From 7561576c87f3c7502597eee38326398d35b000a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Martin Thoma Date: Mon, 15 Oct 2012 06:59:18 +0200 Subject: [PATCH] Umlaute --- .../{Ana3Bachelor.tex => Analysis-III.tex} | 190 +++++++++--------- documents/Analysis III/Makefile | 2 +- 2 files changed, 96 insertions(+), 96 deletions(-) rename documents/Analysis III/{Ana3Bachelor.tex => Analysis-III.tex} (96%) diff --git a/documents/Analysis III/Ana3Bachelor.tex b/documents/Analysis III/Analysis-III.tex similarity index 96% rename from documents/Analysis III/Ana3Bachelor.tex rename to documents/Analysis III/Analysis-III.tex index 1c0b13f..badb78c 100644 --- a/documents/Analysis III/Ana3Bachelor.tex +++ b/documents/Analysis III/Analysis-III.tex @@ -384,7 +384,7 @@ Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$ und man definiert $\ \item \(A\subseteq B\,\implies\,\mu(A)\leq\mu(B)\) \item Ist \(\mu(A)<\infty\) und \(A\subseteq B,\implies\,\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)\) \item Ist \(\mu\) endlich, dann ist \(\mu(A)<\infty\) und \(\mu(A^{c})=\mu(X)-\mu(A)\) -\item \(\mu\left(\bigcup A_{j}\right)\leq\sum{\mu(A_{j})}\) (\(\sigma\)-Subadditivit\"at) +\item \(\mu\left(\bigcup A_{j}\right)\leq\sum{\mu(A_{j})}\) (\(\sigma\)-Subadditivität) \item Ist \(A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq\cdots\), so ist \(\mu(\bigcup A_{j})=\lim_{n\to\infty}{\mu(A_{n})}\) \item Ist \(A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq\cdots\) und \(\mu(A)<\infty\), so ist \(\mu(\bigcap A_{j})=\lim_{n\to\infty}{\mu(A_{n})}\) @@ -408,7 +408,7 @@ Dann: \(B_{j}\in\fa,\,B_{j}\subseteq A_{j}\,(j\in\MdN);\,(B_{j})\) disjunkt und Dann: \(B_{j}\subseteq\fa;\,B_{j}\subseteq A_{j}\,(j\in\MdN);\,\bigcup A_{j}=\bigcup B_{j}\) und \(A_{n}=\bigcup_{j=1}^{n}{B_{j}}\)%\bigcupdot_{j=1}^{n}{B_{j}}\) Dann: \(\mu(\bigcup A_{j})=\mu(\bigcup B_{j})=\sum{\mu(B_{j})}=\lim_{n\to\infty}{\underbrace{\sum_{j=1}^{n}{\mu(B_{j})}}_{=\mu\left(\bigcup_{j=1}^{n}{B_{j}}\right)=\mu(A_{n})}}\) -\item[(6)] \"Ubung +\item[(6)] Übung \end{enumerate} \end{beweis} @@ -457,12 +457,12 @@ Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann: \begin{enumerate} \item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\) -Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) f\"ur ein \(k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\varnothing\in\ci_{d}\). +Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) für ein \(k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\varnothing\in\ci_{d}\). Sei \(\alpha_{k}'<\beta_{k}'\forall k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k}',\beta_{k}']\in\ci_{d}}\) \item Induktion nach \(d\): \begin{itemize} \item[I.A.] Klar \checkmark % hier fehlt noch eine Graphik -\item[I.V.] Die Behauptung gelte f\"ur ein \(d\geq 1\) +\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(d\geq 1\) \item[I.S.] Seien \(I,I'\in\ci_{d+1}\). Es existieren \(I_{1},I_{1}'\in\ci_{1}\) und \(I_{2},I_{2}'\in\ci_{d}\) mit: \(I=I_{1}\times I_{2},\,I'=I_{1}'\times I_{2}'\) % Graphik einfuegen! @@ -473,14 +473,14 @@ I\setminus I'=(I_{1}\setminus I_{1}')\times I_{2}\dot \cup(I_{1}\cap I_{1}')\tim \] I.A.\(\implies\,I_{1}\setminus I_{1}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{1}\)\\ I.V.\(\implies\,I_{2}\setminus I_{2}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{d}\)\\ -Daraus folgt die Behauptung f\"ur \(d+1\) +Daraus folgt die Behauptung für \(d+1\) \end{itemize} \item Wir zeigen mit Induktion nach \(n\): ist \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit \(I_{1},\ldots,I_{d}\in\ci_{d}\), so existiert \(\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) \begin{itemize} \item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\)\checkmark -\item[I.V.] Die Behauptung gelte f\"ur ein \(n\geq 1\) +\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\geq 1\) \item[I.S.] Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n+1}{I_{j}}\quad(I_{1},\ldots,I_{n+1}\in\ci_{d})\) IV\(\,\implies\,\exists\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: @@ -495,7 +495,7 @@ Damit folgt: \[ A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{\left(\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\right)} \] -Daraus folgt die Behauptung f\"ur \(n+1\). +Daraus folgt die Behauptung für \(n+1\). \end{itemize} \item \((a,a]=\varnothing\implies\varnothing\in\cf_{d}\) @@ -505,7 +505,7 @@ Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}'}\quad(I_{j},I_{j}' \begin{itemize} \item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\implies B\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n}(\underbrace{I_{j}'\setminus I_{j}}_{\in\cf_{d}})\). Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{1}\) an. Aus (2) folgt dann \(B\setminus A\in\cf_{d}\). -\item[I.V.] Die Behauptung gelte f\"ur ein \(n\in\MdN\) +\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\in\MdN\) \item[I.S.] Sei \(A'=A\cup I_{n+1}\quad(I_{n+1}\in\ci_{d})\). Dann: \[ B\setminus A'=\underbrace{(B\setminus A)}_{\in\cf_{d}}\setminus\underbrace{I_{n+1}}_{\in\cf_{d}}\in\cf_{d} @@ -564,7 +564,7 @@ Also: \end{align*} \item wie bei Satz \ref{Satz 1.7} \item \(\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda(A\cup(B\setminus A))\overset{(1)}{=}\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B\setminus A)\overset{(2)}{\leq}\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\) % \cupdot... -\item \"Ubung; es gen\"ugt zu betrachten: \(B\in\ci_{d}\) % Graphik einfuegen +\item Übung; es genügt zu betrachten: \(B\in\ci_{d}\) % Graphik einfuegen \item Sei \(\varepsilon>0\). Aus (4) folgt: Zu jedem \(B_{n}\) existiert ein \(C_{n}\in\cf_{d}:\overline{C}_{n}\subseteq B_{n}\) und \begin{equation} @@ -588,7 +588,7 @@ Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\varnothing\). Das hei\ss t: \begin{beweis} \begin{itemize} \item[I.A.] \(\lambda_{d}(B_{1}\setminus D_{1})=\lambda_{d}(B_{1}\setminus C_{1})\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\ep\) \checkmark -\item[I.V.] Die Behauptung gelte f\"ur ein \(n\in\mdn\). +\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\in\mdn\). \item[I.S.] \begin{align*} \lambda_{d}(B_{n+1}\setminus D_{n+1})&=\lambda_{d}\left((B_{n+1}\setminus D_{n})\cup(B_{n+1}\setminus C_{n+1})\right)\\ &\overset{(3)}{\leq}\lambda_{d}(\underbrace{B_{n+1}\setminus D_n}_{\subseteq B_{n}\setminus D_{n}})+\underbrace{\lambda_{d}(B_{n+1}\setminus C_{n+1})}_{\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2^{n+1}}}\\ @@ -599,7 +599,7 @@ Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\varnothing\). Das hei\ss t: \end{itemize} \end{beweis} -F\"ur \(n\geq m:\,D_{n}=\varnothing\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\varepsilon\leq\varepsilon\) +Für \(n\geq m:\,D_{n}=\varnothing\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\varepsilon\leq\varepsilon\) \end{enumerate} \end{beweis} @@ -615,7 +615,7 @@ hei\ss t ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt: \begin{satz} \label{Satz 2.4} -\(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) ist ein Pr\"ama\ss . +\(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) ist ein Präma\ss . \end{satz} \begin{beweis} \begin{enumerate} @@ -625,7 +625,7 @@ hei\ss t ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt: \(B_{n}:=\bigcup_{j=n}^{\infty}{A_{j}}\,(n\in\mdn)\); \((B_{n})\) hat die Eigenschaften aus \ref{Satz 2.3}, Punkt 5. Also: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\). -F\"ur \(n\geq 2\): +Für \(n\geq 2\): \[ \lambda_{d}(A)=\lambda_{d}(A_{1}\cup\cdots\cup A_{n-1}\cup B_{n})\overset{\ref{Satz 2.3}.