diff --git a/documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex b/documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex index 4b059e4..a63203d 100644 --- a/documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex +++ b/documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex @@ -9,6 +9,7 @@ \acro{d. h.}{das heißt} \acro{Def.}{Definition} \acro{etc.}{et cetera} + \acro{ex.}{existieren} \acro{Hom.}{Homomorphismus} \acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit} \acro{Prop.}{Proposition} diff --git a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf index 8b78e29..33f7c86 100644 Binary files a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf and b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf differ diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex index d774392..d97284d 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel1.tex @@ -18,8 +18,8 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$. Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. -\begin{bemerkung}[Mengen, die offen \& abgeschlossen sind, existieren]% - Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie} +\begin{bemerkung}[Mengen, die offen \& abgeschlossen sind, ex.]% + Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \textbf{trivialen Topologie} \xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$. Es gilt: $X \in \fT$ und $\emptyset \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$ @@ -41,15 +41,15 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind. z.~B. auch Schnitte zweier Kugeln mit unterschiedlichem Mittelpunkt (vgl. \cref{def:topologie.ii}). \item Jeder metrische Raum $(X, d)$ ist auch ein topologischer Raum. - \item Für eine Menge $X$ heißt $\fT = \powerset{X}$ \enquote{diskrete Topologie}\xindex{Topologie!diskrete}. - \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\ + \item Für eine Menge $X$ heißt $\fT_{\ts{Diskret}} = \powerset{X}$ \textbf{diskrete Topologie}\xindex{Topologie!diskrete}. + \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \textbf{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\ Beobachtungen: \begin{itemize} \item $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$ \item Es gibt keine disjunkten offenen Mengen in $\fT_Z$. \end{itemize} \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$ - \item $X := \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$ heißt \enquote{Sierpińskiraum}.\xindex{Sierpińskiraum}\\ + \item $X := \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$ heißt \textbf{Sierpińskiraum}.\xindex{Sierpińskiraum}\\ $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$ sind dort alle abgeschlossenen Mengen. \end{enumerate} \end{beispiel} @@ -291,14 +291,14 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \end{definition} \begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]\label{Trennungseigenschaft} - Metrische Räume sind hausdorffsch, da - \[d(x,y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\] + Metrische Räume sind hausdorffsch, wegen + \[d(x, y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\] \end{bemerkung} \begin{beispiel}[Topologische Räume und Hausdorff-Räume] \begin{bspenum} \item $(\mdr, \fT_Z)$ ist ein topologischer Raum, der nicht hausdorffsch ist. - \item $(\mdr, \fT)$ ist ein topologischer Raum, der hausdorffsch ist. + \item $(\mdr, \fT_{\ts{Euklid}})$ ist ein topologischer Hausdorff-Raum. \end{bspenum} \end{beispiel} @@ -402,7 +402,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \begin{bspenum} \item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\id_X : X \rightarrow X$ ist Homöomorphismus. - \item Ist $Y$ trivialer topologischer Raum, d.~h. $\fT = \fT_\text{triv}$, + \item Ist $(Y, \fT_Y)$ trivialer topologischer Raum, d.~h. $\fT_Y = \fT_\text{triv}$, so ist jede Abbildung $f:X \rightarrow Y$ stetig. \item Ist $X$ diskreter topologischer Raum, so ist $f:X \rightarrow Y$ stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$. @@ -466,8 +466,8 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder \end{bemerkung} \begin{beweis} - Sei $U \subseteq X$ offen $\Rightarrow \pi_x^{-1} (U) = U \times Y$ - ist offen in $X \times Y$. $\qed$ + Sei $U \subseteq X$ offen\\ + $\Rightarrow \pi_X^{-1} (U) = U \times Y$ ist offen in $X \times Y$. $\qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung}\xindex{Quotiententopologie}% @@ -527,10 +527,14 @@ sodass $\pi$ stetig wird. % Mitschrieb vom 31.10.2013 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(} -\begin{definition}\xindex{zusammenhaengend@zusammenhängend}% - Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen, - nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit - $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$. +\begin{definition}\xindex{Raum!zusammenhaengender@zusammenhängender}\xindex{Menge!zusammenhaengende@zusammenhängende}% + \begin{defenum} + \item Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen, + nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit + $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$. + \item Eine Teilmenge $Y \subseteq X$ heißt zusammenhängend, wenn $Y$ + als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist. + \end{defenum} \end{definition} \begin{bemerkung} @@ -539,15 +543,6 @@ sodass $\pi$ stetig wird. und $A_1 \cup A_2 = X$. \end{bemerkung} -\begin{bemerkung} - Eine Teilmenge $Y \subseteq X$ heißt zusammenhängend, wenn $Y$ - als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist. -\end{bemerkung} - -%\begin{beispiel} -% -%\end{beispiel} - \begin{beispiel}[Zusammenhang von Räumen] \begin{bspenum} \item $(\mdr^n, \fT_{\ts{Euklid}})$ ist zusammenhängend, denn: @@ -623,7 +618,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird. $Z(x)$ heißt \textbf{Zusammenhangskomponente}. \end{definition} -\begin{bemerkung} +\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Zusammenhangskomponenten] Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt: \begin{bemenum} \item $Z(x)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$, @@ -779,7 +774,7 @@ $\qed$ Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$. Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit $\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X$\\ - $\Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\text{Ein grün-oranges Kästchen}} \supseteq X \times Y$\\ + $\Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\mathclap{\text{Ein grün-oranges Kästchen}}} \supseteq X \times Y$\\ $\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$ \end{beweis} @@ -814,7 +809,7 @@ $\qed$ \end{beweis} \begin{bemerkung}\label{kor:5.6}%In Vorlesung: Bemerkung 5.6 - Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig. + Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig.\\ Ist $K \subseteq X$ kompakt, so ist $f(K) \subseteq Y$ kompakt. \end{bemerkung} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex index e66acf4..21bacf6 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex @@ -177,7 +177,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben. \begin{figure}[htp] \centering \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png} - \caption{Zweifachtorus} + \caption{Durch Verklebung zweier Tori entsteht ein Zweifachtorus.} \label{fig:double-torus} \end{figure} \end{beispiel} diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex index 69dfb9d..3a8e314 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel4.tex @@ -379,7 +379,7 @@ schneiden sich. \begin{beweis} Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A') = A$, $\varphi(A'C'^+) = AC^+$ - und $\varphi(AB^+) = AB^+$. Diese Isometrie existiert wegen \cref{axiom:4}. + und $\varphi(A'B'^+) = AB^+$. Diese Isometrie existiert wegen \cref{axiom:4}. $\Rightarrow C \in \varphi(A'C'^+)$ und $B \in \varphi(A'B'^+)$. diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/mycards.cfg b/documents/GeoTopo/definitions/a7cards.cfg similarity index 100% rename from documents/GeoTopo/definitions/mycards.cfg rename to documents/GeoTopo/definitions/a7cards.cfg diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/definitionen.pdf b/documents/GeoTopo/definitions/definitionen.pdf index 1f90c95..d2e37dd 100644 Binary files a/documents/GeoTopo/definitions/definitionen.pdf and b/documents/GeoTopo/definitions/definitionen.pdf differ diff --git a/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex b/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex index 8db08cc..be7a96b 100644 --- a/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex +++ b/documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\documentclass[mycards,frame]{flashcards} +\documentclass[a7cards,frame]{flashcards} \usepackage{etoolbox} \usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts \usepackage{mathtools} % \xRightarrow diff --git a/documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf b/documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf index 8b0a4ee..040af92 100644 Binary files a/documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf and b/documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf differ