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Digitalisieren der Vorlesung von 21.01.2014
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@ -37,4 +37,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
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|16.01.2014 | 21:30 - 23:50 | TikZ'en von Bildern
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|18.01.2014 | 14:15 - 14:30 | Neuer Korollar; Tippfehler verbessert
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|20.01.2014 | 20:00 - 20:15 | TikZ'en eines Bildes
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|21.01.2014 | 19:30 - | Digitalisieren der Vorlesung von 21.01.2014
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|21.01.2014 | 19:30 - 21:30 | Digitalisieren der Vorlesung von 21.01.2014
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Binary file not shown.
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@ -3,5 +3,37 @@
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\addcontentsline{toc}{section}{Übungsaufgaben}
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\begin{aufgabe}\label{ub11:aufg1}
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TODO
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Seien $(X, d)$ eine absolute Ebene und $P, Q, R \in X$ Punkte.
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Der \textit{Scheitelwinkel}\xindex{Scheitelwinkel} des Winkels $\angle PQR$ ist
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der Winkel, der aus den Halbgeraden $QP^-$ und $QR^-$ gebildet
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wird. Die \textit{Nebenwinkel}\xindex{Nebenwinkel} von $\angle PQR$
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sind die von $QP^+$ und $QR^-$ bzw. $QP^-$ und $QR^+$ gebildeten
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Winkel.
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Zeigen Sie:
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Die beiden Nebenwinkel von $\angle PQR$ sind gleich.
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\item Der Winkel $\angle PQR$ ist gleich seinem Scheitelwinkel.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}\label{ub11:aufg3}
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Sei $(X, d)$ eine absolute Ebene. Der \textit{Abstand}\xindex{Abstand} eines
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Punktes $P$ zu einer Menge $Y \subseteq X$ von Punkten ist
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definiert durch $d(P, Y) := \inf{d(P, y) | y \in Y}$.
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Zeigen Sie:
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\begin{enumerate}[label=(\alph*),ref=\theenumi{} (\alph*)]
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\item Ist $\triangle ABC$ ein Dreieck, in dem die Seiten
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$\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ kongruent sind, so
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sind die Winkel $\angle ABC$ und $\angle BCA$ gleich.
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\item Ist $\triangle ABC$ ein beliebiges Dreieck, so liegt
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der längeren Seite der größere Winkel gegenüber und
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umgekehrt.
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\item \label{ub11:aufg3.c} Sind $g$ eine Gerade und $P \notin g$ ein Punkt, so gibt
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es eine eindeutige Gerade $h$ mit $P \in h$ und die
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$g$ im rechten Winkel schneidet. Diese Grade heißt
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\textit{Lot}\xindex{Lot} von $P$ auf $g$ und der
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Schnittpunkt des Lots mit $g$ heißt \textit{Lotfußpunkt}\xindex{Lotfußpunkt}.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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@ -581,6 +581,155 @@ Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
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\item Es gibt $\beta' = \beta$ wegen \cref{prop:14.7}.
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\item Es gibt $\alpha'' = \alpha'$ wegen \cref{ub11:aufg1}.
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\end{itemize}
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$\Rightarrow \IWS(\triangle ABC) = \gamma + \alpha'' + \beta' = \pi$
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\end{beweis}
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\section{Weitere Eigenschaften einer euklidischen Ebene}
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\subsection{Strahlensatz}
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\begin{satz}
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In ähnlichen Dreiecken sind Verhältnisse entsprechender Seiten gleich.
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\end{satz}
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\todo[inline]{Bild 2}
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\begin{beweis}
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TODO
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\end{beweis}
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\todo[inline]{Bild 3}
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\subsection{Flächeninhalt}
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\begin{definition}
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\enquote{Simplizialkomplexe} in euklidischer Ebene $(X,d)$ heißen
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\textbf{flächengleich}\xindex{Simplizialkomplexe!flächengleiche},
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||||
wenn sie sich in kongruente Dreiecke zerlegen lassen.
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||||
\end{definition}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[TODO]{
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\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:bild-4}
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}%
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\subfloat[TODO]{
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||||
\input{figures/todo.tex}
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||||
\label{fig:bild-5}
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||||
}%
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\label{fig:flaechengleichheit}
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||||
\caption{Flächengleichheit}
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\end{figure}
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||||
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist $\nicefrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$.
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\begin{figure}
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\centering
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||||
\input{figures/todo.tex}
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||||
\caption{Flächenberechnung im Dreiecks}
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\label{fig:flaechenberechnung-dreieck}
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\end{figure}
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||||
\underline{Zu zeigen:} Unabhängigkeit von der gewählten Grundseite.
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\begin{figure}
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\centering
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\input{figures/todo.tex}
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\caption{Flächenberechnung im Dreiecks (Bild 7)}
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\label{fig:flaechenberechnung-dreieck-2}
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\end{figure}
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$\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \cdot h_a = c \cdot h_c$
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\begin{satz}[Satz des Pythagoras]
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Im rechtwinkligen Dreieck gilt $a^2 + b^2 = c^2$, wobei $c$ die
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Hypothenuse und $a, b$ die beiden Katheten sind.
