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Stephan Gocht
commit
86a3a4f4c1
22 changed files with 788 additions and 55 deletions
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@ -97,7 +97,7 @@ Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com
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\textbf{Vorüberlegung:}
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Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv Definit $\dots$
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\begin{align*}
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\dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n: x^T A x > 0\\
|
||||
\dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n \setminus \Set{0}: x^T A x > 0\\
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||||
& \Leftrightarrow \text{Alle Eigenwerte sind größer als 0}
|
||||
\end{align*}
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@ -124,7 +124,7 @@ Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
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l_{11} &= \sqrt{a_{11}} = 3\\
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||||
l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{4}{3}\\
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||||
l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{12}{3} = 4\\
|
||||
l_{22} &= \sqrt{a_{21} - {l_{21}}^2} = \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{4}{9}} \notin \mathbb{R}\\
|
||||
l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{7}{9}} \notin \mathbb{R}\\
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& \Rightarrow \text{Es ex. keine Cholesky-Zerlegung, aber $A$ ist symmetrisch}\\
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||||
& \Rightarrow \text{$A$ ist nicht pos. Definit}
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||||
& \Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
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||||
\end{align}
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@ -1,12 +1,115 @@
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\section*{Aufgabe 3}
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Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
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\[f' (x,y) = \begin{pmatrix}
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||||
3 & \cos y\\
|
||||
3 x^2 & e^y
|
||||
\end{pmatrix}\]
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||||
Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
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zweiten Spalte nach $y$.
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Und jetzt die Berechnung
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\subsection*{Lösungsvorschlag 1}
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Eine Iteration des Newton-Verfahren ist durch
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\begin{align}
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x_{k+1}&=x_{k}-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)
|
||||
\end{align}
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||||
gegeben (vgl. Skript, S. 35).
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\[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\]
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||||
Zur praktischen Durchführung lösen wir
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\[f'(x_0, y_0)\Delta x = -f(x_0,y_0)\]
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mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf:
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\begin{align}
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%
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||||
f'(x_0,y_0) &= L \cdot R \\
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||||
\Leftrightarrow f'(-\nicefrac{1}{3}, 0) &= L \cdot R \\
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||||
\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
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||||
3 & 1\\
|
||||
\frac{1}{3} & 1
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
&=
|
||||
\overbrace{\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0\\
|
||||
\frac{1}{9} & 1
|
||||
\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot
|
||||
\overbrace{\begin{pmatrix}
|
||||
3 & 1\\
|
||||
0 & \frac{8}{9}
|
||||
\end{pmatrix}}^{=: R}\\
|
||||
%
|
||||
L \cdot c &= -f(x_0,y_0) \\
|
||||
\Leftrightarrow
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0\\
|
||||
\frac{1}{9} & 1
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\cdot c
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
-2\\
|
||||
\frac{26}{27}
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
\Rightarrow
|
||||
c &= \begin{pmatrix}
|
||||
-2\\
|
||||
\frac{32}{27}
|
||||
\end{pmatrix}\footnotemark\\
|
||||
%
|
||||
R\cdot \Delta x &= c\\
|
||||
\Leftrightarrow
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
3 & 1\\
|
||||
0 & \frac{8}{9}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\cdot \Delta x &=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
-2\\
|
||||
\frac{32}{27}
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
\Rightarrow \Delta x &=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
-\frac{10}{9}\\
|
||||
\frac{4}{3}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
\footnotetext{Dieser Schritt wird durch Vorwärtssubsitution berechnet.}
|
||||
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||||
Anschließend berechnen wir
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\begin{align}
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||||
\begin{pmatrix}
|
||||
x_1\\
|
||||
y_1
|
||||
\end{pmatrix} &=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
x_0\\
|
||||
y_0
|
||||
\end{pmatrix}+\Delta x \\
|
||||
\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
|
||||
x_1\\
|
||||
y_1
|
||||
\end{pmatrix} &=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\frac{1}{3}\\
|
||||
0
|
||||
\end{pmatrix} +
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
-\frac{10}{9}\\
|
||||
\frac{4}{3}
|
||||
\end{pmatrix} \\
|
||||
\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
|
||||
x_1\\
|
||||
y_1
|
||||
\end{pmatrix} &=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
-\frac{7}{9}\\
|
||||
\frac{4}{3}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
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||||
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||||
\subsection*{Lösungsvorschlag 2}
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Und jetzt die Berechnung %TODO: Was ist hiermit gemeint?