(1)}{=}\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}+\lambda_{d}(B_{n}) \] @@ -639,7 +639,7 @@ Mit \(n\to\infty\) folgt die Behauptung. \begin{satz}[Fortsetzungssatz von Carath\'eodory] \label{Satz 2.5} -Sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\) und \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) ein Pr\"ama\ss. Dann +Sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\) und \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) ein Präma\ss. Dann existiert ein Ma\ss raum \((X,\fa(\mu),\overline{\mu})\) mit \begin{enumerate} \item \(\sigma(\fr)\subseteq\fa(\mu)\) @@ -671,7 +671,7 @@ und wird ebenfalls mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet. \end{satz} \begin{beweis} Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} und Satz \ref{Satz 2.4} folgt: \(\lambda_{d}\) ist ein -Pr\"ama\ss \ auf \(\fr:=\cf_{d}\); es ist \(\sigma(\fr)=\fb_{d}\). +Präma\ss \ auf \(\fr:=\cf_{d}\); es ist \(\sigma(\fr)=\fb_{d}\). Aus Satz \ref{Satz 2.5} folgt: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Ma\ss \ auf \(\fb_{d}\) fortgesetzt werden. @@ -695,14 +695,14 @@ dann: \(\nu=\lambda_{d}\) auf \(\fb_{d}\). \begin{bemerkung} Sei \(X\in\fb_{d}\). Aus 1.6 folgt: \(\fb(X)=\{A\in\fb_{d}\mid A\subseteq X\}\). -Die Einschr\"ankung von \(\lambda_{d}\) auf \(\fb(X)\) hei\ss t ebenfalls +Die Einschränkung von \(\lambda_{d}\) auf \(\fb(X)\) hei\ss t ebenfalls L-Ma\ss \ und wird mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet. \end{bemerkung} \begin{beispieleX} \begin{enumerate} \item Seien \(a=(a_{1},\ldots,a_{d}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{d})\in\mdr^{d},\,a\leq b\) und \(I=[a,b]\).\\ -\textbf{Behauptung}\\\(\lambda_{d}([a,b])=(b_{1}-a_{1})\cdots(b_{d}-a_{d})\) (Entsprechendes gilt f\"ur \((a,b)\) und \([a,b)\)) +\textbf{Behauptung}\\\(\lambda_{d}([a,b])=(b_{1}-a_{1})\cdots(b_{d}-a_{d})\) (Entsprechendes gilt für \((a,b)\) und \([a,b)\)) \begin{beweis} \(I_{n}:=(a_{1}-\frac{1}{n},b_{1}]\times\cdots\times(a_{d}-\frac{1}{n},b_{d}];\,I_{1}\supset I_{2}\supset\cdots;\,\bigcap I_{n}=I,\,\lambda_{d}(I_{1})<\infty\) @@ -715,15 +715,15 @@ Aus Satz \ref{Satz 1.7}, Punkt 5, folgt: \end{beweis} \item Sei \(a\in\mdr^{d},\,\{a\}=[a,a]\in\fb_{d}\). Aus obigem Beispiel (1) folgt: \(\lambda_{d}(\{a\})=0\). -\item \(\mdq^{d}\) ist abz\"ahlbar, also: \(\mdq^{d}=\{a_{1},a_{2},\ldots\}\) +\item \(\mdq^{d}\) ist abzählbar, also: \(\mdq^{d}=\{a_{1},a_{2},\ldots\}\) mit \(a_{j}\neq a_{i}\,(i\neq j)\). Dann: \(\mdq^{d}=\bigcup\{a_{j}\}\) %\bigcupdot... Dann gilt: \(\mdq^{d}\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(\mdq^{d})=\sum{\lambda_{d}(\{a_{j}\})}=0\). -\item Wie in Beispiel (3): Ist \(A\subseteq\mdr^{d}\) abz\"ahlbar, so ist +\item Wie in Beispiel (3): Ist \(A\subseteq\mdr^{d}\) abzählbar, so ist \(A\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(A)=0\). \item Sei \(j\in\{1,\ldots,d\}\) und \(H_{j}:=\{(x_{1},\ldots,x_{d})\in\mdr^{d}\mid x_{j}=0\}\). \(H_{j}\) ist abgeschlossen, damit folgt: \(H_{j}\in\fb_{d}\). -Ohne Beschr\"ankung der Allgemeinheit sei \(j=d\). Dann: +Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(j=d\). Dann: \(I_{n}:=\underbrace{[-n,n]\times\cdots\times[-n,n]}_{(d-1)-\text{mal}}\times\{0\}\). % Hier fehlt noch eine Graphik Aus Beispiel (1) folgt: \(\lambda_{d}(I_{n})=0\). @@ -909,7 +909,7 @@ Funktionen. \item \begin{itemize} \item[\(\Rightarrow\)] \checkmark \item[\(\Leftarrow\)] \(\fd:=\{B\subseteq Y\mid f^{-1}(B)\in\fa\}\) -\"Ubung: \(\fd\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(Y\). +Übung: \(\fd\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(Y\). Aus der Voraussetzung folgt: \(\ce\subseteq\fd\). Dann: \(\fb=\sigma(\ce)\subseteq\fd\). Ist \(B\in\fb\), so ist \(B\in\fd\), also @@ -951,7 +951,7 @@ Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) und \(\alpha,\beta\in\mdr\). Dann: \(f^{-1}(I)=\bigcap_{j=1}^{k}{\underbrace{f_{j}^{-1}(\underbrace{(a_{j},b_{j}]}_{\in\fb_{1}}}_{\in\fb(X)}}\in\fb(X)\) Aus \(\sigma(I_{k})=\fb_{k}\) folgt mit \ref{Satz 3.1}.