tex-projects/LaTeX-examples
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Viel zu Haskell ergänzt; Funktionen höherer Ordnung beschrieben

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Martin Thoma 2014-02-04 14:07:24 +01:00
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documents/Programmierparadigmen/Programmiertechniken.tex
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@ -18,9 +18,10 @@
fib(n-1) + fib(n-2) &\text{sonst}
\end{cases}
\end{align*}
Erzeugt die Zahlen $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$
\item Fakultät:\xindex{Fakultät}
\begin{align*}
!: \mdn_0 &\rightarrow \mdn_0\\
! &: \mdn_0 \rightarrow \mdn_0\\
n! &= \begin{cases}
1 &\text{falls } n \leq 1\\
n\cdot (n-1)! &\text{sonst}
@ -28,7 +29,7 @@
\end{align*}
\item \label{bsp:binomialkoeffizient} Binomialkoeffizient:\xindex{Binomialkoeffizient}
\begin{align*}
\binom{\cdot}{\cdot}: \mdn_0 \times \mdn_0 &\rightarrow \mdn_0\\
\binom{\cdot}{\cdot} &: \mdn_0 \times \mdn_0 \rightarrow \mdn_0\\
\binom{n}{k} &= \begin{cases}
1 &\text{falls } k=0 \lor k = n\\
\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} &\text{sonst}
@ -79,20 +80,54 @@ Mit Hilfe der Formel von Moivre-Binet folgt:
Dabei ist der Speicherbedarf $\mathcal{O}(n)$. Dieser kann durch
das Benutzen eines Akkumulators signifikant reduziert werden.\todo{TODO}
\begin{definition}[linear rekursive Funktion]\xindex{Funktion!linear rekursive}
\begin{definition}[linear rekursive Funktion]\xindex{Funktion!linear rekursive}%
Eine Funktion heißt linear rekursiv, wenn in jedem Definitionszweig
der Funktion höchstens ein rekursiver Aufruf vorkommt.
\end{definition}
\begin{definition}[endrekursive Funktion]\xindex{Funktion!endrekursive}\xindex{tail recursive}
\begin{definition}[endrekursive Funktion]\xindex{Funktion!endrekursive}\xindex{tail recursive}%
Eine Funktion heißt endrekursiv, wenn in jedem Definitionszweig
der Rekursive aufruf am Ende des Ausdrucks steht. Der rekursive
Aufruf darf also insbesondere nicht in einen anderen Ausdruck
eingebettet sein.
\end{definition}
\todo[inline]{Beispiele für linear rekusrive, endrekursive Funktionen (alle Kombinationen+gegenbeispiele}
Auf Englisch heißen endrekursive Funktionen \textit{tail recursive}.
\index{Rekursion|(}
\begin{beispiel}[Linear- und endrekursive Funktionen]
\begin{bspenum}
\item \texttt{fak n = if (n==0) then 1 else (n * fak (n-1))}\\
ist eine linear rekursive Funkion, aber nicht endrekursiv,
da nach der Rückgabe von \texttt{fak (n-1)} noch die Multiplikation
ausgewertet werden muss.
\item \texttt{fakAcc n acc = if (n==0) then acc else fakAcc (n-1) (n*acc)}\\
ist eine endrekursive Funktion.
\item \texttt{fib n = n <= 1 ? n : fib(n-1) + fib (n-2)}\\
ist weder linear- noch endrekursiv.
\end{bspenum}
\end{beispiel}
\index{Rekursion|)}
\section{Backtracking}
\index{Backtracking|(}
\index{Backtracking|)}
\section{Funktionen höherer Ordnung}
Funktionen höherer Ordnung sind Funktionen, die auf Funktionen arbeiten.
Bekannte Beispiele sind:
\begin{itemize}
\item \texttt{map(function, list)}\xindex{map}\\
\texttt{map} wendet \texttt{function} auf jedes einzelne
Element aus \texttt{list} an.
\item \texttt{filter(function, list)}\xindex{filter}\\
\texttt{filter} gibt eine Liste aus Elementen zurück, für
die \texttt{function} mit \texttt{true} evaluiert.
\item \texttt{reduce(function, list)}\xindex{reduce}\\
\texttt{function} ist für zwei Elemente aus \texttt{list}
definiert und gibt ein Element des gleichen Typs zurück.
Nun steckt \texttt{reduce} zuerst zwei Elemente aus \texttt{list}
in \texttt{function}, merkt sich dann das Ergebnis und nimmt
so lange weitere Elemente aus \texttt{list}, bis jedes
Element genommen wurde.
\end{itemize}