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documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf
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7
documents/GeoTopo/Kapitel1.tex
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@ -171,15 +171,14 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
\begin{beispiel} \begin{beispiel}
Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$
und $y_1 - y_2 \in \mdz$. und $y_1 - y_2 \in \mdz$. Dann ist $X /_\sim$ ein Torus.
$X /_\sim$ ist ein Torus.
\end{beispiel} \end{beispiel}
\begin{beispiel}\xindex{Raum!projektiver} \begin{beispiel}\xindex{Raum!projektiver}
\begin{align*} \begin{align*}
X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\ X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
&\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade} &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen}\\
&\hphantom{\gdw} \text{Ursprungsgerade}
\end{align*} \end{align*}
\[\overline{X} = \praum^n(\mdr)\] \[\overline{X} = \praum^n(\mdr)\]
Also für $n=1$:\nopagebreak\\ Also für $n=1$:\nopagebreak\\

4
documents/GeoTopo/Kapitel2.tex
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@ -634,11 +634,11 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\begin{figure}[ht] \begin{figure}[ht]
\centering \centering
\subfloat[1D Simplizialkomplex]{ \subfloat[1D Simplizialkomplex]{
\parbox[c][4cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-1-d-simplizialkomplex}} \parbox[c][4cm]{3.5cm}{\centering\input{figures/topology-1-d-simplizialkomplex}}
\label{fig:simplizialkomplex-1-d} \label{fig:simplizialkomplex-1-d}
}% }%
\subfloat[2D Simplizialkomplex (ohne untere Fläche!)]{ \subfloat[2D Simplizialkomplex (ohne untere Fläche!)]{
\parbox[c][4cm]{4cm}{\centering\input{figures/topology-pyramid.tex}} \parbox[c][4cm]{3.5cm}{\centering\input{figures/topology-pyramid.tex}}
\label{fig:simplizialkomplex-2-d} \label{fig:simplizialkomplex-2-d}
}% }%
\subfloat[2D Simplizialkomplex]{ \subfloat[2D Simplizialkomplex]{

8
documents/GeoTopo/Kapitel3.tex
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@ -464,7 +464,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
\label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus} \label{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
}% }%
\subfloat[$t \mapsto (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t)$]{ \subfloat[$t \mapsto (\cos 4 \pi t, \sin 4 \pi t)$]{
\resizebox{0.3\linewidth}{!}{\input{figures/topology-ueberlagerung.tex}} \input{figures/topology-ueberlagerung.tex}
\label{fig:liftung-s1-s1} \label{fig:liftung-s1-s1}
}% }%
\label{fig:ueberlagerungen} \label{fig:ueberlagerungen}
@ -597,7 +597,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\begin{figure} \begin{figure}
\centering \centering
\input{figures/liftung-torus-r.tex} \resizebox{0.95\linewidth}{!}{\input{figures/liftung-torus-r.tex}}
\caption{Beim Liften eines Weges bleiben geschlossene Wege im allgemeinen nicht geschlossen} \caption{Beim Liften eines Weges bleiben geschlossene Wege im allgemeinen nicht geschlossen}
\label{fig:satz-seifert-van-kampen} \label{fig:satz-seifert-van-kampen}
\end{figure} \end{figure}
@ -1170,7 +1170,9 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
Die Konstruktion aus \cref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation Die Konstruktion aus \cref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
$\pi_1(X, x_0)$ aus \cref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus $\pi_1(X, x_0)$ aus \cref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15} $\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}$ ist \begin{align*}\varrho(\pi_1(X, x_0)) &= \Deck(\tilde{X} / X)\\
&= \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}
\end{align*}
\begin{beispiel}% In Vorlesung: Beispiel 13.6 \begin{beispiel}% In Vorlesung: Beispiel 13.6
Sei $X := S^2 \subseteq \mdr^3$ und $\tau$ die Drehung um die $z$-Achse Sei $X := S^2 \subseteq \mdr^3$ und $\tau$ die Drehung um die $z$-Achse

