From c1ea9e52e9741723bcc1feccbaa972fc48fa231a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Martin Thoma Date: Mon, 27 Aug 2012 19:23:20 +0200 Subject: [PATCH] added commutative diagram example --- .../mathe-lineare-algebra.tex | 86 ++++++++++++++++++- tikz/commutative-diagram/Makefile | 32 +++++++ .../commutative-diagram.tex | 26 ++++++ .../Makefile | 31 +++++++ ...ic-function-intermediate-value-theorem.tex | 40 +++++++++ 5 files changed, 214 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 tikz/commutative-diagram/Makefile create mode 100644 tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex create mode 100644 tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/Makefile create mode 100644 tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex diff --git a/documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex b/documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex index ecc3719..92fb8a6 100644 --- a/documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex +++ b/documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex @@ -211,7 +211,7 @@ heißen \textbf{linear unabhängig}, wenn gilt: \begin{definition}{Bilinearform} Sei V ein reeler Vektorraum. Eine \textbf{Bilinearform} auf V ist eine Abbildung -\[ F: V \times V \rightarrow V, ~~~ (a,b) \mapsto F(a,b), \] +\[ F: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, ~~~ (a,b) \mapsto F(a,b), \] die in jedem Argument linear ist, d.h. für alle $a, a_1, a_2, b, b_1, b2 \in V$ und alle $\lambda_1, \lambda_2, \mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R}$ gilt: \begin{align*} @@ -354,4 +354,88 @@ Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Dann gilt in V: \[ a \perp b \Rightarrow \|a\| + \|b\| = \|a+b\|^2\] \end{definition} +\begin{definition}{Orthogonalkomplement} +Die Menge $U^\perp := \{x \in V | \langle x, u \rangle = 0~~\forall u \in U\}$ +heißt \textbf{Orthogonalkomplement} von U in V. +\end{definition} + +\begin{definition}{Orthogonalprojektion} +Die \textbf{Orthogonalprojektion} von V auf U (in Richtung $U^\perp$) +ist die Abbildung +\[\pi_U : V \rightarrow U \subseteq V, ~~~ v = u + u^\perp \mapsto u.\] +\end{definition} + +\begin{satz}{Eigenschaften der Orthogonalprojektion} +Für die Orthogonalprojektion $\pi_U$ eines Vektorraumes V auf einen +Unterraum U gilt: +\begin{enumerate} + \item $\pi_U$ ist linear und $\pi_U^2 = \pi_U \circ \pi_U = \pi_U$. + \item Bild $\pi_U = U$, Kern $\pi_U = U^\perp$. + \item $\pi_U$ verkürzt Abstände: Für alle $v, w \in V$ gilt:\\ + $d(\pi_U(v), \pi_U(w)) = \| \pi_U(v) - \pi_U(w) \| \leq \| v- w \| = d(v,w)$ +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{definition}{Abstand} +Seien $(M, d)$ ein metrischer Raum und $A, B \subseteq M$ zwei Teilmengen. +Der \textbf{Abstand} von A und B ist definiert durch +\[d(A, B) := \inf\{d(a,b) | a \in A, b \in B\}\] +\end{definition} + +\begin{definition}{orthogonale und unitäre Matrizen} +Eine reele bzw. komplexe $n \times n$-Matrix A heißt +\textbf{orthogonal} bzw. \textbf{unitär}, falls gilt +\[A^T A = E_n ~~~ \text{ bzw. } ~~~ A^T \overline A = E_n\] +\end{definition} + +\begin{satz}{Charakterisierung von orthogonalen Matrizen} +Sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Folgende Aussagen sind äquivalent: +\begin{enumerate}[(a)] + \item A ist eine orthogonale Matrix. + \item A ist regulär und $A^{-1} = A^T$. + \item Die Spaltenvektoren (bzw. die Zeilenvektoren) von A bilden eine + Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^n$ bzgl. des Standardskalarproduktes +\end{enumerate} + +Analog für unitäre Matrizen. +\end{satz} + +\begin{satz}{Folgerungen} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Für eine orthogonale Matrix A gilt: $\det A = \pm 1$. + \item Für eine unitäre Matrix gilt: $| \det A | = 1$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{definition}{Adjungierte lineare Abbildung} +Es seien $(V, \langle, \rangle_V)$ und $(W, \langle, \rangle_W)$ +zwei Vektorräume mit Skalarprodukt und $\Phi: V \rightarrow W$ eine +lineare Abbildung. Eine lineare Abbildung $\Phi^*: W \rightarrow V$ +heißt zu $\Phi$ \textbf{adjungierte lineare Abbildung}, falls für +alle $x \in V$ und alle $y \in W$ gilt: +\[\langle \Phi(x), y \rangle_W = \langle x, \Phi^*(y) \rangle_V\] +\end{definition} + +\begin{satz}{Spektralsatz} +Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und +$\Phi: V \rightarrow V$ ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann +ist $\Phi$ diagonalisierbar. + +Genauer: Es exisitiert eine Orthonormalbasis B von V, die aus +Eigenvektoren von $\Phi$ besteht und die Abbildung von $\Phi$ bzgl. +dieser Orthonormalbasis hat Diagonalform +\[M_B^B(\Phi) = \begin{pmatrix} +\lambda_1 & & 0\\ + & \ddots & \\ + 0 & & \lambda_n +\end{pmatrix}\] +wobei $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ die $n$ (reelen) Eigenwerte von +$\Phi$ sind. +\end{satz} + +\begin{satz}{Kriterium für "positiv definit"} +Sei A eine reele, symmetrische Matrix.