item Sei \(j\in\{1,\dots,d\}\) und \(H_{j}:=\{(x_{1},\dots,x_{d})\in\mdr^{d}\mid x_{j}=0\}\). \(H_{j}\) ist abgeschlossen, damit folgt: \(H_{j}\in\fb_{d}\).
|
||||
\item Sei \(j\in\{1,\dots,d\}\) und \(H_{j}:=\Set{(x_{1},\dots,x_{d})\in\mdr^{d} | x_{j}=0}\). \(H_{j}\) ist abgeschlossen, damit folgt: \(H_{j}\in\fb_{d}\).
|
||||
|
||||
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(j=d\). Dann:
|
||||
\(I_{n}:=\underbrace{[-n,n]\times\dots\times[-n,n]}_{(d-1)-\text{mal}}\times\{0\}\).
|
||||
|
|
@ -987,7 +991,7 @@ Aus \(H_{d}=\bigcup{I_{n}}\) folgt: \(\lambda_{d}(H_{d})\leq\sum{\lambda_{d}(I_{
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $x\in\mdr^d, B\subseteq\mdr^d$. Definiere:
|
||||
\[x+B:=\{x+b\mid b\in B\}\]
|
||||
\[x+B:=\Set{x+b | b\in B}\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
|
|
@ -1027,16 +1031,18 @@ Weiter sei $c:=\mu((0,1]^d)<\infty$. Dann gilt:
|
|||
Sei $A \in\fb_d$, dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
$\lambda_d(A)=\inf\left\{\lambda_d(G)\mid G\subseteq\mdr^d\text{ offen und }A \subseteq G\right\}\\
|
||||
=\inf\left\{\lambda_d(V)\mid V=\bigcup_{j=1}^\infty I_j, I_j\subseteq\mdr^d\text{ offenes Intervall }, A\subseteq V\right\}$
|
||||
\item $\lambda_d(A)=\sup\{\lambda_d(K)\mid K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A\}$
|
||||
$\lambda_d(A)
|
||||
=\inf\Set{\lambda_d(G) | G\subseteq\mdr^d\text{ offen und }A \subseteq G}\\
|
||||
=\inf\Set{\lambda_d(V) | V=\bigcup_{j=1}^\infty I_j, I_j\subseteq\mdr^d\text{ offenes Intervall }, A\subseteq V}$
|
||||
\item $\lambda_d(A)=\sup\Set{\lambda_d(K) | K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ohne Beweis.
|
||||
\item Setze $\beta:=\sup\{\lambda_d(K)\mid K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A\}$. Sei $K$ kompakt und $K\subseteq A$, dann gilt $\lambda_d(K)\le\lambda_d(A)$, also ist auch $\beta\le\lambda_d(A)$.
|
||||
\item Setze $\beta:=\sup\Set{\lambda_d(K) | K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A}$.
|
||||
Sei $K$ kompakt und $K\subseteq A$, dann gilt $\lambda_d(K)\le\lambda_d(A)$, also ist auch $\beta\le\lambda_d(A)$.
|
||||
|
||||
\textbf{Fall 1:} Sei $A$ zusätzlich beschränkt.\\
|
||||
Sei $\ep>0$. Es existiert ein $r>0$, sodass $A\subseteq B:=\overline{U_r(0)}\subseteq[-r,r]^d$ ist, dann gilt:
|
||||
|
|
@ -1059,7 +1065,10 @@ Also auch:
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\textbf{Auswahlaxiom:}\\
|
||||
Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\{X_\omega\mid \omega\in\Omega\}$ ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass $C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
||||
Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\Set{X_\omega | \omega\in\Omega}$
|
||||
ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann
|
||||
existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass
|
||||
$C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Satz von Vitali]
|
||||
\label{Satz 2.11}
|
||||
|
|
@ -1070,7 +1079,7 @@ Es existiert ein $C\subseteq\mdr^d$ sodass $C\not\in\fb_d$.
|
|||
Wir definieren auf $[0,1]^d$ eine Äquivalenzrelation $\sim$, durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall x,y\in[0,1]^d: x \sim y\iff x-y\in\mdq^d\\
|
||||
\forall x\in[0,1]^d:[x]:=\{y\in[0,1]^d\mid x\sim y\}
|
||||
\forall x\in[0,1]^d:[x]:=\Set{y\in[0,1]^d | x\sim y}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nach dem Auswahlaxiom existiert ein $C\subseteq[0,1]^d$, sodass $C$ mit jedem $[x]$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
||||
Es ist $\mdq^d\cap[-1,1]^d=\{q_1,q_2,\dots\}$ mit $q_i\ne q_j$ für $(i\ne j)$. Dann gilt:
|
||||
|
|
@ -1082,7 +1091,7 @@ Es ist $\mdq^d\cap[-1,1]^d=\{q_1,q_2,\dots\}$ mit $q_i\ne q_j$ für $(i\ne j)$.
|
|||
Sei $x\in[0,1]^d$. Wähle $y\in C$ mit $y\in[x]$, dann ist $x\sim y$, also $x-y\in\mdq^d\cap[-1,1]^d$. D.h.:
|
||||
\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\]
|
||||
\end{beweis}
|
||||
Außerdem ist $\{q_n+C\mid n\in\mdn\}$ disjunkt.
|
||||
Außerdem ist $\Set{q_n+C | n\in\mdn}$ disjunkt.