(2): \(f\) ist messbar. -\item[\(\Rightarrow:\)] F\"ur \(j=1,...,k\) sei \(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch +\item[\(\Rightarrow:\)] Für \(j=1,...,k\) sei \(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch \(p_{j}(x_{1},\ldots,x_{k}):=x_{j}\) \(p_{j}\) ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist \(f_{j}=p_{j}\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(f_{j}\) ist @@ -1005,7 +1005,7 @@ Es ist \(g=\vp\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1} folgt: \(g\) ist messbar. \begin{beispiel} \(X=\mdr^{2},\,f(x,y):=\begin{cases}\frac{\sin(y)}{x}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}\) -f\"ur \(x\neq 0:\,f(x,x)=\frac{\sin(X)}{x}\overset{x\to 0}{\to}1\neq 0=f(0,0)\), daraus folgt: \(f\) ist nicht stetig. +für \(x\neq 0:\,f(x,x)=\frac{\sin(X)}{x}\overset{x\to 0}{\to}1\neq 0=f(0,0)\), daraus folgt: \(f\) ist nicht stetig. \(A:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x=0\},\,B:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x\neq 0\},\,X=A\cup B,\,A\cap B=\varnothing\). \(A\) ist abgeschlossen, das hei\ss t: \(A\in\fb_{2},\,B=A^{C}\in\fb_{2}\) @@ -1036,7 +1036,7 @@ In \(\imdr\) gelten folgende Regeln, wobei \(a\in\mdr\): \begin{definition} \begin{enumerate} \item Sei \((x_{n})\) eine Folge in \(\imdr\). \(x_{n}\rightarrow+\infty:\Leftrightarrow\forall c\in\mdr\exists n_{c}\in\mdn:x_{n}\geq c\forall n\geq n_{c}\)\\ -Analog f\"ur \(-\infty\). +Analog für \(-\infty\). \item Seien \(f,g: X\to\imdr\). Dann: \begin{align*} \{f\leq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\leq g(x)\}\\ @@ -1557,7 +1557,7 @@ $f, g: X \to \imdr$ seien integrierbar und es sei $\alpha \in \mdr$. \item $\lvert \int_X f \text{ d}x \rvert \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x$. (Dreiecksungleichung für Integrale) \item Sei $\varnothing\ne Y \in \fb(X)$. Dann sind die Funktionen $f_{|Y}: Y \to \imdr$ und $\mathds{1}_Y\cdot f: X \to \imdr$ integrierbar und \[\int_Y f(x) \text{ d}x := \int_Y f_{|Y} (x) \text{ d}x = \int_X(\mathds{1}_Y \cdot f)(x) \text{ d}x\] - \item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschr\"ankt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$) + \item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschränkt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$) \end{enumerate} \end{satz} @@ -1605,7 +1605,7 @@ Es folgt: \(f_{|Y}\) ist integrierbar und \(\int_{Y}{f_{|Y}\mathrm{d}x}=\int_{Y} \[ \int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lVert h\rVert_{\infty}\mathds{1}_{X}\mathrm{d}x}=\lVert h\rVert_{\infty}\lambda(X)<\infty \] -Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \(h\) beschr\"ankt ist, folgt: +Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \(h\) beschränkt ist, folgt: \(h\in\fl^{1}(X)\). Schlie\ss lich: \[ \left\lvert\int_{X}{h\mathrm{d}x}\right\rvert\leq\int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\lVert h\lVert_{\infty}\lambda(X) @@ -1625,11 +1625,11 @@ Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \begin{beweis} \begin{enumerate} - \item Aus \ref{Satz 4.11}(7) folgt: $f$ ist integrierbar \"uber $A$ und integrierbar \"uber $B$. Es ist + \item Aus \ref{Satz 4.11}(7) folgt: $f$ ist integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$. Es ist \[ \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \left( \mathds{1}_{A\cup B} \cdot f \right)(x) \text{ d}x = \int_X \left( \left( \mathds{1}_A + \mathds{1}_B \right) f\right)(x) \text{ d}x \] \[= \int_X \left(\mathds{1}_A f + \mathds{1}_B f \right)(x) \text{ d}x \stackrel{4.11(2)}{=} \int_X \mathds{1}_A f \text{ d}x + \int_X \mathds{1}_B f \text{ d}x \stackrel{4.11(7)}{=} \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x.