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\[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\] %TODO: Was ist hiermit gemeint?
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||||
LR-Zerlegung für $f'(x, y)$ kann durch scharfes hinsehen durchgeführt
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werden, da es in $L$ nur eine unbekannte (links unten) gibt. Es gilt
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@ -59,7 +162,11 @@ also ausführlich:
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0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y
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||||
\end{pmatrix}\\
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||||
P &= I_2\\
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||||
-f ( \frac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} 2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
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||||
c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\
|
||||
\end{align}
|
||||
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||||
Es folgt:
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||||
\begin{align}
|
||||
-f ( \nicefrac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} -2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
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||||
c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
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||||
(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{82}{27}\end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
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|
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Binary file not shown.
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@ -15,6 +15,7 @@
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|||
\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
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||||
\usepackage{gauss}
|
||||
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
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||||
\usepackage{units}
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||||
\usepackage{parskip}
|
||||
\usepackage{lastpage}
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||||
\allowdisplaybreaks
|
||||
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@ -1,43 +1,30 @@
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\section*{Aufgabe 2}
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\subsection*{Teilaufgabe a)}
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Formel: $y_i = \frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1} y_j \cdot l_{ij}}{l_{ii}} $
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||||
Anmerkung: $l_{ii}$ kann nicht $0$ sein, da L dann nicht mehr invertierbar wäre.
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||||
\textbf{Behauptung:} Für $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^{*} = cos(x^{*})$ konvergiert.
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||||
Algorithmus:
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\textbf{Beweis:}
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Sei $ D := [-1, 1]$.\\
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Trivial: $D$ ist abgeschlossen.
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||||
\begin{algorithm}[H]
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||||
\begin{algorithmic}
|
||||
\For{$i=1$ to $i=n$}
|
||||
\State $sum \gets 0$
|
||||
\For{$j = 1$ to $j = i-1$}
|
||||
\State $sum \gets sum + y_i \cdot l_{ij}$
|
||||
\EndFor
|
||||
\State $y_i \gets \frac{b_i - sum}{l_{ii}}$
|
||||
\EndFor
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\caption{TODO}
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||||
\end{algorithm}
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||||
Sei $ x \in D$, so gilt:
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||||
\begin{align*}
|
||||
0 < cos(x) \leq 1
|
||||
\end{align*}
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||||
Also: $cos(x) \in D$.\\ Wenn $x \not\in D$, so gilt $y := cos(x)$ und $cos(y) \in D$. D.h. bereits nach einem Iterationschritt wäre $cos(x) \in D$ für $x \in \mathbb{R}$! Dies ist wichtig, da damit gezeigt ist, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ für jedes $x \in \mathbb{R}$ konvergiert! Es kommt nur dieser einzige Iteratationsschritt für $x \not\in \mathbb{R}$ hinzu.
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||||
\subsubsection*{(b)}
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\begin{algorithm}[H]
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||||
\begin{algorithmic}
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||||
\Require Matrix $A$, Vektor $b$
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||||
\Procedure{LoeseLGS}{$A$, $b$}
|
||||
\State $P, L, R \gets \Call{LRZer}{A}$
|
||||
\State $b^* \gets P \cdot b$
|
||||
\State $c \gets \Call{VorSub}{L, b^*}$
|
||||
\State $x \gets \Call{RueckSub}{R, c}$
|
||||
\State \Return $x$
|
||||
\EndProcedure
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\caption{Löse ein LGS $Ax = b$}
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||||
\end{algorithm}
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||||
Nun gilt mit $ x, y \in D, x < y, \xi \in (x,y) $ und dem Mittelwert der Differentialrechnung:
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||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{cos(x) - cos(y)}{x - y} = cos'(\xi) \\
|
||||
\Leftrightarrow cos(x) - cos(y) = cos'(\xi) * (x - y) \\
|
||||
\Leftrightarrow | cos(x) - cos(y) | = | cos'(\xi) * (x - y) | \leq | cos'(\xi) | * | (x - y) |
|
||||
\end{align*}
|
||||
Da $ \xi \in (0, 1) $ gilt:
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||||
\begin{align*}
|
||||
0 \leq | cos'(\xi) | = | sin(\xi) | < 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
Damit ist gezeigt, dass $cos(x) : D \rightarrow D$ Kontraktion auf $D$.