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $z\in(q_n+C)\cap(q_m+C)$, dann existieren $a,b\in\mdq^d$, sodass gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -1129,7 +1138,9 @@ Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt:
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f$ sei $\fa$-$\fb$-messbar, $\fa'$ eine weitere $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\fa\subseteq\fa'$ und $\fb'$ sei eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ mit $\fb'\subseteq\fb$.\\
|
||||
Dann ist $f$ $\fa'$-$\fb'$-messbar.
|
||||
\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach \ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist $f_{\mid X_0}:X_0\to Y$ $\fa_{X_0}$-$\fb$-messbar.
|
||||
\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach
|
||||
\ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist
|
||||
$f_{\mid X_0}:X_0\to Y$ $\fa_{X_0}$-$\fb$-messbar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1161,7 +1172,7 @@ Funktionen.
|
|||
\(f\) ist messbar, daraus folgt \(f^{-1}(g^{-1}(C))=(g\circ f)^{-1}(C)\in\fa\)
|
||||
\item \begin{itemize}
|
||||
\item[\(\Rightarrow\)] \checkmark
|
||||
\item[\(\Leftarrow\)] \(\fd:=\{B\subseteq Y\mid f^{-1}(B)\in\fa\}\)
|
||||
\item[\(\Leftarrow\)] \(\fd:=\Set{B\subseteq Y | f^{-1}(B)\in\fa}\)
|
||||
Übung: \(\fd\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(Y\).
|
||||
|
||||
Aus der Voraussetzung folgt: \(\ce\subseteq\fd\).
|
||||
|
|
@ -1175,7 +1186,8 @@ Dann: \(\fb=\sigma(\ce)\subseteq\fd\). Ist \(B\in\fb\), so ist \(B\in\fd\), also
|
|||
\index{messbar!Borel}\index{messbar}
|
||||
Sei \(X\in\fb_{d}\). Ist \(f:\,X\to\mdr^{k}\) \(\fb(X)-\fb_{k}-\)messbar, so heißt \(f\) \textbf{(Borel-)messbar}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
Ab jetzt sei stets \(X\in\fb_{d}\). (Erinnerung: \(\fb(X)=\{A\in\fb_{d}\mid A\subseteq X\}\))
|
||||
Ab jetzt sei stets \(X\in\fb_{d}\).
|
||||
(Erinnerung: \(\fb(X)=\Set{A\in\fb_{d} | A\subseteq X}\))
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 3.2}
|
||||
|
|
@ -1188,7 +1200,7 @@ Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) und \(\alpha,\beta\in\mdr\).
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(fg\) ist messbar
|
||||
\item Ist \(f(x)\neq0\forall x\in X\), so ist \(\frac{1}{f}\) messbar
|
||||
\item \(\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}\in\fb(X)\)
|
||||
\item \(\Set{x\in X | f(x)\geq g(x)} \in \fb(X)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
@ -1224,7 +1236,8 @@ Es ist \(fg=\vp\circ h\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(fg\) ist messbar.
|
|||
\item \(\vp(x):=\frac{1}{x}\), \(\vp\) ist stetig auf \(\mdr\setminus\{0\}\), also messbar.
|
||||
|
||||
\(\frac{1}{f}=\vp\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(\frac{1}{f}\) ist messbar.
|
||||
\item \(A:=\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}=\{x\in X\mid f(x)-g(x)\in[0,\infty)\}=\underbrace{(f-g)}_{\text{messbar nach (3)}}^{-1}(\overbrace{[0,\infty)}^{\in\fb_{1}})\in\fb(X)\)
|
||||
\item \(A:=\Set{x\in X | f(x)\geq g(x)} = \Set{x\in X | f(x)-g(x)\in[0,\infty)}
|
||||
=\underbrace{(f-g)}_{\text{messbar nach (3)}}^{-1}(\overbrace{[0,\infty)}^{\in\fb_{1}})\in\fb(X)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
|
@ -1260,7 +1273,8 @@ Es ist \(g=\vp\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1} folgt: \(g\) ist messbar.
