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Martin Thoma
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7561576c87
commit
8c5ce70f1b
2 changed files with 152 additions and 122 deletions
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@ -1,15 +1,23 @@
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% Original Source: http://mitschriebwiki.nomeata.de/data/WS10/Ana3Bachelor.tex
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\documentclass[a4paper,twoside,DIV15,BCOR12mm,chapterprefix=true,headings=onelinechapter]{scrbook}
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\usepackage{ana}
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\documentclass[a4paper,oneside,DIV15,BCOR12mm]{scrbook}
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\usepackage{mathe}
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\usepackage{saetze-schmoeger}
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\lecturer{Dr. C. Schmoeger}
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\semester{Wintersemeseter 10/11}
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\semester{Wintersemeseter 10/11 und 12/13}
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\scriptstate{complete}
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\author{Die Mitarbeiter von \url{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}}
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\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de}
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und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{GitHub}}
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\title{Analysis III - Bachelorversion}
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\makeindex
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub},
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pdfkeywords = {Analysis},
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pdftitle = {Analysis III}
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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@ -18,22 +26,35 @@
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Inhaltsverzeichnis}
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\tableofcontents
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\chapter{Vorwort}
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\chapter*{Vorwort}
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\section{Über dieses Skriptum}
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Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von Herrn Schmoeger im
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Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe (KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher Genehmigung
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von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht
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verantwortlich.
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\section*{Über dieses Skriptum}
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Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von
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Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe
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(KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher
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Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger
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ist für den Inhalt nicht verantwortlich.
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\section{Wer}
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Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt an diesem Mitschrieb sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Jan Ihrens, Peter Pan und Benjamin Unger.
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\section*{Wer}
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Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt an diesem
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Mitschrieb sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Jan Ihrens, Peter Pan
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und Benjamin Unger.
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\section{Wo}
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Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter \url{http://mitschriebwiki.nomeata.de} abgerufen werden.
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Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die \LaTeX-Funktionen erweitert.
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Im September 2012 wurde das Skript mit der Revisionsnummer 7132 von
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mitschriebwiki auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III}{GitHub} hochgeladen.
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\section*{Wo}
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Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter
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\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de}
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abgerufen werden.
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Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die
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\LaTeX-Funktionen erweitert.
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Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung
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beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion} möglich.
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beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion}
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möglich.
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Oder man geht auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III/}{github},
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erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen.
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\renewcommand{\thechapter}{\arabic{chapter}}
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@ -44,38 +65,49 @@ beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion} möglich.
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\chapter{Vorbereitungen}
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\label{Kapitel 0}
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||||
In diesem Paragraphen seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\varnothing$) und $f:X\to Y, g:Y\to Z$ Abbildungen.
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||||
In diesem Paragraphen seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und
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||||
$f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
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||||
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\index{Potenzmenge}
|
||||
\index{Disjunktheit}
|
||||
\item
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt \textbf{Potenzmenge} von $X$.
|
||||
\item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$ \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\varnothing$ für $A,B\in\fm$ mit $A\ne B$.
|
||||
\item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also $A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $\{A_1,A_2,\ldots\}$ disjunkt ist. In diesem Fall schreibe: $\dot{\bigcup}_{j=1}^\infty:=\bigcup_{j=1}^\infty A_j$\\
|
||||
Allgemein sei $\bigcup_{j=1}^\infty A_j:=\bigcup A_j$ und $\bigcap_{j=1}^\infty A_j:=\bigcap A_j$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$, für $x\in X$ definiere
|
||||
\[\mathds{1}_A(x):=\begin{cases}1, x\in A\\ 0, x\in A^c\end{cases}\]
|
||||
wobei $A^c:=X\setminus A$.
|
||||
\item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$ und es gelten folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c$
|
||||
\item Ist $B_j$ eine Folge in $\mathcal{P}(Y)$, so gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f^{-1}(\bigcup B_j)=\bigcup f^{-1}(B_j)\\
|
||||
f^{-1}(\bigcap B_j)=\bigcap f^{-1}(B_j)\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Ist $C\subseteq Z$, so gilt:
|
||||
\[(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item $\sum_{j=1}^\infty a_j =: \sum a_j$
|
||||
\index{Potenzmenge}
|
||||
\index{Disjunktheit}
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt
|
||||
\textbf{Potenzmenge} von $X$.
|
||||
\item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$
|
||||
\textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$
|
||||
für $A,B\in\fm$ mit $A\ne B$.
|
||||
\item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also
|
||||
$A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt},
|
||||
genau dann wenn $\{A_1,A_2,\ldots\}$ disjunkt ist. In
|
||||
diesem Fall schreibe:
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||||
$\dot{\bigcup}_{j=1}^\infty:=\bigcup_{j=1}^\infty A_j$\\
|
||||
Allgemein sei $\bigcup_{j=1}^\infty A_j:=\bigcup A_j$
|
||||
und $\bigcap_{j=1}^\infty A_j:=\bigcap A_j$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$, für $x\in X$ definiere
|
||||
\[\mathds{1}_A(x):=\begin{cases}1, x\in A\\ 0, x\in A^c\end{cases}\]
|
||||
wobei $A^c:=X\setminus A$.
|
||||
\item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$
|
||||
und es gelten folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c$
|
||||
\item Ist $B_j$ eine Folge in $\mathcal{P}(Y)$, so gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f^{-1}(\bigcup B_j)=\bigcup f^{-1}(B_j)\\
|
||||
f^{-1}(\bigcap B_j)=\bigcap f^{-1}(B_j)\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Ist $C\subseteq Z$, so gilt:
|
||||
\[(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item $\sum_{j=1}^\infty a_j =: \sum a_j$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\chapter{$\sigma$-Algebren und Maße}
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\label{Kapitel 1}
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||||
In diesem Paragraphen sei $\varnothing\ne X$ eine Menge.
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||||
In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne X$ eine Menge.
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{$\sigma$-!Algebra}
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||||
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@ -89,8 +121,8 @@ Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine \textbf{$\sigma$-Algebra} au
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||||
\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}
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||||
\item $\{X,\varnothing\}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind $\sigma$-Algebren auf $X$.