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||||
|
||||
\subsection*{Teilaufgabe c)}
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||||
Aufwand:
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\begin{itemize}
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\item Vorwärts-/Rückwärtssubstitution: jeweils $\frac{1}{2} \cdot n^2$
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||||
\item LR-Zerlegung: $\frac{1}{3}n^3$
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||||
\item gesamt: $\frac{1}{3}n^3+n^2$
|
||||
\end{itemize}
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||||
Damit sind alle Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
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||||
Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Aussage.
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||||
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@ -1,9 +1,44 @@
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|||
\section*{Aufgabe 5}
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||||
Es gibt unendlich viele symmetrische QF mit $0=c_1 < c_2 < c_3$ und Ordnung $\geq 4$. Die Knoten müssen nur
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||||
folgende Eigenschaft erfüllen:
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\[c_i = 1 - c_{s+1-i}\]
|
||||
Die Gewichte sind durch Vorgabe der Knoten und der Bedingung, dass
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||||
die QF die Ordnung von $s \geq 3$ erfüllen soll, nach VL bereits
|
||||
eindeutig bestimmt.
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||||
|
||||
Anmerkung: Es gilt immer $c_2 = \frac{1}{2}$!
|
||||
Zunächst ist nach der Familie von Quadraturformeln gefragt, für die gilt: ($p := $ Ordnung der QF)
|
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\begin{align}
|
||||
s = 3 \\
|
||||
0 = c_1 < c_2 < c_3 \\
|
||||
p \ge 4
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Nach Satz 29 sind in der Familie genau die QFs, für die gilt: \\
|
||||
Für alle Polynome $g(x)$ mit Grad $\le 0$ gilt:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d}x = 0 \label{a3}
|
||||
\end{align}
|
||||
Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante c, da der Grad von $g(x)$ $0$ ist. Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\
|
||||
\Leftrightarrow c \cdot \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
|
||||
\Leftrightarrow \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
|
||||
\Leftrightarrow \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
|
||||
\Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot (c_2 + c_3) + \frac{1}{2} \cdot c_2 \cdot c_3 &= 0 \\
|
||||
\Leftrightarrow \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot c_3}
|
||||
{\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot c_3} &= c_2
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Natürlich müssen auch die Gewichte optimal gewählt werden. Dafür wird Satz 28 genutzt:
|
||||
Sei $b^T = (b_1, b_2, b_3)$ der Gewichtsvektor. Sei zudem $C :=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
{c_1}^0 & {c_2}^0 & {c_3}^0 \\
|
||||
{c_1}^1 & {c_2}^1 & {c_3}^1 \\
|
||||
{c_1}^2 & {c_2}^2 & {c_3}^2
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$. \\
|
||||
Dann gilt: $C$ ist invertierbar und $b = C^{-1} \cdot
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
\frac{1}{2} \\
|
||||
\frac{1}{3}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$.
|
||||
|
||||
Es gibt genau eine symmetrische QF in der Familie. Begründung: \\
|
||||
Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 0$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ sein. Also sind die Knoten festgelegt. Da wir die Ordnung $\ge s = 3$ fordern, sind auch die Gewichte eindeutig. \\
|
||||
Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.
|
||||
|
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Binary file not shown.
