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In diesem Kapitel sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
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\begin{definition}
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\index{$\sigma$-!Algebra}
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Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine
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\textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt:
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\begin{enumerate}
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\item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$
|
||||
\item[($\sigma_2$)] $A\in\fa \implies A^c\in\fa$
|
||||
\item[($\sigma_3$)] $(A_j)$ ist eine Folge in $\fa \implies$
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$\bigcup A_j\in\fa$.
|
||||
\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispieleX}
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\begin{enumerate}
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\item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind
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$\sigma$-Algebren auf $X$.
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||||
\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$
|
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eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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||||
\item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$
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ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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\end{enumerate}
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\end{beispieleX}
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\begin{lemma}
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\label{Lemma 1.1}
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Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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\begin{enumerate}
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\item $\emptyset\in\fa$
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||||
\item Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist $\bigcap A_j\in\fa$.
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||||
\item Sind $A_1,\dots,A_n\in\fa$, so gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
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\item $A_1\cup\dots\cup A_n\in\fa$
|
||||
\item $A_1\cap\dots\cap A_n\in\fa$
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||||
\item $A_1\setminus A_2\in\fa$
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\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item \folgtnach{$\sigma_2$} $\emptyset=X^c\in\fa$.
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||||
\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach
|
||||
($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch
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||||
$D=(D^c)^c\in\fa$.
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||||
\item \begin{enumerate}
|
||||
\item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)}
|
||||
$A_1\cup\dots\cup A_n\in\fa$.
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||||
\item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$}
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||||
$A_1\cap\dots\cap A_n\in\fa$.
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||||
\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beweis}
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\begin{lemma}
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\label{Lemma 1.2}
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Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$.
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Dann ist
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\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
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eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
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||||
\end{lemma}
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||||
\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item[($\sigma_1$)] $\forall\fa\in\cf:X\in\fa\implies X\in\fa_0$.
|
||||
\item[($\sigma_2$)] Sei $A\in\fa_0$, dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\
|
||||
&\implies A^c\in\fa_0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann
|
||||
ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{Erzeuger}
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||||
Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
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$\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit
|
||||
$\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
|
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\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
||||
\folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra
|
||||
auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die
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\textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.
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$\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})$.
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||||
\end{definition}
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||||
\begin{lemma}
|
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\label{Lemma 1.3}
|
||||
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$.
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"'
|
||||
$\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält.
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||||
\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$.
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Klar nach Definition.
|
||||
\item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt
|
||||
$\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$.
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||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$,
|
||||
also folgt nach Definition
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist
|
||||
$\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$.
|
||||
\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$.
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
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||||
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||||
\begin{erinnerung}
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||||
\index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit}
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||||
Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt
|
||||
\textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn
|
||||
ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit
|
||||
$A=X\cap G$.\\
|
||||
Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in
|
||||
$X$.
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||||
\end{erinnerung}
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\begin{definition}
|
||||
\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{$\sigma$-!Algebra, Borelsche}
|
||||
\index{Borel!Mengen}
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||||
Sei $X\subseteq\mdr^d$.
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\mathcal{O}(X):=\Set{A\subseteq X | A \text{ ist offen in } X}$
|
||||
\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt
|
||||
\textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$.
|
||||
\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen
|
||||
\textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$
|
||||
$\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$
|
||||
in $X$, so ist $A\in\fb(X)$.
|
||||
\item Ist $A\subseteq\mdr^d$
|
||||
$\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$,
|
||||
so ist $A\in\fb_d$.
|
||||
\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also
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||||
$\mdq=\{r_1,r_2,\dots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$).
|
||||
Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$,
|
||||
dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus
|
||||
folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\
|
||||
Allgemeiner lässt sich zeigen:
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||||
$\mdq^d:=\{(x_1,\dots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\dots,n)\}\in\fb_d$.
|
||||
\item Sei $x_0 \in \mdr^d, \Set{x_0}$ ist abgeschlossen
|
||||
$\Rightarrow \Set{x_0} \in \fb$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
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||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Intervall}
|
||||
\index{Halbraum}
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Seien $I_1,\dots,I_d$ Intervalle in $\mdr$.
|
||||
Dann heißt $I_1\times\dots\times I_d$ ein \textbf{Intervall}
|
||||
in $\mdr^d$.
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||||
\item Seien $a=(a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d)\in\mdr^d$.
|
||||
\[a\le b:\iff a_j\le b_j \quad \forall j \in \Set{1, \dots, d}\]
|
||||
\item Seien $a,b\in\mdr^d$ und $a\le b$.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(a,b) &:= (a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_d,b_d)\\
|
||||
(a,b] &:= (a_1,b_1]\times(a_2,b_2]\times\dots\times(a_d,b_d]\\
|
||||
[a,b) &:= [a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\dots\times[a_d,b_d)\\
|
||||
[a,b] &:= [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_d,b_d]
|
||||
\end{align*}
|
||||
mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls
|
||||
$a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\dots,d\}$.
|
||||
\item Für $k\in\{1,\dots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die
|
||||
folgenden \textbf{Halbräume}:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H_k^-(\alpha) &:= \Set{(x_1,\dots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha}\\
|
||||
H_k^+(\alpha) &:= \Set{(x_1,\dots,x_d)\in\mdr^d:x_k\ge\alpha}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Beispiel für ein Intervall $(a_1, b_1) \times [a_2, b_2]$ und
|
||||
die beiden Halbräume:\\
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
% Draw axes
|
||||
\draw [<->,thick] (0,2.5) node (yaxis) [above] {$x_2$}
|
||||
|- (2.5,0) node (xaxis) [right] {$x_1$};
|
||||
|
||||
% Draw two intersecting lines
|
||||
\draw[thick, dashed] (1,1) coordinate (a) -- (2,1) coordinate (b);
|
||||
\draw[thick, dashed] (a) -- (1,2) coordinate (d);
|
||||
\draw[thick] (d) -- (2,2) coordinate (c);
|
||||
\draw[thick] (b) -- (2,2);
|
||||
|
||||
\fill[green!15] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- (a);
|
||||
|
||||
% Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we
|
||||
% use the perpendicular coordinate system
|
||||
\draw[dotted] (yaxis |- a) node[left] {$a_2$}
|
||||
-| (xaxis -| a) node[below] {$a_1$};
|
||||
|
||||
\draw[dotted] (yaxis |- c) node[left] {$b_2$}
|
||||
-| (xaxis -| c) node[below] {$b_1$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfdeclarepatternformonly{north east lines wide}%
|
||||
{\pgfqpoint{-1pt}{-1pt}}%
|
||||
{\pgfqpoint{10pt}{10pt}}%
|
||||
{\pgfqpoint{9pt}{9pt}}%
|
||||
{
|
||||
\pgfsetlinewidth{0.7pt}
|
||||
\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{0pt}}
|
||||
\pgfpathlineto{\pgfqpoint{9.1pt}{9.1pt}}
|
||||
\pgfusepath{stroke}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\pgfdeclarepatternformonly{north west lines wide}
|
||||
{\pgfqpoint{-1pt}{-1pt}}%
|
||||
{\pgfqpoint{7pt}{7pt}}%
|
||||
{\pgfqpoint{6pt}{6pt}}%
|
||||
{
|
||||
\pgfsetlinewidth{0.7pt}
|
||||
\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{6pt}}
|
||||
\pgfpathlineto{\pgfqpoint{6.1pt}{-0.1pt}}
|
||||
\pgfusepath{stroke}
|
||||
}
|
||||
|
||||
% Draw two intersecting lines
|
||||
\draw[thick, red] (-1,-1) coordinate (a) -- (2,-1) coordinate (b);
|
||||
\draw[thick, green] ( 1,-1) coordinate (c) -- (1, 2) coordinate (d);
|
||||
|
||||
\fill[pattern=north east lines wide, pattern color=red!50] (a) -- (b) -- (2,2) -- (-1,2) -- (a);
|
||||
\fill[pattern=north west lines wide, pattern color=green!50] (a) -- (1,-1) -- (1,2) -- (-1,2) -- (a);
|
||||
|
||||
\draw[thick, green] (c) -- (d);
|
||||
\draw[thick, red] (a) -- (b);
|
||||
|
||||
|
||||
% Draw axes
|
||||
\draw [<->,thick] (0,2.5) node (yaxis) [above] {$x_2$}
|
||||
|- (2.5,0) node (xaxis) [right] {$x_1$};
|
||||
\node[red] at (1.5,2.8) {$H_2^+(-1)$};
|
||||
\node[green] at (1.5,2.3) {$H_1^-(1)$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra auf $\mdr^d$]
|
||||
\label{Satz 1.4}
|
||||
Es seien $\ce_1,\ce_2,\ce_3$ wie folgt definiert:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\ce_1&:=\Set{(a,b) | a,b\in\mdq^d,a\le b}\\
|
||||
\ce_2&:=\Set{(a,b] | a,b\in\mdq^d, a\le b}\\
|
||||
\ce_3&:=\Set{H^-_k(\alpha) | \alpha\in\mdq, k \in \Set{1,\dots,d}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[\fb_d=\sigma(\ce_1)=\sigma(\ce_2)=\sigma(\ce_3)\]
|
||||
Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\[\fb_d
|
||||
\stackrel{(1)}{\subseteq} \sigma(\ce_1)
|
||||
\stackrel{(2)}{\subseteq} \sigma(\ce_2)
|
||||
\stackrel{(3)}{\subseteq} \sigma(\ce_3)
|
||||
\stackrel{(4)}{\subseteq} \fb_d
|
||||
\]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\Set{(a,b) | a,b \in \mdq^d, \; a\le b, \; (a,b)\subseteq G}$.\\
|
||||
Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$.\\
|
||||
Also gilt:
|
||||
\[\co(\mdr^d) \subseteq \sigma(\ce_1)\]
|
||||
\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\stackrel{1.3}{\subseteq}\sigma(\ce_1)\]
|
||||
\item Sei $a=(a_1, \dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$ und $a \leq b$ sowie $(a, b)\in\ce_1$.\\
|
||||
\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\emptyset\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\
|
||||
\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\emptyset$.\\
|
||||
Dann gilt für alle $j\in\{1,\dots,d\}:a_j<b_j$. Also gilt auch:
|
||||
\[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\dots,d\}:a_j<b_j-\frac1n\]
|
||||
Definiere $c_n:=(\frac1n,\dots,\frac1n)\in\mdq^d$. Dann gilt:
|
||||
\[(a,b)=\bigcup_{n\ge N}(a,b-c_n]\in\sigma(\ce_2)\]
|
||||
Also auch $\ce_1\subseteq\sigma(\ce_2)$ und damit
|
||||
$\sigma(\ce_1)\subseteq\sigma(\ce_2)$.
|
||||
\item Seien $a = (a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$
|
||||
mit $a \leq b$.
|
||||
Nachrechnen:
|
||||
\[(a,b] = \bigcap_{k=1}^d (H^-_k(b_k) \cap H^-_k(a_k)^c) \in \sigma(\ce_3). \]
|
||||
Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch
|
||||
$\sigma(\ce_2) \subseteq \sigma(\ce_3)$.
|
||||
\item $H^-_k(\alpha)$ ist abgeschlossen, somit ist
|
||||
$H^-_k(\alpha)^c$ offen und damit $H^-_k(\alpha)^c \in \fb_d$,
|
||||
also auch $H^-_k(\alpha) \in \fb_d$. Damit ist
|
||||
$\ce_3 \subseteq \fb_d \implies \sigma(\ce_3) \subseteq \fb_d$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Spur}
|
||||
Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
|
||||
$\emptyset \neq Y \subseteq X$.
|
||||
\[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\]
|
||||
heißt die \textbf{Spur von $\fm$ in $Y$}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
$X = \mdr^d, \fm \subseteq \sigma(\mdr^d), \; Y \subseteq X$.
|
||||
Dann: $(\co(\mdr^d))_Y = \sigma(Y)$
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Spuren und $\sigma$-Algebren]
|
||||
\label{Satz 1.5}
|
||||
Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine
|
||||
$\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\fa_Y$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
||||
\item $\fa_Y \subseteq \fa \iff Y \in \fa$
|
||||
\item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so
|
||||
ist $\sigma(\ce_Y) = \sigma(\ce)_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[($\sigma_1$)] Es ist $Y=Y\cap X\in\fa_Y$, da $X\in\fa$.
|
||||
\item[($\sigma_2$)] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein
|
||||
$A\in\fa$ mit $B=A\cap Y$.\\
|
||||
Also ist
|
||||
$Y\setminus B=\overbrace{(X\setminus A)}^{\in\fa} \cap Y\in\fa_Y$.
|
||||
\item[($\sigma_3$)] Sei $(B_j)$ eine Folge in $\fa_Y$, dann
|
||||
existiert eine Folge $(A_j)\in\fa^\mdn$
|
||||
mit $B_j=A_j\cap Y$. Es gilt:
|
||||
\[\bigcup B_j=\bigcup(A_j\cap Y)=(\bigcup A_j)\cap Y\in\fa_Y\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Der Beweis erfolgt durch Implikation in beiden Richtungen:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item["`$\implies$"'] Es gilt $Y\in\fa_Y\subseteq\fa$.
|
||||
\item["`$\impliedby$"'] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein $A\in\fa$ mit $B=A\cap Y\in\fa$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Es gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\ce\subseteq\sigma(\ce)&\implies\ce_Y\subseteq\sigma(\ce)_Y\\
|
||||
&\implies\sigma(\ce_Y)\subseteq\sigma(\ce)_Y
|
||||
\end{align*}
|
||||
Sei nun:
|
||||
\[\cd:=\{A\subseteq X:A\cap Y\in\sigma(\ce_Y)\}\]
|
||||
Übung: $\cd$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.\\
|
||||
Sei $E\in\ce$ dann ist $E\cap Y\in\ce_Y\subseteq\sigma(\ce_Y)$ also $E\in\cd$ und damit $\ce\subseteq\cd$. Daraus folgt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sigma(\ce)_Y&\subseteq\sigma(\cd)_Y=\cd_Y=\{A\cap Y:A\in\cd\}\\
|
||||
&\subseteq\sigma(\ce_Y)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{folgerungen}
|
||||
Sei $X\subseteq\mdr^d$. Dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\fb(X)=(\fb_d)_X$
|
||||
\item \importantbox{\text{Ist } X\in\fb_d \text{, so ist } \fb(X)=\Set{A\in\fb_d:A\subseteq X}\subseteq\fb_d}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{folgerungen}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Wir fügen $\mdr$ ein zusätzliches Symbol $+\infty$ hinzu. Es soll gelten:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(+\infty)+(+\infty):=+\infty$
|
||||
\item $\forall a\in\mdr:a<+\infty$
|
||||
\item $\pm a+(+\infty):=+\infty=:(+\infty)\pm a$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Außerdem sei $[0,+\infty]:=[0,\infty)\cup\{+\infty\}$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $(x_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt:
|
||||
\[x_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\infty:\iff \forall c>0\;\exists n_c\in\mdn:\forall n\ge n_c: x_n> c\]
|
||||
\item Sei $(a_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt
|
||||
\[\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum a_n = +\infty :\Leftrightarrow
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\exists n \in \mdn \text{ mit } a_n = +\infty \text{ oder }\\
|
||||
\sum a_n \text{ divergiert}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Wegen Ana I, 13.1 können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet
|
||||
werden, ohne dass sich ihr Wert verändert.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Maß}
|
||||
\index{$\sigma$-!Additivität}
|
||||
\index{Maßraum}
|
||||
\index{Maß!endliches}
|
||||
\index{Wahrscheinlichkeitsmaß}\index{Maß!Wahrscheinlichkeits-}
|
||||
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$
|
||||
eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann
|
||||
wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[$(M_1)$] $\mu(\emptyset)=0$
|
||||
\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist
|
||||
$\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt
|
||||
\textbf{$\sigma$-Additivität}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
In diesem Fall heißt $(X,\fa,\mu)$ ein \textbf{Maßraum}.\\
|
||||
Ein Maß $\mu$ heißt \textbf{endlich} $:\Leftrightarrow \mu(X)<\infty$.\\
|
||||
Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß} $:\Leftrightarrow\mu(X)=1$ ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\index{Punktmaß}\index{Maß!Punkt-}
|
||||
\index{Dirac-Maß}\index{Maß!Dirac-}
|
||||
\index{Zählmaß}\index{Maß!Zähl-}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $\fa:=\cp(X)$ und $x_0\in X$.
|
||||
$\delta_{x_0}:\fa\to[0,+\infty]$ sei definiert durch:
|
||||
\[\delta_{x_0}(A):=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
1,\ x_0\in A\\
|
||||
0,\ x_0\not\in A
|
||||
\end{cases}\]
|
||||
Klar ist, dass $\delta_{x_0}(\emptyset)=0$ ist.\\
|
||||
Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$.
|
||||
\[\delta_{x_0}(\bigcup A_j)=
|
||||
\left.\begin{cases}
|
||||
1,\ x_0\in\bigcup A_j\\
|
||||
0,\ x_0\not\in\bigcup A_j
|
||||
\end{cases}\right\}=\sum\delta_{x_0}(A_j)\]
|
||||
$\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\fa$ und heißt
|
||||
\textbf{Punktmaß} oder \textbf{Dirac-Maß}.
|
||||
\item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in
|
||||
$[0,+\infty]$. Definiere $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Für } A \in \fa: \quad
|
||||
\mu(A):=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
0 &\text{, falls } A=\emptyset\\
|
||||
\sum_{j\in A}p_j &\text{, falls } A\ne\emptyset
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}.
|
||||
Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der
|
||||
Elemente von $A$.