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\{X,\varnothing, A, A^c\}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\item $\{X,\emptyset\}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind $\sigma$-Algebren auf $X$.
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\{X,\emptyset, A, A^c\}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\item $\fa:=\{A\subseteq X: A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar$\}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
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@ -99,7 +131,7 @@ Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine \textbf{$\sigma$-Algebra} au
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|||
\label{Lemma 1.1}
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||||
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\varnothing\in\fa$
|
||||
\item $\emptyset\in\fa$
|
||||
\item Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist $\bigcap A_j\in\fa$.
|
||||
\item Sind $A_1,\ldots,A_n\in\fa$, so gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
|
@ -112,10 +144,10 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
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|||
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\begin{beweis}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\varnothing=X^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$)).
|
||||
\item $\emptyset=X^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$)).
|
||||
\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch $D=(D^c)^c\in\fa$.
|
||||
\item \begin{enumerate}
|
||||
\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ folgt aus ($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\varnothing$ ($j\ge 1$).
|
||||
\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ folgt aus ($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$).
|
||||
\item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$ folgt aus (2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1$).
|
||||
\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
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@ -124,7 +156,7 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
|
|||
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||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 1.2}
|
||||
Sei $\varnothing\ne\cf$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. Dann ist
|
||||
Sei $\emptyset\ne\cf$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. Dann ist
|
||||
\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
||||
eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
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@ -146,14 +178,14 @@ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
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|
||||
\begin{definition}
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||||
\index{Erzeuger}
|
||||
Sei $\varnothing\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$ und $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
|
||||
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$ und $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
|
||||
Dann ist wegen 1.2 $\sigma(\mathcal{E})$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}. $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von $\sigma(\mathcal{E})$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 1.3}
|
||||
Sei $\varnothing\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
|
||||
Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$. $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "kleinste" $\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält.
|
||||
\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$.
|
||||
|
|
@ -171,9 +203,9 @@ Sei $\varnothing\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
|
|||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist $\sigma(\mathcal{E})=\{X,\varnothing,A,A^c\}$.
|
||||
\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist $\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$.
|
||||
\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$. Dann gilt:
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\varnothing, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\]
|
||||
\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
|
|
@ -217,7 +249,7 @@ Allgemeiner lässt sich zeigen: $\mdq^d:=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\ldo
|
|||
[a,b)&:=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_d,b_d)\\
|
||||
[a,b]&:=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_d,b_d]
|
||||
\end{align*}
|
||||
mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\varnothing$, falls $a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,d\}$.
|
||||
mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls $a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,d\}$.
|
||||
\item Für $k\in\{1,\ldots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die folgenden \textbf{Halbräume}:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H_k^-(\alpha):=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha\}\\
|
||||
|
|
@ -244,8 +276,8 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
|
|||
\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b, (a,b)\subseteq G\}$. Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$. also gilt:
|
||||
\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\subseteq\sigma(\ce_1)\]
|
||||
\item Sei $(a,b)\in\ce_1$.\\
|
||||
\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\varnothing\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\
|
||||
\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\varnothing, a=(a_1\ldots,a_d), b=(b_1\ldots,b_d)$. Dann gilt für alle $j\in\{1,\ldots,d\}:a_j<b_j$, also gilt auch:
|
||||
\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\emptyset\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\
|
||||
\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\emptyset, a=(a_1\ldots,a_d), b=(b_1\ldots,b_d)$. Dann gilt für alle $j\in\{1,\ldots,d\}:a_j<b_j$, also gilt auch:
|
||||
\[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\ldots,d\}:a_j<b_j-\frac1n\]
|
||||
Definiere $c_n:=(\frac1n,\ldots,\frac1n)\in\mdq^d$. Dann gilt:
|
||||
\[(a,b)=\bigcup_{n\ge N}(a,b-c_n]\in\sigma(\ce_2)\]
|
||||
|
|
@ -259,18 +291,18 @@ Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch $\sigma(\ce_2) \subset
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Spur}
|
||||
Sei $\varnothing \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und $\varnothing \neq Y \subseteq X$.
|
||||
Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und $\emptyset \neq Y \subseteq X$.
|
||||
\[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\]
|
||||
heißt die \textbf{Spur von $\fm$ in $Y$}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Spuren und $\sigma$-Algebren]
|
||||
\label{Satz 1.5}
|
||||
Sei $\varnothing \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\fa_Y$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
|
||||
\item $\fa_Y \subseteq \fa \iff Y \in \fa$
|
||||
\item Ist $\varnothing \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so ist $\sigma(\ce_Y) = \sigma(\ce)_Y$.
|
||||
\item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so ist $\sigma(\ce_Y) = \sigma(\ce)_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
|
@ -337,7 +369,7 @@ Wegen 13.1 Ana I können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet werden, ohne
|
|||
\index{Wahrscheinlichkeitsmaß}\index{Maß!Wahrscheinlichkeits-}
|
||||
Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[$(M_1)$] $\mu(\varnothing)=0$
|
||||
\item[$(M_1)$] $\mu(\emptyset)=0$
|
||||
\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist $\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt \textbf{$\sigma$-Additivität}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Ist $\mu$ ein Maß auf $\fa$, so heißt $(X,\fa,\mu)$ ein \textbf{Maßraum}.\\
|
||||
|
|
@ -355,7 +387,7 @@ Ein Maß $\mu$ heißt \textbf{endlich}, genau dann wenn $\mu(X)<\infty$. Ein Ma
|
|||
1,\ x_0\in A\\
|
||||
0,\ x_0\not\in A
|
||||
\end{cases}\]
|
||||
Klar ist, dass $\delta_{x_0}(\varnothing)=0$ ist.\\
|
||||
Klar ist, dass $\delta_{x_0}(\emptyset)=0$ ist.\\
|
||||
Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$.
|
||||
\[\delta_{x_0}(\bigcup A_j)=
|
||||
\left.\begin{cases}
|
||||
|
|
@ -367,12 +399,12 @@ $\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\cp(X)$ und heißt \textbf{Punktmaß} oder \tex
|
|||
\begin{align*}
|
||||
\mu(A):=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
0&,A=\varnothing\\
|
||||
\sum_{j\in A}p_j&,A\ne\varnothing
|
||||
0&,A=\emptyset\\
|
||||
\sum_{j\in A}p_j&,A\ne\emptyset
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}. Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der Elemente von $A$.