\\ +A ist positiv definit $\Leftrightarrow$ alle Eigenwerte von A sind positiv. +\end{satz} + \end{document} diff --git a/tikz/commutative-diagram/Makefile b/tikz/commutative-diagram/Makefile new file mode 100644 index 0000000..b0918db --- /dev/null +++ b/tikz/commutative-diagram/Makefile @@ -0,0 +1,32 @@ +SOURCE = commutative-diagram +DELAY = 80 +DENSITY = 300 +WIDTH = 500 + +make: + pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf + pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf + make clean + +clean: + rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux + +gif: + pdfcrop $(SOURCE).pdf + convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif + make clean + +png: + make + make svg + inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png + +transparentGif: + convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif + make clean + +svg: + #inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg + pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg + # Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs: + inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg diff --git a/tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex b/tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex new file mode 100644 index 0000000..8788be9 --- /dev/null +++ b/tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex @@ -0,0 +1,26 @@ +\documentclass{article} +\usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} +\setlength\PreviewBorder{2mm} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{arrows,positioning,fit,shapes} + +\begin{document} +\begin{preview} +\begin{tikzpicture}[scale=1,node distance=2.0cm] + \node (Phi) at (0,0) {$\Phi: V$}; + \node (W) [right of=Phi] {$W$}; + \node (Kn) [below of=Phi] {$K^n$}; + \node (Km) [right of=Kn]{$K^m$}; + \node[text=green] (TN) at (1,0.7) {Koordinatenfrei}; + \node[text=orange] (TS) at (1,-2.6) {Konkretes Rechnen}; + \draw[->, above] (Phi) to node {$\Theta_B$} (W); + \draw[->, below] (Kn) to node {$\Theta_{B'}$} (Km); + \draw[->, left] (Phi) to node {$\Theta_B$} (Kn); + \draw[->, right] (W) to node {$\Theta_{B'}$} (Km); + \node [ellipse,fit={(Kn) (Km) (TS)}, draw=orange, thick, text=orange] + {}; + \node [ellipse,fit={(Phi) (W) (TN)}, draw=green, thick, text=green] + {}; +\end{tikzpicture} +\end{preview} +\end{document} diff --git a/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/Makefile b/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/Makefile new file mode 100644 index 0000000..99e84a9 --- /dev/null +++ b/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/Makefile @@ -0,0 +1,31 @@ +SOURCE = cubic-function-intermediate-value-theorem +DELAY = 80 +DENSITY = 300 +WIDTH = 500 + +make: + pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf + make clean + +clean: + rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot + +gif: + pdfcrop $(SOURCE).pdf + convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif + make clean + +png: + make + make svg + inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png + +transparentGif: + convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif + make clean + +svg: + #inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg + pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg + # Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs: + inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg diff --git a/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex b/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex new file mode 100644 index 0000000..10a90b8 --- /dev/null +++ b/tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex @@ -0,0 +1,40 @@ +\documentclass{article} +\usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} +\setlength\PreviewBorder{2mm} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{arrows, positioning, calc, intersections, decorations.markings} + +\begin{document} + +% Define this as a command to ensure that it is same in both cases +\newcommand*{\ShowIntersection}[2]{ +\fill + [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] + [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] + \foreach \s in {1,...,\t}{(i-\s) circle (2pt) + node [above left] {\s}}; +} + +\begin{preview} +\begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + %width=15cm, height=15cm, % size of the image + %xmin= 0, % start the diagram at this x-coordinate + %xmax= 250, % end the diagram at this x-coordinate + %ymin=-7, % start the diagram at this y-coordinate + %ymax= 7, % end the diagram at this y-coordinate + ylabel=y, + xlabel=x, + axis lines=left, + tick style={draw=none}, + xticklabels={,,}, + yticklabels={,,} + ] + \addplot[name path global=a, domain=30:250, red, thick,samples=500] + {-0.00192*x*x*x+0.85*x*x-121.92*x+5815.75}; +% {-226/117649*x*x*x+100005/117649*x*x-14343768/117649*x+684216906/117649}; + \end{axis} +\end{tikzpicture} +\end{preview} +\end{document}