73
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe1.tex
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73
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe1.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,73 @@
|
|||
\section*{Aufgabe 1}
|
||||
\textbf{Gegeben:}
|
||||
|
||||
\[
|
||||
A = \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\]
|
||||
|
||||
\textbf{Aufgabe:} Durch Gauß-Elimination die Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \overline{L}^T$
|
||||
berechnen
|
||||
|
||||
\textbf{Lösung mit Gauß-Elimination:}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &=
|
||||
\begin{gmatrix}[p]
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\rowops
|
||||
\add[\cdot (-2)]{0}{1}
|
||||
\add[\cdot (-3)]{0}{2}
|
||||
\end{gmatrix}\\
|
||||
\leadsto
|
||||
L^{(1)} &=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
-2 & 1 & 0\\
|
||||
-3 & 0 & 1
|
||||
\end{pmatrix},&
|
||||
A^{(1)} &=
|
||||
\begin{gmatrix}[p]
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
0 & 4 & 8\\
|
||||
0 & 8 & 25
|
||||
\rowops
|
||||
\add[\cdot (-2)]{1}{2}
|
||||
\end{gmatrix}\\
|
||||
\leadsto
|
||||
L^{(2)} &=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 1 & 0\\
|
||||
0 & -2 & 1
|
||||
\end{pmatrix},&
|
||||
A^{(2)} &=
|
||||
\begin{gmatrix}[p]
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
0 & 4 & 8\\
|
||||
0 & 0 & 9
|
||||
\rowops
|
||||
\add[\cdot (-2)]{1}{2}
|
||||
\end{gmatrix}\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
TODO: Und wie gehts weiter?
|
||||
|
||||
|
||||
\textbf{Lösung ohne Gauß-Elimination:}
|
||||
\[
|
||||
A =
|
||||
\underbrace{
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
2 & 2 & 0\\
|
||||
3 & 4 & 3
|
||||
\end{pmatrix}}_{=: L} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
0 & 2 & 4\\
|
||||
0 & 0 & 3
|
||||
\end{pmatrix}}_{=: L^T}
|
||||
\]
|
||||
77
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex
Normal file
77
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,77 @@
|
|||
\section*{Aufgabe 2}
|
||||
\subsection*{Teilaufgabe i}
|
||||
Es gilt:
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
2x - e^{-x} &= 0\\
|
||||
\Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Offensichtlich ist $g(x) := 2x$ streng monoton steigend und $h(x) := e^{-x}$ streng
|
||||
monoton fallend.
|
||||
|
||||
Nun gilt: $g(0) = 0 < 1 = e^0 = h(0)$. Das heißt, es gibt keinen
|
||||
Schnittpunkt für $x \leq 0$.
|
||||
|
||||
Außerdem: $g(1) = 2$ und $h(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} < 2$.
|
||||
Das heißt, für $x \geq 1$ haben $g$ und $h$ keinen Schnittpunkt.
|
||||
|
||||
Da $g$ und $h$ auf $[0,1]$ stetig sind und $g(0) < h(0)$ sowie $g(1) > h(1)$
|
||||
gilt, müssen sich $g$ und $h$ im Intervall mindestens ein mal schneiden.
|
||||
Da beide Funktionen streng monoton sind, schneiden sie sich genau
|
||||
ein mal.
|
||||
|
||||
Ein Schnittpunkt der Funktion $g,h$ ist äquivalent zu einer
|
||||
Nullstelle der Funktion $f$. Also hat $f$ genau eine Nullstelle
|
||||
und diese liegt in $[0,1]$.
|
||||
|
||||
\subsection*{Teilaufgabe ii}
|
||||
\begin{align}
|
||||
2x - e^{-x} &= 0\\
|
||||
\Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
|
||||
\Leftrightarrow x &= \frac{1}{2} \cdot e^{-x} = F_1(x) \label{a2iif1}\\
|
||||
\stackrel{x \in \mathbb{R}^+}{\Rightarrow} \ln(2x) &= -x\\
|
||||
\Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
|
||||
Nullstelle von $f$ übereinstimmt.
|
||||
|
||||
Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
|
||||
Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
|
||||
gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
|
||||
irrelevant.
|
||||
|
||||
TODO: Ich vermute, man soll die Kontraktionszahlen ermitteln.
|
||||
Die Funktion mit der niedrigern Kontraktionszahl ist besser, da man
|
||||
bessere Abschätzungen machen kann.
