Bilder hinzugefügt; ein bisschen von der Vorlesung vom 24.10.2013 hinzugefügt

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

@@ -13,8 +13,11 @@
 \usepackage{csquotes}
 \usepackage{parskip}
 \usepackage{pst-solides3d}
+\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
+\usepackage{pgfplots}
 \usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning}
+\usepackage{tkz-fct}
+\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc}
 \newcommand{\inputTikZ}[2]{%  
      \scalebox{#1}{\input{#2}}  
 }

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -15,7 +15,7 @@
     %\end{figure}
 
 \section{Topologische Räume}
-\begin{definition} \xindex{Topologischer Raum} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
+\begin{definition} \xindex{Raum!topologischer} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
     Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
     aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
     folgenden Eigenschaften
@@ -111,8 +111,75 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 24.10.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{definition}
+\begin{definition} \index{Produkttopologie}
     Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
     $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
     Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
+    gilt.
+    \[\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}\]
+    ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
+    \[\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}\]
+    ist eine Basis von $\fT$.
 \end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit euklidischer Topologie.
+        \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit Zariski-Topologie.
+              $\fT$ Produkttopologie auf $\mdr^2$: $U_1 \times U_2$
+              $\Rightarrow$ Die Produkttopologie auf $\mdr \times \mdr = \mdr^2$
+              stimmt mit der euklidischen Topologie auf $\mdr^2$ überein.\\
+              \todo{Bild einfügen}
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition} \index{Quotiententopologie}
+    Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
+    $\overline{X} = X /  \sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
+    $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$,
+    $U \subseteq \overline{X}$ heißt offen, wenn $\pi^{-1} (U) \subseteq X$
+    offen ist. Dadurch wird eine Topologie auf $\overline{X}$ definiert.
+    Diese Topologie heißt \textbf{Quotiententopologie}.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+    $X = \mdr, a \sim b \Leftrightarrow a-b \in \mdz$
+    
+    \input{figures/number-ray-circle-topology}
+
+    $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$
+    \begin{align*}
+        (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow &x_1 - x_2 \in \mdz\\
+                                                   &y_1 - y_2 \in \mdz
+    \end{align*}
+    $X / \sim$ ist ein Torus.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+    \begin{align*}
+        X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0}, x \sim y &\gdw \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
+            &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
+    \end{align*}
+    \[\overline{X} = \mathbb{P}^n(\mdr)\]
+    Also für $n=1$:
+
+    \input{figures/ursprungsgeraden}
+\end{beispiel}
+
+\todo[inline]{TODO: Es fehlt noch ca. eine Seite}
+
+\section{Metrische Räume}
+\begin{definition} \index{Metrik}
+    Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr$
+    heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\forall x, y \in X: d(x,y) \geq 0$
+        \item $d(x,y) = 0 \gdw x = y$
+        \item $d(x,y) = d(y,x)$
+        \item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
+    \end{enumerate}
+
+    Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum} \index{Raum!metrischer}
+\end{definition}
+
+\todo[inline]{TODO: Es fehlten noch ca. 2 Seiten}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -48,6 +48,34 @@
   sort=subsetneq
 }
 
+\newglossaryentry{R}
+{
+  name={\ensuremath{\mdr}},
+  description={Reele Zahlen},
+  sort=KoerperR
+}
+
+\newglossaryentry{Q}
+{
+  name={\ensuremath{\mdq}},
+  description={Rationale Zahlen},
+  sort=KoerperQ
+}
+
+\newglossaryentry{Z}
+{
+  name={\ensuremath{\mdz}},
+  description={Ganze Zahlen},
+  sort=KoerperZ
+}
+
+\newglossaryentry{Einheitengruppe}
+{
+  name={\ensuremath{\mdr^\times}},
+  description={Multiplikative Einheitengruppe von $\mdr$},
+  sort=GruppeEinheiten
+}
+
 % Setze den richtigen Namen für das Glossar
 \renewcommand*{\glossaryname}{\glossarName}
 \deftranslation{Glossary}{\glossarName}

documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\tikzset{
+    point/.style={
+        thick,
+        draw=gray,
+        cross out,
+        inner sep=0pt,
+        minimum width=4pt,
+        minimum height=4pt,
+    },
+}
+\begin{tikzpicture}
+  
+  \draw[->] (-1.5,0) -- (5.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$};
+
+  \foreach \x in {-1,...,5}
+    \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node [below] {\x};
+
+  \foreach \x in {-1,...,4} {
+    \draw[red] (\x+0.6,0.01) -- (\x+0.6,-0.14) node [below] {};
+    \draw[red] (\x+1.2,0.01) -- (\x+1.2,-0.14) node [below] {};
+    \draw[red] (\x+0.6,-0.07) -- (\x+1.2,-0.07) node [below] {};
+    }
+
+    \begin{scope}[shift={(0,-2)}]
+        \draw[thick] (0cm,0cm) circle(1cm);
+        \draw[thick, red] ([shift={(216:1cm)}]-0.0,0) arc (216:-72:1cm);
+        \draw (0:1cm) node[point, label={[right]{$0$}}] {};
+        \path node[point, blue, label={[blue,above]{$\overline{a}$}}] (posU) at (-252:1cm) {};
+        \path node[label={[red,left]{$U$}}] at (30:1cm) {};
+    \end{scope}
+    \draw (3.7cm,0cm) node[point, blue, label={[blue,above]{$a$}}] (posA) {};
+    \draw (0.7cm,0cm) node[point, blue, label={[blue,above]{$\pi^{-1}(u)$}}] {};
+    \draw[dashed, blue, thick] plot [smooth] coordinates{(posU) (0.2,-0.8) (2.5,-1) (posA)};
+
+    \draw[blue, dashed, thick] (3.7cm,0cm) arc (0:180:1.5 and 0.5);
+
+\end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+    legend pos=south east,
+        axis x line=middle,
+        axis y line=middle,
+        %grid = major,
+        width=12cm,
+        height=8cm,
+        %grid style={dashed, gray!30},
+        xmin=-4,     % start the diagram at this x-coordinate
+        xmax= 8,    % end   the diagram at this x-coordinate
+        ymin=-4,     % start the diagram at this y-coordinate
+        ymax= 4,   % end   the diagram at this y-coordinate
+        axis background/.style={fill=white},
+        %xticklabels={-2,-1.6,...,2},
+        %yticklabels={-8,-7,...,8},
+        %tick align=outside,
+        enlargelimits=true,
+        tension=0.08]
+      % plot the stirling-formulae
+      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; 
+      \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; 
+      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; 
+    \end{axis} 
+\end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -16,4 +16,5 @@
 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)}
 \def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}}
 \def\mdq{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
+\def\mdz{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
 \def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}}