|
|||
|
||||
für \(x\neq 0:\,f(x,x)=\frac{\sin(X)}{x}\overset{x\to 0}{\to}1\neq 0=f(0,0)\), daraus folgt: \(f\) ist nicht stetig.
|
||||
|
||||
\(A:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x=0\},\,B:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x\neq 0\},\,X=A\cup B,\,A\cap B=\emptyset\). \(A\) ist
|
||||
\(A:=\Set{(x,y)\in\mdr^{2} | x=0},\,B
|
||||
:=\Set{(x,y)\in\mdr^{2} | x\neq 0},\,X=A\cup B,\,A\cap B=\emptyset\). \(A\) ist
|
||||
abgeschlossen, das heißt: \(A\in\fb_{2},\,B=A^{C}\in\fb_{2}\)
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -1292,26 +1306,27 @@ In \(\imdr\) gelten folgende Regeln, wobei \(a\in\mdr\):
|
|||
Analog für \(-\infty\).
|
||||
\item Seien \(f,g: X\to\imdr\). Dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\{f\leq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\leq g(x)\}\\
|
||||
\{f\geq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}\\
|
||||
\{f\neq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\neq g(x)\}\\
|
||||
\{f<g\}&:=\{x\in X\mid f(x)<g(x)\}\\
|
||||
\{f>g\}&:=\{x\in X\mid f(x)>g(x)\}
|
||||
\{f\leq g\}&:=\Set{x\in X | f(x)\leq g(x)}\\
|
||||
\{f\geq g\}&:=\Set{x\in X | f(x)\geq g(x)}\\
|
||||
\{f\neq g\}&:=\Set{x\in X | f(x)\neq g(x)}\\
|
||||
\{f<g\}&:=\Set{x\in X | f(x)<g(x)}\\
|
||||
\{f>g\}&:=\Set{x\in X | f(x)>g(x)}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei \(a\in\imdr\) und \(f:\,X\to\imdr\). Dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\{f\leq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\leq a\}\\
|
||||
\{f\geq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\geq a\}\\
|
||||
\{f\neq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\neq a\}\\
|
||||
\{f<a\}&:=\{x\in X\mid f(x)<a\}\\
|
||||
\{f>a\}&:=\{x\in X\mid f(x)>a\}
|
||||
\{f\leq a\}&:=\Set{x\in X | f(x)\leq a}\\
|
||||
\{f\geq a\}&:=\Set{x\in X | f(x)\geq a}\\
|
||||
\{f\neq a\}&:=\Set{x\in X | f(x)\neq a}\\
|
||||
\{f<a\} &:=\Set{x\in X | f(x)<a}\\
|
||||
\{f>a\} &:=\Set{x\in X | f(x)>a}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{messbar}
|
||||
\(\ifb_{1}:=\{B\cup E\mid B\in\fb_{1},\,E\subseteq\{-\infty,+\infty\}\}\). Dann: \(\fb_{1}\subseteq\ifb_{1}\)\\
|
||||
\(\ifb_{1}:=\Set{B\cup E | B\in\fb_{1},\,E\subseteq\Set{-\infty,+\infty}}\).
|
||||
Dann: \(\fb_{1}\subseteq\ifb_{1}\)\\
|
||||
Übung: \(\ifb_{1}\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(\imdr\).\\
|
||||
\(\ifb_{1}\) heißt \textbf{Borelsche \(\sigma\)-Algebra} auf \(\imdr\).
|
||||
Sei \(f:\,X\to\imdr\). \(f\) heißt \textbf{(Borel-)messbar} (mb) \(:\Leftrightarrow\,f\) ist \(\fb(X)-\ifb_{1}-\) messbar.
|
||||
|
|
@ -1320,7 +1335,7 @@ Sei \(f:\,X\to\imdr\). \(f\) heißt \textbf{(Borel-)messbar} (mb) \(:\Leftrighta
|
|||
\begin{beispiel}
|
||||
\(f(x):=+\infty\quad(x\in X)\), also: \(f:\,X\to\imdr\)
|
||||
|
||||
Sei \(B\in\overline{\fb}_{1},\,A:=f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}\)
|
||||
Sei \(B\in\overline{\fb}_{1},\,A:=f^{-1}(B)=\Set{x\in X | f(x)\in B}\)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[Fall 1:] \(+\infty\not\in B\), dann: \(A=\emptyset\in\fb(X)\)
|
||||
\item[Fall 2:] \(+\infty\in B\), dann: \(A=X\in\fb(X)\)
|
||||
|
|
@ -1333,8 +1348,8 @@ Sei \(B\in\overline{\fb}_{1},\,A:=f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}\)
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Definiere die Mengen:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\ce_1&:=\{[-\infty,a]\mid a\in\mdq\} & \ce_2&:=\{[-\infty,a)\mid a\in\mdq\}\\
|
||||
\ce_3&:=\{(a,\infty]\mid a\in\mdq\} & \ce_4&:=\{[a,\infty]\mid a\in\mdq\}
|
||||
\ce_1&:=\Set{[-\infty,a] | a\in\mdq} & \ce_2&:=\Set{[-\infty,a) | a\in\mdq}\\
|
||||
\ce_3&:=\Set{(a,\infty] | a\in\mdq} & \ce_4 &:=\Set{[a,\infty] | a\in\mdq}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[\overline{\fb_1}=\sigma(\ce_j)\quad \text{ für }j\in\{1,2,3,4\}\]
|
||||
|
|
@ -1357,7 +1372,7 @@ Die folgenden Beweise erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funkt
|
|||
\[[-\infty,a]^c=(a,\infty]\in\sigma(\ce_1)\]
|
||||
D.h. es gilt $\ce_3\subseteq\sigma(\ce_1)$ und damit auch $\sigma(\ce_3)\subseteq\sigma(\ce_1)$.