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||||
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||||
$F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
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||||
\begin{align}
|
||||
\|\frac{1}{2} e^{-x} - \frac{1}{2} e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
|
||||
\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
|
||||
\Leftrightarrow \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \|x-y\|\\
|
||||
\Leftrightarrow \| -e^{-x-y}(e^{x} - e^{y})\| &\leq \|x-y\|\\
|
||||
\Leftrightarrow \|-e^{-x-y} \| \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|\\
|
||||
\Leftrightarrow \underbrace{e^{-(x+y)}}_{\leq 1} \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
TODO: Beweis ist noch nicht fertig
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||||
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||||
$F_2$ ist auf $(0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta$:
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||||
\begin{align}
|
||||
\|- \ln (2x) + \ln(2y) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
|
||||
\Leftrightarrow \| \ln(\frac{2y}{2x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
|
||||
\Leftrightarrow \| \ln(\frac{y}{x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
TODO: Beweis ist nicht mal wirklich angefangen
|
||||
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||||
Gegen $F_2$ spricht auch, dass $\log$ nur auf $\mathbb{R}^+$ definiert
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||||
ist. Das kann bei Rundungsfehlern eventuell zu einem Fehler führen.
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||||
(vgl. Python-Skript)
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||||
\subsection*{Teilaufgabe iii}
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||||
\[x_{k+1} = x_k - \frac{2x_k - e^{-x_k}}{2 + e^{-x_k}}\]
|
||||
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||||
Laut \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-e%5E(-x)%3D0}{Wolfram|Alpha} ist die Lösung etwa 0.35173371124919582602
|
||||
37
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe3.tex
Normal file
37
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe3.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,37 @@
|
|||
\section*{Aufgabe 3}
|
||||
|
||||
\begin{table}[H]
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||||
\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
|
||||
$f_i$ & 8 & 3 & 4 & 8 \\ \hline
|
||||
$x_i$ & -1 & 0 & 1 & 3 \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
|
||||
\subsection*{Teilaufgabe i}
|
||||
\begin{align}
|
||||
p(x) = \sum_{i=0}^3 f_i \cdot L_i(x)
|
||||
\end{align}
|
||||
mit
|
||||
\begin{align}
|
||||
L_0(x) &= \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}
|
||||
= \ldots = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{-8} \\
|
||||
L_1(x) &= \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{3} \\
|
||||
L_2(x) &= \frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{-4} \\
|
||||
L_3(x) &= \frac{x^3 - x}{24}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\subsection*{Teilaufgabe ii}
|
||||
Anordnung der dividierten Differenzen im so genannten Differenzenschema:
|
||||
\begin{table}[H]
|
||||
\begin{tabular}{llll}
|
||||
$f[x_0]=f_0=8$ & ~ & ~ & ~ \\
|
||||
$f[x_1]= 3$ & $f[x_0,x_1] = \frac{f[x_0] - f[x_1]}{x_0-x_1} = -5$ & ~ & ~ \\
|
||||
$f[x_2] = 4$ & $1$ & $3$ & ~ \\
|
||||
$f[x_3] = 8$ & $2$ & $\frac{1}{3}$ & $- \frac{2}{3} $ \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
Also:
|
||||
\begin{align}
|
||||
p(x) &= f[x_0] + f[x_0,x_1] \cdot (x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & + f[x_0, x_1, x_2, x_3] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \\
|
||||
&= 8 - 5 \cdot (x-x_0) + 3 \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & - \frac{2}{3} \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)
|
||||
\end{align}
|
||||
6
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe4.tex
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6
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe4.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,6 @@
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|||
\section*{Aufgabe 4}
|
||||
Ein Polynom, das vier Punkte interpoliert, hat maximal Grad 3.
|
||||
Da wir das Integral über dieses Polynom im Bereich $[x_2, x_3]$
|
||||
exakt berechnen sollen, muss die Quadraturformel vom Grad $p=4$ sein.
|
||||
|
||||
TODO
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||||
7
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe5.tex
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7
documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe5.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,7 @@
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|||
\section*{Aufgabe 5}
|
||||
|
||||
Das \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Explizites_Euler-Verfahren}{explizite Euler-Verfahren}
|
||||
dient der numerischen Lösung eines Anfangswertproblems (Differentialgleichungen).
|
||||
|
||||
Wir haben das nicht in der Vorlesung gemacht, also wird das wohl nicht
|
||||
relevant sein.
|
||||
BIN
documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.pdf
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BIN
documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.pdf
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Binary file not shown.