|
||||
\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\varnothing\ne Y\subseteq X$ und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$. Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch $\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$). Dann ist $(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\
|
||||
\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$ und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$. Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch $\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$). Dann ist $(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\
|
||||
Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$ und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch $\mu_{|Y}(A):=\mu(A)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
|
@ -416,13 +448,13 @@ Dann: \(\mu(\bigcup A_{j})=\mu(\bigcup B_{j})=\sum{\mu(B_{j})}=\lim_{n\to\infty}
|
|||
\label{Kapitel 2}
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||||
\index{Lebesguemaß}
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||||
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||||
In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\varnothing\).
|
||||
In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{Ring}
|
||||
Sei \(\varnothing\neq\mathfrak{R}\subseteq\mathcal{P}(X)\). \(\mathfrak{R}\)
|
||||
Sei \(\emptyset\neq\mathfrak{R}\subseteq\mathcal{P}(X)\). \(\mathfrak{R}\)
|
||||
hei\ss t ein \textbf{Ring} (auf \(X\)), genau dann wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\varnothing\in\mathfrak{R}\)
|
||||
\item \(\emptyset\in\mathfrak{R}\)
|
||||
\item \(A,B\in\mathfrak{R}\,\implies\,A\cup B,\,B\setminus A\in\mathfrak{R}\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
|
@ -434,7 +466,7 @@ Sei \(d\in\MdN\).
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|||
\item \(\ci_{d}:=\{(a,b]\mid a,b\in\MdR^{d},\,a\leq b\}\).
|
||||
Seien \(a=(a_{1},\ldots,a_{d}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{d})\in\MdR^d\) und \(I:=(a,b]\in \ci_{d}\)
|
||||
\[
|
||||
\lambda_{d}(I)=\begin{cases}0&\text{falls }I=\varnothing\\(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots(b_{d}-a_{d})&\text{falls }I\neq\varnothing\end{cases}\quad\text{(\textbf{Elementarvolumen})}
|
||||
\lambda_{d}(I)=\begin{cases}0&\text{falls }I=\emptyset\\(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots(b_{d}-a_{d})&\text{falls }I\neq\emptyset\end{cases}\quad\text{(\textbf{Elementarvolumen})}
|
||||
\]
|
||||
\item \(\cf_d:=\left\{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j}\mid n\in\MdN,\,I_{1},\ldots,I_{n}\in I_{d}\right\}\) (\textbf{Menge der Figuren})
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -457,7 +489,7 @@ Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann:
|
|||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\)
|
||||
|
||||
Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) für ein \(k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\varnothing\in\ci_{d}\).
|
||||
Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) für ein \(k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\emptyset\in\ci_{d}\).
|
||||
Sei \(\alpha_{k}'<\beta_{k}'\forall k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k}',\beta_{k}']\in\ci_{d}}\)
|
||||
\item Induktion nach \(d\):
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
|
@ -497,7 +529,7 @@ A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{\left(\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\right)}
|
|||
\]
|
||||
Daraus folgt die Behauptung für \(n+1\).
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item \((a,a]=\varnothing\implies\varnothing\in\cf_{d}\)
|
||||
\item \((a,a]=\emptyset\implies\emptyset\in\cf_{d}\)
|
||||
|
||||
Seien \(A,B\in\cf_{d}\). Klar: \(A\cup B\in\cf_{d}\)
|
||||
|
||||
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@ -536,12 +568,12 @@ wohldefiniert.
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|||
\label{Satz 2.3}
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||||
Seien \(A,B\in\cf_{d}\) und \((B_{n})\) sei eine Folge in \(\cf_{d}\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(A\cap B=\varnothing\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(A\cap B=\emptyset\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(A\subseteq B\implies\lambda_{d}(A)\leq\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(\lambda_{d}(A\cup B)\leq\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\) und
|
||||
\(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\).
|
||||
\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und \(\bigcap B_{n}=\varnothing\), so gilt: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\)
|
||||
\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und \(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
|
@ -553,7 +585,7 @@ disjunkt und es existiert \(\{I_{1}',\ldots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
|||
\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\).
|
||||
|
||||
\(J:=\{I_{1},\ldots,I_{n},I_{1}',\ldots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus
|
||||
\(A\cap B=\varnothing\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann:
|
||||
\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann:
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||||
\(A\cup B=\bigcup_{I\in J}{I}\) % Hier auch wieder: \bigcupdot
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||||
|
||||
Also:
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||||
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@ -572,17 +604,17 @@ Also:
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|||
\lambda_{d}(B_{n}\setminus C_{n})\leq\frac{\varepsilon}{2^{n}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Dann:
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||||
\(\bigcap{\overline{C}_{n}}\subseteq\bigcap{B_{n}}=\varnothing\implies\bigcup{\overline{C}_{n}^{c}}=\mdr^{d}\implies\underbrace{\overline{B}_{1}}_{\text{kompakt}}\subseteq\bigcup{\underbrace{\overline{C}_{n}^{c}}_{\text{offen}}}\)
|
||||
\(\bigcap{\overline{C}_{n}}\subseteq\bigcap{B_{n}}=\emptyset\implies\bigcup{\overline{C}_{n}^{c}}=\mdr^{d}\implies\underbrace{\overline{B}_{1}}_{\text{kompakt}}\subseteq\bigcup{\underbrace{\overline{C}_{n}^{c}}_{\text{offen}}}\)
|
||||
|
||||
Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, \S 2) folgt:
|
||||
\(\exists m\in\mdn:\,\bigcup_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}^{c}}\supseteq\overline{B}_{1}\)
|
||||
Dann: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\overline{B}_{1}^{c}\).
|
||||
Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\).