|
||||
\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$
|
||||
und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
||||
Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch
|
||||
$\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$).\\
|
||||
Dann ist
|
||||
$(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\
|
||||
Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$
|
||||
und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch
|
||||
$\mu_{|Y}(A):=\mu(A)$ ist ein Maß auf $\fa_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 1.7}
|
||||
\((X,\fa,\mu)\) sei ein Maßraum, es seien \(A,B\in\fa\) und
|
||||
\((A_{j})\) sei eine Folge in \(\fa\). Dann:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(A\subseteq B\,\implies\,\mu(A)\leq\mu(B)\)
|
||||
\item Ist \(\mu(A)<\infty\) und \(A\subseteq B,\implies\,\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)\)
|
||||
\item Ist \(\mu\) endlich, dann ist \(\mu(A)<\infty\) und \(\mu(A^{c})=\mu(X)-\mu(A)\)
|
||||
\item \(\mu\left(\bigcup A_{j}\right)\leq\sum{\mu(A_{j})}\) (\(\sigma\)-Subadditivität)
|
||||
\item Ist \(A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq\dots\), so ist \(\mu(\bigcup A_{j})=\lim_{n\to\infty}{\mu(A_{n})}\)
|
||||
\item Ist \(A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq\dots\) und \(\mu(A)<\infty\), so ist
|
||||
\(\mu(\bigcap A_{j})=\lim_{n\to\infty}{\mu(A_{n})}\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
% Eigentlich muesste es in folgender Zeile statt B=(B\setminus A)\cup A korrekt
|
||||
% heissen: B=(B\setminus A)\cupdot A -- Spaeter
|
||||
\item[(1)-(3)] \(B=(B\setminus A)\cup A\). Dann: \(\mu(B)=\underbrace{\mu(B\setminus A)}_{\geq0}+\mu(A)\geq\mu(A)\)
|
||||
\item[(4)] % Das muesste jetzt eigentlich Punkt 4 sein
|
||||
\(B_{1}=A_{1},\,B_{k}:=A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}{A_{j}}\quad(k\geq 2)\)
|
||||
|
||||
Dann: \(B_{j}\in\fa,\,B_{j}\subseteq A_{j}\,(j\in\MdN);\,(B_{j})\) disjunkt und \(\bigcup A_{j}=\bigcup B_{j}\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
\mu\left(\bigcup A_{j}\right)=\mu\left(\bigcup B_{j}\right)=\sum{\underbrace{\mu(B_{j})}_{\leq\mu(A_{j})}}\leq\sum{\mu(A_{j})}
|
||||
\]
|
||||
\item[(5)] % Das muesste jetzt eigentlich Punkt 5 sein
|
||||
\(B_{1}=A_{1},\,B_{k}=A_{k}\setminus A_{k-1}\,(k\geq 2)\)
|
||||
|
||||
Dann: \(B_{j}\subseteq\fa;\,B_{j}\subseteq A_{j}\,(j\in\MdN);\,\bigcup A_{j}=\bigcup B_{j}\) und \(A_{n}=\bigcup_{j=1}^{n}{B_{j}}\)%\bigcupdot_{j=1}^{n}{B_{j}}\)
|
||||
|
||||
Dann: \(\mu(\bigcup A_{j})=\mu(\bigcup B_{j})=\sum{\mu(B_{j})}=\lim_{n\to\infty}{\underbrace{\sum_{j=1}^{n}{\mu(B_{j})}}_{=\mu\left(\bigcup_{j=1}^{n}{B_{j}}\right)=\mu(A_{n})}}\)
|
||||
\item[(6)] Übung
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
478
documents/Analysis III/Kapitel-2.tex
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478
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|
|
@ -0,0 +1,478 @@
|
|||
\index{Lebesgue-Maß}
|
||||
|
||||
In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Ring}
|
||||
Sei \(\emptyset\neq \fr \subseteq \cp(X)\).
|
||||
$\fr$ heißt ein \textbf{Ring} auf \(X\), genau dann wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[(R1)] \(\emptyset \in \fr\)
|
||||
\item[(R2)] \(A,B \in \fr \, \implies \; A\cup B, \, B \setminus A \in \fr\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\textbf{Hinweis}: $(\fr, \cup, \setminus)$ ist kein Ring im Sinne
|
||||
der linearen Algebra, $(\fr, \cup)$ kein Inverses Element hat und
|
||||
$(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Elementarvolumen}
|
||||
\index{Figuren}
|
||||
Sei \(d\in\MdN\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\ci_d :=\Set{(a,b] | a,b \in \MdR^{d}, \, a \leq b} (\emptyset \in \ci_d)\).
|
||||
Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\MdR^d\)
|
||||
und \(I:=(a,b] \in \ci_{d}\)
|
||||
\[
|
||||
\lambda_{d}(I)= \begin{cases}
|
||||
0 & \text{falls }I=\emptyset\\
|
||||
(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\dots(b_{d}-a_{d}) & \text{falls }I\neq\emptyset\end{cases}\quad\text{(\textbf{Elementarvolumen})}
|
||||
\]
|
||||
\item \(\cf_d:=\Set{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j} | n\in\MdN,\,I_{1},\dots,I_{n}\in \ci_d}\) (\textbf{Menge der Figuren})
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\)
|
||||
und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesgue-Maß)
|
||||
|
||||
Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}=\sigma(\ci_{d})=\sigma(\cf_{d})\)
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 2.1}
|
||||
Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(I\cap I'\in\ci_{d}\)
|
||||
\item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\)
|
||||
Genauer: \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(I\setminus I'=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot
|
||||
\item \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
|
||||
\item \(\cf_d\) ist ein Ring.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},
|
||||
\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};
|
||||
\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},
|
||||
\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\)
|
||||
|
||||
\(\exists k\in\Set{1,\dots,d} : \alpha_{k}'\geq\beta_{k}'
|
||||
\implies I\cap I'=\emptyset\in\ci_{d}\).\\
|
||||
Sei \(\alpha_{k}'<\beta_{k}'\forall k\in\{1,\dots,d\}\), so
|
||||
ist \(I\cap I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k}',\beta_{k}']\in\ci_{d}}\)
|
||||
\item Induktion nach \(d\):
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[I.A.] Klar \checkmark % hier fehlt noch eine Graphik
|
||||
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(d\geq 1\)
|
||||
\item[I.S.] Seien \(I,I'\in\ci_{d+1}\). Es existieren \(I_{1},I_{1}'\in\ci_{1}\) und \(I_{2},I_{2}'\in\ci_{d}\) mit:
|
||||
\(I=I_{1}\times I_{2},\,I'=I_{1}'\times I_{2}'\)
|
||||
% Graphik einfuegen!
|
||||
|
||||
Nachrechnen:
|
||||
\[
|
||||
I\setminus I'=(I_{1}\setminus I_{1}')\times I_{2}\dot \cup(I_{1}\cap I_{1}')\times(I_{2}\setminus I_{2}')
|
||||
\]
|
||||
I.A.\(\implies\,I_{1}\setminus I_{1}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{1}\)\\
|
||||
I.V.\(\implies\,I_{2}\setminus I_{2}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{d}\)\\
|
||||
Daraus folgt die Behauptung für \(d+1\)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item \begin{itemize}
|
||||
\item[\underline{Vor.:}] Sei $n \in \mdn$ und
|
||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
|
||||
\(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\)
|
||||
\item[\underline{Beh.:}] Es existiert
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
|
||||
\item[\underline{Bew.:}] mit Induktion nach $n$:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\)\checkmark
|
||||
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\geq 1\)
|
||||
\item[I.S.] Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n+1}{I_{j}}\quad(I_{1},\dots,I_{n+1}\in\ci_{d})\)
|
||||
|
||||
IV\(\,\implies\,\exists\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot
|
||||
|
||||
Dann: \(A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{(I_{j}'\setminus I_{n+1})}\) % \cupdot
|
||||
|
||||
Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\dots,l)\):
|
||||
\(I_{j}'\setminus I_{n+1}=\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\quad(I_{j}''\in\ci_{d})\)
|
||||
|
||||
Damit folgt:
|
||||
\[
|
||||
A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{\left(\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\right)}
|
||||
\]
|
||||
Daraus folgt die Behauptung für \(n+1\).
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item \((a,a]=\emptyset\implies\emptyset\in\cf_{d}\)
|
||||
|
||||
Seien \(A,B\in\cf_{d}\). Klar: \(A\cup B\in\cf_{d}\)
|
||||
|
||||
Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}'}\quad(I_{j},I_{j}'\in\ci_{d})\). Zu zeigen: \(B\setminus A\in\cf_{d}\)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\implies B\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n}(\underbrace{I_{j}'\setminus I_{j}}_{\in\cf_{d}})\). Wende
|
||||
(2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{1}\) an. Aus (2) folgt dann \(B\setminus A\in\cf_{d}\).
|
||||
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\in\MdN\)
|
||||
\item[I.S.] Sei \(A'=A\cup I_{n+1}\quad(I_{n+1}\in\ci_{d})\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
B\setminus A'=\underbrace{(B\setminus A)}_{\in\cf_{d}}\setminus\underbrace{I_{n+1}}_{\in\cf_{d}}\in\cf_{d}
|
||||
\text{ (siehe I.A.)}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
ohne Beweis:
|
||||
\begin{lemma}[Unabhängigkeit von der Darstellung]
|
||||
\label{Lemma 2.2}
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit
|
||||
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=A=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}=\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}
|
||||
\]
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
|
||||
\(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
|
||||
disjunkt (beachte Lemma \ref{Lemma 2.1}, Punkt 3).
|
||||
\[
|
||||
\lambda_{d}(A):=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}
|
||||
\]
|
||||
\folgtnach{\ref{Lemma 2.2}} \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty)\)
|
||||
ist wohldefiniert.
|
||||
\end{definition}
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 2.3}
|
||||
Seien \(A,B\in\cf_{d}\) und \((B_{n})\) sei eine Folge in \(\cf_{d}\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(A\cap B=\emptyset\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(A\subseteq B\implies\lambda_{d}(A)\leq\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(\lambda_{d}(A\cup B)\leq\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\)
|
||||
und \(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\).
|
||||
\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und
|
||||
\(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt:
|
||||
\(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert
|
||||
\(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
|
||||
disjunkt und es existiert \(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\).
|
||||
|
||||
\(J:=\{I_{1},\dots,I_{n},I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus
|
||||
\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann:
|
||||
\(A\cup B=\bigcup_{I\in J}{I}\) % Hier auch wieder: \bigcupdot
|
||||
|
||||
Also:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lambda_{d}(A\cup B)&=\sum_{I\in J}{\lambda_{d}(I)}\\
|
||||
&=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}+\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}\\
|
||||
&=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item wie bei Satz \ref{Satz 1.7}
|
||||
\item \(\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda(A \dot{\cup} (B\setminus A))\overset{(1)}{=}\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B\setminus A)\overset{(2)}{\leq}\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\) % \cupdot
|
||||
\item Übung (es genügt \(B\in\ci_{d}\) zu betrachten).
|
||||
\item Sei \(\varepsilon>0\). Aus (4) folgt: Zu jedem \(B_{n}\) existiert ein
|
||||
\(C_{n}\in\cf_{d}:\overline{C}_{n}\subseteq B_{n}\) und
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}
|
||||
\lambda_{d}(B_{n}\setminus C_{n})\leq\frac{\varepsilon}{2^{n}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Dann:
|
||||
\(\bigcap{\overline{C}_{n}}\subseteq\bigcap{B_{n}}=\emptyset\implies\bigcup{\overline{C}_{n}^{c}}=\mdr^{d}\implies\underbrace{\overline{B}_{1}}_{\text{kompakt}}\subseteq\bigcup{\underbrace{\overline{C}_{n}^{c}}_{\text{offen}}}\)
|
||||
|
||||
Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, \S 2) folgt:
|
||||
\(\exists m\in\mdn:\,\bigcup_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}^{c}}\supseteq\overline{B}_{1}\)
|
||||
Dann: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\overline{B}_{1}^{c}\).
|
||||
Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\).
|
||||
|
||||
Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das heißt:
|
||||
\(\bigcap_{j=1}^{n}{\overline{C}_{j}}=\emptyset \quad \forall n\geq m\)
|
||||
|
||||
\(D_{n}:=\bigcap_{j=1}^{n}{C_{j}}\). Dann: \(D_{n}=\emptyset \quad \forall n\geq m\)
|
||||
|
||||
\textbf{Behauptung:} \(\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\ep \quad \forall n\in\mdn\)
|
||||
\begin{beweis} (induktiv)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[I.A.] \(\lambda_{d}(B_{1}\setminus D_{1})=\lambda_{d}(B_{1}\setminus C_{1})\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\ep\) \checkmark
|
||||
\item[I.V.] Sei \(n\in\mdn\) und es gelte
|
||||
$\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\ep$
|
||||
\item[I.S.] \begin{align*}
|
||||
\lambda_{d}(B_{n+1}\setminus D_{n+1})&=\lambda_{d}\left((B_{n+1}\setminus D_{n})\cup(B_{n+1}\setminus C_{n+1})\right)\\
|
||||
&\overset{(3)}{\leq}\lambda_{d}(\underbrace{B_{n+1}\setminus D_n}_{\subseteq B_{n}\setminus D_{n}})+\underbrace{\lambda_{d}(B_{n+1}\setminus C_{n+1})}_{\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2^{n+1}}}\\
|
||||
&\overset{(2)}{\leq}\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})+\frac{\ep}{2^{n+1}}\\
|
||||
&\overset{\text{I.V.}}{\leq}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)+\frac{\ep}{2^{n+1}}\\
|
||||
&=\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)\ep
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
Für \(n\geq m:\,D_{n}=\emptyset\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\varepsilon\leq\varepsilon\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Prämaß}
|
||||
Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\)
|
||||
heißt ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\mu(\emptyset)=0\)
|
||||
\item Ist \(A_{j}\) eine disjunkte Folge in \(\fr\) und \(\bigcup{A_{j}}\in\fr\), so ist \(\mu\left(\bigcup{A_{j}}\right)=\sum{\mu(A_{j})}\).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 2.4}
|
||||
\(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) ist ein Prämaß auf $\cf_{d}$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Klar: \(\lambda_{d}(\emptyset)=0\)
|
||||
\item Sei \(A_{j}\) eine disjunkte Folge in \(\cf_{d}\) und \(A:=\bigcup{A_{j}}\in\cf_{d}\).
|
||||
|
||||
\(B_{n}:=\bigcup_{j=n}^{\infty}{A_{j}}\,(n\in\mdn)\); \((B_{n})\) hat die
|
||||
Eigenschaften aus \ref{Satz 2.3}, Punkt 5. Also: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\).
|
||||
|
||||
Für \(n\geq 2\):
|
||||
\[
|
||||
\lambda_{d}(A)=\lambda_{d}(A_{1}\cup\dots\cup A_{n-1}\cup B_{n})\overset{\ref{Satz 2.3}.(1)}{=}\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}+\lambda_{d}(B_{n})
|
||||
\]
|
||||
Daraus folgt:
|
||||
\[
|
||||
\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}=\lambda_{d}(A)-\lambda_{d}(B_{n})\quad\forall n\geq 2
|
||||
\]
|
||||
Mit \(n\to\infty\) folgt die Behauptung.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
Ohne Beweis:
|
||||
\begin{satz}[Fortsetzungssatz von Carath\'eodory]
|
||||
\label{Satz 2.5}
|
||||
Sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\) und \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) ein Prämaß. Dann
|
||||
existiert ein Maßraum \((X,\fa(\mu),\overline{\mu})\) mit
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\sigma(\fr)\subseteq\fa(\mu)\)
|
||||
\item \(\overline{\mu}(A)=\mu(A) \quad \forall A\in\fr\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Insbesondere: \(\overline{\mu}\) ist ein Maß\ auf \(\sigma(\fr)\).
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Eindeutigkeitssatz]
|
||||
\label{Satz 2.6}
|
||||
Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(X)\), es seien \(\nu,\,\mu\) Maße auf
|
||||
\(\sigma(\ce)\).
|
||||
|
||||
Es gelte:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(E,F\in\ce\implies E\cap F\in\ce\quad\text{(durchschnittstabil)}\)
|
||||
\item $\exists$ eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\)
|
||||
und \(\mu(E_{n})<\infty \quad \forall n\in\mdn\).
|
||||
\item \(\mu(E)=\nu(E) \quad \forall E\in\ce\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Dann: \(\mu=\nu\) auf \(\sigma(\ce)\).
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 2.7}
|
||||
\index{Lebesgue-Maß}
|
||||
Es gibt genau eine Fortsetzung von \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) auf
|
||||
\(\fb_{d}\) zu einem Maß. Diese Fortsetzung heißt \textbf{Lebesgue-Maß} \ (L-Maß)
|
||||
und wird ebenfalls mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\folgtnach{(\ref{Lemma 2.1}) und (\ref{Satz 2.4})}: \(\lambda_{d}\) ist ein
|
||||
Prämaß\ auf \(\fr:=\cf_{d}\); es ist \(\sigma(\fr)=\fb_{d}\).
|
||||
|
||||
\folgtnach{\ref{Satz 2.5}}: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Maß auf
|
||||
\(\sigma(\cf_{d}) = \fb_{d}\) fortgesetzt werden. Für diese
|
||||
Fortsetzung schreiben wir wieder $\lambda_d$, also
|
||||
$\lambda_d: \fb_{d} \rightarrow [0, +\infty]$
|
||||
|
||||
Sei \(\nu\) ein weiteres Maß\ auf \(\fb_{d}\) mit:
|
||||
\(\nu(A)=\lambda_{d}(A)\,\forall A\in\cf_{d}\). \(\ce:=\ci_{d}\). Dann:
|
||||
\(\sigma(\ce)\overset{\ref{Satz 1.4}}{=}\fb_{d}\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(E,F\in\ce\overset{\ref{Lemma 2.1}}{\implies}E\cap F\in\ce\)
|
||||
\item \(E_{n}:=(-n,n]^{d}\)
|
||||
Klar:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\bigcup E_{n}&=\mdr^{d}\\
|
||||
\lambda_{d}(E_{n})&=(2n)^{d}<\infty
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Klar: \(\nu(E)=\lambda_{d}(E)\,\forall E\in\ce\). Mit Satz \ref{Satz 2.6} folgt
|
||||
dann: \(\nu=\lambda_{d}\) auf \(\fb_{d}\).
