Felix' Änderungen übernommen

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -1,12 +1,15 @@
 \section*{Aufgabe 3}
+Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
 \[f' (x,y) = \begin{pmatrix}
 	3     & \cos y\\
 	3 x^2 & e^y
 \end{pmatrix}\]
+Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
+zweiten Spalte nach $y$.
 
-Und jetzt die Berechnung
+Und jetzt die Berechnung %TODO: Was ist hiermit gemeint?
 
-\[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\]
+\[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\] %TODO: Was ist hiermit gemeint?
 
 LR-Zerlegung für $f'(x, y)$ kann durch scharfes hinsehen durchgeführt
 werden, da es in $L$ nur eine unbekannte (links unten) gibt. Es gilt
@@ -59,7 +62,11 @@ also ausführlich:
 		0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y
 	\end{pmatrix}\\
 	P &= I_2\\
--f ( \frac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} 2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
-c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\
+\end{align}
+
+Es folgt:
+\begin{align}
+-f ( \nicefrac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} -2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
+c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
 (x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{82}{27}\end{pmatrix}
 \end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex

@@ -15,6 +15,7 @@
 \usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
 \usepackage{gauss}
 \usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{units}
 \usepackage{parskip}
 \usepackage{lastpage}
 \allowdisplaybreaks

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex

@@ -1,9 +1,44 @@
 \section*{Aufgabe 5}
-Es gibt unendlich viele symmetrische QF mit $0=c_1 < c_2 < c_3$ und Ordnung $\geq 4$. Die Knoten müssen nur 
-folgende Eigenschaft erfüllen:
-\[c_i = 1 - c_{s+1-i}\]
-Die Gewichte sind durch Vorgabe der Knoten und der Bedingung, dass 
-die QF die Ordnung von $s \geq 3$ erfüllen soll, nach VL bereits 
-eindeutig bestimmt.
 
-Anmerkung: Es gilt immer $c_2 = \frac{1}{2}$!
+Zunächst ist nach der Familie von Quadraturformeln gefragt, für die gilt: ($p := $ Ordnung der QF)
+\begin{align}
+	s = 3 \\
+	0 = c_1 < c_2 < c_3 \\
+	p \ge 4
+\end{align}
+
+Nach Satz 29 sind in der Familie genau die QFs, für die gilt: \\
+Für alle Polynome $g(x)$ mit Grad $\le 0$ gilt:
+\begin{align}
+	 \int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d}x = 0 \label{a3}
+\end{align}
+Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante c, da der Grad von $g(x)$ $0$ ist. Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
+\begin{align}
+	 \int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\
+	 \Leftrightarrow c \cdot \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
+ 	 \Leftrightarrow \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
+ 	 \Leftrightarrow \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
+ 	 \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot (c_2 + c_3) + \frac{1}{2} \cdot c_2 \cdot c_3 &= 0 \\
+ 	 \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot c_3}
+ 	                      {\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot c_3} &= c_2
+\end{align}
+
+Natürlich müssen auch die Gewichte optimal gewählt werden. Dafür wird Satz 28 genutzt:
+Sei $b^T = (b_1, b_2, b_3)$ der Gewichtsvektor. Sei zudem $C :=
+\begin{pmatrix}
+    {c_1}^0 & {c_2}^0 & {c_3}^0 \\
+    {c_1}^1 & {c_2}^1 & {c_3}^1 \\
+    {c_1}^2 & {c_2}^2 & {c_3}^2
+\end{pmatrix}
+$. \\
+Dann gilt: $C$ ist invertierbar und $b = C^{-1} \cdot
+\begin{pmatrix}
+    1 \\
+    \frac{1}{2} \\
+    \frac{1}{3}
+\end{pmatrix}
+$.
+
+Es gibt genau eine symmetrische QF in der Familie. Begründung: \\
+Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 0$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ sein. Also sind die Knoten festgelegt. Da wir die Ordnung $\ge s = 3$ fordern, sind auch die Gewichte eindeutig. \\
+Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe1.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\section*{Aufgabe 1}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\section*{Aufgabe 2}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe3.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\section*{Aufgabe 3}
+
+\begin{table}[H]
+    \begin{tabular}{l|l|l|l|l}
+    $f_i$ & 8 & 3 & 4 & 8 \\ \hline
+    $x_i$ & -1 & 0 & 1 & 3 \\
+    \end{tabular}
+\end{table}
+
+\subsection*{Teilaufgabe i}
+\begin{align}
+	p(x) = \sum_{i=0}^3 f_i \cdot L_i(x)
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+	L_0(x) &= \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}
+	= \ldots = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{-8} \\
+	L_1(x) &= \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{3} \\
+	L_2(x) &= \frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{-4} \\
+	L_3(x) &= \frac{x^3 - x}{24}
+\end{align}
+
+\subsection*{Teilaufgabe ii}
+Anordnung der dividierten Differenzen im so genannten Differenzenschema:
+\begin{table}[H]
+    \begin{tabular}{llll}
+    $f[x_0]=f_0=8$ & ~                                                   & ~             & ~                \\
+    $f[x_1]= 3$    & $f[x_0,x_1] = \frac{f[x_0] - f[x_1]}{x_0-x_1} = -5$ & ~             & ~                \\
+    $f[x_2] = 4$   & $1$                                                 & $3$           & ~                \\
+    $f[x_3] = 8$   & $2$                                                 & $\frac{1}{3}$ & $- \frac{2}{3} $ \\
+    \end{tabular}
+\end{table}
+Also:
+\begin{align}
+	p(x) &= f[x_0] + f[x_0,x_1] \cdot (x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & + f[x_0, x_1, x_2, x_3] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \\
+	&= 8 - 5 \cdot (x-x_0) + 3 \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & - \frac{2}{3} \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)
+\end{align}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe4.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\section*{Aufgabe 4}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe5.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\section*{Aufgabe 5}

documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex

@@ -0,0 +1,48 @@
+\documentclass[a4paper]{scrartcl}
+\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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+\title{Numerik Klausur 6 - Musterlösung}
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