|
||||
|
||||
Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\varnothing\). Das hei\ss t:
|
||||
\(\bigcap_{j=1}^{n}{\overline{C}_{j}}=\varnothing\,\forall n\geq m\)
|
||||
Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das hei\ss t:
|
||||
\(\bigcap_{j=1}^{n}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\,\forall n\geq m\)
|
||||
|
||||
\(D_{n}:=\bigcap_{j=1}^{n}{C_{j}}\). Dann: \(D_{n}=\varnothing\,\forall n\geq m\)
|
||||
\(D_{n}:=\bigcap_{j=1}^{n}{C_{j}}\). Dann: \(D_{n}=\emptyset\,\forall n\geq m\)
|
||||
|
||||
\textbf{Behauptung:} \(\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\ep\,\forall n\in\mdn\)
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
|
|
@ -599,7 +631,7 @@ Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\varnothing\). Das hei\ss t:
|
|||
\end{itemize}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
Für \(n\geq m:\,D_{n}=\varnothing\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\varepsilon\leq\varepsilon\)
|
||||
Für \(n\geq m:\,D_{n}=\emptyset\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\varepsilon\leq\varepsilon\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
|
|
@ -608,7 +640,7 @@ Für \(n\geq m:\,D_{n}=\varnothing\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{
|
|||
Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\)
|
||||
hei\ss t ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(\mu(\varnothing)=0\)
|
||||
\item \(\mu(\emptyset)=0\)
|
||||
\item Ist \(A_{j}\) eine disjunkte Folge in \(\fr\) und \(\bigcup{A_{j}}\in\fr\), so ist \(\mu\left(\bigcup{A_{j}}\right)=\sum{\mu(A_{j})}\).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
|
@ -619,7 +651,7 @@ hei\ss t ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt:
|
|||
\end{satz}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Klar: \(\lambda_{d}(\varnothing)=0\)
|
||||
\item Klar: \(\lambda_{d}(\emptyset)=0\)
|
||||
\item Sei \(A_{j}\) eine disjunkte Folge in \(\cf_{d}\) und \(A:=\bigcup{A_{j}}\in\cf_{d}\).
|
||||
|
||||
\(B_{n}:=\bigcup_{j=n}^{\infty}{A_{j}}\,(n\in\mdn)\); \((B_{n})\) hat die
|
||||
|
|
@ -650,7 +682,7 @@ Insbesondere: \(\overline{\mu}\) ist ein Ma\ss \ auf \(\sigma(\fr)\).
|
|||
|
||||
\begin{satz}[Eindeutigkeitssatz]
|
||||
\label{Satz 2.6}
|
||||
Sei \(\varnothing\neq\ce\subseteq\cp(X)\), es seien \(\nu,\,\mu\) Ma\ss e auf
|
||||
Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(X)\), es seien \(\nu,\,\mu\) Ma\ss e auf
|
||||
\(\sigma(\ce)\) und es gelte: \(\mu(E)=\nu(E)\,\forall E\in\ce\).
|
||||
|
||||
Weiter gelten:
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@ -806,7 +838,7 @@ Also auch:
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\end{beweis}
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||||
\textbf{Auswahlaxiom:}\\
|
||||
Sei $\varnothing\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\{X_\omega\mid \omega\in\Omega\}$ ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass $C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
||||
Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\{X_\omega\mid \omega\in\Omega\}$ ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass $C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Satz von Vitali]
|
||||
\label{Satz 2.11}
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@ -857,7 +889,7 @@ Also ist $\lambda_d(C)=0$. Damit folgt aus (2):
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\chapter{Messbare Funktionen}
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||||
\label{Kapitel 3}
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||||
In diesem Paragraphen seien $\varnothing\ne X,Y,Z$ Mengen.
|
||||
In diesem Paragraphen seien $\emptyset\ne X,Y,Z$ Mengen.
|
||||
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||||
\begin{definition}
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||||
\index{messbar!Raum}\index{Raum!messbarer}
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||||
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@ -885,7 +917,7 @@ Dann ist $f$ $\fa'$-$\fb'$-messbar.
|
|||
\item Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $A\subseteq X$. $\mathds{1}_A:X\to\mdr$ ist genau dann $\fa$-$\fb_1$-messbar, wenn $A\in\fa$ ist.
|
||||
\item Sei $X=\mdr^d$. Ist $A\in\fb_d$, so ist $\mathds{1}_A$ $\fb_d$-$\fb_1$-messbar.
|
||||
\item Ist $C$ wie in \ref{Satz 2.11}, so ist $\mathds{1}_C$ nicht $\fb_d$-$\fb_1$-messbar.
|
||||
\item Es sei $f:X\to Y$ eine Funktion und $\fb$ ($\fa$) eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ ($X$), dann ist $f$ $\cp(X)$-$\fb$-messbar ($\fa$-$\{Y,\varnothing\}$-messbar).
|
||||
\item Es sei $f:X\to Y$ eine Funktion und $\fb$ ($\fa$) eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ ($X$), dann ist $f$ $\cp(X)$-$\fb$-messbar ($\fa$-$\{Y,\emptyset\}$-messbar).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
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@ -895,7 +927,7 @@ Seien \(\fa,\,\fb,\,\fc\) \(\sigma\)-Algebren auf \(X,\,Y\) bzw. \(Z\). Weiter s
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|||
Funktionen.
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist \(f\) \(\fa-\fb-\)messbar und ist \(g\) \(\fb-\fc-\)messbar, so ist \(g\circ f:\,X\to Z\) \(\fa-\fc-\)messbar.
|
||||
\item Sei \(\varnothing\neq\ce\subseteq\cp(Y)\) und \(\sigma(\ce)=\fb\). Dann:
|
||||
\item Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(Y)\) und \(\sigma(\ce)=\fb\). Dann:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\(f\) ist \(\fa-\fb-\)messbar, genau dann, wenn gilt: \(\forall E\in\ce:\,f^{-1}(E)\in\fa\)
|
||||
\end{center}
|
||||
|
|
@ -979,7 +1011,7 @@ Es ist \(fg=\vp\circ h\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(fg\) ist messbar.
|
|||
\begin{folgerungen}
|
||||
\label{Folgerung 3.3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\varnothing\) und \(X=A\cup B\). Weiter seien \(f:A\to\mdr^{k}\) und
|
||||
\item Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\). Weiter seien \(f:A\to\mdr^{k}\) und
|
||||
\(g:B\to\mdr^{k}\) messbar. Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch
|
||||
\[
|
||||
h(x):=\begin{cases}f(x)&x\in A\\g(x)&x\in B\end{cases},
|
||||
|
|
@ -1007,7 +1039,7 @@ Es ist \(g=\vp\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1} folgt: \(g\) ist messbar.