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Sei \(X\in\fb_{d}\). Aus 1.6 folgt: \(\fb(X)=\Set{A\in\fb_{d} | A\subseteq X}\).
|
||||
Die Einschränkung von \(\lambda_{d}\) auf \(\fb(X)\) heißt ebenfalls
|
||||
L-Maß\ und wird mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beispieleX}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\mdr^{d},\,a\leq b\) und \(I=[a,b]\).\\
|
||||
\textbf{Behauptung}\\\(\lambda_{d}([a,b])=(b_{1}-a_{1})\dots(b_{d}-a_{d})\) (Entsprechendes gilt für \((a,b)\) und \([a,b)\))
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\(I_{n}:=(a_{1}-\frac{1}{n},b_{1}]\times\dots\times(a_{d}-\frac{1}{n},b_{d}];\,I_{1}\supset I_{2}\supset\dots;\,\bigcap I_{n}=I,\,\lambda_{d}(I_{1})<\infty\)
|
||||
|
||||
Aus Satz \ref{Satz 1.7}, Punkt 5, folgt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lambda_{d}(I)&=\lim_{n\to\infty}{\lambda_{d}(I_{n})}\\
|
||||
&=\lim_{n\to\infty}{(b_{1}-a_{1}+\frac{1}{n})\dots(b_{d}-a_{d}+\frac{1}{n})}\\
|
||||
&=(b_{1}-a_{1})\dots(b_{d}-a_{d})
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
\item Sei \(a\in\mdr^{d},\,\{a\}=[a,a]\in\fb_{d}\). \folgtnach{Bsp (1)} \(\lambda_{d}(\{a\})=0\).
|
||||
\item \(\mdq^{d}\) ist abzählbar, also: \(\mdq^{d}=\{a_{1},a_{2},\dots\}\)
|
||||
mit \(a_{j}\neq a_{i}\,(i\neq j)\). Dann: \(\mdq^{d}=\bigcup\{a_{j}\}\) %\bigcupdot
|
||||
|
||||
Dann gilt: \(\mdq^{d}\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(\mdq^{d})=\sum{\lambda_{d}(\{a_{j}\})}=0\).
|
||||
\item Wie in Beispiel (3): Ist \(A\subseteq\mdr^{d}\) abzählbar, so ist
|
||||
\(A\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(A)=0\).
|
||||
\item Sei \(j\in\{1,\dots,d\}\) und \(H_{j}:=\Set{(x_{1},\dots,x_{d})\in\mdr^{d} | x_{j}=0}\). \(H_{j}\) ist abgeschlossen, damit folgt: \(H_{j}\in\fb_{d}\).
|
||||
|
||||
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(j=d\). Dann:
|
||||
\(I_{n}:=\underbrace{[-n,n]\times\dots\times[-n,n]}_{(d-1)-\text{mal}}\times\{0\}\).
|
||||
% Hier fehlt noch eine Graphik
|
||||
Aus Beispiel (1) folgt: \(\lambda_{d}(I_{n})=0\).
|
||||
|
||||
Aus \(H_{d}=\bigcup{I_{n}}\) folgt: \(\lambda_{d}(H_{d})\leq\sum{\lambda_{d}(I_{n})}=0\). Also: \(\lambda_{d}(H_{j})=0\).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispieleX}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $x\in\mdr^d, \emptyset \neq A\subseteq\mdr^d$. Definiere:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x+A &:= \Set{x+a | a \in A}\\
|
||||
x+ \emptyset &:= \emptyset
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
Ist $I\in\ci_d$, so gilt $x+I\in\ci_d$ und $\lambda_d(x+I)=\lambda_d(I)$.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 2.8}
|
||||
Sei $x\in\mdr^d, \fa:=\{B\in\fb_d:x+B\in\fb_d\}$ und $\mu:\fa\to[0,\infty]$ sei definiert durch $\mu(A):=\lambda_d(x+A)$. Dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(\mdr^d,\fa,\mu)$ ist ein Maßraum.
|
||||
\item Es ist $\fa=\fb_d$ und $\mu=\lambda_d$ auf $\fb_d$. D.h. für alle $A\in\fb_d$ ist $x+A\in\fb_d$ und $\lambda_d(x+A)=\lambda_d(A)$ (Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Leichte Übung!
|
||||
\item Es ist klar, dass $\fb_d\supseteq\fa$. Nach dem Beispiel von oben gilt:
|
||||
\[\ci_d\subseteq\fa\subseteq\fb_d=\sigma(\ci_d)\subseteq\sigma(\fa)=\fa\]
|
||||
Setze $\ce:=\ci_d$, dann ist $\sigma(\ce)=\fb_d$ und es gilt nach dem Beispiel von oben:
|
||||
\[\forall E\in\ce:\mu(E)=\lambda_d(E)\]
|
||||
$\ce$ hat die Eigenschaften (1) und (2) aus Satz \ref{Satz 2.6}, daraus folgt dann, dass $\mu=\lambda_d$ auf $\fb_d$ ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
Ohne Beweis:
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 2.9}
|
||||
Sei $\mu$ ein Maß auf $\fb_d$ mit der Eigenschaft:
|
||||
\[\forall x\in\mdr^d, A\in\fb_d:\mu(A)=\mu(x+A)\]
|
||||
Weiter sei $c:=\mu((0,1]^d)<\infty$. Dann gilt:
|
||||
\[\mu=c\cdot\lambda_d\]
|
||||
Falls $c=1$, so ist $\mu$ das Lebesgue-Maß.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Regularität des Lebesgue-Maßes]
|
||||
\label{Satz 2.10}
|
||||
Sei $A \in\fb_d$, dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
$\lambda_d(A)
|
||||
=\inf\Set{\lambda_d(G) | G\subseteq\mdr^d\text{ offen und }A \subseteq G}\\
|
||||
=\inf\Set{\lambda_d(V) | V=\bigcup_{j=1}^\infty I_j, I_j\subseteq\mdr^d\text{ offenes Intervall }, A\subseteq V}$
|
||||
\item $\lambda_d(A)=\sup\Set{\lambda_d(K) | K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ohne Beweis.
|
||||
\item Setze $\beta:=\sup\Set{\lambda_d(K) | K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A}$.
|
||||
Sei $K$ kompakt und $K\subseteq A$, dann gilt $\lambda_d(K)\le\lambda_d(A)$, also ist auch $\beta\le\lambda_d(A)$.
|
||||
|
||||
\textbf{Fall 1:} Sei $A$ zusätzlich beschränkt.\\
|
||||
Sei $\ep>0$. Es existiert ein $r>0$, sodass $A\subseteq B:=\overline{U_r(0)}\subseteq[-r,r]^d$ ist, dann gilt:
|
||||
\[\lambda_d(A)\le\lambda_d([-r,r]^d)=(2r)^d<\infty\]
|
||||
Aus (1) folgt, dass eine offene Menge $G\supseteq B\setminus A$ existiert mit $\lambda_d(G)\le\lambda_d(B\setminus A)+\ep$. Dann gilt nach \ref{Satz 1.7}:
|
||||
\[\lambda_d(B\setminus A)=\lambda_d(B)-\lambda_d(A)\]
|
||||
Setze nun $K:=B\setminus G=B\cap G^c$, dann ist $K$ kompakt und $K\subseteq B\setminus(B\setminus A)=A$. Da $B\subseteq G\cup K$ ist, gilt:
|
||||
\[\lambda_d(B)\le\lambda_d(G\cup K)\le \lambda_d(B)-\lambda_d(A)+\ep+\lambda_d(K)\]
|
||||
Woraus folgt:
|
||||
\[\lambda_d(A)\le\lambda_d(K)+\ep\]
|
||||
|
||||
\textbf{Fall 2:} Sei $A\in\fb_d$ beliebig.\\
|
||||
Setze $A_n:=A\cap\overline{U_n(0)}$. Dann ist $A_n$ für alle $n\in\mdn$ beschränkt, $A_n\subseteq A_{n+1}$ und $A=\bigcup_{n\in\mdn} A_n$. Nach \ref{Satz 1.7} gilt:
|
||||
\[\lambda_d(A)=\lim\lambda_d(A_n)\]
|
||||
Aus Fall 1 folgt, dass für alle $n\in\mdn$ ein kompaktes $K_n\subseteq A_n$ mit $\lambda_d(A_n)\le\lambda_d(K_n)+\frac1n$ existiert. Dann gilt:
|
||||
\[\lambda_d(A_n)\le\lambda_d(K_n)+\frac1n\le\lambda_d(A)+\frac1n\]
|
||||
Also auch:
|
||||
\[\lambda_d(A)=\lim\lambda(K_n)\le\beta\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\textbf{Auswahlaxiom:}\\
|
||||
Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\Set{X_\omega | \omega\in\Omega}$
|
||||
ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann
|
||||
existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass
|
||||
$C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Satz von Vitali]
|
||||
\label{Satz 2.11}
|
||||
Es existiert ein $C\subseteq\mdr^d$ sodass $C\not\in\fb_d$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Wir definieren auf $[0,1]^d$ eine Äquivalenzrelation $\sim$, durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall x,y\in[0,1]^d: x \sim y\iff x-y\in\mdq^d\\
|
||||
\forall x\in[0,1]^d:[x]:=\Set{y\in[0,1]^d | x\sim y}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nach dem Auswahlaxiom existiert ein $C\subseteq[0,1]^d$, sodass $C$ mit jedem $[x]$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
||||
Es ist $\mdq^d\cap[-1,1]^d=\{q_1,q_2,\dots\}$ mit $q_i\ne q_j$ für $(i\ne j)$. Dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\tag{1} \bigcup_{n=1}^\infty(q_n+C)\subseteq[-1,2]^d\\
|
||||
\tag{2} [0,1]^d\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty(q_n+C)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $x\in[0,1]^d$. Wähle $y\in C$ mit $y\in[x]$, dann ist $x\sim y$, also $x-y\in\mdq^d\cap[-1,1]^d$. D.h.:
|
||||
\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\]
|
||||
\end{beweis}
|
||||
Außerdem ist $\Set{q_n+C | n\in\mdn}$ disjunkt.
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $z\in(q_n+C)\cap(q_m+C)$, dann existieren $a,b\in\mdq^d$, sodass gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
(q_n+a=z=q_m+b) &\implies (b-a=q_m-q_n\in\mdq^d)\\
|
||||
&\implies (a\sim b) \implies([a]=[b])\\
|
||||
&\implies (a=b)\implies (q_n=q_m)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
\textbf{Annahme:} $C\in\fb_d$, dann gilt nach (1):
|
||||
\begin{align*}
|
||||
3^d&=\lambda_d([-2,1]^d)\\
|
||||
&\ge\lambda_d(\bigcup(q_n+C))\\
|
||||
&=\sum \lambda_d(q_n+C)\\
|
||||
&=\sum \lambda_d(C)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Also ist $\lambda_d(C)=0$. Damit folgt aus (2):
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1&=\lambda_d([0,1]^d)\\
|
||||
&\le \lambda_d(\bigcup (q_n+C))\\
|
||||
&=\sum \lambda_d(C)\\
|
||||
&=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
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In diesem Kapitel seien $\emptyset\ne X,Y,Z$ Mengen.
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\begin{definition}
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\index{messbar!Raum}\index{Raum!messbarer}
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Ist $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, so heißt $(X,\fa)$ ein \textbf{messbarer Raum}.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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\index{$\fa$-$\fb$-messbar}
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\index{messbar!Funktion}
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Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $\fb$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ und $f:X\to Y$ eine Funktion. $f$ heißt genau dann \textbf{$\fa$-$\fb$-messbar}, wenn gilt:
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\[\forall B\in\fb: f^{-1}(B)\in\fa\]
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt:
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\begin{enumerate}
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||||
\item $f$ sei $\fa$-$\fb$-messbar, $\fa'$ eine weitere $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\fa\subseteq\fa'$ und $\fb'$ sei eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ mit $\fb'\subseteq\fb$.\\
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||||
Dann ist $f$ $\fa'$-$\fb'$-messbar.
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||||
\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach
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\ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist
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||||
$f_{\mid X_0}:X_0\to Y$ $\fa_{X_0}$-$\fb$-messbar.
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||||
\end{enumerate}
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\end{bemerkung}
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||||
\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $A\subseteq X$. $\mathds{1}_A:X\to\mdr$ ist genau dann $\fa$-$\fb_1$-messbar, wenn $A\in\fa$ ist.
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||||
\item Sei $X=\mdr^d$. Ist $A\in\fb_d$, so ist $\mathds{1}_A$ $\fb_d$-$\fb_1$-messbar.
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||||
\item Ist $C$ wie in \ref{Satz 2.11}, so ist $\mathds{1}_C$ nicht $\fb_d$-$\fb_1$-messbar.
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||||
\item Es sei $f:X\to Y$ eine Funktion und $\fb$ ($\fa$) eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ ($X$), dann ist $f$ $\cp(X)$-$\fb$-messbar ($\fa$-$\{Y,\emptyset\}$-messbar).
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beispiel}
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\begin{satz}
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\label{Satz 3.1}
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Seien \(\fa,\,\fb,\,\fc\) \(\sigma\)-Algebren auf \(X,\,Y\) bzw. \(Z\). Weiter seien \(f:\,X\to Y\) und \(g:\,Y\to Z\)
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||||
Funktionen.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Ist \(f\) \(\fa-\fb-\)messbar und ist \(g\) \(\fb-\fc-\)messbar, so ist \(g\circ f:\,X\to Z\) \(\fa-\fc-\)messbar.
|
||||
\item Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(Y)\) und \(\sigma(\ce)=\fb\). Dann:
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||||
\begin{center}
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||||
\(f\) ist \(\fa-\fb-\)messbar, genau dann, wenn gilt: \(\forall E\in\ce:\,f^{-1}(E)\in\fa\)
|
||||
\end{center}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei \(C\in\fc\); \(g\) ist messbar, daraus folgt \(g^{-1}(C)\in\fb\);
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||||
\(f\) ist messbar, daraus folgt \(f^{-1}(g^{-1}(C))=(g\circ f)^{-1}(C)\in\fa\)
|
||||
\item \begin{itemize}
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||||
\item[\(\Rightarrow\)] \checkmark
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||||
\item[\(\Leftarrow\)] \(\fd:=\Set{B\subseteq Y | f^{-1}(B)\in\fa}\)
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||||
Übung: \(\fd\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(Y\).
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||||
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||||
Aus der Voraussetzung folgt: \(\ce\subseteq\fd\).
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||||
Dann: \(\fb=\sigma(\ce)\subseteq\fd\). Ist \(B\in\fb\), so ist \(B\in\fd\), also
|
||||
\(f^{-1}(B)\in\fa\).
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||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
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||||
\index{messbar!Borel}\index{messbar}
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||||
Sei \(X\in\fb_{d}\). Ist \(f:\,X\to\mdr^{k}\) \(\fb(X)-\fb_{k}-\)messbar, so heißt \(f\) \textbf{(Borel-)messbar}.
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||||
\end{definition}
|
||||
Ab jetzt sei stets \(\emptyset \neq X\in\fb_{d}\).
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||||
(Erinnerung: \(\fb(X)=\Set{A\in\fb_{d} | A\subseteq X}\))
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||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
\label{Satz 3.2}
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||||
Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) Abbildungen und \(\alpha,\beta\in\mdr\).
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Ist \(f\) auf \(X\) stetig, so ist \(f\) messbar.
|
||||
\item Ist \(f\) messbar und \(g(x):=\lVert f(x)\rVert\,(x\in X)\), so ist \(g\) messbar.
|
||||
\item Ist \(f=(f_{1},\dots,f_{k})\), so gilt: \(f\) ist messbar \(\Leftrightarrow\) alle \(f_{j}\) sind messbar.
|
||||
\item Sind \(f\) und \(g\) messbar, so ist \(\alpha f+\beta g\) messbar.
|
||||
\item Sei \(k=1\) und \(f\) und \(g\) seien messbar. Dann:
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item \(f \cdot g\) ist messbar
|
||||
\item Ist \(f(x)\neq 0 \quad \forall x\in X\), so ist
|
||||
\(\frac{1}{f}\) messbar
|
||||
\item \(\Set{x\in X | f(x)\stackrel{>}{\geq} g(x)} \in \fb(X)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei \(G\in\co(\mdr^{k})\). \(f\) ist stetig \folgtnach{§0}: \(f^{-1}(G)\in\co(X)\in\fb(X)\)
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||||
|
||||
\(\sigma(\co(\mdr^{k}))=\fb_{k}\). \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(2)} Behauptung.
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||||
\item \(\vp(z) := \lVert z\rVert\quad(z\in\mdr^{k})\); \(\vp\) ist
|
||||
stetig, also messbar.
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||||
|
||||
Es ist \(g=\vp\circ f\). \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(g\) ist messbar.
|
||||
\item
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item["`\(\Rightarrow:\)"'] Für \(j=1, \dots,k\) sei
|
||||
\(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch
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||||
\(p_{j}(x_{1},\dots,x_{k}):=x_{j}\)
|
||||
\(p_{j}\) ist stetig, also messbar. Es ist
|
||||
\(f_{j}=p_{j}\circ f\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)}
|
||||
\(f_{j}\) ist messbar.
|
||||
\item["`\(\Leftarrow:\)"'] Sei \(I=(a,b]=\prod_{j=1}^{k}{(a_{j},b_{j}]}\in I_{k}\quad (a=(a_{1},\dots,a_{k}),\,b=(b_{1},\dots,b_{k}),\,a\leq b)\)\\
|
||||
Dann: \(f^{-1}(I)=\bigcap_{j=1}^{k}{\underbrace{f_{j}^{-1}(\underbrace{(a_{j},b_{j}]}_{\in\fb_{1}}}_{\in\fb(X)}}\in\fb(X)\)
|
||||
\(\sigma(I_{k})=\fb_{k}\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(2)} \(f\) ist messbar.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\); aus (2): \(h\) ist messbar.
|
||||
|
||||
\(\vp(x,y):=\alpha x+\beta y\,(x,y\in\mdr^{k})\)
|
||||
|
||||
\(\vp\) ist stetig, also messbar. Es ist \(\alpha f+\beta g=\vp\circ h\)
|
||||
\folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(\alpha f+\beta g\) ist messbar.
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\) ist messbar (nach (2)); \(\vp(x,y):=xy\), \(\vp\) ist stetig, also messbar.
|
||||
|
||||
Es ist \(fg=\vp\circ h\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(fg\) ist messbar.
|
||||
\item \(\vp(x):=\frac{1}{x}\), \(\vp\) ist stetig auf \(\mdr\setminus\{0\}\), also messbar.
|
||||
|
||||
\(\frac{1}{f}=\vp\circ f\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(\frac{1}{f}\) ist messbar.
|
||||
\item \(A:=\Set{x\in X | f(x)\geq g(x)} = \Set{x\in X | f(x)-g(x)\in[0,\infty)}
|
||||
=\underbrace{(f-g)}_{\text{messbar nach (3)}}^{-1}(\overbrace{[0,\infty)}^{\in\fb_{1}})\in\fb(X)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{folgerungen}
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||||
\label{Lemma 3.3}
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||||
Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\).
|
||||
Weiter seien \(f:A\to\mdr^{k}\) und
|
||||
\(g:B\to\mdr^{k}\) messbar.\\
|
||||
Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch
|
||||
\[
|
||||
h(x):=\begin{cases}f(x)&x\in A\\g(x)&x\in B\end{cases},
|
||||
\]
|
||||
messbar.
|
||||
\end{folgerungen}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei \(C\in\fb_{k}\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
h^{-1}(C)=\underbrace{f^{-1}(C)}_{\in\fb(A)\subseteq\fb(X)}\cup\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in\fb(B)\subseteq\fb(X)}\in\fb(X)
|
||||
\]
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\(X=\mdr^{2},\,f(x,y):=\begin{cases}\frac{\sin(y)}{x}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}\)
|
||||
|
||||
für \(x\neq 0:\,f(x,x)=\frac{\sin(X)}{x}\overset{x\to 0}{\to}1\neq 0=f(0,0)\), daraus folgt: \(f\) ist nicht stetig.
|
||||
|
||||
\(A:=\Set{(x,y)\in\mdr^{2} | x=0},\,B
|
||||
:=\Set{(x,y)\in\mdr^{2} | x\neq 0},\,X=A\cup B,\,A\cap B=\emptyset\). \(A\) ist
|
||||
abgeschlossen, das heißt: \(A\in\fb_{2},\,B=A^{C}\in\fb_{2}\)
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f_{1}(x,y)&:=0\quad((x,y)\in A)\\
|
||||
f_{2}(x,y)&:=\frac{\sin(y)}{x}\quad((x,y)\in B)
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\(f_{1}\) ist stetig auf \(A\), \(f_{2}\) ist stetig auf \(B\). Also: \(f_{1},\,f_{2}\) ist messbar; mit \ref{Lemma 3.3} folgt: \(f\) ist messbar.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\textbf{Ein neues Symbol kommt hinzu:} \(-\infty\){
|
||||
|
||||
\(\imdr:=[-\infty,+\infty]:=\mdr\cup\{-\infty,+\infty\}\)
|
||||
|
||||
In \(\imdr\) gelten folgende Regeln, wobei \(a\in\mdr\):
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(-\infty<a<+\infty\)
|
||||
\item \(\pm\infty+(\pm\infty)=\pm\infty\)
|
||||
\item \(\pm\infty+a:=a+(\pm\infty):=\pm\infty\)
|
||||
\item \(a\cdot(\pm\infty):=(\pm\infty)\cdot a=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\pm\infty &a > 0\\
|
||||
0 &a = 0\\\mp\infty&a<0
|
||||
\end{cases}\)
|
||||
\item \(\frac{a}{\pm\infty}:=0\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
}
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||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in
|
||||
\(\imdr\). \(x_{n}\rightarrow+\infty:\Leftrightarrow\forall c\in\mdr\,\exists n_{c}\in\mdn:x_{n}\geq c\quad\forall n\geq n_{c}\)\\
|
||||
Analog für \(-\infty\).