50
documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex
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50
documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,50 @@
|
|||
\documentclass[a4paper]{scrartcl}
|
||||
\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
|
||||
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
|
||||
\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf
|
||||
\usepackage{geometry} % [margin=2.5cm]layout
|
||||
\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
\usepackage{framed}
|
||||
\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists
|
||||
\usepackage{marvosym} % checkedbox
|
||||
\usepackage{wasysym}
|
||||
\usepackage{braket} % for \Set{}
|
||||
\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
|
||||
\usepackage{gauss}
|
||||
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
|
||||
\usepackage{parskip}
|
||||
\usepackage{lastpage}
|
||||
\usepackage{gauss}
|
||||
\usepackage{units}
|
||||
\allowdisplaybreaks
|
||||
|
||||
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
|
||||
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
|
||||
|
||||
\title{Numerik Klausur 6 - Musterlösung}
|
||||
\makeatletter
|
||||
\AtBeginDocument{
|
||||
\hypersetup{
|
||||
pdfauthor = {Martin Thoma, Peter, Felix},
|
||||
pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
|
||||
pdftitle = {\@title}
|
||||
}
|
||||
\pagestyle{fancy}
|
||||
\lhead{\@title}
|
||||
\rhead{Seite \thepage von \pageref{LastPage}}
|
||||
}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\usepackage{fancyhdr}
|
||||
\fancyfoot[C]{}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\input{Aufgabe1}\clearpage
|
||||
\input{Aufgabe2}\clearpage
|
||||
\input{Aufgabe3}
|
||||
\input{Aufgabe4}
|
||||
\input{Aufgabe5}
|
||||
\end{document}
|
||||
8
documents/Numerik/Klausur6/Makefile
Normal file
8
documents/Numerik/Klausur6/Makefile
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,8 @@
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|||
SOURCE = Klausur6
|
||||
make:
|
||||
pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
|
||||
pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
|
||||
make clean
|
||||
|
||||
clean:
|
||||
rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg
|
||||
11
documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py
Normal file
11
documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,11 @@
|
|||
from math import exp, log
|
||||
|
||||
def iterate(x):
|
||||
#return x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton
|
||||
#return 0.5*exp(-x) #F_1
|
||||
return (-1)*log(2.0*x) #F_2
|
||||
|
||||
x = 0.9
|
||||
for i in range(10):
|
||||
print (i, x)
|
||||
x = iterate(x)
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,279 @@
|
|||
\documentclass[aspectratio=169,hyperref={pdfpagelabels=false}]{beamer}
|
||||
\usepackage{lmodern}
|
||||
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for german umlauts
|
||||
\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for german umlauts
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
|
||||
|
||||
\usepackage{braket} % needed for \Set
|
||||
\usepackage{algorithm,algpseudocode}
|
||||
|
||||
\usepackage{verbatim}
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{arrows,shapes}
|
||||
|
||||
% Define some styles for graphs
|
||||
\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=20pt,inner sep=0pt]
|
||||
\tikzstyle{selected vertex} = [vertex, fill=red!24]
|
||||
\tikzstyle{blue vertex} = [vertex, fill=blue!24]
|
||||
\tikzstyle{edge} = [draw,thick,-]
|
||||
\tikzstyle{weight} = [font=\small]
|
||||
\tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,red!50]
|
||||
\tikzstyle{ignored edge} = [draw,line width=5pt,-,black!20]
|
||||
|
||||
% see http://deic.uab.es/~iblanes/beamer_gallery/index_by_theme.html
|
||||
%\usetheme{Frankfurt}
|
||||
\usefonttheme{professionalfonts}
|
||||
|
||||
% disables bottom navigation bar
|
||||
\beamertemplatenavigationsymbolsempty
|
||||
|
||||
% http://tex.stackexchange.com/questions/23727/converting-beamer-slides-to-animated-images