|
|||
|
||||
für \(x\neq 0:\,f(x,x)=\frac{\sin(X)}{x}\overset{x\to 0}{\to}1\neq 0=f(0,0)\), daraus folgt: \(f\) ist nicht stetig.
|
||||
|
||||
\(A:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x=0\},\,B:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x\neq 0\},\,X=A\cup B,\,A\cap B=\varnothing\). \(A\) ist
|
||||
\(A:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x=0\},\,B:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x\neq 0\},\,X=A\cup B,\,A\cap B=\emptyset\). \(A\) ist
|
||||
abgeschlossen, das hei\ss t: \(A\in\fb_{2},\,B=A^{C}\in\fb_{2}\)
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -1069,7 +1101,7 @@ Sei \(f:\,X\to\imdr\). \(f\) hei\ss t \textbf{(Borel-)messbar} (mb) \(:\Leftrigh
|
|||
|
||||
Sei \(B\in\overline{\fb}_{1},\,A:=f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}\)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[Fall 1:] \(+\infty\not\in B\), dann: \(A=\varnothing\in\fb(X)\)
|
||||
\item[Fall 1:] \(+\infty\not\in B\), dann: \(A=\emptyset\in\fb(X)\)
|
||||
\item[Fall 2:] \(+\infty\in B\), dann: \(A=X\in\fb(X)\)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\(f\) ist messbar.
|
||||
|
|
@ -1113,9 +1145,9 @@ Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und \ref{Satz 3.1}.
|
|||
\begin{definition}
|
||||
Sei $M\subseteq\imdr$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ist $M=\varnothing$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei
|
||||
\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei
|
||||
\[\sup M:=-\infty\]
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\varnothing$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei
|
||||
\[\sup M:= \sup (M\setminus\{-\infty\})\]
|
||||
\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei
|
||||
\[\sup M:=\infty\]
|
||||
|
|
@ -1278,7 +1310,7 @@ Weiter gilt:
|
|||
\chapter{Konstruktion des Lebesgueintegrals}
|
||||
\label{Kapitel 4}
|
||||
|
||||
In diesem Paragraphen sei $\varnothing\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben außerdem $\lambda$ statt $\lambda_d$.
|
||||
In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben außerdem $\lambda$ statt $\lambda_d$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Lebesgueintegral}
|
||||
|
|
@ -1462,7 +1494,7 @@ Dann erfüllt \((s_n)\) die Voraussetzungen von \ref{Satz 4.6}. Aus 4.6 und \ref
|
|||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 4.8}
|
||||
Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar und es sei $\varnothing\ne Y\in\fb(X)$ (also $Y\subseteq X$ und $Y\in\fb_d$). Dann sind die Funktionen $f_{|Y}:Y\to[0,\infty]$ und $\mathds{1}_Y\cdot f:X\to[0,\infty]$ messbar und es gilt:
|
||||
Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar und es sei $\emptyset\ne Y\in\fb(X)$ (also $Y\subseteq X$ und $Y\in\fb_d$). Dann sind die Funktionen $f_{|Y}:Y\to[0,\infty]$ und $\mathds{1}_Y\cdot f:X\to[0,\infty]$ messbar und es gilt:
|
||||
\[\int_Y f(x) \text{ d}x:=\int_Y f_{|Y}(x) \text{ d}x=\int_X (\mathds{1}_Y\cdot f)(x) \text{ d}x\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1555,7 +1587,7 @@ $f, g: X \to \imdr$ seien integrierbar und es sei $\alpha \in \mdr$.
|
|||
\item $\max\{f,g\}$ und $\min\{f,g\}$ sind integrierbar.
|
||||
\item Ist $f\leq g$ auf $X$, so ist $\int_X f \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x$.
|
||||
\item $\lvert \int_X f \text{ d}x \rvert \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x$. (Dreiecksungleichung für Integrale)
|
||||
\item Sei $\varnothing\ne Y \in \fb(X)$. Dann sind die Funktionen $f_{|Y}: Y \to \imdr$ und $\mathds{1}_Y\cdot f: X \to \imdr$ integrierbar und
|
||||
\item Sei $\emptyset\ne Y \in \fb(X)$. Dann sind die Funktionen $f_{|Y}: Y \to \imdr$ und $\mathds{1}_Y\cdot f: X \to \imdr$ integrierbar und
|
||||
\[\int_Y f(x) \text{ d}x := \int_Y f_{|Y} (x) \text{ d}x = \int_X(\mathds{1}_Y \cdot f)(x) \text{ d}x\]
|
||||
\item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschränkt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -1616,9 +1648,9 @@ Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da
|
|||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 4.12}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Sind $\varnothing\ne A,B \in \fb(X)$ disjunkt, $X = A \cup B$ und ist $f: X \to \imdr$ integrierbar (über $X$), so ist $f$ integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$ und es gilt:
|
||||
\item Sind $\emptyset\ne A,B \in \fb(X)$ disjunkt, $X = A \cup B$ und ist $f: X \to \imdr$ integrierbar (über $X$), so ist $f$ integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$ und es gilt:
|
||||
\[\int_X f \text{ d}x = \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x\]
|
||||
\item Ist $\varnothing \neq K \subseteq \mdr^d $ kompakt und $f:K\to\mdr$ stetig, so ist $f \in \fl^1(K)$.
|
||||
\item Ist $\emptyset \neq K \subseteq \mdr^d $ kompakt und $f:K\to\mdr$ stetig, so ist $f \in \fl^1(K)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
@ -1682,7 +1714,7 @@ Außerdem wissen wir aus Analysis I, dass R-$\int_0^1\frac{1}{x}$ divergent ist.
|
|||
\chapter{Nullmengen}
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||||
\label{Kapitel 5}
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||||
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||||
In diesem Paragraphen sei stets $\varnothing\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben wieder $\lambda$ statt $\lambda_d$.
|
||||
In diesem Paragraphen sei stets $\emptyset\ne X\in\fb_d$. Wir schreiben wieder $\lambda$ statt $\lambda_d$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Nullmenge}\index{Borel!Nullmenge}
|
||||
|
|
@ -1729,7 +1761,7 @@ $\ $
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|||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei $(E)$ eine Eigenschaft für Elemente in $X$.\\
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||||
$(E)$ gilt \textbf{für fast alle} (ffa) $x\in X$, genau dann wenn $(E)$ \textbf{fast überall} (fü) (auf $X$) gilt, genau dann wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass $(E)$ für alle $x\in X\setminus N$ gilt.
|
||||
\item $\int_\varnothing f(x) \text{ d}x:=0$
|
||||
\item $\int_\emptyset f(x) \text{ d}x:=0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
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||||
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||||
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|
@ -1868,7 +1900,7 @@ messbar, \(\hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf \(X\) für alle \(n\in\mdn\).
