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f2a0df1de7
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ba59e009cf
8 changed files with 127 additions and 54 deletions
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@ -7,6 +7,9 @@ Teilweise wurden die im folgenden aufgelisteten Bilder noch leicht
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modifiziert.
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\begin{itemize}
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\item[Abb. \ref{fig:s2}] $S^2$: Tom Bombadil, \href{http://tex.stackexchange.com/a/42865/5645}{tex.stackexchange.com/a/42865/5645}
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\item[Abb. \ref{fig:cube}] Würfel: Jan Hlavacek, \href{http://tex.stackexchange.com/a/12069/5645}{tex.stackexchange.com/a/12069/5645}
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\item[Abb. \ref{fig:torus}] $T^2$: Jake, \href{http://tex.stackexchange.com/a/70979/5645}{tex.stackexchange.com/a/70979/5645}
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\item[Abb. \ref{fig:stereographic-projection}] Stereographische Projektion: \href{http://texample.net/tikz/examples/map-projections/}{texample.net/tikz/examples/map-projections}
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\item[Abb. \ref{fig:Knoten}] Knoten von Jim.belk aus der \enquote{\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Blue_knots}{Blue knots}}-Serie:
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\begin{itemize}
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Binary file not shown.
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@ -38,6 +38,6 @@
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Ist $\text{GL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
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\item Ist $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
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\item Ist $\mdp(\mdr)$ kompakt?
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\item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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@ -178,10 +178,10 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\begin{beispiel}
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\begin{align*}
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X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0}, x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
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X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
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&\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
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\end{align*}
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\[\overline{X} = \mdp^n(\mdr)\]
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\[\overline{X} = \praum^n(\mdr)\]
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Also für $n=1$:\nopagebreak\\
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\input{figures/ursprungsgeraden}
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\end{beispiel}
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@ -919,7 +919,9 @@ $\qed$
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\end{figure}
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\begin{beweis}
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ist technisch mühsam und wird daher hier nicht geführt.\todo{Literatur}
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ist technisch mühsam und wird daher hier nicht geführt. Er kann
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in \enquote{Algebraische Topologie: Eine Einführung} von R.~Stöcker
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und H.~Zieschang auf S. 301f (ISBN 978-3519122265) nachgelesen werden.
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Idee: Ersetze Weg $C$ durch Polygonzug.
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\end{beweis}
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@ -21,7 +21,7 @@
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\begin{bemerkung}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$\todo{Wann ist das wichtig? Ist die Hilbert-Kurve ein Beispiel?}
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\item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$
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||||
\item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph.
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Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer):
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@ -43,12 +43,12 @@
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\item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
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mit einem Atlas aus einer Karte:
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\[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\]
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||||
\item $\mdp^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\mdp^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
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||||
\item $\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
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||||
der Dimension $n$ bzw. $2n$.
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||||
$\mdp^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$
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||||
$\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$
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\begin{align*}
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||||
U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n\\
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||||
U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n\\
|
||||
(x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \frac{x_i}{x_i}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\
|
||||
(y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
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||||
\end{align*}
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@ -79,7 +79,12 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n
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|||
Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph
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zu einem offenem Intervall ist.
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||||
\item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist
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keine Mannigfaltigkeit. \todo{Warum genau?}
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keine Mannigfaltigkeit.
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Das Problem ist $(0,0)$. Wenn man diesen Punkt entfernt,
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zerfällt der Raum in 4 Zusammenhangskomponenten.
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Jeder $\mdr^n$ zerfällt jedoch in höchstens zwei
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Zusammenhangskomponenten, wenn man einen Punkt entfernt.
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\item $V_2 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x^3 = y^2}$ ist eine
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Mannigfaltigkeit.
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\item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (O_1, O_2)$
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@ -274,7 +279,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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||||
\item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$}\xindex{Mannigfaltigkeit!differenzierbare},
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||||
wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$\todo{warum Doppelindex?}{}
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||||
wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$
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||||
$k$-mal stetig differenzierbar ist.
