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Das ist der erste Commit (Test), Klausur 2

documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex

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+\documentclass[a4paper]{article}
+
+\usepackage[english]{babel}
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{parskip} % damit keine "unsinnigen" Einrückungen passieren
+
+\title{Musterlösungen für Numerik}
+\author{Felix Benz-Baldas}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section{Klausur 2}
+\subsection{Aufgabe 1}
+\subsubsection*{(a)}
+
+$
+L =
+\begin{pmatrix}
+2 & 0 & 0 \\
+1 & 2 & 0 \\
+4 & 2 & 3 \\
+\end{pmatrix}
+$
+
+
+\subsubsection*{(b)}
+gesucht: det(A)
+
+sei P * L = L * R, die gewohnte LR-Zerlegung
+
+dann gilt:
+
+$det(A) = det(L) * det(R) / det(P)$
+
+det(L) = 1, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine untere Dreiecksmatrix handelt.
+
+$ det(R) = r_{11} * ... * r_{nn} $ da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
+
+
+$ det(P) = $ 1 oder -1
+
+Das Verfahren ist also:
+\begin{enumerate}
+\item Berechne Restmatrix R mit dem Gaußverfahren.
+\item \label{manker} Multipliziere die Diagonalelemente von R
+\item falls die Anzahl an Zeilenvertauschungen ungerade ist negiere das Produkt aus \ref{manker} (eine Zeilenvertauschung verändert lediglich das Vorzeichen und P ist durch Zeilenvertauschungen aus der Einheitsmatrix hervorgegangen)
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Aufgabe 2}
+\subsubsection*{(a)}
+Formel: $y_i = (b_i - \sum_{j=1}^{i-1} y_j \cdot l_{ij} ) \div l_{ii} $
+
+Anmerkung: $l_{ii}$ kann nicht $0$ sein, da L dann nicht mehr invertierbar wäre.
+
+Algorithmus:
+\begin{itemize}
+\item for i = 1 to i = n do
+\begin{itemize}
+\item sum = 0
+\item for j = 1 to j = i - 1 do
+\begin{itemize}
+\item sum = sum + $y_i \cdot l_{ij}$
+\end{itemize}
+\item od
+\item $y_i = (b_i - sum) \div l_{ii}$
+\end{itemize}
+\item od
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{(b)}
+\begin{itemize}
+\item function $ x = LoeseLGS(A,b)$
+\begin{itemize}
+\item $(P,L,R) = LRZer(A)$
+\item $b'=P \cdot b $
+\item $c = VorSub(L,b') $
+\item $x=RueckSub(R,c)$
+\end{itemize}
+\item end
+
+\end{itemize}
+
+
+\subsubsection*{(c)}
+Aufwand:
+\begin{itemize}
+\item Vorwärts-/Rückwärtssubstitution: jeweils $\frac{1}{2} \cdot n^2$
+\item LR-Zerlegung: $\frac{1}{3}n^3$ (den Beweis dazu braucht man nicht wissen)
+\item gesamt: $\frac{1}{3}n^3+n^2$
+\end{itemize}
+
+\end{document}