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|||
\chapter{Der Konvergenzsatz von Lebesgue}
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||||
\label{Kapitel 6}
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||||
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||||
Stets in diesem Paragraphen: \(\varnothing\neq X\in\fb_{d}\)
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||||
Stets in diesem Paragraphen: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
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||||
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||||
\begin{lemma}[Lemma von Fatou]
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\label{Lemma 6.1}
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@ -2079,7 +2111,7 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
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\chapter{Parameterintegrale}
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\label{Kapitel 7}
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||||
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||||
In diesem Paragraphen sei stets \(\varnothing\neq X\in \fb_d\).
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||||
In diesem Paragraphen sei stets \(\emptyset\neq X\in \fb_d\).
|
||||
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||||
\begin{satz}
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||||
\label{Satz 7.1}
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||||
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@ -2193,12 +2225,12 @@ folgt aus \ref{Lemma 8.1}.
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\textbf{Beachte: } Sei \(A\in\mdr^k\) und \(B\in\mdr^l\), sowie \(C:=A\times B \subseteq\mdr^d\). Dann:
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\begin{align*}
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||||
C_y= \begin{cases}
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||||
{\varnothing, \text{falls } y\notin B}\\
|
||||
{\emptyset, \text{falls } y\notin B}\\
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||||
{A, \text{falls } y\in B}
|
||||
\end{cases}
|
||||
&
|
||||
&C^x=\begin{cases}
|
||||
{\varnothing, \text{falls } x\notin A}\\
|
||||
{\emptyset, \text{falls } x\notin A}\\
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||||
{B, \text{falls } x\in A}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
|
@ -2268,7 +2300,7 @@ Das heißt:
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|||
\begin{enumerate}
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||||
\item Sei \(k=l=1\), also \(d=2\). Sei \(r>0\) und \[C:=\{(x,y)\in\mdr^2: x^2+y^2\leq r^2\}\]
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||||
Da $C$ abgeschlossen ist, gilt \(C\in\fb_2\).\\
|
||||
Ist \(\lvert y\rvert>r\), so ist \(C_y=\varnothing\), also \(\lambda_1(C_y)=0\).\\
|
||||
Ist \(\lvert y\rvert>r\), so ist \(C_y=\emptyset\), also \(\lambda_1(C_y)=0\).\\
|
||||
Sei also \(\lvert y\rvert\leq r\). Sei \(x\in\mdr\) so, dass \((x,y)\in\partial C\). Dann ist \(x^2+y^2=r^2\), also \(x=\pm\sqrt{r^2-y^2}\).
|
||||
Das heißt, es ist \[C_y=\left[-\sqrt{r^2-y^2},+\sqrt{r^2-y^2}\right]\text{ und } \lambda_1(C_y)=2\sqrt{r^2-y^2}\]
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||||
Aus \ref{Satz 9.1} folgt:
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||||
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@ -2280,10 +2312,10 @@ Das heißt:
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&\overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^r_{-r}2\sqrt{r^2-y^2}\,dy\\
|
||||
&\overset{Ana I}= \pi r^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei \(\varnothing\neq X\subseteq\mdr^d\). $X$ sei kompakt, also \(X\in\fb_d\). Weiter sei \(f\colon X\to[0,\infty)\) stetig, woraus mit \ref{Satz 4.11} \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) folgt.
|
||||
\item Sei \(\emptyset\neq X\subseteq\mdr^d\). $X$ sei kompakt, also \(X\in\fb_d\). Weiter sei \(f\colon X\to[0,\infty)\) stetig, woraus mit \ref{Satz 4.11} \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) folgt.
|
||||
Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\]
|
||||
$C$ ist kompakt und somit gilt: \(C\in\fb_{d+1}\).\\
|
||||
Ist \(x\notin X\), so ist \(C^x=\varnothing\), also \(\lambda_1(C^x)=0\).\\
|
||||
Ist \(x\notin X\), so ist \(C^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(C^x)=0\).\\
|
||||
Ist \(x\in X\), so ist \(C^x=[0,f(x)]\), also \(\lambda_1(C^x)=f(x)\). Damit gilt
|
||||
\[\lambda_{d+1}(C) \overset{\ref{Satz 9.1}}= \int_{\mdr^d}\lambda_1(C^x)\,dx = \int_X\lambda_1(C^x)\,dx + \int_{\mdr^d\setminus X}\lambda_1(C^x) \text{ d}x = \int_Xf(x)\,dx \]
|
||||
\item Sei \(I=[a,b]\subseteq\mdr\) mit \(a<b\) und \(f\colon I\to[0,\infty]\) stetig. Setze
|
||||
|
|
@ -2291,7 +2323,7 @@ Das heißt:
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|||
Aus Beispiel (2) und \ref{Satz 4.13} folgt \[\lambda_2(C)=\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx \]
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||||
\item $X$ und $f$ seien wie in Beispiel (2). Setze \[G:=\{(x,f(x)):x\in X\}\]
|
||||
$G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\).