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||||
\item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!glatte},
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wenn $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
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@ -392,7 +397,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\label{fig:solid-of-revolution}
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}%
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\subfloat[Sinus und Cosinus]{
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\subfloat[Sinus und Cosinus haben keine gemeinsamme Nullstelle]{
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\includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
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||||
\label{fig:sin-cos}
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||||
}%
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@ -2,42 +2,6 @@
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Symbolverzeichnis}
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\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
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||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Zahlenmengen %
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section*{Zahlenmengen}
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||||
$\mdn\;\;\;$ Natürliche Zahlen\\
|
||||
$\mdz\;\;\;$ Ganze Zahlen\\
|
||||
$\mdq\;\;\;$ Rationale Zahlen\\
|
||||
$\mdr\;\;\;$ Reele Zahlen\\
|
||||
$\mdr^+\;\;\;$ Echt positive reele Zahlen\\
|
||||
$\mdr^\times\;\;\;$ Einheitengruppe von $\mdr$\\
|
||||
$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen\\
|
||||
|
||||
\section*{Weiteres}
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Fraktale Symbole %
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||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
$\fB\;\;\;$ Basis einer Topologie\\
|
||||
$\fB_\delta(x)\;\;\;$ $\delta$-Kugel um $x$\\
|
||||
$\fT\;\;\;$ Topologie\\
|
||||
|
||||
$\mdp\;\;\;$ Projektiver Raum\\
|
||||
$\langle \cdot , \cdot \rangle\;\;\;$ Skalarprodukt\\
|
||||
$X /_\sim\;\;\;$ $X$ modulo $\sim$\\
|
||||
$[x]_\sim\;\;\;$ Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
|
||||
$\| x \|\;\;\;$ Norm von $x$\\
|
||||
$| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
|
||||
$S^n\;\;\;$ Sphäre\\
|
||||
$T^n\;\;\;$ Torus\\
|
||||
$\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
|
||||
$f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
|
||||
$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
|
||||
$\text{Rg}(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
|
||||
$f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
|
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
% Mengenoperationen %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section*{Mengenoperationen}
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@ -53,6 +17,21 @@ $A \setminus B\;\;\;$ $A$ ohne $B$\\
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$A \cup B\;\;\;$ Vereinigung\\
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$A \dcup B\;\;\;$ Disjunkte Vereinigung\\
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$A \cap B\;\;\;$ Schnitt\\
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Zahlenmengen %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section*{Zahlenmengen}
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$\mdn\;\;\;$ Natürliche Zahlen $(\Set{1, 2, 3, \dots})$\\
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||||
$\mdz\;\;\;$ Ganze Zahlen ($\mdn \cup \Set{0, -1, -2, \dots}$)\\
|
||||
$\mdq\;\;\;$ Rationale Zahlen ($\mdz \cup \Set{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}}$)\\
|
||||
$\mdr\;\;\;$ Reele Zahlen ($\mdq \cup \Set{\sqrt{2}, -\sqrt[3]{3}, \dots}$)\\
|
||||
$\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
|
||||
$\mdr^\times\;$ Einheitengruppe von $\mdr$ ($\mdr \setminus \Set{0}$)\\
|
||||
$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen ($\Set{a+ib|a,b \in \mdr}$)\\
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||||
$\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
|
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Gruppen %
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@ -60,9 +39,27 @@ $A \cap B\;\;\;$ Schnitt\\
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\section*{Gruppen}
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||||
$\text{Homöo}(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
|
||||
$\text{Iso}(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
|
||||
|
||||