\] - \item $K$ ist kompakt, also gilt: $\lambda(K) < \infty$. Aus \ref{Satz 3.2}(1) folgt, dass $f$ messbar ist. Analysis II (\glqq stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an\grqq ) liefert: $f$ ist beschr\"ankt. Insgesamt folgt mit \ref{Satz 4.11}(8) schlie"slich: $f \in \fl^1(K)$. + \item $K$ ist kompakt, also gilt: $\lambda(K) < \infty$. Aus \ref{Satz 3.2}(1) folgt, dass $f$ messbar ist. Analysis II (\glqq stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an\grqq ) liefert: $f$ ist beschränkt. Insgesamt folgt mit \ref{Satz 4.11}(8) schlie"slich: $f \in \fl^1(K)$. \end{enumerate} \end{beweis} @@ -1811,16 +1811,16 @@ In diesem Fall schreiben wir: $f_n\to f$ fast überall. \begin{satz} \label{Satz 5.4} -Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}: X\to\imdr\) und \((f_{n})\) konvergiere fast \"uberall (auf \(X\)). +Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}: X\to\imdr\) und \((f_{n})\) konvergiere fast überall (auf \(X\)). Dann: \begin{enumerate} -\item Es existiert \(f: X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to f\) fast \"uberall. -\item Ist \(g: X\to\imdr\) eine Funktion mit \(f_{n}\to g\) fast \"uberall, so gilt \(f=g\) fast \"uberall. +\item Es existiert \(f: X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to f\) fast überall. +\item Ist \(g: X\to\imdr\) eine Funktion mit \(f_{n}\to g\) fast überall, so gilt \(f=g\) fast überall. \end{enumerate} \end{satz} \begin{bemerkung} -Ist \(g\) wie in (2), so muss \(g\) nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in der \"Ubung). +Ist \(g\) wie in (2), so muss \(g\) nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in der Übung). \end{bemerkung} \begin{beweis} @@ -1843,7 +1843,7 @@ Für \(x\in X\setminus N:\,f(x)=g(x)\). \label{Satz 5.5} Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\) und für jedes \(n\in\mdn\) gelte: \(f_{n}\leq f_{n+1}\) fast überall. Dann existiert eine messbare Funktion -\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast \"uberall und +\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast überall und \[\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\] \end{satz} @@ -1856,7 +1856,7 @@ Nullmenge. Dann: \(f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\). \(\hat{f}_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(\hat{f}_{n}\) ist -messbar, \(\hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf \(X\) f\"ur alle \(n\in\mdn\). +messbar, \(\hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf \(X\) für alle \(n\in\mdn\). \(f(x):=\lim_{n\to\infty}{\hat{f}_{n}(x)}\,(x\in X)\); \ref{Satz 3.5} liefert: \(f\) ist messbar. Weiter: \(\hat{f}_{n}\to f\). @@ -1876,13 +1876,13 @@ Stets in diesem Paragraphen: \(\varnothing\neq X\in\fb_{d}\) \begin{enumerate} \item Es gilt: \[\int_{X}{(\liminf_{n\to\infty}f_{n})(x)\mathrm{d}x}\leq\liminf_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}(x)\mathrm{d}x}}\] -\item Ist \(f: X\to[0,+\infty]\) messbar und gilt \(f_{n}\to f\) fast \"uberall, +\item Ist \(f: X\to[0,+\infty]\) messbar und gilt \(f_{n}\to f\) fast überall, so ist \[ \int_{X}{f\mathrm{d}x}\leq\liminf_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}} \] \item Ist \(f\) wie in (2) und ist \(\left(\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\right)\) -beschr\"ankt, so ist \(f\) integrierbar. +beschränkt, so ist \(f\) integrierbar. \end{enumerate} \end{lemma} @@ -1903,7 +1903,7 @@ Dann: &=\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x} \end{align*} \item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\): \(f_{n}(x)\to f(x)\,\forall x\in X\setminus N\). Dann: -\(f=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\) fast \"uberall. +\(f=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\) fast