|
||||
\item Seien \(f,g: X\to\imdr\) Funktionen. Dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\{f\leq g\}&:=\Set{x\in X | f(x)\leq g(x)}\\
|
||||
\{f\geq g\}&:=\Set{x\in X | f(x)\geq g(x)}\\
|
||||
\{f\neq g\}&:=\Set{x\in X | f(x)\neq g(x)}\\
|
||||
\{f<g\}&:=\Set{x\in X | f(x)<g(x)}\\
|
||||
\{f>g\}&:=\Set{x\in X | f(x)>g(x)}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei \(a\in\imdr\) und \(f:\,X\to\imdr\). Dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\{f\leq a\}&:=\Set{x\in X | f(x)\leq a}\\
|
||||
\{f\geq a\}&:=\Set{x\in X | f(x)\geq a}\\
|
||||
\{f\neq a\}&:=\Set{x\in X | f(x)\neq a}\\
|
||||
\{f<a\} &:=\Set{x\in X | f(x)<a}\\
|
||||
\{f>a\} &:=\Set{x\in X | f(x)>a}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{messbar}
|
||||
\(\ifb_{1}:=\Set{B\cup E | B\in\fb_{1},\,E\subseteq\Set{-\infty,+\infty}}\).
|
||||
Dann: \(\fb_{1}\subseteq\ifb_{1}\)\\
|
||||
Übung: \(\ifb_{1}\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(\imdr\).\\
|
||||
Klar: \(\fb_{1} \subseteq \ifb_{1}\)
|
||||
\(\ifb_{1}\) heißt \textbf{Borelsche \(\sigma\)-Algebra} auf \(\imdr\).\\
|
||||
Sei \(f:\,X\to\imdr\). \(f\) heißt \textbf{(Borel-)messbar} (mb) \(:\Leftrightarrow\,f\) ist \(\fb(X)-\ifb_{1}-\) messbar.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\(f: X \rightarrow \bar \mdr\) definiert durch \(f(x):=+\infty\quad(x\in X)\), also: \(f:\,X\to\imdr\)
|
||||
|
||||
Sei \(B\in\overline{\fb}_{1},\,A:=f^{-1}(B)=\Set{x\in X | f(x)\in B}\)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[Fall 1:] \(+\infty\not\in B\), dann: \(A=\emptyset\in\fb(X)\)
|
||||
\item[Fall 2:] \(+\infty\in B\), dann: \(A=X\in\fb(X)\)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\(f\) ist messbar.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 3.4}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Definiere die Mengen:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\ce_1&:=\Set{[-\infty,a] | a\in\mdq} & \ce_2&:=\Set{[-\infty,a) | a\in\mdq}\\
|
||||
\ce_3&:=\Set{(a,\infty] | a\in\mdq} & \ce_4 &:=\Set{[a,\infty] | a\in\mdq}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[\overline{\fb_1}=\sigma(\ce_j)\quad \text{ für }j\in\{1,2,3,4\}\]
|
||||
\item Für $f:X\to\imdr$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f$ ist messbar.
|
||||
\item $\forall a\in\mdq: \{f\le a\}\in\fb(X)$.
|
||||
\item $\forall a\in\mdq: \{f\ge a\}\in\fb(X)$.
|
||||
\item $\forall a\in\mdq: \{f< a\}\in\fb(X)$.
|
||||
\item $\forall a\in\mdq: \{f> a\}\in\fb(X)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Die Äquivalenzen in (2) gelten auch für Funktionen $f:X\to\mdr$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Die folgenden Beweise erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funktionieren fast analog für die anderen.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für $a\in\mdq$ gilt:
|
||||
\[[-\infty,a]^c=(a,\infty]\in\sigma(\ce_1)\]
|
||||
D.h. es gilt $\ce_3\subseteq\sigma(\ce_1)$ und damit auch $\sigma(\ce_3)\subseteq\sigma(\ce_1)$.
|
||||
\item Es gilt:
|
||||
\[\forall a \in \mdq\colon \{f\le a\}=\Set{x\in X | f(x)\le a}=f^{-1}(\underbrace{[-\infty,a]}_{\ce_1}) (*)\]
|
||||
Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und \ref{Satz 3.1}.
|
||||
\item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $X \subseteq \mdr$ ein Intervall und $f: \bar X \rightarrow \mdr$ monoton, so ist
|
||||
$f$ messbar (vgl. 3. ÜB)
|
||||
\item Wir wissen: $f: X \rightarrow \mdr$ mb $\Rightarrow |f|$ ist mb.
|
||||
Die Umkehrung ist im allgemeinen falsch!
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
Sei $C \subseteq \mdr^d$ wie in 2.11, also $C \notin \fb_1$.
|
||||
\[f(x) = \begin{cases}
|
||||
1 & x \in C\\
|
||||
0 & x \notin C
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
\Set{f \geq 1} = \Set{x \in \mdr^d | f(x) \geq 1} = C \notin \fb \folgtnach{\ref{Satz 3.4}.(2)} f \text{ ist nicht mb.}\]
|
||||
Es ist $|f(x)|=1 \quad \forall x \in \mdr^d$, also $|f| = \mathds{1}_{\mdr^d}$. D.h. $|f|$ ist mb.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $M\subseteq\imdr$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei
|
||||
\[\sup M:=-\infty\]
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei
|
||||
\[\sup M:= \sup (M\setminus\{-\infty\})\]
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei
|
||||
\[\sup M:=\infty\]
|
||||
\item Es sei $\inf M:=-\sup(-M)$, wobei $-M:=\Set{-m | m\in M}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Funktion $\sup_{n\in\mdn}(f_n):X\to\imdr$ $\left(\inf_{n\in\mdn}(f_n):X\to\imdr\right)$ ist definiert durch:
|
||||
\[(\sup_{n\in\mdn} f_n)(x):=\sup\Set{f_n(x) | n\in\mdn}\quad x\in X\]
|
||||
\[\left((\inf_{n\in\mdn} f_n)(x):=\inf\Set{f_n(x) | n\in\mdn}\quad x\in X\right)\]
|
||||
\item Die Funktion $\limsup_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr$ $\left(\liminf_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr\right)$ ist definiert durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\tag{$*$} \limsup_{n\to\infty} f_n &:= \inf_{j\in\mdn}(\sup_{n\ge j} f_n)\\
|
||||
\liminf_{n\to\infty} f_n &:= \sup_{j\in\mdn}(\inf_{n\ge j} f_n)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\textbf{Erinnerung:} Für eine beschränkte Folge $(a_n)$ in $\mdr$ war
|
||||
\[\limsup_{n\to\infty} a_n:=\inf\{\sup\Set{a_n | n\ge j}\mid j\in\mdn\}\]
|
||||
\item Sei $N\in\mdn$ und $g_j:=f_j$ (für $j=1,\dots,N$), $g_j:=f_N$ (für $j>N$). Definiere:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\max_{1\le n\le N} f_n &:=\sup_{j\in\mdn} g_n\\
|
||||
\min_{1\le n\le N} f_n &:=\inf_{j\in\mdn} g_n
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Ist $f_n(x)$ für jedes $x\in\imdr$ konvergent, so ist $\lim_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr$ definiert durch:
|
||||
\[(\lim_{n\to\infty} f_n)(x):=\lim_{n\to\infty} f_n(x)\]
|
||||
(In diesem Fall gilt $\lim_{n\to\infty} f_n = \limsup_{n\to\infty} f_n = \liminf_{n\to\infty} f_n$.)
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
\label{Satz 3.5}
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||||
Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$ und jedes $f_n$ messbar.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Dann sind ebenfalls messbar:
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||||
\begin{align*}
|
||||
&\sup_{n\in\mdn} f_n &&\inf_{n\in\mdn} f_n &&\limsup_{n\in\mdn} f_n &&\liminf_{n\in\mdn} f_n
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Ist $(f_n(x))$ für jedes $x\in X$ in $\imdr$ konvergent, so ist $\lim_{n\to\infty} f_n$ messbar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $a\in\mdq$, dann gilt (nach \ref{Satz 3.4}(2)):
|
||||
\[\{\sup_{n\in\mdn} f_n\le a\}=\bigcap_{n\in\mdn}\{f_n\le a\}\in\fb(X)\]
|
||||
Also ist $\sup_{n\in\mdn} f_n$ messbar. Analog lässt sich die Messbarkeit von $\inf_{n\in\mdn} f_n$ zeigen, der Rest folgt dann aus ($*$).
|
||||
\item Folgt aus (1) und obiger Bemerkung in der Definition.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
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||||
Sei $X=I$ ein Intervall in $\mdr$ und $f:I\to\mdr$ sei auf $I$ differenzierbar.\\
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||||
Für $x\in I,n\in\mdn$ sei $f_n:= n(f(x-\frac1n)-f(x))$. Da $f$ stetig ist, ist auch jedes $f_n$ stetig, also insbesondere messbar und es gilt:
|
||||
\[f_n(x)=\frac{f(x-\frac1n)-f(x)}{\frac1n}\stackrel{n\to\infty}{\to}f'(x)\]
|
||||
Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{Positivteil}\index{Negativteil}
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||||
Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f_+:=\max\{f,0\}$ heißt \textbf{Positivteil} von $f$.
|
||||
\item $f_-:=\max\{-f,0\}$ heißt \textbf{Negativteil} von $f$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Es gilt $f_+,f_-\ge 0$, $f=f_+-f_-$ und $|f|=f_++f_-$.
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||||
\end{definition}
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||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 3.6}
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||||
Seien $f,g:X\to\imdr$ und $\alpha,\beta\in\mdr$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sind $f,g$ messbar und ist $\alpha f(x)+\beta g(x)$ für jedes $x\in X$ definiert, so ist $\alpha f+\beta g$ messbar.
|
||||
\item Sind $f,g$ messbar und ist $f(x)g(x)$ für jedes $x\in X$ definiert, so ist $fg$ messbar.
|
||||
\item $f$ ist genau dann messbar, wenn $f_+$ und $f_-$ messbar sind. In diesem Fall ist auch $|f|$ messbar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[(1)+(2)] Für alle $n\in\mdn, x\in X$ seien $f_n$ und $g_n$ wie folgt definiert:
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||||
\begin{align*}
|
||||
f_n(x)&:=\max\{-n,\min\{f(x),n\}\}\\
|
||||
g_n(x)&:=\max\{-n,\min\{g(x),n\}\}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann sind $f_n(x),g_n(x)\in[-n,n]$ für alle $n\in\mdn,x\in X$. Nach \ref{Satz 3.2}(3) sind also $\alpha f_n+\beta g_n$ und $f_ng_n$ messbar. Außerdem gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\alpha f_n(x)+\beta g_n(x)&\stackrel{n\to\infty}\to \alpha f(x)+\beta g(x)\\
|
||||
f_n(x)g_n(x)&\stackrel{n\to\infty}\to f(x)g(x)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 3.5}(2).
|
||||
\item[(3)] Nach \ref{Satz 3.5}(1) sind $f_+$ und $f_-$ messbar, wenn $f$ messbar ist. Die umgekehrte Implikation folgt aus \ref{Satz 3.6}(1). Sind $f_+$ und $f_-$ messbar, so folgt ebenfalls aus \ref{Satz 3.6}(1), dass $|f|=f_++f_-$ messbar ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
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||||
Sei $C\subseteq\mdr^d$ wie in \ref{Satz 2.11}, also $C\not\in\fb_d$. Definiere $f:\mdr^d\to\mdr$ wie folgt:
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||||
\[f(x):=\begin{cases} 1&,x\in C\\ -1&,x\not\in C\end{cases}\]
|
||||
Dann ist $\{f\ge 1\}=C$, also $f$ \textbf{nicht} messbar. Aber für alle $x\in\mdr^d$ ist $|f(x)|=1$, also $|f|=\mathds{1}_{\mdr^d}$ und damit messbar.
|
||||
\end{beispiel}
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||||
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{einfach}
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\index{Treppenfunktion}
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||||
\index{Normalform}
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||||
$f:X\to\mdr$ sei messbar.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $f$ heißt \textbf{einfach} oder \textbf{Treppenfunktion}, genau dann wenn $f(X)$ endlich ist.
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||||
\item $f$ sei einfach und $f(X)=\{y_1,\dots,y_m\}$ mit $y_i\ne y_j$ für $i\ne j$. Sei weiter $A_j:=f^{-1}(\{y_j\})$ für $j=1,\dots,m$. Dann sind $A_1,\dots,A_m\in\fb(X)$ und $X=\bigcup_{j=1}^m A_j$ disjunkte Vereinigung.
|
||||
\[f=\sum_{j=1}^m y_j \mathds{1}_{A_j}\]
|
||||
heißt \textbf{Normalform} von $f$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{beispiel}
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||||
Sei $A\in\fb(X)$. Definiere:
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||||
\[f:=\mathds{1}_A=2\cdot\mathds{1}_A-\mathds{1}_X+\mathds{1}_{X\setminus A}=\mathds{1}_A+0\cdot\mathds{1}_{X\setminus A}\]
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||||
Wobei das letzte die Normalform von $f$ ist. Man sieht also, dass einfache Funktionen mehrere Darstellungen haben können.
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||||
\end{beispiel}
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||||
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||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 3.7}
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||||
Linearkombinationen und Produkte, sowie endliche Maxima und Minima einfacher Funktionen, sind einfach.
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||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
\label{Satz 3.8}
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||||
\index{zulässig}
|
||||
Sei $f:X\to\imdr$ messbar.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $f\ge 0$ auf $X$, so existiert eine Folge $(f_n)$ von einfachen Funktionen $f_n:X\to[0,\infty)$, sodass $0\le f_n\le f_{n+1}$ auf $X$ ($\forall n\in\mdn$) und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}{\to}f(x)$ ($\forall x\in X$). In diesem Fall heißt $(f_n)$ \textbf{zulässig} für $f$.
|
||||
\item Es existiert eine Folge $(f_n)$ von einfachen Funktionen $f_n:X\to\mdr$, sodass $|f_n|\le |f|$ auf $X$ ($\forall n\in\mdn$) und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}{\to}f(x)$ ($\forall x\in X$).
|
||||
\item Ist $f$ beschränkt auf $X$ (also insbesondere $\pm\infty\not\in f(X)$), so kommt in (2) noch hinzu, dass $(f_n)$ auf $X$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{folgerungen}[(Beweis mit 3.8(2) und 3.5)]
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||||
Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion, dann ist $f$ genau dann messbar, wenn eine Folge einfacher Funktionen $(f_n)$ mit $f_n:X\to\mdr$ und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}\to f(x)$ für alle $x\in X$ existiert.
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||||
\end{folgerungen}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für $n\in\mdn$ definiere $\varphi_n:[0,\infty]\to[0,\infty)$ durch
|
||||
\[\varphi_n(t):=\begin{cases}\frac{[2^nt]}{2^n} &,0\le t<n\\ n &,n\le t\le\infty\end{cases}\]
|
||||
Dann ist $\varphi_n$ $(\fb_1)_{[0,\infty]}$-$\fb_1$-messbar, außerdem gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\forall t\in[0,\infty]\forall n\in\mdn&: 0\le\varphi_1\le\dots\le t\\
|
||||
\forall t\in[0,n]\forall n\in\mdn&: t-\frac1{2^n}\le\varphi_n(t)\le t
|
||||
\end{align*}
|
||||
und es ist $\varphi_n(t)\stackrel{n\to\infty}\to t$ für alle $t\in[0\infty]$. Setze $f_n:=\varphi_n\circ f$. Dann leistet $(f_n)$ das gewünschte.
|
||||
\item Es ist $f=f_+-f_-$ und $f_+,f_-\ge0$ auf $X$. Seien $(g_n),(h_n)$ zulässige Folgen für $f_+$ bzw. $f_-$. Definiere $f_n:=g_n-h_n$. Dann ist klar, dass gilt:
|
||||
\[\forall x\in X: f_n(x)=g_n(x)-h_n(x)\stackrel{n\to\infty}\to f_+(x)-f_-(x)=f(x)\]
|
||||
Weiter gilt:
|
||||
\[|f_n|\le g_n+h_n\le f_++f_-=|f|\]
|
||||
\item Ohne Beweis.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
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||||
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documents/Analysis III/Kapitel-4.tex
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400
documents/Analysis III/Kapitel-4.tex
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@ -0,0 +1,400 @@
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|||
In diesem Kapitel sei $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben außerdem $\lambda$ statt $\lambda_d$.
