Schlingen hinzugefügt; Textsetzungsprobleme behoben; Aufgabe 'Zeichne alle Graphen' verbessert

presentations/Diskrete-Mathematik/Handout/Handout.tex

@@ -131,6 +131,12 @@ Sei $e \in E$ und $k = \Set{e_1, e_2} \in K$.
 $e$ heißt \textbf{inzident} zu $k :\Leftrightarrow e = e_1$ oder $e = e_2$
 \end{definition}
 
+\begin{definition}{Schlinge}
+Sei $G=(E, K)$ ein Graph und $k=\Set{e_1, e_2} \in K$ eine Kante.
+
+$k$ heißt \textbf{Schlinge} $:\Leftrightarrow e_1 = e_2$ 
+\end{definition}
+
 \begin{definition}{Vollständiger Graph}
 Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
 
@@ -210,7 +216,7 @@ $A$ heißt \textbf{eulerscher Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{k \in K}: k \in
 \begin{definition}{Eulerscher Graph}
 Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
 \end{definition}
-
+\vspace{0.5cm}
 \begin{theorem}{Euler 1736}
     ~~~
     \begin{precondition}
@@ -224,14 +230,14 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
         $\Rightarrow $ Es gilt: $\forall e \in E \exists i \in \Set{0, \dots, n}: e = e_i$ und alle Kanten aus $G$ sind genau ein mal in $C$.\\
         Außerdem gilt: 
         \[\text{Grad}(e_i) = \begin{cases}
-            2 \cdot \text{Anzahl der vorkommen von } e_i \text{in } C & \text{falls } i\neq 0\\
+            2 \cdot \text{Anzahl der Vorkommen von } e_i \text{ in } C & \text{falls } i\neq 0\\
-            2 \cdot (\text{Anzahl der vorkommen von } e_i -1) \text{in } C & \text{falls } i = 0\\
+            2 \cdot (\text{Anzahl der Vorkommen von } e_i -1) \text{ in } C & \text{falls } i = 0\\
         \end{cases}
         \]
         $\Rightarrow \forall e \in E: \text{Grad}(e)$ ist gerade 
     \end{Proof}
 \end{theorem}
-
+\vspace{0.5cm}
 \begin{theorem}{Umkehrung des Satzes von Euler}
     ~~~
     \begin{precondition}
@@ -244,7 +250,7 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
         \underline{I.A.:} $m=0$: $G$ ist eulersch. \cmark\\
         $m=1$: Es gibt keinen Graphen in dem jede Ecke geraden Grad hat. \cmark\\
         $m=2$: Nur ein Graph ist zusammenhängend, hat zwei Kanten und nur Ecken geraden Grades. Dieser ist eulersch. \cmark
-
+        \goodbreak
         \underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und 
         es gelte: 
 
@@ -264,14 +270,15 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
         Es gilt: 
         \begin{itemize}
             \item Jede Ecke in $G^*$ hat geraden Grad
-            \item Jede Zusammenhangskomponente (Zshk) hat weniger als $m$ Knoten
+            \item Jede Zusammenhangskomponente hat weniger als $m$ Knoten
-            \item[$\Rightarrow$] IV ist auf jede Zshk anwendbar
+            \item[$\Rightarrow$] I.V. ist auf jede Zusammenhangskomponente anwendbar
-            \item[$\Rightarrow$] Jede Zshk hat einen Eulerkreis
+            \item[$\Rightarrow$] Jede Zusammenhangskomponente hat einen Eulerkreis
             \item[$\Rightarrow$] Man kann den Kreis $C$ durch die Eulerkreise erweitern und erhält insgesamt einen Eulerkreis
         \end{itemize}
         $\Rightarrow$ $G$ ist eulersch 
     \end{Proof}
 \end{theorem}
+\vspace{0.5cm}
 
 \begin{definition}{Offene eulersche Linie}
 Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist.
@@ -279,8 +286,8 @@ Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist.
 $A$ heißt \textbf{offene eulersche Linie} von $G :\Leftrightarrow$ Jede Kante 
 in $G$ kommt genau ein mal in $A$ vor.
 \end{definition}
-
+\vspace{0.5cm}
-\begin{theorem}{Satz 8.2.3}
+\begin{theorem}{}
     ~~~
     \begin{precondition}
         Sei $G = (E, K)$ ein zusammenhängender Graph.
@@ -296,7 +303,7 @@ in $G$ kommt genau ein mal in $A$ vor.
     \end{Proof}
 \end{theorem}
 
-
+\vfill
 Alle \LaTeX-Quellen und die neueste Version der PDF sind unter
 
 \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/presentations/Diskrete-Mathematik}{github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/presentations/Diskrete-Mathematik}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Grundlagen.tex

@@ -60,8 +60,25 @@ Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man ihn \textbf{isoliert}.
 \end{gallery}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Schlinge}
+\begin{block}{Schlinge}
+Sei $G=(E, K)$ ein Graph und $k=\Set{e_1, e_2} \in K$ eine Kante.
+
+$k$ heißt \textbf{Schlinge} $:\Leftrightarrow e_1 = e_2$ 
+\end{block}
+
+Ein Graph ohne Schlingen heißt \enquote{schlingenfrei}
+
+\begin{gallery}
+    \galleryimage{graphs/graph-1}
+    \galleryimage{graphs/graph-2-schlinge}
+    \galleryimage{graphs/k-3-3}
+    \galleryimage{graphs/k-5-schlinge}
+\end{gallery}
+\end{frame}
+
 \begin{frame}{Aufgabe 1}
-Zeichnen Sie alle Graphen mit genau vier Ecken.
+Zeichnen Sie alle schlingenfreien Graphen mit genau vier Ecken.
 
 \only<2>{
     \begin{gallery}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/graph-2-schlinge.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows,positioning} 
+\tikzset{
+    %Define standard arrow tip
+    >=stealth',
+    % Define arrow style
+    pil/.style={->,thick}
+}
+\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt]
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}
+      \node (a)[vertex] at (0,3) {};
+      \node (b)[vertex] at (0,1) {};
+      \node (c)[vertex] at (1,0) {};
+      \node (d)[vertex] at (2,0) {};
+      \node (e)[vertex] at (3,0) {};
+      \node (f)[vertex] at (4,1) {};
+      \node (g)[vertex] at (4,3) {};
+
+      \foreach \from/\to in {b/c,c/d,d/e,e/f}
+        \draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
+
+        \path[line width=2pt] (d) edge[ out=140, in=50
+                , looseness=0.8, loop
+                , distance=2cm]
+            node[above=3pt] {$k$} (d);
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/graphs/k-5-schlinge.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+% A complete graph
+% Author: Quintin Jean-Noël
+% <http://moais.imag.fr/membres/jean-noel.quintin/>
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage[nomessages]{fp}% http://ctan.org/pkg/fp
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary[topaths]
+
+\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt]
+\begin{document}
+    \newcommand\n{5}
+    \begin{tikzpicture}
+        %the multiplication with floats is not possible. Thus I split the loop in two.
+        \foreach \number in {1,...,\n}{
+            \node[vertex] (N-\number) at ({\number*(360/\n)}:5.4cm) {};
+        }
+
+        \foreach \number in {1,...,\n}{
+            \foreach \y in {1,...,\n}{
+                \draw (N-\number) -- (N-\y);
+            }
+            \path (N-\number) edge[ out=140, in=50
+                    , looseness=0.8, loop
+                    , distance=2cm]
+                node[above=3pt] {} (N-\number);
+        }
+    \end{tikzpicture}
+\end{document}