\section*{Weiteres}
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Weiteres %
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
$\fB\;\;\;$ Basis einer Topologie\\
|
||||
$\fB_\delta(x)\;\;\;$ $\delta$-Kugel um $x$\\
|
||||
$\fT\;\;\;$ Topologie\\
|
||||
|
||||
$\praum\;\;\;$ Projektiver Raum\\
|
||||
$\langle \cdot , \cdot \rangle\;\;\;$ Skalarprodukt\\
|
||||
$X /_\sim\;\;\;$ $X$ modulo $\sim$\\
|
||||
$[x]_\sim\;\;\;$ Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
|
||||
$\| x \|\;\;\;$ Norm von $x$\\
|
||||
$| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
|
||||
$S^n\;\;\;$ Sphäre\\
|
||||
$T^n\;\;\;$ Torus\\
|
||||
$\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
|
||||
$f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
|
||||
$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
|
||||
$\text{Rg}(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
|
||||
$f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
|
||||
|
||||
\end{minipage}
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@ -54,6 +54,7 @@
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\renewcommand{\qed}{\hfill\blacksquare}
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\newcommand{\qedwhite}{\hfill \ensuremath{\Box}}
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\newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)}
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\def\praum{\ensuremath{\mathcal{P}}}
|
||||
\def\mdp{\ensuremath{\mathbb{P}}}
|
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\def\mdc{\ensuremath{\mathbb{C}}}
|
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\def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}}
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@ -6,6 +6,7 @@
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\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} %layout
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\usepackage{hyperref} % links im text
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\usepackage{parskip}
|
||||
\usepackage{enumitem}
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||||
\usepackage{multicol}
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||||
\title{Minimal distance to a cubic function}
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@ -23,7 +24,7 @@
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\begin{document}
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||||
\section{mathcal}
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||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\Alph*:]
|
||||
\item $\mathcal{A}$
|
||||
\item $\mathcal{B}$
|
||||
\item $\mathcal{C}$
|
||||
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|
@ -50,6 +51,70 @@
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|||
\item $\mathcal{X}$
|
||||
\item $\mathcal{Y}$
|
||||
\item $\mathcal{Z}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\section{mathfrak}
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\Alph*:]
|
||||
\item $\mathfrak{A}$
|
||||
\item $\mathfrak{B}$
|
||||
\item $\mathfrak{C}$
|
||||
\item $\mathfrak{D}$
|
||||
\item $\mathfrak{E}$
|
||||
\item $\mathfrak{F}$
|
||||
\item $\mathfrak{G}$
|
||||
\item $\mathfrak{H}$
|
||||
\item $\mathfrak{I}$
|
||||
\item $\mathfrak{J}$
|
||||
\item $\mathfrak{K}$
|
||||
\item $\mathfrak{L}$
|
||||
\item $\mathfrak{M}$
|
||||
\item $\mathfrak{N}$
|
||||
\item $\mathfrak{O}$
|
||||
\item $\mathfrak{P}$
|
||||
\item $\mathfrak{Q}$
|
||||
\item $\mathfrak{R}$
|
||||
\item $\mathfrak{S}$
|
||||
\item $\mathfrak{T}$
|
||||
\item $\mathfrak{U}$
|
||||
\item $\mathfrak{V}$
|
||||
\item $\mathfrak{W}$
|
||||
\item $\mathfrak{X}$
|
||||
\item $\mathfrak{Y}$
|
||||
\item $\mathfrak{Z}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\section{mathbb}
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\Alph*:]
|
||||
\item $\mathbb{A}$
|
||||
\item $\mathbb{B}$
|
||||
\item $\mathbb{C}$
|
||||
\item $\mathbb{D}$
|
||||
\item $\mathbb{E}$
|
||||
\item $\mathbb{F}$
|
||||
\item $\mathbb{G}$
|
||||
\item $\mathbb{H}$
|
||||
\item $\mathbb{I}$
|
||||
\item $\mathbb{J}$
|
||||
\item $\mathbb{K}$
|
||||
\item $\mathbb{L}$
|
||||
\item $\mathbb{M}$
|
||||
\item $\mathbb{N}$
|
||||
\item $\mathbb{O}$
|
||||
\item $\mathbb{P}$
|
||||
\item $\mathbb{Q}$
|
||||
\item $\mathbb{R}$
|
||||
\item $\mathbb{S}$
|
||||
\item $\mathbb{T}$
|
||||
\item $\mathbb{U}$
|
||||
\item $\mathbb{V}$
|
||||
\item $\mathbb{W}$
|
||||
\item $\mathbb{X}$
|
||||
\item $\mathbb{Y}$
|
||||
\item $\mathbb{Z}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
|
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