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||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Lebesgueintegral}
|
||||
Sei $f:X\to [0,\infty)$ eine einfache Funktion mit der Normalform $f=\sum_{j=1}^m y_j\mathds{1}_{A_j}$.\\
|
||||
Das \textbf{Lebesgueintegral} von $f$ ist definiert durch:
|
||||
\[\int_X f(x)\text{ d}x:=\sum_{j=1}^m y_j\lambda(A_j)\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 4.1}
|
||||
Sei $f:X\to[0,\infty)$ einfach, $z_1,\dots,z_k\in[0,\infty)$ und $B_1,\dots,B_k\in\fb(X)$ mit $\bigcup B_j=X$ und $f=\sum_{j=1}^k z_j\mathds{1}_{B_j}$. Dann gilt:
|
||||
\[\int_X f(x)\text{ d}x=\sum_{j=1}^k z_j\lambda(B_j)\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
In der großen Übung.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 4.2}
|
||||
Seien $f,g:X\to[0,\infty)$ einfach, $\alpha, \beta\in[0,\infty)$ und $A\in\fb(X)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\int_X \mathds{1}_A(x)\text{ d}x=\lambda(A)$
|
||||
\item $\int_X (\alpha f+\beta g)(x)\text{ d}x = \alpha\int_X f(x)\text{ d}x + \beta\int_X g(x)\text{ d}x$
|
||||
\item Ist $f\le g$ auf $X$, so ist $\int_X f(x)\text{ d}x\le \int_X g(x)\text{ d}x$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Folgt aus der Definition und \ref{Satz 4.1}.
|
||||
\item Es seien $f=\sum_{j=1}^m y_j \mathds{1}_{A_j}$ und $g=\sum_{j=1}^k z_j \mathds{1}_{B_j}$ die Normalformen von $f$ und $g$. Dann gilt:
|
||||
\[\alpha f+ \beta g=\sum_{j=1}^m \alpha y_j\mathds{1}_{A_j}+\sum_{j=1}^k \beta z_j\mathds{1}_{B_j}\]
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_X (\alpha f+\beta g) &\stackrel{\ref{Satz 4.1}}= \sum_{j=1}^m \alpha y_j \lambda(A_j) + \sum_{j=1}^k \beta z_j \lambda(B_j)\\
|
||||
&= \alpha \sum_{j=1}^m y_j \lambda(A_j) + \beta \sum_{j=1}^k z_j \lambda(B_j)\\
|
||||
&= \alpha \int_X f(x)\text{ d}x + \beta \int_X g(x)\text{ d}x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Definiere $h:=g-f$. Dann ist $h\ge 0$ und einfach. Sei $h=\sum_{j=1}^m x_j\mathds{1}_{C_j}$ die Normalform von $h$, d.h. $x_1,\dots,x_m\ge 0$. Dann gilt:
|
||||
\[\int_X h(x)\text{ d}x = \sum_{j=1}^m x_j\lambda(C_j)\ge 0\]
|
||||
Also folgt aus $g=f+h$ und (2):
|
||||
\[\int_X g(x)\text{ d}x=\int_X f(x)\text{ d}x +\int_X h(x)\text{ d}x\ge \int_X f(x)\text{ d}x\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Lebesgueintegral}
|
||||
Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar. $(f_n)$ sei eine für $f$ zulässige Folge. Das \textbf{Lebesgueintegral} von $f$ ist definiert als:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\tag{$*$}\int_X f(x)\text{ d}x:=\lim_{n\to\infty}\int_X f_n(x)\text{ d}x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item In \ref{Satz 4.3} werden wir sehen, dass $(*)$ unabhängig ist von der Wahl der für $f$ zulässigen Folge $(f_n)$.
|
||||
\item $(f_n(x))$ ist wachsend für alle $x\in X$, d.h.:
|
||||
\[f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=(\sup_{n\in\mdn} f_n)(x)\]
|
||||
\item Aus \ref{Satz 4.2}(3) folgt dass $(\int_X f_n(x)\text{ d}x)$ wachsend ist, d.h.:
|
||||
\[\lim_{n\to\infty} \int_X f_n(x)\text{ d}x = \sup\Set{\int_X f_n(x)\text{ d}x | n\in\mdn}=\int_X f_(x)\text{ d}x\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\textbf{Bezeichnung:}\\
|
||||
Für messbare Funktionen $f:X\to[0,\infty]$ definiere
|
||||
\[M(f):=\Set{\int_X g\text{ d}x\mid g:X\to[0,\infty) \text{ einfach und }g\le f\text{ auf }X}\]
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 4.3}
|
||||
Ist $f:X\to[0,\infty]$ messbar und $(f_n)$ zulässig für $f$, so gilt:
|
||||
\[L:=\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\text{ d}x=\sup M(f)\]
|
||||
Insbesondere ist $\int_X f(x) \text{ d}x$ wohldefiniert.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{folgerungen}
|
||||
\label{Folgerung 4.4}
|
||||
Ist $f:X\to[0,\infty]$ messbar, so ist $\int_X f(x) \text{ d}x=\sup M(f)$.
|
||||
\end{folgerungen}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei \(\int_Xf_n\,dx\in M(f) \,\forall\natn \). Dann ist \[L = \sup\left\{\int_Xf_n\,dx\mid\natn\right\} \leq \sup M(f)\]\\
|
||||
Sei nun $g$ einfach und \(0\leq g\leq f\). Sei weiter \[g=\sum^m_{j=1}y_j\mathds{1}_{A_j}\] die Normalform von $g$.\\
|
||||
Sei \(\alpha>1\) und \(B_n:=\{\alpha f_n\geq g\}\). Dann ist \[B_n\in\fb(X) \text{ und }(B_n\subseteq B_{n+1}\text{, sowie } \mathds{1}_{B_n}g\leq\alpha f_n.\]
|
||||
Sei \(x\in X\).\\
|
||||
\textbf{Fall 1:} Ist \(f(x)=0\), so ist wegen \(0\leq g\leq f\) auch \(g(x)=0\). Somit ist \(x\in B_n\) für jedes \(\natn\).\\
|
||||
\textbf{Fall 2:} Ist \(f(x)>0\), so ist \[\frac{1}{\alpha}g(x)<f(x)\] (Dies ist klar für \(g(x)=0\) und falls gilt: \(g(x)>0\), so ist \(\frac{1}{\alpha}g(x)<g(x)\leq f(x) \) )\\
|
||||
Da $f_n$ zulässig für $f$ ist, gilt: \(f_n(x)\to f(x)\ (n\to\infty)\), weshalb ein \(n(x)\in\mdn\) existiert mit:
|
||||
\[\frac{1}{\alpha}g(x)<f(x)\text{für jedes } n\geq n(x)\]
|
||||
Es folgt \(x\in B_n\) für jedes \(n\geq n(x)\).\\
|
||||
\textbf{Fazit:} \(X=\bigcup B_n\). \[A_j=A_j\cap X=A_j\cap\left(\bigcup B_n\right) = \bigcup(A_j\cap B_n) \text{ und } A_j\cap B_n\subseteq A_j\cap B_{n+1} \]
|
||||
Aus \ref{Satz 1.7} folgt \(\lambda(A_j)=\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\). Das liefert:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int\limits_Xg\,dx &= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j)
|
||||
= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\\
|
||||
&=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j\cap B_n)
|
||||
\overset{\ref{Satz 4.1}}= \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \mathds{1}_{B_n}g\,dx\\
|
||||
&\leq \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \alpha f_n\,dx
|
||||
=\alpha L
|
||||
\end{align*}
|
||||
g war einfach und \(0\leq g\leq f\) beliebig, sodass \[\sup M(f)\leq\alpha L \overset{\alpha\to 1}\implies \sup M(f)\leq L \]
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 4.5}
|
||||
Seien $f,g:X\to[0,\infty]$ messbar und $\alpha,\beta\ge0$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\int_X (\alpha f+\beta g)(x) \text{ d}x=\alpha\int_X f(x) \text{ d}x+\beta\int_X g(x) \text{ d}x$
|
||||
\item Ist $f\le g$ auf $X$, so gilt $\int_X f(x) \text{ d}x\le \int_X g(x) \text{ d}x$
|
||||
\item $\int_X f(x) \text{ d}x=0 \iff \lambda(\{f>0\})=0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \((f_n)\) und \((g_n)\) seien zulässig für $f$ bzw. $g$. Weiter sei \((h_n):=\alpha (f_n)+\beta (g_n) \).
|
||||
Dann ist wegen \ref{Satz 3.7} und \(\alpha , \beta \geq 0\), dass \((h_n)\) zulässig für \(\alpha f+\beta g\) ist. Dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_X(\alpha f + \beta g)\,dx
|
||||
&= \lim\limits_{n\to\infty}\int_X \left( \alpha (f_n)+\beta (g_n) \right)\,dx\\
|
||||
&\overset{\ref{Satz 4.2}}= \alpha\lim\limits_{n\to\infty}\int_X(f_n)\,dx + \beta\lim\limits_{n\to\infty}\int_X(g_n)\,dx\\
|
||||
&=\alpha\int_Xf\,dx + \beta\int_Xg\,dx
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Wegen \(f\leq g\) auf $X$ ist \(M(f)\subseteq M(g)\) und somit auch \(\sup M(f)\leq\sup M(g)\). Aus \ref{Folgerung 4.4} folgt nun die Behauptung.
|
||||
\item Setze \(A:=\{f>0\}=\{x\in X:f(x)>0\}\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item["'$\implies$"'] Sei \(\int_Xf\,dx=0\) und \(A_n:=\{f>\frac{1}{n}\}\). Dann ist \(A=\bigcup A_n\) und \(f\geq\frac{1}{n}\mathds{1}_{A_n}\). Damit folgt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
0 = \int_Xf\,dx
|
||||
\overset{\text{(2)}}\geq \int_X\frac1{n}\mathds{1}_{A_n}\,dx
|
||||
=\frac1{n}\lambda(A_n)
|
||||
\intertext{Es ist also \(\lambda(A_n)=0\) und damit gilt weiter}
|
||||
\lambda(A)=\lambda(\bigcup A_n) \overset{\ref{Satz 1.7}}\leq \sum\lambda(A_n)=0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Also ist auch \(\lambda(A)=0\).
|
||||
\item["'$\impliedby$"'] Sei \(\lambda(A)=0\), \((f_n)\) zulässig für $f$ und \(c_n:=\max\{f_n(x):x\in X\}\). Dann ist \(f_n\leq c_n\mathds{1}_A\) und es gilt:
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||||
\[0 \leq \int_Xf_n\,dx\overset{\text{(2)}} \leq \int_Xc_n\mathds{1}_A\,dx = c_n\lambda(A) \overset{\text{Vor.}} = 0 \]
|
||||
Es ist also \(\int_Xf_n\,dx=0\) für jedes $\natn$ und somit auch \(\int_Xf\,dx=0\)
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beweis}
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\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version I)]
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\label{Satz 4.6}
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||||
Sei $(f_n)$ eine Folge messbarer Funktionen $f_n:X\to[0,\infty]$ und es gelte $f_n\le f_{n+1}$ auf $X$ für jedes $n\in\mdn$.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Für alle $x\in X$ existiert $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$.
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||||
\item Die Funktion $f:X\to[0,\infty]$ definiert durch:
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||||
\[f(x):=\lim_{n\to\infty} f_n(x)\]
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||||
ist messbar.
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||||
\item $\int_X \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x) \text{ d}x=\int_X f(x) \text{ d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\int_X f_n(x) \text{ d}x$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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||||
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Für alle $x\in X$ ist \(\left(f_n(x)\right)\) wachsend, also konvergent in \([0,+\infty]\).
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||||
\item folgt aus \ref{Satz 3.5}.
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||||
\item Sei \( \left(u_j^{(n)}\right)_{j\in\mdn} \) zulässig für $f_n$ und \(v_j:=\max\left\{u_j^{(1)}, u_j^{(2)}, \dots , u_j^{(j)} \right\} \).
|
||||
Aus \ref{Satz 3.7} folgt, dass $v_j$ einfach ist und aus der Konstruktion lässt sich nachrechnen, dass gilt:
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||||
\[0\leq v_j\leq v_{j+1} \text{ und } v_j\leq f_n\leq f \text{ und } f_n=\sup\limits_{j\in\mdn}u_j^{(n)} \leq \sup\limits_{j\in\mdn}v_j \text{ (auf $X$)}\]
|
||||
Damit ist $(v_j)$ zulässig für $f$ und es gilt:
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||||
\[ \int_Xf\,dx=\lim\limits_{j\to\infty}\int_Xv_j\,dx\leq\lim\limits_{j\to\infty}\int_Xf_j\,dx\leq\int_Xf\,dx \]
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beweis}
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||||
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\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version II)]
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\label{Satz 4.7}
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||||
Sei $(f_n)$ eine Folge messbarer Funktionen $f_n:X\to[0,\infty]$.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Für alle $x\in X$ existiert $s(x):=\sum_{j=1}^\infty f_j(x)$.
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\item $s:X\to[0,\infty]$ ist messbar.
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||||
\item $\int_X \sum_{j=1}^\infty f_j(x) \text{ d}x= \sum_{j=1}^\infty \int_X f_j(x) \text{ d}x$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
Setze \[s_n:=\sum\limits_{j=1}^nf_j\]
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||||
Dann erfüllt \((s_n)\) die Voraussetzungen von \ref{Satz 4.6}. Aus 4.6 und \ref{Satz 4.5}(1) folgt die Behauptung.
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{satz}
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\label{Satz 4.8}
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Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar und es sei $\emptyset\ne Y\in\fb(X)$ (also $Y\subseteq X$ und $Y\in\fb_d$). Dann sind die Funktionen $f_{|Y}:Y\to[0,\infty]$ und $\mathds{1}_Y\cdot f:X\to[0,\infty]$ messbar und es gilt:
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||||
\[\int_Y f(x) \text{ d}x:=\int_Y f_{|Y}(x) \text{ d}x=\int_X (\mathds{1}_Y\cdot f)(x) \text{ d}x\]
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||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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||||
\textbf{Fall 1:} Die Behauptung ist klar, falls $f$ einfach ist. (Übung!)\\
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||||
\textbf{Fall 2:} Sei \((f_n)\) zulässig für $f$ und \(g_n:=f_{n|Y} , h_n:=\mathds{1}_Y f_n\)
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||||
Dann ist \((g_n)\) zulässig für \(f_{|Y}\) und \((h_n)\) ist zulässig für \(\mathds{1}_Y f_n\).
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||||
Insbesondere sind \(f_{n|Y}\) und \(\mathds{1}_Y f_n\) nach \ref{Satz 3.5} messbar.
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||||
Weiter gilt:
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||||
\[ \int_Y f_{|Y}\,dx \overset{n\to\infty}\longleftarrow \int_Yg_n\,dx \overset{Fall 1}=\int_Xh_n\,dx\overset{n\to\infty}\longrightarrow \int_X\mathds{1}_Yf\,dx \]
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{integrierbar}\index{Integral}\index{Lebesgueintegral}
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||||
Sei $f:X\to\imdr$ messbar. $f$ heißt (Lebesgue-)\textbf{integrierbar} (über $X$), genau dann wenn $\int_X f_+(x) \text{ d}x<\infty$ \textbf{und} $\int_X f_-(x) \text{ d}x<\infty$.\\
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||||
In diesem Fall heißt:
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||||
\[\int_X f(x) \text{ d}x:=\int_X f_+(x) \text{ d}x-\int_X f_-(x) \text{ d}x\]
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||||
das (Lebesgue-)\textbf{Integral} von $f$ (über $X$).
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\textbf{Beachte:}\\
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||||
Ist $f:X\to[0,\infty]$ messbar, so ist $f$ genau dann integrierbar, wenn gilt:
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\[\int_X f(x) \text{ d}x<\infty\]
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||||
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||||
\begin{beispiel}
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||||
Sei $X \in \fb_1$, $f(x) := \begin{cases} 1&,x\in X\cap\MdQ\\ 0&,x\in X\setminus\MdQ\end{cases} = \mathds{1}_{X\cap\MdQ}$.
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||||
$X, \MdQ \in \fb_1 \implies X \cap \MdQ \in \fb_1 \implies f$ ist messbar.
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||||
\[0 \leq \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \mathds{1}_{X\cap\MdQ} \text{ d}x = \lambda(X\cap\MdQ) \leq \lambda(\MdQ) = 0\]
|
||||
\textbf{Das heißt:} $f \in \fl^1(X)$, $\int_X f \text{ d}x = 0$.
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||||
Ist speziell $X = [a,b]\quad (a<b)$, so gilt: $f \in \fl^1([a,b])$, aber $f \not\in R([a,b])$.
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||||
\end{beispiel}
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||||
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||||
\begin{satz}[Charakterisierung der Integrierbarkeit]
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\label{Satz 4.9}
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Sei $f: X \to \imdr$ messbar. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
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\begin{enumerate}
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||||
\item $f$ ist integrierbar.
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||||
\item Es existieren integrierbare Funktionen $u, v: X \to [0,+\infty]$ mit $u(x)=v(x)=\infty$ für \textbf{kein} $x \in X$ und $f=u-v$ auf $X$.
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||||
\item Es existiert eine integrierbare Funktion $g: X \to [0,+\infty]$ mit $\lvert f \rvert \leq g$ auf $X$.
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||||
\item $\lvert f \rvert$ ist integrierbar.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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||||
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||||
\textbf{Zusatz:}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\fl^1(X) = \{f: X \to \mdr \mid f$ ist messbar und $\int_X \lvert f \rvert \text{ d}x < \infty\}$ (folgt aus (1)-(4)).
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||||
\item Sind $u,v$ wie in (2), so gilt: $ \int_X f \text{ d}x = \int_X u \text{ d}x - \int_X v \text{ d}x$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
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||||
\begin{beweis}[des Satzes]
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\begin{enumerate}
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||||
\item[(1) $\Rightarrow$ (2)] $u:= f_+$, $v := f_-$.
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||||
\item[(2) $\Rightarrow$ (3)] $g := u+v$, dann ist $u,v \geq 0$, $g \geq 0$, $\int_X g \text{ d}x \stackrel{4.5}{=} \int_X u \text{ d}x + \int_X v \text{ d}x < \infty$. $\implies g$ ist integrierbar und: $|f| = |u-v| \leq |u| + |v| = u+v = g$ auf $X$.
|
||||
\item[(3) $\Rightarrow$ (4)] \ref{Satz 4.5} $\implies \int_X |f| \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \implies f$ ist integrierbar.
|
||||
\item[(4) $\Rightarrow$ (1)] $f_+, f_- \leq |f|$ auf $X$. $\implies 0 \leq \int_X f_\pm \text{ d}x \leq \int_X |f| \text{ d}x < \infty \stackrel{Def.}{\implies} f$ ist integrierbar.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{beweis}[des Zusatzes]
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\begin{enumerate}
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\item \checkmark
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\item Es ist $f = u-v = f_+ - f_- \implies u+f_- = f_+ + v$.
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\[\implies \int_X u \text{ d}x + \int_X f_- \text{ d}x \stackrel{4.5}{=} \int_X (u+ f_-) \text{ d}x = \int_X (f_+ + v) \text{ d}x \stackrel{4.5}{=} \int_X f_+ \text{ d}x + \int_X v \text{ d}x\]
|
||||
\[\implies \int_X u \text{ d}x - \int_X v \text{ d}x = \int_X f_+ \text{ d}x - \int_X f_- \text{ d}x \stackrel{Def.}{=} \int_X f \text{ d}x. \]
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||||
\end{enumerate}
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\end{beweis}
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\begin{folgerungen}
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\label{Folgerung 4.10}
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\label{Satz 4.10}
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Sei $f:X\to\imdr$ integrierbar und $N := \{\lvert f \rvert = +\infty\} = \{x\in X : \lvert f(x) \rvert = + \infty\}$. Dann ist $N\in \fb(X)$ und $\lambda(N) = 0$.
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||||
\end{folgerungen}
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||||
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\begin{beweis}
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$\ref{Satz 3.4} \implies N \in \fb(X).$ $n\mathds{1}_N \leq \lvert f \rvert$ für alle $n\in \MdN$. Dann:
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||||
\[n \cdot \lambda(N) = \int_X n\mathds{1}_N \text{ d}x \stackrel{4.5}{\leq} \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \stackrel{4.9}{<} \infty \text{ für alle } n \in \mdn\]
|
||||
Also: $0 \leq n\lambda(N) \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \quad \forall n \in \mdn \implies \lambda(N) = 0$
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
\label{Satz 4.11}
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$f, g: X \to \imdr$ seien integrierbar und es sei $\alpha \in \mdr$.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\alpha f$ ist integrierbar und $\int_X (\alpha f) \text{ d}x = \alpha \int_X f \text{ d}x$.
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||||
\item Ist $f+g:X\to\imdr$ auf $X$ definiert, so ist $f+g$ integrierbar und es gilt:
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||||
\[\int_X (f+g)\text{ d}x = \int_X f \text{ d}x + \int_X g \text{ d}x\]
|
||||
(Für $f=+\infty$ und $g=-\infty$ ist $f+g$ beispielsweise nicht definiert.)
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||||
\item $\fl^1(X)$ ist ein reeller Vektorraum und die Abbildung $f \mapsto \int_X f \text{ d}x$ ist linear auf $\fl^1(X)$.
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||||
\item $\max\{f,g\}$ und $\min\{f,g\}$ sind integrierbar.
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||||
\item Ist $f\leq g$ auf $X$, so ist $\int_X f \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x$.
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||||
\item $\lvert \int_X f \text{ d}x \rvert \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x$. (Dreiecksungleichung für Integrale)
|
||||
\item Sei $\emptyset\ne Y \in \fb(X)$. Dann sind die Funktionen $f_{|Y}: Y \to \imdr$ und $\mathds{1}_Y\cdot f: X \to \imdr$ integrierbar und
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||||
\[\int_Y f(x) \text{ d}x := \int_Y f_{|Y} (x) \text{ d}x = \int_X(\mathds{1}_Y \cdot f)(x) \text{ d}x\]
|
||||
\item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschränkt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
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||||
|
||||
\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item folgt aus \(\alpha f)_{\pm}=\alpha f_{\pm}\), falls \(\alpha\geq0\) und \(\alpha f)_{\pm}=-\alpha f_{\mp}\), falls
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||||
\(\alpha<0\).