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\end{satz}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[$a,b$ sind Katheten und $c$ ist die Hypothenuse]{
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\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:pythagoras-bezeichnungen}
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}%
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\subfloat[Beweisskizze]{
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\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:bild-5}
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}%
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||||
\label{fig:flaechengleichheit}
|
||||
\caption{Satz des Pythagoras}
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||||
\end{figure}
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\begin{beweis}
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$(a+b) \cdot (a+b) = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 +4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot b)$
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\end{beweis}
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\begin{satz}\label{satz:14.13} %In Vorlesung: Satz 14.13
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Bis auf Isometrie gibt es genau eine euklidische Ebene, nämlich
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$X=\mdr^2$, $d = \text{euklidischer Abstand}$, $G = \text{Menge der üblichen Geraden}$.
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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||||
\item $(\mdr^2, d_\text{Euklid})$ ist offensichtlich eine euklidische Ebene.
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||||
\item Sei $(X,d)$ eine euklidische Ebene und $g_1, g_2$ Geraden
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in $X$, die sich in einem Punkt $0$ im rechten Winkel
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schneiden. Sei $X$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf
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$g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}).
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Sei $Y$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_2$.
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Setze $h(P) := (x_P, y_P)$ mit
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$x_P := d(X, 0)$ und $y_P := d(Y, 0)$.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\subfloat[Schritt 1 (Bild 10)]{
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\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:14.13.1}
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}%
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\subfloat[Schritt 2 (Bild 11)]{
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\input{figures/todo.tex}
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\label{fig:14.13.2}
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}%
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\label{fig:14.13.0.1}
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\caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
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\end{figure}
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Dadurch wird $h:X \rightarrow \mdr^2$ auf dem Quadranten
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definiert, in dem $P$ liegt (d.~h. $\forall Q \in X \text{ mit } \overline{PQ} \cap g_1 = \emptyset = \overline{PQ} \cap g_2$)
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Fortsetzung auf ganz $X$ durch konsistente Vorzeichenwahl.
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\begin{behauptung}[1]
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$h$ ist surjektiv
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\end{behauptung}
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\begin{behauptung}[2]
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$h$ ist abstandserhaltend ($\rightarrow$ injektiv)
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\end{behauptung}
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\begin{beweis}[von 1]
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Sei $(x, y) \in \mdr^2$, z.~B. $x \geq 0, y \geq 0$.
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Sei $P' \in g_1$ mit $d(0, P') = x$ und
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$P'$ auf der gleichen Seite von $g_2$ wie $P$.
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\end{beweis}
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||||
\begin{beweis}[von 2]
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||||
\begin{figure}[ht]
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||||
\centering
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||||
\subfloat[Schritt 1 (Bild 12)]{
|
||||
\input{figures/todo.tex}
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||||
\label{fig:14.13.3}
|
||||
}%
|
||||
\subfloat[Schritt 2 (Bild 13)]{
|
||||
\input{figures/todo.tex}
|
||||
\label{fig:14.13.4}
|
||||
}%
|
||||
\label{fig:14.13.0.2}
|
||||
\caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
|
||||
\end{figure}
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Zu Zeigen: $d(P, Q) = d(h(P), h(Q))$
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$d(P, Q)^2 \overset{\text{Pythagoras}}{=} d(P, R)^2 + d(R, Q)^2 = (y_Q - y_P)^2 + (x_Q - x_P)^2$.
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||||
$h(Q) = (x_Q, y_Q)$
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\end{beweis}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel4-UB}
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@ -29,13 +29,26 @@ $\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
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$\mdr^\times\;$ Einheitengruppe von $\mdr$ ($\mdr \setminus \Set{0}$)\\
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$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen ($\Set{a+ib|a,b \in \mdr}$)\\
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||||
$\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
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\section*{Geometrie}
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$AB\;\;\;$ Gerade durch die Punkte $A$ und $B$\\
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$\overline{AB}\;\;\;$ Strecke mit Endpunkten $A$ und $B$\\
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$\triangle ABC\;\;\;$ Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\
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\end{minipage}
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\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
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\section*{Weiteres}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Gruppen %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
\section*{Gruppen}
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$\Homoo(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
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||||
$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
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||||
$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
|
||||
$\Perm(X)\;\;\;$ Permutationsgruppe\\
|
||||
$\Sym(X)\;\;\;$ Symmetrische Gruppe
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Weiteres %
|
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section*{Weiteres}
|
||||
$\fB\;\;\;$ Basis einer Topologie\\
|
||||
$\fB_\delta(x)\;\;\;$ $\delta$-Kugel um $x$\\
|
||||
$\fT\;\;\;$ Topologie\\
|
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|
|
@ -61,16 +74,6 @@ $X \# Y\;\;\;$ Verklebung von $X$ und $Y$\\
|
|||
$\gamma_1 * \gamma_2\;\;\;$ Zusammenhängen von Wegen\\
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Gruppen %
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section*{Gruppen}
|
||||
$\Homoo(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
|
||||
$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
|
||||
$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
|
||||
$\Perm(X)\;\;\;$ Permutationsgruppe\\
|
||||
$\Sym(X)\;\;\;$ Symmetrische Gruppe
|
||||
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||||
$f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene\\
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||||
$\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\
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||||
$\Fix(f)\;\;\;$ Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$
|
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