fixed Aufgabe 2

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -94,7 +94,7 @@ Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com
 
 \textbf{Aufgabe:} $A$ auf positive Definitheit untersuchen, ohne Eigenwerte zu berechnen.
 
-\textbf{Lösung:}
+\textbf{Vorüberlegung:}
 Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv Definit $\dots$
 \begin{align*}
   \dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n: x^T A x > 0\\
@@ -123,10 +123,8 @@ Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
 \begin{align}
 	l_{11} &= \sqrt{a_{11}} = 3\\
 	l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{4}{3}\\
-	l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = 4\\
-	l_{22} &= \sqrt{a_{21} - {l_{21}}^2} = \frac{2 \sqrt{5}}{3}\\
-	\dots
+	l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{12}{3} = 4\\
+	l_{22} &= \sqrt{a_{21} - {l_{21}}^2} = \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{4}{9}} \notin \mathbb{R}\\
+ & \Rightarrow \text{Es ex. keine Cholesky-Zerlegung, aber $A$ ist symmetrisch}\\
+ & \Rightarrow \text{$A$ ist nicht pos. Definit}
 \end{align}
-
-ACHTUNG: Noch nicht fertig! Irgendwo muss was negatives unter einer
-Wurzel kommen!