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||||
\item Es gilt \(f+g=\underbrace{f_{+}+g_{+}}_{=:u}-\underbrace{(f_{-}+g_{-})}_{=:v}=u-v\). Dann:
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||||
\[
|
||||
\int_{X}{u\mathrm{d}x}=\int_{X}{f_{+}+g_{+}\mathrm{d}x}\overset{\ref{Satz 4.5}}{=}\int_{X}{f_{+}\mathrm{d}x}+\int_{X}{g_{+}\mathrm{d}x}<\infty
|
||||
\]
|
||||
Genauso: \(\int_{X}{v\mathrm{d}x}<\infty\)\\
|
||||
Mit Satz \ref{Satz 4.9} folgt: \(f+g\) ist integrierbar. Weiter:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_{X}{(f+g)\mathrm{d}x}&\overset{\ref{Satz 4.9}}{=}\int_{X}{u\mathrm{d}x}-\int_{X}{v\mathrm{d}x}\\
|
||||
&=\int_{X}{f_{+}\mathrm{d}x}+\int_{X}{g_{+}\mathrm{d}x}-\left(\int_{X}{f_{-}\mathrm{d}x}+\int_{X}{g_{-}\mathrm{d}x}\right)\\
|
||||
&=\int_{X}{f\mathrm{d}x}+\int_{X}{g\mathrm{d}x}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item folgt aus (1) und (2).
|
||||
\item Mit Satz \ref{Satz 3.5} folgt: \(\max\{f,g\}\) ist messbar. Es gilt:
|
||||
\[
|
||||
0\leq\lvert\max\{f,g\}\rvert\leq\lvert f\rvert+\lvert g\rvert
|
||||
\]
|
||||
Mit \ref{Satz 4.9} und Aussage (2) folgt \(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert\) ist integrierbar. Dann folgt mit Satz \ref{Satz 4.9}:
|
||||
\(\max\{f,g\}\) ist integrierbar.\\
|
||||
Analog zeigt man: \(\min\{f,g\}\) ist integrierbar.
|
||||
\item Nach Voraussetzung ist \(f\leq g\) auf \(X\). Dann gilt: \(f_{+}\leq g_{+}\) auf \(X\) und \(f_{-}\geq g_{-}\) auf \(X\).
|
||||
Es folgt:
|
||||
\[
|
||||
\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\int_{X}{f_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{f_{-}\mathrm{d}x}\overset{\ref{Satz 4.5}}{\leq}\int_{X}{g_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{g_{-}\mathrm{d}x}=\int_{X}{g\mathrm{d}x}
|
||||
\]
|
||||
\item Es ist \(\pm f\leq\lvert f\rvert\). Mit Aussage (1) und (5) folgt:
|
||||
\(\pm\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\int_{X}{(\pm f)\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}\).\\
|
||||
Es ist \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lvert\int_{X}{f\mathrm{d}x}\rvert\) oder \(-\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lvert\int_{X}{f\mathrm{d}x}\rvert\)
|
||||
\item Mit Bemerkung (2) vor \ref{Satz 3.1} und Satz \ref{Satz 3.6}.(2) folgt: \(f_{|Y}\) und \(\mathds{1}_{Y}\cdot f\) sind
|
||||
messbar. Es gilt: \((f_{|Y})_{\pm}=(f_{\pm})_{|Y}\) und \((\mathds{1}_{Y}\cdot f)_{\pm}=\mathds{1}\cdot f_{\pm}\). Weiterhin
|
||||
gilt \(0\leq\mathds{1}_{Y}f_{\pm}\leq f_{\pm}\). Mit \ref{Satz 4.9} folgt dann, daß\ \(\mathds{1}_{Y}f_{\pm}\) integrierbar
|
||||
ist. Dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_{X}{(\mathds{1}_{Y}f)\mathrm{d}x}&=\int_{X}{\mathds{1}f_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{\mathds{1}_{Y}f\mathrm{d}x}\\
|
||||
&=\underbrace{\int_{Y}{(f_{+})_{|Y}\mathrm{d}x}}_{<\infty}-\underbrace{\int_{Y}{(f_{-})_{|Y}\mathrm{d}x}}_{<\infty}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Es folgt: \(f_{|Y}\) ist integrierbar und \(\int_{Y}{f_{|Y}\mathrm{d}x}=\int_{Y}{(f_{+})_{|Y}\mathrm{d}x}-\int_{Y}{(f_{-})_{|Y}\mathrm{d}x}=\int_{X}{(\mathds{1}_{Y}f)\mathrm{d}x}\).
|
||||
\item Es ist \(\lvert h\rvert\leq\lVert h\rVert_{\infty}\cdot\mathds{1}_{X}\). Dann folgt:
|
||||
\[
|
||||
\int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lVert h\rVert_{\infty}\mathds{1}_{X}\mathrm{d}x}=\lVert h\rVert_{\infty}\lambda(X)<\infty
|
||||
\]
|
||||
Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \(h\) beschränkt ist, folgt:
|
||||
\(h\in\fl^{1}(X)\). Schließlich:
|
||||
\[
|
||||
\left\lvert\int_{X}{h\mathrm{d}x}\right\rvert\leq\int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\lVert h\lVert_{\infty}\lambda(X)
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
\label{Satz 4.12}
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sind $\emptyset\ne A,B \in \fb(X)$ disjunkt, $X = A \cup B$ und ist $f: X \to \imdr$ integrierbar (über $X$), so ist $f$ integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$ und es gilt:
|
||||
\[\int_X f \text{ d}x = \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x\]
|
||||
\item Ist $\emptyset \neq K \subseteq \mdr^d $ kompakt und $f:K\to\mdr$ stetig, so ist $f \in \fl^1(K)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Aus \ref{Satz 4.11}(7) folgt: $f$ ist integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$. Es ist
|
||||
\[ \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \left( \mathds{1}_{A\cup B} \cdot f \right)(x) \text{ d}x = \int_X \left( \left( \mathds{1}_A + \mathds{1}_B \right) f\right)(x) \text{ d}x \]
|
||||
\[= \int_X \left(\mathds{1}_A f + \mathds{1}_B f \right)(x) \text{ d}x \stackrel{4.11(2)}{=} \int_X \mathds{1}_A f \text{ d}x + \int_X \mathds{1}_B f \text{ d}x \stackrel{4.11(7)}{=} \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x.\]
|
||||
|
||||
\item $K$ ist kompakt, also gilt: $\lambda(K) < \infty$. Aus \ref{Satz 3.2}(1) folgt, dass $f$ messbar ist. Analysis II (\glqq stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an\grqq ) liefert: $f$ ist beschränkt. Insgesamt folgt mit \ref{Satz 4.11}(8) schließlich: $f \in \fl^1(K)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 4.13}
|
||||
Seien $a,b\in\mdr$, $a<b$, $X:=[a,b]$ und $f\in C(X)$. Dann ist $f\in\fl^1(X)$ und es gilt:
|
||||
\[L-\int_X f(x) \text{ d}x=R-\int_a^b f(x) \text{ d}x\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $\natn$, $t_j^{(n)}:=a+j\frac{b-a}{n}$ ($j=0,\dots,n$) und $I_j^{(n)}:=\left[t_{j-1}^{(n)},t_j^{(n)}\right]$ ($j=1,\dots,n$).
|
||||
\begin{align*}
|
||||
S_n:=\sum^n_{j=1} f \left(t_j^{(n)}\right) \underbrace{ \frac{b-a}{n}}_{= \lambda_1 \left(I_j^{(n)}\right)} \text{ ist Riemannsche Zwischensumme für R-} \int_a^bf(x)\,dx.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Aus Analysis I folgt $S_n\to\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx$ ($n\to\infty$).
|
||||
Definiere $f_n:=\sum^n_{j=1}f \left(t_j^{(n)} \right) \mathds{1}_{I_j^{(n)}} $. Dann ist $f_n$ einfach und
|
||||
\[\int_X f_n(x)\,dx=\sum_{j=1}^n f \left(t_j^{(n)} \right) \lambda_1 \left(I_j^{(n)}\right)=S_n\]
|
||||
$f$ ist auf $X$ gleichmäßig stetig also konvergiert $f_n$ auf $X$ gleichmäßig gegen $f$ (Übung!), also gilt:
|
||||
\[\lVert f_n-f \rVert_{\infty}=\text{sup} \left \{ \lvert f_n(x)-f(x) \rvert : x\in X \right\} \to 0 \ (n\to \infty)\]
|
||||
Aus \ref{Satz 4.12}(2) folgt $f\in \mathfrak{L}^1(X)$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left\lvert \text{L-} \int \limits_X f(x)\,dx -S_n \right\rvert = \left\lvert \text{L-} \int \limits_X (f-f_n)\,dx \right\rvert \stackrel{\text{4.11}}\leq \int \limits_X(f-f_n)\,dx \stackrel{\text{4.11}}\leq \lVert f-f_n \rVert_{\infty} \underbrace{\lambda(X)}_{=b-a} \to 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Daraus folgt $S_n \to$ L- $\int_X f\,dx$
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 4.14}
|
||||
Sei $a\in\mdr, X:=[a,\infty)$ und $f\in C(X)$. Dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f$ ist messbar.
|
||||
\item $f\in\fl^1(X)$ genau dann wenn das uneigentliche Riemann-Integral $\int_a^\infty f(x) \text{ d}x$ \textbf{absolut} konvergent ist. In diesem Fall gilt:
|
||||
\[L-\int_X f(x) \text{ d}x=R-\int_a^\infty f(x) \text{ d}x\]
|
||||
Entsprechendes gilt für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Eine Hälfte des Beweises folgt in Kapitel \ref{Kapitel 6}.
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $X=(0,1]$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$. Aus Analysis I wissen wir, dass R-$\int^1_0\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ (absolut) konvergent ist. Also ist $f\in\mathfrak{L}^1(X)$.\\
|
||||
Außerdem wissen wir aus Analysis I, dass R-$\int_0^1\frac{1}{x}$ divergent ist. Also ist $f^2\notin\mathfrak{L}^1(X)$.
|
||||
\item Sei $X=[0,\infty)$, $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$. Aus Analysis I wissen wir, dass R-$\int^{\infty}_1f(x)\,dx$ konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Also ist $f\notin\mathfrak{L}^1(X)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
182
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182
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|
|
@ -0,0 +1,182 @@
|
|||
In diesem Kapitel sei stets $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben wieder $\lambda$ statt $\lambda_d$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Nullmenge}\index{Borel!Nullmenge}
|
||||
Sei $N\in\fb_d$. $N$ heißt eine \textbf{(Borel-)Nullmenge}, genau dann wenn $\lambda(N)=0$ ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $N\subseteq\mdr^d$ höchstens abzählbar, so ist $N\in\fb_d$ und $\lambda(N)=0$.
|
||||
\item Sei $j\in\{1,\dots,d\}$ und $H_j:=\left\{(x_1,\dots,x_d) \in\mdr^d : x_j=0 \right\}$. Aus Beispiel (5) nach \ref{Satz 2.7} folgt, dass $H_j$ eine Nullmenge ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 5.1}
|
||||
Seien $M,N,N_1,N_2,\dots\in\fb_d$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $M\subseteq N$ und $N$ Nullmenge, dann ist $M$ Nullmenge.
|
||||
\item Sind alle $N_j$ Nullmengen, so ist auch $\bigcup N_j$ eine Nullmenge.
|
||||
\item $N$ ist genau dann eine Nullmenge, wenn für alle $\ep>0$ offene Intervalle $I_1,I_2,\dots\subseteq\mdr^d$ existieren mit $N\subseteq\bigcup I_j$ und $\sum_{j=1}^\infty \lambda(I_j)\le\ep$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $0\le\lambda(M)\le\lambda(N)=0$
|
||||
\item $0\le\lambda(\bigcup N_j)\le\sum\lambda(N_j)=0$
|
||||
\item Folgt aus \ref{Satz 2.10}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
$\ $
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mdq$ ist "`klein"': $\mdq$ ist "`nur"' abzählbar.
|
||||
\item $\mdq$ ist "`groß"': $\overline\mdq=\mdr$
|
||||
\item $\mdq$ ist "`klein"': $\lambda(\mdq)=0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{für fast alle}
|
||||
\index{fast überall}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $(E)$ eine Eigenschaft für Elemente in $X$.\\
|
||||
$(E)$ gilt \textbf{für fast alle} (ffa) $x\in X$, genau dann wenn $(E)$ \textbf{fast überall} (fü) (auf $X$) gilt, genau dann wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass $(E)$ für alle $x\in X\setminus N$ gilt.
|
||||
\item $\int_\emptyset f(x) \text{ d}x:=0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 5.2}
|
||||
Seien $f:X\to\imdr$ messbare Funktionen.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $f$ integrierbar, so ist $f$ fast überall endlich.
|
||||
\item Ist $f \ge0$ auf $X$, so ist $\int_X f(x)\text{ d}x=0$ genau dann wenn fast überall $f=0$.
|
||||
\item Ist $f$ integrierbar und $N\subseteq X$ eine Nullmenge, so gilt:
|
||||
\[\int_N f(x)\text{ d}x=0\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item ist gerade \ref{Folgerung 4.10}.
|
||||
\item ist gerade \ref{Satz 4.5}(3)
|
||||
\item Setze $g:=\mathds{1}_N f$. Aus \ref{Satz 4.11} folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach \ref{Satz 4.9} auch $\lvert g \rvert$ integrierbar. Für $x\in X\setminus N$ gilt:
|
||||
\[g(x)=\lvert g(x) \rvert =0\]
|
||||
D.h. $\lvert g \rvert =0$ fast überall. Aus (2) folgt damit $\int_X \lvert g \rvert \,dx = 0$. Dann ist mit \ref{Satz 4.11}: \[\left\lvert\int_X g\,dx \right\rvert \leq \int_X \lvert g \rvert \,dx =0\]
|
||||
und somit $\int_X g\,dx=0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 5.3}
|
||||
$f,g:X\to\imdr$ seien messbar.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $f$ integrierbar und gilt fast überall $f=g$, so ist $g$ integrierbar und es gilt:
|
||||
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
||||
\item Ist $f$ integrierbar und $g:=\mathds{1}_{\{ \lvert f \rvert <\infty \}}\cdot f$, so ist $g$ integrierbar und es gilt: \[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
||||
\item Sind $f$ und $g$ beide $\geq0$ auf $X$, und ist fast überall $f=g$, so ist
|
||||
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Nach Voraussetzung existiert eine Nullmenge $N\subseteq X$, sodass gilt:
|
||||
\[\forall x\in X\setminus N:f(x)=g(x)\]
|
||||
Aus \ref{Satz 5.2}(3) folgt dann $\int_N f\,dx=0$.
|
||||
Sei $x\in X\setminus N$ Dann gilt:
|
||||
\[\left( \mathds{1}_N \lvert g \rvert \right)(x)=\mathds{1}_N(x)\cdot \lvert g(x) \rvert=0\]
|
||||
D.h.: Fast überall ist $\mathds{1}_N \lvert g \rvert =0$. Aus \ref{Satz 5.2}(2) folgt $\int_N \lvert g \rvert\,dx=\int_X\mathds{1}_N\cdot \lvert g \rvert\,dx=0$.
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_X \lvert g\rvert\,dx & = \int_X \left(\mathds{1}_N \lvert g\rvert + \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert \right)\,dx\\
|
||||
&= \int_X\mathds{1}_N \lvert g\rvert\,dx + \int _X\mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert\,dx\\
|
||||
&= \int_X \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g \rvert\,dx\\
|
||||
& \leq\int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.9}}< \infty
|
||||
%hier soll eigentlich das kleinergleich unter das erste gleichzeichen
|
||||
\end{align*}
|
||||
\ref{Satz 4.9} liefert nun, dass $\lvert g\rvert$ und damit auch $g$ integrierbar ist. Weiter gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_Xg\,dx &\overset{\ref{Satz 4.12}} = \int_N g\,dx+ \int_{X\setminus N}g\,dx = \int_{X\setminus N}g\,dx\\
|
||||
&= \int_{X\setminus N}f\,dx \overset{\ref{Satz 5.2}(3)}= \int_N f\,dx +\int_{X\setminus N}f\,dx\\
|
||||
&\overset{\ref{Satz 4.12}}= \int_X f\,dx.
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item Setze $N:=\left\{\lvert f\rvert =\infty \right\}$. Aus \ref{Satz 5.2}(1) folgt, dass $N$ eine Nullmenge ist. Sei $x\in X\setminus N$, so ist $x\in \left\{\lvert f\rvert <\infty \right\}$ und $g(x)=f(x)$.
|
||||
D.h. fast überall ist $f=g$. (Klar: $g$ ist mb). Dann folgt die Behauptung aus (1).
|
||||
\item \textbf{Fall 1:} $\int_Xf\,dx<\infty$\\
|
||||
Dann ist $f$ integrierbar, damit ist nach (1) auch $g$ integrierbar und es gilt:
|
||||
\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
|
||||
\textbf{Fall 2:} $\int_Xf\,dx=\infty$.\\
|
||||
Annahme: $\int_Xg\,dx<\infty$. Dann gilt nach Fall 1: $\int_Xf\,dx<\infty$. $\lightning$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
$(f_n)$ sei eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(f_n)$ konvergiert fast überall (auf $X$) genau dann, wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass für alle $x\in X\setminus N$ $\left(f_n(x)\right)$ in $\imdr$ konvergiert.
|
||||
\item Sei $f:X\to\imdr$. $(f_n)$ konvergiert fast überall (auf $X$) gegen $f$ genau dann, wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert mit: $f_n(x)\to f(x) \forall x\in X\setminus N$\\
|
||||
In diesem Fall schreiben wir: $f_n\to f$ fast überall.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 5.4}
|
||||
Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}: X\to\imdr\) und \((f_{n})\) konvergiere fast überall (auf \(X\)).
|
||||
Dann:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es existiert \(f: X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to f\) fast überall.
|
||||
\item Ist \(g: X\to\imdr\) eine Funktion mit \(f_{n}\to g\) fast überall, so gilt \(f=g\) fast überall.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Ist \(g\) wie in (2), so muss \(g\) nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in der Übung).