|
||||
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}%
|
||||
|
||||
\newcommand{\alertline}{%
|
||||
\usebeamercolor[fg]{normal text}%
|
||||
\only{\usebeamercolor[fg]{alerted text}}}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\pgfdeclarelayer{background}
|
||||
\pgfsetlayers{background,main}
|
||||
\newcommand\hlight[1]{\tikz[overlay, remember picture,baseline=-\the\dimexpr\fontdimen22\textfont2\relax]\node[rectangle,fill=blue!50,rounded corners,fill opacity = 0.2,draw,thick,text opacity =1] {$#1$};}
|
||||
\newcommand\tocalculate[1]{\tikz[overlay, remember picture,baseline=-\the\dimexpr\fontdimen22\textfont2\relax]\node[rectangle,fill=green!50,rounded corners,fill opacity = 0.2,draw,thick,text opacity =1] {$#1$};}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{minipage}[b]{0.30\linewidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
\alertline<1> L &= \alertline<1>\begin{pmatrix}
|
||||
0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hspace{0.5cm}
|
||||
\begin{minipage}[b]{0.60\linewidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{algorithm}[H]
|
||||
\begin{algorithmic}
|
||||
\Function{Cholesky}{$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$}
|
||||
\alertline<1>\State $L = \Set{0} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ \Comment{Initialisiere $L$}\\
|
||||
|
||||
\alertline<2>\alertline<4>\For{($k=1$; $\;k \leq n$; $\;k$++)}
|
||||
\alertline<3>\State $L_{k,k} = \sqrt{A_{k,k} - \sum_{i=1}^{k-1} L_{k,i}^2}$
|
||||
\For{($i=k+1$; $\;i \leq n$; $\;i$++)}
|
||||
\State $L_{i,k} = \frac{A_{i,k} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{i,j} \cdot L_{k,j}}{L_{k,k}}$
|
||||
\EndFor
|
||||
\EndFor
|
||||
\alertline<5>\State \Return $L$
|
||||
\EndFunction
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\caption{Cholesky-Zerlegung}
|
||||
\label{alg:seq1}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{frame}
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
\hlight{1} & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
\tocalculate{0} & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
\tocalculate{1} & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Calculate L_2,1
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
\hlight{2} & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
\tocalculate{0} & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
\hlight{1} & 0 & 0\\
|
||||
\tocalculate{2} & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
\tocalculate{2} & 0 & 0\\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Calculate L_3,1
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
\hlight{3} & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
2 & 0 & 0\\
|
||||
\tocalculate{0} & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
\hlight{1} & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
2 & 0 & 0\\
|
||||
\tocalculate{3} & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Calculate L_2,2
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & \hlight{8} & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
2 & \tocalculate{0} & 0\\
|
||||
3 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
\hlight{2} & \tocalculate{8} & 0\\
|
||||
3 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
2 & \tocalculate{8} & 0\\
|
||||
3 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= \hlight{4}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
2 & \tocalculate{4} & 0\\
|
||||
3 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3\\
|
||||
2 & 8 & 14\\
|
||||
3 & 14 & 34
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
L &= \begin{pmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0\\
|
||||
2 & \tocalculate{2} & 0\\
|
||||
3 & 0 & 0
|
||||
\end{pmatrix}\\
|
||||
tmp &= 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{frame}
|
||||
\end{document}
|
||||
35
source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Animation/Makefile
Normal file
35
source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Animation/Makefile
