added many definitions for linear algebra

documents/book/book.tex

@@ -20,10 +20,14 @@
 \clubpenalty  = 10000 % Schusterjungen verhindern
 \widowpenalty = 10000 % Hurenkinder verhindern
 
-\usepackage{showidx}
-
 \makeindex
 
+\hypersetup{ 
+  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
+  pdfkeywords = {Graphentheorie}, 
+  pdftitle    = {Graphentheorie} 
+} 
+
 \begin{document}
 \author{Martin Thoma} 
 \title{Test Book} 

documents/book/preface.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+\chapter*{Preface}
 Vim ne error essent consequuntur, vim sale solum fierent ei, per te erat cetero timeam. Ius quodsi option eu, id mazim denique persecuti duo. Nec malis dicant incorrupte no, in tota admodum adipiscing sea. Eum dicat fastidii definitionem eu, discere nostrum ex mel, hinc cetero denique in eam. Ea qui soleat regione, ut ius virtute detraxit. Mei erroribus sententiae dissentias ne.
 
  Vis cu tota apeirian tractatos, animal mediocrem sed at, ea reque atqui accusamus ius. Vitae aliquam eum id, vim ei nominavi gubergren appellantur. Pro nobis epicuri rationibus in. Nusquam temporibus ad his, id sea exerci causae eligendi. Pro odio latine perpetua an, nam meis honestatis ei.

documents/book/refs.bib

@@ -1,11 +1,8 @@
-@ARTICLE{Bailey,
-   author = "D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber",
-   title = "The fractional {F}ourier transform and applications",
-   journal = "SIAM Rev.",
-   volume = 33,
-   number = 3,
-   pages = "389--404",
-   year = 1991
+@BOOK{Pomberger,
+   author = "Peter Rechenberg und Gustav Pomberger",
+   title = "Informatik-Handbuch",
+   publisher = "HANSER--Verlag, München--Berlin",
+   year = 1999
    }
 
 @ARTICLE{Bay1,

documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[a4paper,9pt]{scrartcl}
+\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl}
 \usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
 \usepackage{} % needed for math
 \usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
@@ -69,11 +69,24 @@
  \noindent\ignorespaces}
 {\end{contlabelframe}} 
 \makeatother
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Custom satz style
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\makeatletter
+\newcounter{satz}
+\newenvironment{satz}[1]{%
+  \par
+  \refstepcounter{satz}%
+  \begin{contlabelframe}{Satz \thedefinition:\quad #1}
+ \noindent\ignorespaces}
+{\end{contlabelframe}} 
+\makeatother
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Begin document                                                    %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
-
+\section{Lineare Algebra I}
 \begin{definition}{injektiv, surjektiv und bijektiv}
 Sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung.
   \begin{enumerate}[(a)]
@@ -192,4 +205,153 @@ heißen \textbf{linear unabhängig}, wenn gilt:
 \[ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} \lambda_i v_i = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_k = 0 \]
 \end{definition}
 