|
||||
Ist \(x\notin X\), so ist \(G^x=\varnothing\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
|
||||
Ist \(x\notin X\), so ist \(G^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
|
||||
Ist \(x\in X\), so ist \(G^x=\{f(x)\}\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
|
||||
Aus \ref{Satz 9.1} folgt \[\lambda_2(G)=\int_\mdr\lambda_1(G^x)\,dx=0\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
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@ -2302,7 +2334,7 @@ Wir definieren $\mu,\nu:\fb_d\to[0,\infty]$ durch:
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\begin{align*}
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||||
\mu(A):=\int_{\mdr^k} \lambda_l(A^x)\text{ d}x && \nu(A):=\int_{\mdr^l} \lambda_k(A_y)\text{ d}y
|
||||
\end{align*}
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||||
Dann ist klar, dass $\mu(\varnothing)=\nu(\varnothing)=\lambda_d(\varnothing)=0$ ist.\\
|
||||
Dann ist klar, dass $\mu(\emptyset)=\nu(\emptyset)=\lambda_d(\emptyset)=0$ ist.\\
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||||
Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fb_d$. Dann ist $(A_j^x)$ ebenfalls disjunkt und $(\bigcup A_j)^x=\bigcup A_j^x$. Somit gilt:
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||||
\begin{align*}
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||||
\mu(\bigcup A_j)&=\int_{\mdr^k} \lambda_l(\bigcup A_j^x)\text{ d}x\\
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||||
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@ -2314,7 +2346,7 @@ D.h. $\mu$ ist ein Maß auf $\fb_d$. Analog lässt sich zeigen, dass $\nu$ ein M
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|||
Sei nun $I\in\ci_d$, dann existieren $I'\in\ci_k, I''\in\ci_l$ mit $I=I'\times I''$. Aus §\ref{Kapitel 8} folgt:
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||||
\begin{align*}
|
||||
I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\
|
||||
\varnothing &,x\not\in I'\end{cases}
|
||||
\emptyset &,x\not\in I'\end{cases}
|
||||
\end{align*}
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||||
Also ist $\lambda_l(I^x)=\lambda_l(I'')\cdot\mathds{1}_{I'}(x)$ und damit:
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||||
\begin{align*}
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||||
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@ -2349,7 +2381,7 @@ Damit folgt die Behauptung aus (1).
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||||
\begin{lemma}
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\label{Lemma 9.3}
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||||
Sei $\varnothing\ne D\in\fb_d$ und $f:D\to\imdr$ messbar. Definiere
|
||||
Sei $\emptyset\ne D\in\fb_d$ und $f:D\to\imdr$ messbar. Definiere
|
||||
\[\tilde f(z):=\begin{cases} f(z) &,z\in D\\ 0&,z\not\in D\end{cases}\]
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||||
Dann ist $\tilde f:\mdr^d\to\imdr$ messbar.
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||||
\end{lemma}
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||||
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@ -2378,7 +2410,7 @@ Sei nun $A\in\fb_2$ mit $K\subseteq A\subseteq\overline K$, dann ist $\lambda_2(
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|||
\item Sei $r>0$ und
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||||
\[K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2+z^2\le r^2\}\]
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||||
Dann ist $K$ abgeschlossen, also $K\in\fb_3$.\\
|
||||
\textbf{Fall $|z|>r$:} Es ist $K_z=\varnothing$, also $\lambda_2(K_z)=0$.\\
|
||||
\textbf{Fall $|z|>r$:} Es ist $K_z=\emptyset$, also $\lambda_2(K_z)=0$.\\
|
||||
\textbf{Fall $|z|\ge r$:} Es ist
|
||||
\[K_z=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2\le r^2-z^2\}\]
|
||||
und damit $\lambda_2(K_z)=\pi(r^2-z^2)$.\\
|
||||
|
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@ -2394,7 +2426,7 @@ Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann:
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|||
\item Wir wollen nun \textbf{Rotationskörper} betrachten. Sei dazu $I=[a,b]\subseteq\mdr$ mit $a<b$ und $f:I\to[0,\infty)$ messbar. Definiere nun
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||||
\[V:=\{(x,y,z,)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le f(z)^2, z\in I\}\]
|
||||
Setze $D:=\mdr^2\times I$ und $g(x,y,z):= x^2+y^2-f(z)^2$. Dann ist $g$ nach §\ref{Kapitel 3} messbar und $V=\{g\le 0\}\in\fb_3$.\\
|
||||
\textbf{Fall $z\not\in I$:} Es so ist $V_z=\varnothing$, also $\lambda_2(V_z)=0$.\\
|
||||
\textbf{Fall $z\not\in I$:} Es so ist $V_z=\emptyset$, also $\lambda_2(V_z)=0$.\\
|
||||
\textbf{Fall $z\in I$:} Es ist
|
||||
\[V_z=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2\le f(z)^2\}\]
|
||||
und damit $\lambda_2(V_z)=\pi f(z)^2$.\\
|
||||
|
|
@ -2537,7 +2569,7 @@ und dann sind auch \(F^+\) und \(F^-\) integrierbar (zur Übung). Es folgt
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||||
\begin{satz}[Satz von Fubini (Version II)]
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||||
\label{Satz 10.3}
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||||
Sei \(\varnothing\neq X\in\fb_k\), \(\varnothing\neq Y\in\fb_l\) und \(D:=X\times Y\) (nach \S 8 ist \(D\in\fb_d\)).
|
||||
Sei \(\emptyset\neq X\in\fb_k\), \(\emptyset\neq Y\in\fb_l\) und \(D:=X\times Y\) (nach \S 8 ist \(D\in\fb_d\)).
|
||||
Es sei \(f\colon D\to\imdr\) messbar.
|
||||
Ist \(f\geq 0\) auf $D$ oder ist $f$ integrierbar, so gilt
|
||||
\[ \int_D f(x,y)\,d(x,y) = \int_X\left(\int_Yf(x,y)\,dy\right)dx = \int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,dx\right)dy \]
|
||||
|
|
@ -2552,7 +2584,7 @@ Definiere \(\tilde f\) wie in \ref{Lemma 9.3} und wende \ref{Satz 10.1} beziehun
|
|||
\end{bemerkung}
|
||||
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||||
\textbf{"'Gebrauchsanweisung"' für Fubini:}\\
|
||||
Gegeben: \(\varnothing\neq D\subseteq\fb_d\) und messbares \(f\colon D\to\imdr\).
|
||||
Gegeben: \(\emptyset\neq D\subseteq\fb_d\) und messbares \(f\colon D\to\imdr\).
|
||||
Setze $f$ auf \(\mdr^d\) zu einer messbaren Funktion \(\tilde f\) fort (zum Beispiel wie in \ref{Lemma 9.3}).