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,35 @@
|
|||
SOURCE = Animation
|
||||
DELAY = 80
|
||||
DENSITY = 300
|
||||
WIDTH = 500
|
||||
|
||||
make:
|
||||
pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
|
||||
make clean
|
||||
|
||||
clean:
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||||
rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
|
||||
|
||||
gif:
|
||||
pdfcrop $(SOURCE).pdf
|
||||
convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
|
||||
make clean
|
||||
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||||
png:
|
||||
make
|
||||
make svg
|
||||
inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
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||||
|
||||
transparentGif:
|
||||
convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
|
||||
make clean
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||||
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||||
svg:
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||||
make
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||||
#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
|
||||
pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
|
||||
# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
|
||||
inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
|
||||
rsvg-convert -a -w $(WIDTH) -f svg $(SOURCE).svg -o $(SOURCE)2.svg
|
||||
inkscape $(SOURCE)2.svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
|
||||
rm $(SOURCE)2.svg
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,18 @@
|
|||
def getL(A):
|
||||
n = len(A)
|
||||
L = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
|
||||
print(L)
|
||||
print("")
|
||||
|
||||
for k in range(n):
|
||||
L[k][k] = (A[k][k] - sum([L[k][i]**2 for i in range(k)]))**0.5
|
||||
for i in range(k+1, n):
|
||||
L[i][k] = (A[i][k]
|
||||
- sum([L[i][j]*L[k][j] for j in range(k)])) \
|
||||
/ L[k][k]
|
||||
print("L_%i%i = A%i%i - sum(L_...)/L_%i%i) = %i" % (i, k, i, k, k, k, L[i][k]))
|
||||
return L
|
||||
|
||||
A = [[1,2,3],[2,8,14],[3,14,34]]
|
||||
|
||||
print getL(A)
|
||||
|
|
@ -1,8 +1,8 @@
|
|||
Wahltag,Wahlbeteiligung,CSU,SPD,FDP,GRÜNE,BP,FW,ÖDP,REP,NPD,KPD,GB/BHE,Sonstige
|
||||
1946-06-30,72.1,58.3,28.8,2.5,,,,,,,5.3,,WAV 5.1
|
||||
1946-12-01,75.7,52.3,28.6,5.7,,,,,,,6.1,,WAV 7.4
|
||||
1950-11-26,79.9,27.4,28.0,7.1,,17.9,,,,,1,9,12.3,WAV 2.8
|
||||
1954-11-28,82.4,38.0,28.1,7.2,,13.2,,,,,2,1,10.2,
|
||||
1950-11-26,79.9,27.4,28.0,7.1,,17.9,,,,,1.9,12.3,WAV 2.8
|
||||
1954-11-28,82.4,38.0,28.1,7.2,,13.2,,,,,2.1,10.2,
|
||||
1958-11-23,76.6,45.6,30.8,5.6,,8.1,,,,,,8.6,
|
||||
1962-11-25,76.5,47.5,35.3,5.9,,4.8,,,,,,GDP 5.1,
|
||||
1966-11-20,80.6,48.1,35.8,5.1,,3.4,,,,7.4,,,
|
||||
|
|
|
|||
|
Binary file not shown.
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Before Width: | Height: | Size: 71 KiB After Width: | Height: | Size: 76 KiB |
|
|
@ -30,9 +30,11 @@
|
|||
\addplot[blue, dashed, mark=triangle*] table [x=Wahltag, y=Wahlbeteiligung, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\addplot[black,mark=square*] table [x=Wahltag, y=CSU, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\addplot[red,mark=square*] table [x=Wahltag, y=SPD, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\addplot[green,mark=square*] table [x=Wahltag, y=GRÜNE, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\addplot[yellow,mark=square*] table [x=Wahltag, y=FDP, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\legend{Wahlbeteiligung,CSU,SPD,Grüne,FDP}
|
||||
\addplot[green,mark=x] table [x=Wahltag, y=GRÜNE, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\addplot[yellow,mark=x] table [x=Wahltag, y=FDP, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\addplot[blue,mark=x] table [x=Wahltag, y=BP, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\addplot[orange,mark=x] table [x=Wahltag, y=FW, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
|
||||
\legend{Wahlbeteiligung,CSU,SPD,Grüne,FDP,BP,FW}
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{document}
|
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