+\clearpage
+\section{Lineare Algebra II}
+
+\begin{definition}{Bilinearform}
+Sei V ein reeler Vektorraum. Eine \textbf{Bilinearform} auf V ist eine
+Abbildung
+\[ F: V \times V \rightarrow V, ~~~ (a,b) \mapsto F(a,b), \]
+die in jedem Argument linear ist, d.h. für alle $a, a_1, a_2, b, b_1, b2 \in V$
+und alle $\lambda_1, \lambda_2, \mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R}$ gilt:
+\begin{align*}
+    F(\lambda_1 \cdot a_1 + \lambda_2 \cdot a_2, b) &= \lambda_1 \cdot F(a_1, b) + \lambda_2 \cdot F(a_2, b)\\
+    F(a, \mu_1 \cdot b_1 + \mu_2 \cdot b_2)         &= \mu_1 \cdot F(a, b_1) + \mu_2 \cdot F(a, b_2)
+\end{align*}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{symmetrische Bilinearform}
+Sei F eine Bilinearform.\\
+F heißt \textbf{symmetrisch} $:\Leftrightarrow F(a,b) = F(b,a)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{positiv definite Bilinearform}
+Sei F eine Bilinearform.\\
+F heißt \textbf{positiv definit} $:\Leftrightarrow \forall a \in V: F(a,a) \geq 0 \land ( F(a,a) = 0 \Leftrightarrow a = 0)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{Skalarprodukt}
+Für reele Vektorräume gilt:\\
+Eine symmetrische, positiv definite Bilinearform heißt \textbf{Skalarprodukt}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{euklidischer Vektorraum}
+Sei V ein reeler Vektorraum und F ein Skalarprodukt auf V. Dann
+heißt (V, F) ein \textbf{euklidischer Vektorraum}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{Hermitesche Form}
+Sei V ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung 
+\[ F:V \times V \rightarrow \mathbb{C}, ~~~ (a,b) \mapsto F(a,b) \]
+heißt \textbf{hermitesche Form} auf V, falls für alle $a, a_1, a_2, b$
+und alle $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ gilt:
+\begin{align*}
+    F(\lambda_1 \cdot a_1 + \lambda_2 \cdot a_2, b) &= \lambda_1 \cdot F(a_1, b) + \lambda_2 \cdot F(a_2, b)\\
+    F(b, a) &= \overline{F(a, b)}
+\end{align*}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{Skalarprodukt}
+Für komplexe Vektorräume gilt:\\
+Eine symmetrische, positiv definite Hermitesche Form heißt \textbf{Skalarprodukt}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{unitärer Vektorraum}
+Sei V ein komplexer Vektorraum und F ein Skalarprodukt auf V. Dann
+heißt (V, F) ein \textbf{unitärer Vektorraum}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{hermitesche Matrix}
+Sei $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ eine Matrix.\\
+$A$ heiß hermitesch $: \Leftrightarrow \overline{A}^T = A$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{positiv definite Matrix}
+Sei A eine symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix. \\
+A heißt \textbf{positiv definit} $: \Leftrightarrow x^T G x > 0 $
+für alle $x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0$ bzw. $z^T G \overline z > 0$ für
+alle $x \in \mathbb{C}^n, z \neq 0 $.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}{Cauchy-Schwarz Ungleichung}
+In einem euklidischen oder unitären Vektorraum $V, \langle, \rangle$ gilt für alle $a, b \in V$
+    \[ |\langle a, b \rangle |^2 \leq \langle a, a \rangle  \langle b, b \rangle \]
+Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind.
+\end{satz}
+
+\begin{definition}{Norm}
+Sei V ein reeler oder komplexer Vektorraum. Eine \textbf{Norm} auf V
+ist eine Funktion 
+\[ \| \| : V\to{\mathbb R}, ~~~ x \mapsto \| x \| \]
+mit folgenden Eigenschaften:\\
+Für alle $\lambda \in \mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$) und alle $a, b \in V $ gilt:\\
+\begin{enumerate}[(i)]
+    \item $\| \lambda a\| = | \lambda | \cdot \|a \|$ (homogen)
+    \item $\| a+b      \| \leq \| a \| + \| b \|$ (Dreiecks-Ungleichung)
+    \item $\| a        \| \geq 0 \land \| a \| = 0 \Leftrightarrow a = 0$ (positiv definit)
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}{induzierte Norm}
+Es sei $V, \langle, \rangle$ ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. 
+Dann ist die Funktion
+\[ \| \| : V \rightarrow \mathbb{R} \text{ definiert durch } \|a\| := \sqrt{\langle a, a \rangle}\]
+eine Norm.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}{Parallelogramm-Identität}
+\begin{enumerate}[(a)]
+  \item Sei $(V, \langle, \rangle)$ ein euklidischer oder unitärer 
+        Vektorraum mit zugehöriger Norm $\|\|$. Dann gilt die 
+        \textbf{Parallelogramm-Identität}, d.h. für alle $a, b \in V$ ist
+        \[ \| a+ b \|^2 + \| a - b \|^2 = 2 \| a \|^2 +  2 \| b \|^2 \]
+  \item Ist umgekehrt $\|\|$ eine Norm auf einem reelen Vektorraum V,
+        die die Parallelogramm-Identität erfüllt, so existiert ein
+        Skalarprodukt $\langle, \rangle$ auf V mit $\|a\| = \sqrt{\langle a, a \rangle}$
+        für alle $a \in V$.
+\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{definition}{Metrik}
+Für eine beliebige Menge M heißt eine Funktion $d:M \times M \rightarrow \mathbb{R}$
+eine \textbf{Metrik}, wenn d die folgenden Eigenschaften erfüllt:
+\begin{enumerate}[(i)]
+  \item $\forall p, q \in M: d(p, q) = d(q, p)$ (symmetrie)
+  \item $\forall p, q, r \in M: d(p, r) \leq d(p, q) + d(q,r)$ (Dreiecks-Ungleichung)
+  \item $\forall p, q \in M: d(p, q) \geq 0$ und 
+                             $d(p,q) = 0 \Leftrightarrow p = q$ (positiv definit)
+\end{enumerate}
+
+Das Paar $(M, d)$ heißt dann \textbf{metrischer Raum}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{diskrete Metrik}
+Sei M eine Menge. Dann ist die diskrete Metrik definiert durch:
+\[ d(p,q) =
+\left\{
+	\begin{array}{ll}
+		0 & \mbox{falls } p = q \\
+		1 & \mbox{falls } p \neq q
+	\end{array}
+\right.\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}{Norm induziert Metrik}
+Ein normierter Vektorraum ist ein metrischer Vektorraum.
+\end{satz}
+
+\begin{definition}{Cosinus}
+\[ \cos \omega(a,b) = \frac{\langle a, b \rangle}{\|a\| \cdot \|b \|} \]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{orthogonalität von Vektoren}
+Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und $a, b \in V$.\\
+\[ a \perp b :\Leftrightarrow \langle a, b \rangle = 0 \]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{Pythagoras}
+Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Dann gilt in V:
+\[ a \perp b \Rightarrow \|a\| + \|b\| = \|a+b\|^2\]
+\end{definition}
+
 \end{document}