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{1}\subseteq X:\,(f_{n}(x))\) konvergiert in \(\imdr\) für alle
|
||||
\(x\in X\setminus N_{1}\).
|
||||
\[
|
||||
f(x)=\begin{cases}0&x\in N_{1}\\\lim_{n\to\infty}{f_{n}(x)}&x\in X\setminus N_{1}\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\(g_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(g_{n}\) ist messbar und \(g_{n}(x)\to f(x)\) für alle \(x\in X\).
|
||||
Mit \ref{Satz 3.5} folgt: \(f\) ist messbar.
|
||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{2}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{2}\).
|
||||
\(N=N_{1}\cup N_{2}\). Aus \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge.
|
||||
|
||||
Für \(x\in X\setminus N:\,f(x)=g(x)\).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version III)]
|
||||
\label{Satz 5.5}
|
||||
Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\) und für jedes \(n\in\mdn\) gelte:
|
||||
\(f_{n}\leq f_{n+1}\) fast überall. Dann existiert eine messbare Funktion
|
||||
\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast überall und
|
||||
\[\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Zu jedem \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge
|
||||
\(N_{n}:\,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\;\forall x\in X\setminus N_{n}\).\\
|
||||
\(N:=\bigcup_{n=1}^{\infty}{N_{n}}\) \folgtnach{\ref{Lemma 5.1}} \(N\) ist eine
|
||||
Nullmenge.
|
||||
|
||||
Dann: \(f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\).
|
||||
|
||||
\(\hat{f}_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(\hat{f}_{n}\) ist
|
||||
messbar, \(\forall n\in\mdn: \hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf $X$.
|
||||
|
||||
\(f(x):=\lim_{n\to\infty}{\hat{f}_{n}(x)}\,(x\in X)\) \folgtnach{\ref{Satz 3.5}}
|
||||
\(f\) ist messbar. Weiter: \(\hat{f}_{n}\to f\).
|
||||
\[
|
||||
\int_{X}{f\mathrm{d}x}\overset{\text{\ref{Satz 4.6}}}{=}\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{\hat{f}_{n}\mathrm{d}x}}\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(2)}}{=}\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}
|
||||
\]
|
||||
\end{beweis}
|
||||
213
documents/Analysis III/Kapitel-6.tex
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213
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|
|
@ -0,0 +1,213 @@
|
|||
Stets in diesem Kapitel: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[Lemma von Fatou]
|
||||
\label{Lemma 6.1}
|
||||
Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Es gilt:
|
||||
\[\int_{X}{\left (\liminf_{n\to\infty}f_{n} \right)(x)\mathrm{d}x}\leq\liminf_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}(x)\mathrm{d}x}}\]
|
||||
\item Ist \(f: X\to[0,+\infty]\) messbar und gilt \(f_{n}\to f\) fast überall,
|
||||
so ist
|
||||
\[
|
||||
\int_{X}{f\mathrm{d}x}\leq\liminf_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}
|
||||
\]
|
||||
\item Ist \(f\) wie in (2) und ist \(\left(\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\right)\)
|
||||
beschränkt, so ist \(f\) integrierbar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(g_{j}:=\inf_{n\geq j}{f_{n}}\) \folgtnach{\ref{Satz 3.5}} \(g_{j}\) ist messbar. Klar: \(g_{j}\leq g_{j+1}\) auf
|
||||
\(X\); \(\displaystyle \sup_{j\in\mdn}{g_{j}}=\liminf_{n\to\infty}{f_{n}}\)
|
||||
|
||||
Weiter: \(g_{j}\leq f_{n}\,(n\geq j)\)
|
||||
|
||||
Dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_{X}{\liminf_{n\to\infty}f_{n}\mathrm{d}x}&=\int_{X}{\sup_{j\in\mdn}g_{j}\mathrm{d}x}\\
|
||||
&=\int_{X}{\lim_{j\to\infty}g_{j}(x)\mathrm{d}x}\\
|
||||
&\overset{\ref{Satz 4.6}}{=}\lim_{j\to\infty}\int_{X}{g_{j}\mathrm{d}x}\\
|
||||
&=\sup_{j\in\mdn}\underbrace{\int_{X}{g_{j}\mathrm{d}x}}_{\leq\inf_{n\geq j}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\\
|
||||
&\leq\sup_{j\in\mdn}\left\{\inf_{n\geq j}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\right\}\\
|
||||
&=\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\): \(f_{n}(x)\to f(x)\;\forall x\in X\setminus N\).\\
|
||||
Dann gilt \(f=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\) fast überall.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_{X}{f\mathrm{d}x}
|
||||
&\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\mathrm{d}x}\\
|
||||
&=\int_{X}{\left (\lim_{n\to\infty}\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n} \right )\mathrm{d}x}\\
|
||||
&\overset{(1)}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\mathrm{d}x}\\
|
||||
&\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt
|
||||
\[
|
||||
0\leq\int_{X}{f\mathrm{d}x}\overset{\text{(2)}}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}<\infty
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Konvergenzsatz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz)]
|
||||
\label{Satz 6.2}
|
||||
\((f_{n})\) sei eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:X\to\imdr\), \((f_{n})\)
|
||||
konvergiere fast überall und es sei \(g:X\to[0,+\infty]\) integrierbar. Für
|
||||
jedes \(n\in\mdn\) gelte \(\lvert f_{n}\rvert\leq g\) fast überall.\\
|
||||
Dann sind alle \(f_{n}\) integrierbar und es existiert ein \(f\in\fl^{1}(X)\) mit:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(f_{n}\to f\) fast überall
|
||||
\item \(\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\to\int_{X}{f\mathrm{d}x}\)
|
||||
\item \(\int_{X}{\lvert f_{n}-f\rvert\mathrm{d}x}\to 0\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beispiele}
|
||||
% Hier fehlt eventuell eine Grafik
|
||||
\item Sei \(X=\mdr,\,f_{n}:=n\mathds{1}_{(0,\frac{1}{n})}\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}=n\cdot\lambda_{1}\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right)=n\cdot\frac{1}{n}=1\quad\forall n\in\mdn
|
||||
\]
|
||||
Es gilt \(f_{n}\to f:=0\) punktweise und \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=0 \neq 1 = \int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\).
|
||||
$\Rightarrow$ \ref{Satz 6.2} ist ohne die integrierbare Majorante
|
||||
$g$ im allgemeinen falsch.
|
||||
\item Sei $X = [1, \infty), \alpha > 1, f_n(x) := \frac{1}{x^\alpha} \sin{\frac{x}{n}} (x \in X, n \in \mathbb{N})$.\\
|
||||
Berechne $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n(x) \mathrm{d}x$\\
|
||||
$f_n(x) \rightarrow 0 =: f(x) \quad \forall x \in X$. $|f_n(x)| = \frac{1}{x^\alpha} |\sin{\frac{x}{n}}| \leq \frac{1}{x^\alpha} =: g(x)$
|
||||
\folgtnach{AI} $R-\int_1^\infty g(x) \mathrm{d}x$ konvergiert absolut \folgtnach{4.14} $g \in lebeq^1(X)$
|
||||
\folgtnach{6.2} $\int_X f_n \mathrm{d}x \rightarrow \int_X f \mathrm{d}x = 0, \int_X |f_n| \mathrm{d}x \rightarrow 0$
|
||||
\end{beispiele}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
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||||
% Nummerierung vernuenftig zurechtbasteln
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Aus \ref{Satz 5.4} folgt: Es existiert \(\hat{f}:X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to\hat{f}\) fast überall.
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||||
Es existiert eine Nullmenge \(N_{0}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to\hat{f}(x)\,\forall x\in X\setminus N_{0}\)
|
||||
\item Für alle \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge \(N_{n}\subseteq X:\,\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{n}\).
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||||
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||||
Setze \(N:=\bigcup_{n=0}^{\infty}{N_{n}}\). Mit \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge.
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||||
Wir haben: \(\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\) und
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||||
\(\lvert\hat{f}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N\).
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||||
\item \(f_{n}=\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) fast überall und \(\hat{f}=\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\)
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||||
fast überall.
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||||
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||||
Es gilt \(\lvert\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\rvert\leq g\) und \(\lvert\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\rvert\leq g\). Mit
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||||
\ref{Satz 4.9} folgt: \(\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) und \(\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\) sind integrierbar.
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||||
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||||
Mit \ref{Satz 5.3}.(1) folgt: \(f_{n}\) und \(\hat{f}\) sind integrierbar.
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||||
\item \(\tilde{N}:=N\cup\{\lvert\hat{f}\rvert=\infty\}\cup\{g=\infty\}\). Mit \ref{Folgerung 4.10} und \ref{Lemma 5.1} folgt:
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||||
\(\tilde{N}\) ist eine Nullmenge.
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||||
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||||
Setze \(f:=\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\). Dann: \(f\) ist messbar; es ist \(\lvert f\rvert\leq\lvert\hat{f}\rvert\).
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||||
Mit \ref{Satz 4.9} folgt: \(f\) ist integrierbar.
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||||
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||||
Es ist \(f(X)\subseteq\mdr\). Also: \(f\in\fl^{1}(X)\).
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||||
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||||
Sei \(x\in X\setminus\tilde{N}:\,f(x)=\tilde{f}(x)=\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)\).
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||||
D.h. \(f_{n}\to f\) fast überall.
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||||
\item Definiere $g_n:=|f|+\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}g-\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}|f_n-f|$. Es ist fast überall
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||||
\begin{align*}
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||||
\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}g=g&&\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}|f_n-f|=|f_n-f|
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nach \ref{Satz 5.3}(1) ist $g$ integrierbar und $g_n\to |f|+g$ fast überall. Es gilt:
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||||
\begin{align*}
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||||
|f_n-f|\le|f_n|+|f|\le g+|f| \text{ auf} X\setminus\tilde N
|
||||
\end{align*}
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||||
D.h. es ist $g\ge0$ auf X.
|
||||
\item Es gilt:
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||||
\begin{align*}
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||||
\int_X(|f|+g)\text{ d}x&\stackrel{\ref{Lemma 6.1}(2)}\le \liminf_{n\to\infty} \int_X g_n \text{ d}x\\
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||||
&=\liminf \left(\int_{\tilde N} g_n\text{ d}x+\int_{X\setminus\tilde N}g_n\text{ d}x\right)\\
|
||||
&=\liminf \int_{X\setminus\tilde N}g_n\text{ d}x\\
|
||||
&=\liminf \int_{X\setminus\tilde N}(|f|+g-|f_n-f|)\text{ d}x\\
|
||||
&=\int_{X\setminus\tilde N} (|f|+g)\text{ d}x-\limsup \int_{X\setminus\tilde N}|f_n-f|\text{ d}x\\
|
||||
&\stackrel{\ref{Satz 5.2}(3)}= \int_X |f|+g\text{ d}x-\limsup\int_X |f_n-f|\text{ d}x
|
||||
\end{align*}
|
||||
Daraus folgt:
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||||
\[\limsup\int_x|f_n-f|\text{ d}x\le 0\]
|
||||
Also gilt auch:
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||||
\[|\int_Xf_n\text{ d}x-\int_Xf\text{ d}x|=|\int_X(f_n-f)\text{ d}x\le \int_X|f_n-f|\text{ d}x\to 0\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{beispiel}
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||||
Sei \(X:=[1,\infty)\) und \(f_n(x):=\frac1{x^\frac32}\sin\left(\frac xn \right) \) für alle \(x\in X, n\in\mdn\) mit \(f_n(x)\to f(x)\equiv 0\) für jedes \(x\in X\).
|
||||
Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$.
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||||
Definiere nun \[g(x):=\frac1{x^\frac32}\]
|
||||
Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist
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||||
und aus \ref{Satz 4.14} folgt \[g\in\mathfrak{L}^1(X) \text{ sowie } \int_X g(x)\,dx = \text{R-}\int^\infty_1 g(x)\,dx\]
|
||||
Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
|
||||
\[\int_X f_n\,dx\to 0 \text{ und } \int_X\lvert f_n\rvert\,dx\to 0 \ (n\to\infty) \]
|
||||
\end{beispiel}
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||||
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||||
\begin{folgerung}[aus \ref{Satz 6.2}]
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||||
\label{Folgerung 6.3}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei \(f:X\to\imdr\) messbar und \((A_n)\) sei eine Folge in \(\fb(X)\) mit \(A_n\subseteq A_{n+1}\) für jedes $\natn$ und \(X=\bigcup A_n\). Weiter sei
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f_n:=\mathds{1}_{A_n}\cdot f \text{ integrierbar für alle } \natn \intertext{und} \left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right) \text{ sei beschränkt. }
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann ist $f$ integrierbar und es gilt: \[\int_{A_n}f\,dx \to \int_Xf\,dx \quad \text{für } n \to \infty\]
|
||||
\item Sei \(a\in\mdr\), \(X:=[a,\infty]\) und \(f:X\to\mdr\) sei stetig. Weiter sei R-\(\int_a^\infty f\,dx\) \textbf{absolut} konvergent. Dann ist \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) und wie in \ref{Satz 4.14}:
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||||
\[\text{L-}\int_Xf\,dx=\text{R-}\int^\infty_a f\,dx \]
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{folgerung}
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||||
|
||||
\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes \(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich:
|
||||
\[ \lvert f_n\rvert=\lvert \mathds{1}_{A_n}f\rvert=\mathds{1}_{A_n}\lvert f\rvert \leq \mathds{1}_{A_{n+1}}\lvert f\rvert=\lvert f_{n+1}\rvert \]
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\[ \int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\lim\int_X \lvert f_n\rvert\,dx = \lim\int_{A_n} \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}<\infty \]
|
||||
Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine
|
||||
integrierbare Majorante und es folgt mit \ref{Satz 6.2}:
|
||||
\[ \int_Xf\,dx = \lim\int_Xf_n\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \]
|
||||
\item Setze \(A_n:=[a,n]\ (\natn)\) und es gelte o.B.d.A.: \(a\leq 1\). Dann gilt:
|
||||
\[ \int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^n_a \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}\longrightarrow \text{R-}\int^\infty_a \lvert f\rvert\,dx \]
|
||||
D.h.\(\left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right)\) ist beschränkt. Definiere \(f_n:=\mathds{1}_{A_n}f\) mit \ref{Satz 4.13} folgt daraus, dass $f_n$ integrierbar ist. Weiter folgt
|
||||
aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und
|
||||
\[ \text{L-}\int_Xf\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \lim\left(\text{R-}\int^n_a f\,dx \right) = \text{R-}\int^\infty_a f\,dx. \]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
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||||
\ref{Folgerung 6.3}(2) gilt entsprechend für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{folgerung}
|
||||
\label{Folgerung 6.4}
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item \((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und
|
||||
\[g_n:=f_1+f_2+\dots+f_n \ (\natn)\]
|
||||
Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$ konvergiert und
|
||||
\[\lvert g_n(x)\rvert \leq g(x) \text{ für jedes } \natn \text{ und } x\in X\setminus N\]
|
||||
Setzt man
|
||||
\[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):=
|
||||
\begin{cases}
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||||
0, & \text{falls } x\in N \\
|
||||
\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x), & \text{falls } x\in X\setminus N
|
||||
\end{cases}\quad,\]
|
||||
so gilt, dass $f$ integrierbar ist und
|
||||
\[\int_X \left( \sum^\infty_{j=1}f_j(x) \right)\,dx = \sum^\infty_{j=1}\left( \int_Xf_j(x)\,dx \right) \]
|
||||
\item Sei \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) und \((A_n)\) eine \textbf{disjunkte} Folge in \(\fb(X)\) mit \(X=\dot\bigcup A_n\). Dann gilt
|
||||
\[\int_Xf\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_{A_j}f\,dx \]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{folgerung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Fast überall gelten \(g_n\to f\) und für jedes \(\natn\) auch \(\lvert g_n\rvert \leq g\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx
|
||||
&= \int_Xf\,dx \\
|
||||
&\overset{\ref{Satz 6.2}}= \lim\int_Xg_n\,dx \\
|
||||
&= \lim\int_X\left(\sum^n_{j=1}f_j\right)\,dx \\
|
||||
&=\lim\sum^n_{j=1}\int_Xf_j(x)\,dx \\
|
||||
&=\sum^\infty_{j=1}\int_Xf_j\,dx \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Setze \(f_j:=\mathds{1}_{A_j}f\), \(g:=\lvert f\rvert\), \(g_n:=f_1+\dots+f_n\). Dann ist
|
||||
\[\lvert g_n\rvert = \lvert \mathds{1}_{A_1\cup\dots\cup A_n}\cdot f\rvert \leq \lvert f\rvert =g \]
|
||||
Es gilt: \(g_n\to f\) auf $X$. Aus (1) folgt
|
||||
\[ \int_Xf\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_Xf_j\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_{A_j}f\,dx \]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
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|
|
@ -0,0 +1,72 @@
|
|||
In diesem Kapitel sei stets \(\emptyset\neq X\in \fb_d\).
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
\label{Satz 7.1}
|
||||
Sei \(U\in\fb_k, t_0\in U\) und es sei \(f\colon U\times X\to \mdr\) eine Funktion mit:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Für jedes \(t\in U\) ist \(x\mapsto f(t,x)\) messbar.
|
||||
\item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\) so, dass \(t\mapsto f(t,x)\) für jedes \(x\in X\setminus N\) stetig in $t_0$ ist.
|
||||
\item Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für
|
||||
jedes \(t\in U\) und jedes \(x\in X\setminus N_t\) gilt: \[ \lvert f(t,x)\rvert \leq g(x) \]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Dann ist \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar. Ist \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch
|
||||
\[ F(t):=\int_Xf(t,x)\,dx,\]
|
||||
so ist $F$ stetig in $t_0$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Also: \[ \lim\limits_{t\to t_0}\int_X f(t,x)\,dx = \lim\limits_{t\to t_0}F(t)=F(t_0) = \int_X f(t_0,x)\,dx =\int_X\lim\limits_{t\to t_0} f(t,x)\,dx \]
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und
|
||||
\[g_n(x):=f(t_n,x) \ (\natn, x\in X) \]
|
||||
Setze \[ \tilde N := N\cup \left(\bigcup^\infty_{n=1}N_{t_n} \right) \]
|
||||
Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt
|
||||
\[g_n(x)\to f(t_0,x) \text{ fast überall auf } X\]
|
||||
Voraussetzung (3) liefert \(\lvert g_n(x)\rvert = \lvert f(t_n,x)\rvert \leq g(x) \) für jedes \(\natn\) und \(x\in X\setminus\tilde N\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt
|
||||
\[ F(t_n) = \int_X f(t_n,x)\,dx = \int_Xg_n\,dx \longrightarrow \int_X f(t_0,x)\,dx = F(t_0) \]
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\textbf{Bezeichnung}\\
|
||||
Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar
|
||||
(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und
|
||||
\[\int\limits^b_af(x)\,dx:=\int\limits_{(a,b)}f_{|(a,b)}(x)\,dx \]
|
||||
Dann ist
|
||||
\[ \int_I f(x) dx = \int_{(a,b)} f(x) dx\]
|
||||
Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \]
|
||||
|
||||
\begin{folgerung}
|
||||
\label{Folgerung 7.2}
|
||||
Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch
|
||||
\[F(t):=\int^t_a f(x)\,dx,\] so ist \(F\in C(I)\).
|
||||
\end{folgerung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und
|
||||
\[\lvert h(t,x)\rvert = \mathds{1}_{(a,t)}\cdot \lvert f(x)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert \text{ für alle } t,x\in I\]
|
||||
Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist. Sei \(t_0\in I\) und \(N:=\{t_0\}\), also eine Nullmenge.
|
||||
Dann ist \(t\mapsto h(t,x)\) für jedes \(x\in I\setminus N\) stetig in \(t_0\) (zur Übung). Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 7.1}.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 7.3}
|
||||
Sei \(U\subseteq \mdr^k\) offen, \(f\colon U\times X\to\mdr\) eine Funktion. Es sei \(g\colon X\to [0,+\infty]\) integrierbar und \(N\subseteq X\) sei eine Nullmenge.
|
||||
Weiter gelte:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item für jedes \(t\in U\) sei \(x\mapsto f(t,x)\) integrierbar.
|
||||
\item für jedes \(x\in X\setminus N\) sei \(t\mapsto f(t,x)\) partiell differenzierbar auf $U$.
|
||||
\item \(\left\lvert \frac{ \partial f}{\partial t_j} \right\rvert \leq g(x) \) für jedes \(x\in X\setminus N\), jedes \(t\in U\) und jedes \(j\in\{1,\dots,k\}\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Ist dann \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch \[F(t):=\int_X f(t,x)dx\] so ist $F$ auf $U$ partiell differenzierbar und für jedes \( t\in U\) sowie jedes \( j\in\{1,\dots,k\}\) gilt:
|
||||
\[ \frac{\partial F}{\partial t_j}(t) = \int_X\frac{\partial f}{\partial t_j}(t,x)\,dx \]
|
||||
\end{satz}
|
||||
\textbf{Also: } \( \frac{\partial}{\partial t_j}\int_X f(t,x)\,dx = \int_X \frac{\partial f}{\partial t_j}(t,x)\,dx \).