|
||||
\item Es gilt:
|
||||
\[\{f\le a\}=\{x\in X\mid f(x)\le a\}=f^{-1}([-\infty,a])\]
|
||||
\[\{f\le a\}=\Set{x\in X | f(x)\le a}=f^{-1}([-\infty,a])\]
|
||||
Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und \ref{Satz 3.1}.
|
||||
\item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -1372,7 +1387,7 @@ Sei $M\subseteq\imdr$.
|
|||
\[\sup M:= \sup (M\setminus\{-\infty\})\]
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei
|
||||
\[\sup M:=\infty\]
|
||||
\item Es sei $\inf M:=-\sup(-M)$, wobei $-M:=\{-m\mid m\in M\}$.
|
||||
\item Es sei $\inf M:=-\sup(-M)$, wobei $-M:=\Set{-m | m\in M}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1380,15 +1395,15 @@ Sei $M\subseteq\imdr$.
|
|||
Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Funktion $\sup_{n\in\mdn}(f_n):X\to\imdr$ $\left(\inf_{n\in\mdn}(f_n):X\to\imdr\right)$ ist definiert durch:
|
||||
\[(\sup_{n\in\mdn} f_n)(x):=\sup\{f_n(x)\mid n\in\mdn\}\quad x\in X\]
|
||||
\[\left((\inf_{n\in\mdn} f_n)(x):=\inf\{f_n(x)\mid n\in\mdn\}\quad x\in X\right)\]
|
||||
\[(\sup_{n\in\mdn} f_n)(x):=\sup\Set{f_n(x) | n\in\mdn}\quad x\in X\]
|
||||
\[\left((\inf_{n\in\mdn} f_n)(x):=\inf\Set{f_n(x) | n\in\mdn}\quad x\in X\right)\]
|
||||
\item Die Funktion $\limsup_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr$ $\left(\liminf_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr\right)$ ist definiert durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\tag{$*$} \limsup_{n\to\infty} f_n &:= \inf_{j\in\mdn}(\sup_{n\ge j} f_n)\\
|
||||
\liminf_{n\to\infty} f_n &:= \sup_{j\in\mdn}(\inf_{n\ge j} f_n)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\textbf{Erinnerung:} Für eine beschränkte Folge $(a_n)$ in $\mdr$ war
|
||||
\[\limsup_{n\to\infty} a_n:=\inf\{\sup\{a_n\mid n\ge j\}\mid j\in\mdn\}\]
|
||||
\[\limsup_{n\to\infty} a_n:=\inf\{\sup\Set{a_n | n\ge j}\mid j\in\mdn\}\]
|
||||
\item Sei $N\in\mdn$ und $g_j:=f_j$ (für $j=1,\dots,N$), $g_j:=f_N$ (für $j>N$). Definiere:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\max_{1\le n\le N} f_n &:=\sup_{j\in\mdn} g_n\\
|
||||
|
|
@ -1592,7 +1607,7 @@ Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar. $(f_n)$ sei eine für $f$ zulässige Folge. Das
|
|||
\item $(f_n(x))$ ist wachsend für alle $x\in X$, d.h.:
|
||||
\[f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=(\sup_{n\in\mdn} f_n)(x)\]
|
||||
\item Aus \ref{Satz 4.2}(3) folgt dass $(\int_X f_n(x)\text{ d}x)$ wachsend ist, d.h.:
|
||||
\[\lim_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\text{ d}x = \sup\{\int_X f_n(x)\text{ d}x\mid n\in\mdn\}=\int_X f_(x)\text{ d}x\]
|
||||
\[\lim_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\text{ d}x = \sup\Set{\int_X f_n(x)\text{ d}x | n\in\mdn}=\int_X f_(x)\text{ d}x\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue