From 8bb3c64f9257f464cdc929892a0c9e3e17776364 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stephan Gocht Date: Thu, 19 Sep 2013 16:22:20 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Vereinfachung=20am=20ende=20der=20Rechnung=20Hi?= =?UTF-8?q?nzugef=C3=BCgt.=20Textuelle=20Beschreibung=20der=20Quadraturfor?= =?UTF-8?q?mel=20hinzugef=C3=BCgt.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex | 7 +++++++ 1 file changed, 7 insertions(+) diff --git a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex index 9c7cf7f..d86ee98 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex @@ -31,6 +31,13 @@ Nun integrieren wir das Interpolationspolynom: \[ = \int_a^b \frac{f(a) \cdot x}{a-b}dx - \int_a^b \frac{f(a) \cdot b}{a-b}dx + \int_a^b \frac{f(b) \cdot x}{b-a}dx - \int_a^b \frac{f(b) \cdot a}{b-a}dx \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot a^2}{a-b} - \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} + \frac{f(a) \cdot b \cdot a}{a-b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot b^2}{b-a} \] \[ - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a} - \frac{f(b) \cdot a \cdot b}{b-a} + \frac{f(b) \cdot a^2}{b-a}\] +\[=(b-a)\cdot(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2})\] + +Betrachtet man nun die allgemeine Quadraturformel, +\[ +\int_a^b f(x)dx \approx (b-a) \sum_{i=1}^s b_i f(a+c_i(b-a)) +\] +so gilt für die hergeleitete Quadraturformel also $s=2$, $c_1=0, c_2=1$ und $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$. Sie entspricht damit der Trapezregel. \subsection*{Teilaufgabe b)} Sei nun $f(x) = x^2$ und $a = 0$ sowie $b = 4$. Man soll die ermittelte