Vorlesung vom 12.11.2013 geTeXt

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

@@ -84,7 +84,7 @@
 \pagenumbering{arabic}
 \setcounter{page}{1}
 \input{Kapitel1}
-
+\input{Kapitel2}
 \input{Loesungen}
 
 \appendix

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -179,7 +179,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
         X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0}, x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
             &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
     \end{align*}
-    \[\overline{X} = \mathbb{P}^n(\mdr)\]
+    \[\overline{X} = \mdp^n(\mdr)\]
     Also für $n=1$:\nopagebreak\\
     \input{figures/ursprungsgeraden}
 \end{beispiel}
@@ -1004,7 +1004,5 @@ $\qed$
     \caption{Ein 3-gefärber Kleeblattknoten}
 \end{figure}
 
-\todo[inline]{Vorlesung vom 12.11.2013 \LaTeX{}en. Kann mir die jemand einscannen?}
-
 % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
 \input{Kapitel1-UB}

documents/GeoTopo/Kapitel2-UB.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\clearpage
+\section*{Übungsaufgaben}
+\addcontentsline{toc}{section}{Übungsaufgaben}
+
+\begin{aufgabe}\label{ub3:aufg1}
+    \todo{Todo}
+\end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -0,0 +1,104 @@
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013                               %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simpizidkomplexe}
+\section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $n \in \mdn$.
+    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+        \item Eine \textbf{$n$-dimensionale Karte}\xindex{Karte} auf
+              $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subset X$
+              offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
+              von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
+        \item Ein \textbf{$n$-dimensionaler Atlas}\xindex{Atlas} auf $X$ ist eine
+              Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
+              sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
+        \item $X$ heißt (topologische) \textbf{$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
+              wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der 
+              Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+        \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$
+        \item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph.
+              Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer):
+              Ist $U \subseteq \mdr^n$ offen und $f: U \rightarrow \mdr^n$
+              stetig und injektiv, so ist $f(U)$ offen.
+
+              Ist $n < m$ und $\mdr^m$ homöomorph zu $\mdr^n$, so wäre
+              \[f:\mdr^n \rightarrow \mdr^m \rightarrow \mdr^n, \;\;\; (x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, x_2, \dots, x_n, 0, \dots, 0)\]
+              eine stetige injektive Abbildung. Also müsste $f(\mdr^n)$
+              offen sein $\Rightarrow$ Widerspruch
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beispiel}
+    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
+        \item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine 
+              $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus 
+              einer Karte.
+        \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
+              mit einem Atlas aus einer Karte:
+              \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\]
+        \item $\mdp^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\mdp^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten 
+              der Dimension $n$ bzw. $2n$.
+
+              $\mdp^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i, U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} \rightarrow \mdr^n$
+              \begin{align*}
+                (x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \frac{x_i}{x_i}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\
+                (y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
+              \end{align*}
+              ist bijektiv.
+
+              Die $U_i,\; i = 0, \dots, n$ bilden $n$-dimensionalen Atals.
+              \begin{align*}
+                      x &= (1:0:0)            &y &= (0:1:1) \in U_2 \rightarrow \mdr^2\\
+                \in U_0 &\rightarrow \mdr^2   &y &\mapsto (0,1)\\
+                      x &\mapsto (0,0)        &&\text{Umgebung: } \fB_1 (0,1) \rightarrow \Set{(w:z:1) | w^2 + z^2 < 1} = V_2
+              \end{align*}
+              Umgebung $\fB_1(0,1) \rightarrow \Set{(1:u:v) | \|(u,v)\| < 1} = v_1$
+
+              $V_1 \cap V_2 = \emptyset$?
+
+              $(a:b:c) \in V_1 \cap V_2$\\
+              $\Rightarrow a \neq 0$ und $(\frac{b}{a})^2 + (\frac{c}{a})^2 < 1 \Rightarrow \frac{c}{a} < 1$\\
+              $\Rightarrow c \neq 0$ und $(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 < 1 \Rightarrow \frac{a}{c} < 1$\\
+              $\Rightarrow$ Widerspruch
+        \item $S^n = \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}$ ist $n$-dimensionale
+              Mannigfaltigkeit.
+
+              Karten: $O_i := \Set{(x_1, \dots, x_{n+1}) \in S^n | x_i > 0} \rightarrow \fB_1 (\underbrace{0, \dots, 0}_{\in \mdr^n})$\\
+              $(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \dots, x_i, \dots, x_{n+1})$\\
+              $(x_1, \dots, x_{i-1}, \sqrt{1 - \sum x^2}) \mapsfrom (x_1, \dots, x_n)$\todo{was genau steht hier?}\\
+              $S^n = \bigcup_{i=1}^{n+1} (c_i \cup D_i)$
+        \item $[0,1]$ ist keine Mannigfaltigkeit, denn:\\
+              Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph
+              zu einem offenem Intervall ist.
+        \item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist
+              keine Mannigfaltigkeit.
+        \item $V_2 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x^3 = y^2}$ ist eine
+              Mannigfaltigkeit.
+        \item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (O_1, O_2)$
+
+              \[U \subseteq X \text{ offen } \gdw 
+                \begin{cases}
+                    U \text{ offen in } \mdr \setminus \Set{0}, &\text{falls } O_1 \notin U, O_2 \in U\\
+                    \exists \varepsilon > 0 \text{ mit } (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } O_1 \in U, O_2 \in U
+                \end{cases}\]
+              Insbesondere sind $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{O_1}$
+              und $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{O_2}$ offen und
+              homöomorph zu $\mdr$.
+
+              \underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch!
+              Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $O_1$ und
+              $O_2$.
+        \item $\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension 
+              $n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine
+              Mannigfaltigkeit bilden.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel}
+
+% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
+\input{Kapitel2-UB}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -119,7 +119,7 @@
 
 \newglossaryentry{Projektiver Raum}
 {
-  name={\ensuremath{\mathbb{P}}},
+  name={\ensuremath{\mdp}},
   description={Projektiver Raum},
   sort=KoerperXProjektion
 }
@@ -221,6 +221,13 @@
   sort=ZZZOE
 }
 
+\newglossaryentry{Allgemeine lineare Gruppe}
+{
+  name={$\GL_n(K)$},
+  description={Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)},
+  sort=ZZZGL
+}
+
 % Setze den richtigen Namen für das Glossar
 \renewcommand*{\glossaryname}{\glossarName}
 \deftranslation{Glossary}{\glossarName}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -52,9 +52,14 @@
 \renewcommand{\qed}{\hfill\blacksquare}
 \newcommand{\qedwhite}{\hfill \ensuremath{\Box}}
 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)}
+\def\mdp{\ensuremath{\mathbb{P}}}
 \def\mdc{\ensuremath{\mathbb{C}}}
 \def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}}
 \def\mdq{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
 \def\mdz{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
 \def\mdn{\ensuremath{\mathbb{N}}}
 \def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
+
+\def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}}
+\newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}}
+