18
documents/GeoTopo/Kapitel4.tex
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@ -707,11 +707,11 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
\begin{figure}[ht] \begin{figure}[ht]
\centering \centering
\subfloat[Schritt 1]{ \subfloat[Schritt 1]{
\input{figures/coordinate-system-1.tex} \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-1.tex}}
\label{fig:14.13.1} \label{fig:14.13.1}
}% }%
\subfloat[Schritt 2]{ \subfloat[Schritt 2]{
\input{figures/coordinate-system-2.tex} \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}}
\label{fig:14.13.2} \label{fig:14.13.2}
}% }%
\label{fig:14.13.0.1} \label{fig:14.13.0.1}
@ -737,11 +737,11 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
\begin{figure}[ht] \begin{figure}[ht]
\centering \centering
\subfloat[Schritt 1]{ \subfloat[Schritt 1]{
\input{figures/coordinate-system-2.tex} \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}}
\label{fig:14.13.3} \label{fig:14.13.3}
}% }%
\subfloat[Schritt 2 (Bild 13)]{ \subfloat[Schritt 2 (Bild 13)]{
\input{figures/todo.tex} \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/todo.tex}}
\label{fig:14.13.4} \label{fig:14.13.4}
}% }%
\label{fig:14.13.0.2} \label{fig:14.13.0.2}
@ -793,11 +793,11 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
\begin{figure}[ht] \begin{figure}[ht]
\centering \centering
\subfloat[Fall 1]{ \subfloat[Fall 1]{
\input{figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-1.tex} \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-1.tex}}
\label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-1} \label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-1}
}% }%
\subfloat[Fall1]{ \subfloat[Fall 2]{
\input{figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-2.tex} \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolische-geometrie-axiom-1-2.tex}}
\label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2} \label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2}
}% }%
\label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-0} \label{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-0}
@ -866,11 +866,11 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
\begin{figure}[ht] \begin{figure}[ht]
\centering \centering
\subfloat[Fall 1]{ \subfloat[Fall 1]{
\input{figures/hyberbolische-geometrie-1.tex} \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyberbolische-geometrie-1.tex}}
\label{fig:prop15.2.e.fall1.1} \label{fig:prop15.2.e.fall1.1}
}% }%
\subfloat[Fall 2 (Strahlensatz)]{ \subfloat[Fall 2 (Strahlensatz)]{
\input{figures/hyberbolische-geometrie-2.tex} \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyberbolische-geometrie-2.tex}}
\label{fig:prop15.2.e.fall1.1} \label{fig:prop15.2.e.fall1.1}
}% }%
\label{fig:prop15.2.e.fall1.0} \label{fig:prop15.2.e.fall1.0}

2
documents/GeoTopo/figures/topology-ueberlagerung.tex
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@ -16,7 +16,7 @@
\node at ($(#1)!#5!(middle)$) {#6}; \node at ($(#1)!#5!(middle)$) {#6};
} }
\begin{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\newcommand{\R}{2} \newcommand{\R}{2}
\draw (0,0) circle (\R); \draw (0,0) circle (\R);
\draw[->, thick] ({-(\R+0.2)},0) -- ({\R+0.2},0); \draw[->, thick] ({-(\R+0.2)},0) -- ({\R+0.2},0);

BIN
documents/GeoTopo/other-formats/GeoTopo-A5.pdf Normal file
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Binary file not shown.

2
tikz/topology-ueberlagerung/topology-ueberlagerung.tex
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@ -21,7 +21,7 @@
} }
\begin{document} \begin{document}
\begin{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\newcommand{\R}{2} \newcommand{\R}{2}
\draw (0,0) circle (\R); \draw (0,0) circle (\R);
\draw[->, thick] ({-(\R+0.2)},0) -- ({\R+0.2},0); \draw[->, thick] ({-(\R+0.2)},0) -- ({\R+0.2},0);