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei o.B.d.A. \(k=1\), also \(U\subseteq\mdr\). Sei \(t_0\in U\) und \((h_n)\) eine Folge mit \(h_n\to 0\) und \(h_n\neq 0\) für alle \(\natn\).
|
||||
Setze \[g_n(x):=\frac{f(t_0+h_n,x)-f(t_0,x)}{h_n} \ \ (x\in X, \natn) \]
|
||||
Aus Voraussetzung (2) folgt für jedes \(x\in X\setminus N\): \[ g_n(x)\to \frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x) \ \ (n\to\infty) \]
|
||||
Nach dem Mittelwertsatz aus Analysis 1 existiert für jedes \(x\in X\setminus N\) und jedes \(\natn\) ein \(s_n=s_n(x)\) zwischen \(t_0\) und \(t_0+h_n\) mit:
|
||||
\[ \left\lvert g_n(x) \right\rvert = \left\lvert \frac{\partial f}{\partial t}(s_n,x)\right\rvert \overset{(3)}\leq g(x) \]
|
||||
Aus \ref{Satz 6.2} folgt \[ \int_X g_n\,dx \longrightarrow \int_X\frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x)\,dx \]
|
||||
Es ist nach Konstruktion gerade \(\int_X g_n\,dx =\frac{F(t_0+h_n)-F(t_0)}{h_n} \).
|
||||
\end{beweis}
|
||||
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|||
In diesem Kapitel seien \(k,l,d\in\mdn\) und \(k+l=d\). \(\mdr^d\cong\mdr^k\times\mdr^l\). Für Punkte \(z\in\mdr^d\) schreiben wir \(z=(x,y)\), wobei \(x\in\mdr^k\) und \(y\in\mdr^l\).
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(p_1\colon\mdr^d\to\mdr^k\) sei definiert durch \(p_1(x,y):=x\)
|
||||
\item \(p_2\colon\mdr^d\to\mdr^l\) sei definiert durch \(p_2(x,y):=y\)
|
||||
\item Für \(y\in\mdr^l\) sei \(j_y\colon\mdr^k\to\mdr^d\) definiert durch \(j_y(x):=(x,y)\)
|
||||
\item Für \(x\in\mdr^k\) sei \(j^x\colon\mdr^l\to\mdr^d\) definiert durch \(j^x(y):=(x,y)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 8.1}
|
||||
\(p_1,p_2,j_y,\) und \(j^x\) sind messbar.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\(p_1,p_2,j_y\) und \(j^x\) sind stetig, also nach \ref{Satz 3.2} messbar.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei \(C\subseteq\mdr^d\).\\
|
||||
Sei \(y\in\mdr^l\), dann heißt \(C_y:=\{x\in\mdr^k:(x,y)\in C\}=(j_y)^{-1}(C)\) der \textbf{y-Schnitt} von C.\\
|
||||
Sei \(x\in\mdr^k\), dann heißt \(C^x:=\{y\in\mdr^l:(x,y)\in C\}=(j^x)^{-1}(C)\) der \textbf{x-Schnitt} von C.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
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||||
\label{Lemma 8.2}
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||||
Sei \(C\in\fb_d\). Dann ist \(C_y\in\fb_k\) und \(C^x\in\fb_l\).
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||||
\end{lemma}
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||||
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\begin{beweis}
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||||
folgt aus \ref{Lemma 8.1}.
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\end{beweis}
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||||
\textbf{Beachte: } Sei \(A\in\mdr^k\) und \(B\in\mdr^l\), sowie \(C:=A\times B \subseteq\mdr^d\). Dann:
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\begin{align*}
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||||
C_y= \begin{cases}
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||||
{\emptyset, \text{falls } y\notin B}\\
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||||
{A, \text{falls } y\in B}
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||||
\end{cases}
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||||
&
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||||
&C^x=\begin{cases}
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||||
{\emptyset, \text{falls } x\notin A}\\
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||||
{B, \text{falls } x\in A}
|
||||
\end{cases}
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
\begin{lemma}
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||||
\label{Lemma 8.3}
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||||
Sei \(A\in\fb_k\) und \(B\in\fb_l\). Dann ist \(C:=A\times B\in\fb_d\).
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||||
\end{lemma}
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||||
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||||
\begin{beweis}
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Es ist
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||||
\[C=(A\times\mdr^l)\cap(\mdr^k\times B) = p_1^{-1}(A)\cap p_2^{-1}(B)\]
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||||
Nach \ref{Lemma 8.1} sind \(p_1^{-1}(A), p_2^{-1}(B) \in\fb_d\) und somit ist auch \(p_1^{-1}(A)\cap p_2^{-1}(B) \in\fb_d\)
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||||
\end{beweis}
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||||
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||||
\begin{definition}
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||||
Sei \(f\colon\mdr^d\to\imdr\). \\
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||||
Für \(y\in\mdr^l\): \[f_y(x):=f(x,y) \ \ (x\in\mdr^k)\]
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||||
Für \(x\in\mdr^k\): \[f^x(y):=f(x,y) \ \ (y\in\mdr^l)\]
|
||||
Es ist \(f_y=f\circ j_y\) und \(f^x=f\circ j^x\).
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{lemma}
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||||
\label{Lemma 8.4}
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||||
Ist \(f\colon\mdr^d\to\imdr\) messbar, so sind \(f_y\) und \(f^x\) messbar.
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||||
\end{lemma}
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||||
\begin{beweis}
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||||
folgt aus \ref{Lemma 8.1} und \ref{Lemma 8.3}.
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\end{beweis}
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%vielleicht funktioniert die nummerierung jetzt
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\begin{defusatz}[ohne Beweis]
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\label{Satz 8.5}
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Sei \(C\in\fb_d\). Die Funktionen \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) seien unter Beachtung von \ref{Lemma 8.2} definiert durch:
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\begin{align*}
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||||
\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l)
|
||||
\end{align*}
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||||
Dann sind \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) messbar.
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||||
\end{defusatz}
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Für \(C\in\fb_d\) gilt:
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\begin{align*}
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||||
\varphi_C(x)=\lambda_l(C^x)=\int_{\mdr^l}\mathds{1}_{C^x}(y)\,dy=\int_{\mdr^l}\mathds{1}_{C}(x,y)\,dy \\
|
||||
\psi_C(y)=\lambda_k(C_y)=\int_{\mdr^k}\mathds{1}_{C_y}(x)\,dx=\int_{\mdr^k}\mathds{1}_{C}(x,y)\,dx
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{bemerkung}
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159
documents/Analysis III/Kapitel-9.tex
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@ -0,0 +1,159 @@
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Die Bezeichnungen seien wie im Kapitel 8.
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\begin{satz}[Prinzip von Cavalieri]
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\label{Satz 9.1}
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||||
Sei \(C\in\fb_d\). Dann:
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||||
\[ \lambda_d(C)=\int_{\mdr^k}\lambda_l(C^x)\,dx=\int_{\mdr^l}\lambda_k(C_y)\,dy \]
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||||
\end{satz}
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||||
Das heißt:
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||||
\[ \int_{\mdr^d}\mathds{1}_{C}(x,y) \text{ d}(x,y) = \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l} \mathds{1}_{C}(x,y)\,dy\right)\,dx = \int_{\mdr^l} \left(\int_{\mdr^k} \mathds{1}_{C}(x,y)\,dx\right)\,dy \]
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||||
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||||
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||||
\begin{beispiel}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei \(k=l=1\), also \(d=2\). Sei \(r>0\) und \[C:=\{(x,y)\in\mdr^2: x^2+y^2\leq r^2\}\]
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||||
Da $C$ abgeschlossen ist, gilt \(C\in\fb_2\).\\
|
||||
Ist \(\lvert y\rvert>r\), so ist \(C_y=\emptyset\), also \(\lambda_1(C_y)=0\).\\
|
||||
Sei also \(\lvert y\rvert\leq r\). Sei \(x\in\mdr\) so, dass \((x,y)\in\partial C\). Dann ist \(x^2+y^2=r^2\), also \(x=\pm\sqrt{r^2-y^2}\).
|
||||
Das heißt, es ist \[C_y=\left[-\sqrt{r^2-y^2},+\sqrt{r^2-y^2}\right]\text{ und } \lambda_1(C_y)=2\sqrt{r^2-y^2}\]
|
||||
Aus \ref{Satz 9.1} folgt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lambda_2(C)
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||||
&=\int_\mdr\lambda_1(C_y)\,dy \\
|
||||
&=\int_{[-r,r]}\lambda_1(C_y)\,dy + \int_{\mdr\setminus [-r,r]}\lambda_1(C_y)\,dy\\
|
||||
&=\int_{[-r,r]}2\sqrt{r^2-y^2}\,dy\\
|
||||
&\overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^r_{-r}2\sqrt{r^2-y^2}\,dy\\
|
||||
&\overset{Ana I}= \pi r^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei \(\emptyset\neq X\subseteq\mdr^d\). $X$ sei kompakt, also \(X\in\fb_d\). Weiter sei \(f\colon X\to[0,\infty)\) stetig, woraus mit \ref{Satz 4.11} \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) folgt.
|
||||
Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\]
|
||||
$C$ ist kompakt und somit gilt: \(C\in\fb_{d+1}\).\\
|
||||
Ist \(x\notin X\), so ist \(C^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(C^x)=0\).\\
|
||||
Ist \(x\in X\), so ist \(C^x=[0,f(x)]\), also \(\lambda_1(C^x)=f(x)\). Damit gilt
|
||||
\[\lambda_{d+1}(C) \overset{\ref{Satz 9.1}}= \int_{\mdr^d}\lambda_1(C^x)\,dx = \int_X\lambda_1(C^x)\,dx + \int_{\mdr^d\setminus X}\lambda_1(C^x) \text{ d}x = \int_Xf(x)\,dx \]
|
||||
\item Sei \(I=[a,b]\subseteq\mdr\) mit \(a<b\) und \(f\colon I\to[0,\infty]\) stetig. Setze
|
||||
\[C:=\{(x,y)\in\mdr^2:x\in I, 0\leq y\leq f(x)\}\]
|
||||
Aus Beispiel (2) und \ref{Satz 4.13} folgt \[\lambda_2(C)=\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx \]
|
||||
\item $X$ und $f$ seien wie in Beispiel (2). Setze \[G:=\{(x,f(x)):x\in X\}\]
|
||||
$G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\).
|
||||
Ist \(x\notin X\), so ist \(G^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
|
||||
Ist \(x\in X\), so ist \(G^x=\{f(x)\}\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
|
||||
Aus \ref{Satz 9.1} folgt \[\lambda_2(G)=\int_\mdr\lambda_1(G^x)\,dx=0\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}[Prinzip von Cavalieri]
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||||
Wir definieren $\mu,\nu:\fb_d\to[0,\infty]$ durch:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mu(A):=\int_{\mdr^k} \lambda_l(A^x)\text{ d}x && \nu(A):=\int_{\mdr^l} \lambda_k(A_y)\text{ d}y
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann ist klar, dass $\mu(\emptyset)=\nu(\emptyset)=\lambda_d(\emptyset)=0$ ist.\\
|
||||
Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fb_d$. Dann ist $(A_j^x)$ ebenfalls disjunkt und $(\bigcup A_j)^x=\bigcup A_j^x$. Somit gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mu(\bigcup A_j)&=\int_{\mdr^k} \lambda_l(\bigcup A_j^x)\text{ d}x\\
|
||||
&=\int_{\mdr^k} \sum \lambda_l(A_j^x)\text{ d}x\\
|
||||
&=\sum \int_{\mdr^k} \lambda_l(A_j^x)\text{ d}x\\
|
||||
&=\sum \mu(A_j)
|
||||
\end{align*}
|
||||
D.h. $\mu$ ist ein Maß auf $\fb_d$. Analog lässt sich zeigen, dass $\nu$ ein Maß auf $\fb_d$ ist.\\
|
||||
Sei nun $I\in\ci_d$, dann existieren $I'\in\ci_k, I''\in\ci_l$ mit $I=I'\times I''$. Aus §\ref{Kapitel 8} folgt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\
|
||||
\emptyset &,x\not\in I'\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Also ist $\lambda_l(I^x)=\lambda_l(I'')\cdot\mathds{1}_{I'}(x)$ und damit:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mu(I)&=\int_{\mdr^k}\lambda_l(I'')\cdot\mathds{1}_{I'}(x) \text{ d}x\\
|
||||
&=\lambda_l(I'')\cdot\lambda_k(I') = \lambda_d(I)
|
||||
\end{align*}
|
||||
D.h. auf $\ci_d$ stimmen $\mu$ und $\lambda_d$ überein. Analog gilt $\nu=\lambda_d$ auf $\ci_d$. Da $\ci_d$ die Vorraussetzungen des Satzes \ref{Satz 2.6} erfüllt, gilt $\mu=\lambda_d=\nu$ auf $\fb_d$.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{folgerung}
|
||||
\label{Folgerung 9.2}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei $N\in\fb_d$. Dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lambda_d(N)=0 &\iff \lambda_l(N^x) = 0 \quad \text{ f.ü. auf }\mdr^k\\
|
||||
&\iff \lambda_k(N_y) = 0 \quad \text{ f.ü. auf }\mdr^l\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei $M\subseteq\mdr^k$ ($M\subseteq\mdr^l$) eine Nullmenge, dann ist $M\times\mdr^l$ ($\mdr^k\times M$) eine Nullmenge.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{folgerung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Nach \ref{Satz 9.1} gilt:
|
||||
\[\lambda_d(N)=\int_{\mdr^k}\lambda_l(N^x)\text{ d}x\]
|
||||
Nach \ref{Satz 5.2}(2) folgt die Behauptung. Analog lässt sich die zweite Äquivalenz zeigen.
|
||||
\item Es gilt:
|
||||
\[\forall y\in\mdr^l:(M\times\mdr^l)_y=M\]
|
||||
Damit folgt die Behauptung aus (1).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 9.3}
|
||||
Sei $\emptyset\ne D\in\fb_d$ und $f:D\to\imdr$ messbar. Definiere
|
||||
\[\tilde f(z):=\begin{cases} f(z) &,z\in D\\ 0&,z\not\in D\end{cases}\]
|
||||
Dann ist $\tilde f:\mdr^d\to\imdr$ messbar.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $a\in\mdr$, $B_a:=\{n\in\mdr^d\mid \tilde f(z)\le a\}$.\\
|
||||
\textbf{Fall $a<0$:}
|
||||
\[B_a=\{z\in D\mid f(z)\le a\}\stackrel{\ref{Satz 3.4}}\in\fb_d\]
|
||||
\textbf{Fall $a\ge0$:}
|
||||
\[B_a=\{z\in D\mid f(z)\le a\}\cup \{z\in\mdr^d\setminus D\}\in\fb_d\]
|
||||
Also folgt aus \ref{Satz 3.4} die Messbarkeit von $\tilde f$.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\index{Rotationskörper}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $r>0$ und
|
||||
\[K:=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2<r^2\}\]
|
||||
Dann ist $K$ offen, also $K\in\fb_2$ und es gilt:
|
||||
\[\partial K=\overline{K}\setminus K=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2=r^2\}\in\fb_2\]
|
||||
Damit enthält die Menge $(\partial K)_y$ für alle $x\in\mdr$ höchstens zwei Elemente, d.h.
|
||||
\[\lambda_2(\partial K)=\int_\mdr \lambda_1((\partial K)_y)\text{ d}y=0\]
|
||||
Mit $\overline K=(\partial K) \dot\cup K$ folgt dann
|
||||
\[\lambda_2(K)=\lambda_2(\partial K)+\lambda_2(\overline K)=\lambda_2(\overline K)=\pi r^2\]
|
||||
Sei nun $A\in\fb_2$ mit $K\subseteq A\subseteq\overline K$, dann ist $\lambda_2(A)=\pi r^2$.
|
||||
\item Sei $r>0$ und
|
||||
\[K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2+z^2\le r^2\}\]
|
||||
Dann ist $K$ abgeschlossen, also $K\in\fb_3$.\\
|
||||
\textbf{Fall $|z|>r$:} Es ist $K_z=\emptyset$, also $\lambda_2(K_z)=0$.\\
|
||||
\textbf{Fall $|z|\ge r$:} Es ist
|
||||
\[K_z=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2\le r^2-z^2\}\]
|
||||
und damit $\lambda_2(K_z)=\pi(r^2-z^2)$.\\
|
||||
Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lambda_3(K)&=\int_\mdr \lambda_2(K_z)\text{ d}z\\
|
||||
&=\int_{[-r,r]}\lambda_2(K_z)\text{ d}z+\int_{\mdr\setminus[-r,r]}\lambda_2(K_z)\text{ d}z\\
|
||||
&=\int_{[-r,r]}\pi(r^2-z^2)\text{ d}z\\
|
||||
&\stackrel{\ref{Satz 4.13}}=\int_{-r}^r \pi r^2-\pi z^2\text{ d}z\\
|
||||
&=\frac43\pi r^3
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item $\lambda_2\left(\text{\smiley}\right)=0$
|
||||
\item Wir wollen nun \textbf{Rotationskörper} betrachten. Sei dazu $I=[a,b]\subseteq\mdr$ mit $a<b$ und $f:I\to[0,\infty)$ messbar. Definiere nun
|
||||
\[V:=\{(x,y,z,)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le f(z)^2, z\in I\}\]
|
||||
Setze $D:=\mdr^2\times I$ und $g(x,y,z):= x^2+y^2-f(z)^2$. Dann ist $g$ nach §\ref{Kapitel 3} messbar und $V=\{g\le 0\}\in\fb_3$.\\
|
||||
\textbf{Fall $z\not\in I$:} Es so ist $V_z=\emptyset$, also $\lambda_2(V_z)=0$.\\
|
||||
\textbf{Fall $z\in I$:} Es ist
|
||||
\[V_z=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2\le f(z)^2\}\]
|
||||
und damit $\lambda_2(V_z)=\pi f(z)^2$.\\
|
||||
Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lambda_3(V)&=\int_\mdr \lambda_2(V_z)\text{ d}z\\
|
||||
&= \pi\int_a^b f(z)^2\text{ d}z
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei $h>0$, $I=[0,h]$ und $f(z)=\frac rhz$. Definiere den Kegel
|
||||
\[V:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le \frac{r^2}{h^2}z^2\}\]
|
||||
Dann ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lambda_3(V)&=\pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}z^2\text{ d}z\\
|
||||
&=\frac{\pi r^2h}3
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
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