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Prjektiver Raum zu index hinzugefügt
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839c1899e1
7 changed files with 30 additions and 28 deletions
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@ -26,3 +26,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
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|11.01.2014 | 23:15 - 23:50 | Überarbeitung der Einleitung zum Kapitel "Euklidische und Nichteuklidische Geometrie"
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|12.01.2014 | 16:00 - 16:15 | `cleveref` benutzt
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|12.01.2014 | 22:15 - 22:30 | Beweis erstellt, dass Überlagerungen surjektiv sind
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|12.01.2014 | 23:30 - 00:00 | Gruppenaktion -> Gruppenoperation; Projektiver Raum zu Index hinzugefügt
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Binary file not shown.
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@ -38,6 +38,6 @@
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Ist $\GL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
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\item Ist $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
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\item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?
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\item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?\xindex{Raum!projektiver}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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@ -176,7 +176,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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$X /_\sim$ ist ein Torus.
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\end{beispiel}
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\begin{beispiel}
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\begin{beispiel}\xindex{Raum!projektiver}
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\begin{align*}
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X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
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&\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
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@ -43,7 +43,7 @@
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\item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
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mit einem Atlas aus einer Karte:
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\[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\]
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\item $\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
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\item \xindex{Raum!projektiver}$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
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der Dimension $n$ bzw. $2n$.
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$\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$
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@ -452,7 +452,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\item siehe \cref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
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\item siehe \cref{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
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\item $\mdr^n \rightarrow T^n = \mdr^n / \mdz^n$
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\item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$
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\item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$\xindex{Raum!projektiver}
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\item $S^1 \rightarrow S^1$, $z \mapsto z^2$, siehe \cref{fig:liftung-s1-s1}
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\end{enumerate}
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@ -1031,25 +1031,25 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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% Lea's Mitschrieb vom 07.01.2014 %
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\section{Gruppenaktionen}\index{Gruppenaktion|(}
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\begin{definition}\xindex{Gruppenaktion}% in Vorlesung: Definition 13.1
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\section{Gruppenoperationen}\index{Gruppenoperation|(}\index{Aktion|see{Gruppenoperation}}\index{Gruppenaktion|see{Gruppenoperation}}
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\begin{definition}\xindex{Gruppenoperation}% in Vorlesung: Definition 13.1
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Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
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Eine \textbf{Gruppenaktion} oder kurz \textbf{Aktion} von $G$ auf
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Eine \textbf{Gruppenoperation} von $G$ auf
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$X$ ist eine Abbildung $\circ$:
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\[ \circ: G \times X \rightarrow X, (g,x) \mapsto g \cdot x,\]
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\[ \circ: G \times X \rightarrow X,\;\;\; (g,x) \mapsto g \cdot x,\]
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für die gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theplaindefinition.\roman*]
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\item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenaktion.1}
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\item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenaktion.2}
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||||
\item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.1}
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||||
\item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.2}
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*),ref=\thebeispiel.\arabic*]
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\item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenaktion1}
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\item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenoperation1}
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||||
\item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h$
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\item $G$ operatiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
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\begin{enumerate}[label=\roman*)]
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@ -1065,21 +1065,21 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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\begin{definition}
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Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
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$\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenaktion.
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$\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation.
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $G$ operiert durch Homomorphismen, wenn für jedes $g \in G$
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die Abbildung
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\[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \cdot X\]
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ein Homöomorphismus ist.
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\item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Aktin $\circ$
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\textbf{stetig}\xindex{Gruppenaktion!stetige}, wenn
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\item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
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||||
\textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn
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$\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{korollar}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
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Jede stetige Aktion ist eine Aktion durch Homöomorphismen.
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Jede stetige Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation durch Homöomorphismen.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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Nach Voraussetzung ist $\circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
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@ -1089,30 +1089,30 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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(m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\
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&= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\
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&= g^{-1} \circ (g \circ x)\\
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||||
&\stackrel{\ref{def:gruppenaktion.2}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
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||||
&\stackrel{\ref{def:gruppenoperation.2}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
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||||
&= 1_G \circ x\\
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||||
&\stackrel{\ref{def:gruppenaktion.1}}{=} x
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||||
&\stackrel{\ref{def:gruppenoperation.1}}{=} x
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||||
\end{align*}
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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In Beispiel~\ref{bsp:gruppenaktion1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
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In Beispiel~\ref{bsp:gruppenoperation1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
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\end{beispiel}
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\begin{korollar}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
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Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Die Gruppenaktion von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
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\item Die Gruppenoperation von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
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den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$
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\item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei
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die Aktionen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
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die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
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$G \rightarrow \Homoo(X)$
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\end{enumerate}
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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\item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Aktion von $G$
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\item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation von $G$
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auf $X$. Dann sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ definiert
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durch $\varrho(g)(X) = g \cdot x \;\;\; \forall g \in G, x \in X$,
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also $\varrho(g) = m_g$.
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@ -1122,7 +1122,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$.
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z.~Z. \ref{def:gruppenaktion.2}:
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z.~Z. \ref{def:gruppenoperation.2}:
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\begin{align*}
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g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
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&= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
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@ -1131,7 +1131,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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&= (g_1 \cdot g_2) \circ x
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\end{align*}
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z.~Z. \ref{def:gruppenaktion.1}:
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||||
z.~Z. \ref{def:gruppenoperation.1}:
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$1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ Homomorphismus ist.
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\end{beweis}
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@ -1157,7 +1157,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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also auch $\rtilde{\gamma * \delta}$ und $\rtilde{\gamma * \delta'}$
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homotop.
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Gruppenaktion, denn:
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Gruppenoperation, denn:
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\begin{enumerate}[label=\roman*)]
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\item $[e] \circ \tilde{x} = \rtilde{e * \delta} = \tilde{x}$
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\item $\rtilde{\gamma_1 * \gamma_2 * \delta}(1) = [\gamma_1 * \gamma_2] \circ \tilde{x} = ([\gamma_1] * [\gamma_2]) \circ \tilde{x}$\\
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@ -1166,7 +1166,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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\end{beispiel}
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\textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5
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Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Aktion
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Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
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$\pi_1(X, x_0)$ aus Beispiel~\ref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
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$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
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ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}$
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@ -1181,6 +1181,6 @@ ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarr
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Frage: Was ist $S^2 / G$? Ist $S^2 / G$ eine Mannigfaltigkeit?
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\end{beispiel}
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\index{Gruppenaktion|)}
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\index{Gruppenoperation|)}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel3-UB}
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@ -69,8 +69,9 @@ aufgestellt.
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wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
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\item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
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und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$
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\item $\overline{PR} := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R}$
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\item $PR^+ := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q}$\\
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\item \textbf{Strecke}\xindex{Strecke} $\overline{PR} := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R}$
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\item \textbf{Halbgeraden}\xindex{Halbgerade}:\\
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$PR^+ := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q}$\\
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$PR^- := \Set{Q \in X | P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R}$\\
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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