Schlingen hinzugefügt; Textsetzungsprobleme behoben; Aufgabe 'Zeichne alle Graphen' verbessert

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@@ -131,6 +131,12 @@ Sei $e \in E$ und $k = \Set{e_1, e_2} \in K$.
 $e$ heißt \textbf{inzident} zu $k :\Leftrightarrow e = e_1$ oder $e = e_2$
 \end{definition}
 
+\begin{definition}{Schlinge}
+Sei $G=(E, K)$ ein Graph und $k=\Set{e_1, e_2} \in K$ eine Kante.
+
+$k$ heißt \textbf{Schlinge} $:\Leftrightarrow e_1 = e_2$ 
+\end{definition}
+
 \begin{definition}{Vollständiger Graph}
 Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
 
@@ -210,7 +216,7 @@ $A$ heißt \textbf{eulerscher Kreis} $:\Leftrightarrow \forall_{k \in K}: k \in
 \begin{definition}{Eulerscher Graph}
 Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
 \end{definition}
-
+\vspace{0.5cm}
 \begin{theorem}{Euler 1736}
     ~~~
     \begin{precondition}
@@ -224,14 +230,14 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
         $\Rightarrow $ Es gilt: $\forall e \in E \exists i \in \Set{0, \dots, n}: e = e_i$ und alle Kanten aus $G$ sind genau ein mal in $C$.\\
         Außerdem gilt: 
         \[\text{Grad}(e_i) = \begin{cases}
-            2 \cdot \text{Anzahl der vorkommen von } e_i \text{in } C & \text{falls } i\neq 0\\
-            2 \cdot (\text{Anzahl der vorkommen von } e_i -1) \text{in } C & \text{falls } i = 0\\
+            2 \cdot \text{Anzahl der Vorkommen von } e_i \text{ in } C & \text{falls } i\neq 0\\
+            2 \cdot (\text{Anzahl der Vorkommen von } e_i -1) \text{ in } C & \text{falls } i = 0\\
         \end{cases}
         \]
         $\Rightarrow \forall e \in E: \text{Grad}(e)$ ist gerade 
     \end{Proof}
 \end{theorem}
-
+\vspace{0.5cm}
 \begin{theorem}{Umkehrung des Satzes von Euler}
     ~~~
     \begin{precondition}
@@ -244,7 +250,7 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
         \underline{I.A.:} $m=0$: $G$ ist eulersch. \cmark\\
         $m=1$: Es gibt keinen Graphen in dem jede Ecke geraden Grad hat. \cmark\\
         $m=2$: Nur ein Graph ist zusammenhängend, hat zwei Kanten und nur Ecken geraden Grades. Dieser ist eulersch. \cmark
-
+        \goodbreak
         \underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und 
         es gelte: 
 
@@ -264,14 +270,15 @@ Ein Graph heißt \textbf{eulersch}, wenn er einen eulerschen Kreis enthält.
         Es gilt: 
         \begin{itemize}
             \item Jede Ecke in $G^*$ hat geraden Grad
-            \item Jede Zusammenhangskomponente (Zshk) hat weniger als $m$ Knoten
-            \item[$\Rightarrow$] IV ist auf jede Zshk anwendbar
-            \item[$\Rightarrow$] Jede Zshk hat einen Eulerkreis
+            \item Jede Zusammenhangskomponente hat weniger als $m$ Knoten
+            \item[$\Rightarrow$] I.V. ist auf jede Zusammenhangskomponente anwendbar
+            \item[$\Rightarrow$] Jede Zusammenhangskomponente hat einen Eulerkreis
             \item[$\Rightarrow$] Man kann den Kreis $C$ durch die Eulerkreise erweitern und erhält insgesamt einen Eulerkreis
         \end{itemize}
         $\Rightarrow$ $G$ ist eulersch 
     \end{Proof}
 \end{theorem}
+\vspace{0.5cm}
 
 \begin{definition}{Offene eulersche Linie}
 Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist.
@@ -279,8 +286,8 @@ Sei $G$ ein Graph und $A$ ein Weg, der kein Kreis ist.
 $A$ heißt \textbf{offene eulersche Linie} von $G :\Leftrightarrow$ Jede Kante 
 in $G$ kommt genau ein mal in $A$ vor.
 \end{definition}
-
-\begin{theorem}{Satz 8.2.3}
+\vspace{0.5cm}
+\begin{theorem}{}
     ~~~
     \begin{precondition}
         Sei $G = (E, K)$ ein zusammenhängender Graph.
@@ -296,7 +303,7 @@ in $G$ kommt genau ein mal in $A$ vor.
     \end{Proof}
 \end{theorem}
 
-
+\vfill
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