|
||||
Aus \ref{Satz 3.8} folgt dann, dass \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) messbar ist und \ref{Satz 10.1} liefert
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -2765,7 +2797,7 @@ Sei \(A\subseteq\mdr^d\) und \(A^\circ:=\{x\in A :\text{ es existiert ein } r=r(
|
|||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\varnothing\) und
|
||||
Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\emptyset\) und
|
||||
\(A\setminus A^\circ=A\). Aus \(\mdr=A\dot\cup\mdq\) folgt
|
||||
\[\infty=\lambda_1(\mdr)=\lambda_1(A)+\lambda_1(\mdq)=\lambda_1(A)\]
|
||||
Das heißt \(A\setminus A^\circ\) ist keine Nullmenge.
|
||||
|
|
@ -2774,7 +2806,7 @@ Das heißt \(A\setminus A^\circ\) ist keine Nullmenge.
|
|||
|
||||
\begin{satz}[Transformationssatz (Version II)]
|
||||
\label{Satz 11.2}
|
||||
Es sei $\varnothing \neq U \subseteq \MdR^d$ offen, $\Phi \in C^1(U, \MdR^d)$, $A \subseteq U$, $A \in \fb_d$,
|
||||
Es sei $\emptyset \neq U \subseteq \MdR^d$ offen, $\Phi \in C^1(U, \MdR^d)$, $A \subseteq U$, $A \in \fb_d$,
|
||||
$X := A^{\circ}$ und $A \setminus A^{\circ}$ eine Nullmenge.
|
||||
Weiter sei $\Phi$ injektiv auf $X$, $\det\Phi' \neq 0$ für alle $x \in X$, $B:=\Phi(A) \in \fb_d$ und
|
||||
$g(x) = f(\Phi(x)) \cdot \lvert\det\Phi'(x)\rvert$ für $x \in A$.
|
||||
|
|
@ -3002,14 +3034,14 @@ Sei $a=(1,1,2), b=(1,1,0)$, dann gilt:
|
|||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Divergenz}
|
||||
Sei $\varnothing\ne D\subseteq\mdr^n$, $D$ offen und $f=(f_1,\ldots,f_n)\in C^1(D,\mdr^n)$. Dann heißt
|
||||
Sei $\emptyset\ne D\subseteq\mdr^n$, $D$ offen und $f=(f_1,\ldots,f_n)\in C^1(D,\mdr^n)$. Dann heißt
|
||||
\[\divv f:=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial f_n}{\partial x_n}\in C(D,\mdr)\]
|
||||
die \textbf{Divergenz} von $f$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\index{Rotation}
|
||||
Sei $\varnothing\ne D\subseteq\mdr^3$, $D$ offen und $F=(P,Q,R)\in C^1(D,\mdr^3)$. Dann heißt:
|
||||
Sei $\emptyset\ne D\subseteq\mdr^3$, $D$ offen und $F=(P,Q,R)\in C^1(D,\mdr^3)$. Dann heißt:
|
||||
\[\rot F:=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)\in C(D,\mdr^3)\]
|
||||
die \textbf{Rotation} von $F$.
|
||||
Dabei gilt formal:
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||||
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@ -3099,7 +3131,7 @@ Mit Polarkoordinaten, Transformations-Satz und Fubini:
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|||
\index{Parameterbereich}
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||||
\index{Normalenvektor}
|
||||
\index{Flächeninhalt}
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||||
Es sei $\varnothing \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist
|
||||
Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist
|
||||
\begin{displaymath}
|
||||
\varphi' = \begin{pmatrix}\frac{\partial \varphi_1}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_1}{\partial v}\\
|
||||
\frac{\partial \varphi_2}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_2}{\partial v}\\
|
||||
|
|
@ -3153,7 +3185,7 @@ Dann ist \(\varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2})\), \(f_{u}=2u\) und \(f_{v}=2v\). Also
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|||
\chapter{Integralsatz von Stokes}
|
||||
\label{Kapitel 15}
|
||||
|
||||
In diesem Paragraphen sei \(\varnothing\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\)
|
||||
In diesem Paragraphen sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\)
|
||||
und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das hei\ss t: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit
|
||||
Parameterbereich \(B\), \(S:=\varphi(B)\)
|
||||
|
||||
|
|
@ -3250,7 +3282,7 @@ Damit:
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|||
\chapter{$\fl^{p}$-Räume und $\mathrm{L}^{p}$-Räume}
|
||||
\label{Kapitel 16}
|
||||
|
||||
Stets in diesem Paragraphen: \(\varnothing\neq X\in\fb_{d}\)
|
||||
Stets in diesem Paragraphen: \(\emptyset\neq X\in\fb_{d}\)
|
||||
|
||||
\begin{definition}
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||||
Sei \(p\in[1,+\infty]\).
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||||
|
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@ -3303,7 +3335,7 @@ Für \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert
|
|||
Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Ma\ss. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\).
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
\begin{beweis}
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||||
Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\varnothing\) und \(\overline{X\setminus N}=X\))
|
||||
Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\emptyset\) und \(\overline{X\setminus N}=X\))
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
|
|
@ -3848,7 +3880,7 @@ Also ist $f\in L^p(X)$.
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|||
\chapter{Das Integral im Komplexen}
|
||||
\label{Kapitel 17}
|
||||
|
||||
In diesem Paragraphen sei $\varnothing \ne X \in \fb_d, f: X \to \MdC$ eine Funktion, $ u:= \Re(f), v:= \Im(f)$, also: $u,v: X \to \MdR, f= u+iv$.
|
||||
In diesem Paragraphen sei $\emptyset \ne X \in \fb_d, f: X \to \MdC$ eine Funktion, $ u:= \Re(f), v:= \Im(f)$, also: $u,v: X \to \MdR, f= u+iv$.
|
||||
|
||||
Wir versehen $\MdC$ mit der $\sigma$-Algebra $\fb_2$ (wir identifizieren $\MdC$ mit $\mdr^2$).
|
||||
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||||
|
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|||
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|
@ -1,2 +0,0 @@
|
|||
\usepackage{mathe}
|
||||
\usepackage{saetze-schmoeger}
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