überall. \begin{align*} \int_{X}{f\mathrm{d}x}&\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\mathrm{d}x}\\ &=\int_{X}{(\lim_{n\to\infty}\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n})\mathrm{d}x}\\ @@ -1920,11 +1920,11 @@ Dann: \begin{satz}[Konvergenzsatz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz)] \label{Satz 6.2} \((f_{n})\) sei eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:X\to\imdr\), \((f_{n})\) -konvergiere fast \"uberall und es sei \(g:X\to[0,+\infty]\) integrierbar. F\"ur -jedes \(n\in\mdn\) gelte \(\lvert f_{n}\rvert\leq g\) fast \"uberall. Dann sind +konvergiere fast überall und es sei \(g:X\to[0,+\infty]\) integrierbar. Für +jedes \(n\in\mdn\) gelte \(\lvert f_{n}\rvert\leq g\) fast überall. Dann sind alle \(f_{n}\) integrierbar und es existiert ein \(f\in\fl^{1}(X)\) mit: \begin{enumerate} -\item \(f_{n}\to f\) fast \"uberall +\item \(f_{n}\to f\) fast überall \item \(\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\to\int_{X}{f\mathrm{d}x}\) \item \(\int_{X}{\lvert f_{n}-f\rvert\mathrm{d}x}\to 0\) \end{enumerate} @@ -1943,16 +1943,16 @@ falsch. \begin{beweis} % Nummerierung vernuenftig zurechtbasteln \begin{enumerate} -\item Aus \ref{Satz 5.4} folgt: Es existiert \(\hat{f}:X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to\hat{f}\) fast \"uberall. +\item Aus \ref{Satz 5.4} folgt: Es existiert \(\hat{f}:X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to\hat{f}\) fast überall. Es existiert eine Nullmenge \(N_{0}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to\hat{f}(x)\,\forall x\in X\setminus N_{0}\) -\item F\"ur alle \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge \(N_{n}\subseteq X:\,\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{n}\). +\item Für alle \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge \(N_{n}\subseteq X:\,\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{n}\). Setze \(N:=\bigcup_{n=0}^{\infty}{N_{n}}\). Mit \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge. Wir haben: \(\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\) und \(\lvert\hat{f}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N\). -\item \(f_{n}=\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) fast \"uberall und \(\hat{f}=\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\) -fast \"uberall. +\item \(f_{n}=\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) fast überall und \(\hat{f}=\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\) +fast überall. Es gilt \(\lvert\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\rvert\leq g\) und \(\lvert\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\rvert\leq g\). Mit \ref{Satz 4.9} folgt: \(\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) und \(\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\) sind integrierbar. @@ -1967,7 +1967,7 @@ Mit \ref{Satz 4.9} folgt: \(f\) ist integrierbar. Es ist \(f(X)\subseteq\mdr\). Also: \(f\in\fl^{1}(X)\). Sei \(x\in X\setminus\tilde{N}:\,f(x)=\tilde{f}(x)=\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)\). -D.h. \(f_{n}\to f\) fast \"uberall. +D.h. \(f_{n}\to f\) fast überall. \item Definiere $g_n:=|f|+\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}g-\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}|f_n-f|$. Es ist fast überall \begin{align*} \mathds{1}_{X\setminus \tilde N}g=g&&\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}|f_n-f|=|f_n-f| @@ -3133,7 +3133,7 @@ Mit Polarkoordinaten, Transformations-Satz und Fubini: \section{Explizite Parameterdarstellung} Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze \[\varphi(u,v):=(u,v,f(u,v))\quad((u,v)\in D)\] -Damit ist \(\varphi_{|B}\) eine Fl\"ache (in expliziter Darstellung). +Damit ist \(\varphi_{|B}\) eine Fläche (in expliziter Darstellung). % hier Graphik einfuegen Dann ist \(S=\varphi(B)\) gleich dem Graph von \(f_{|B}\). @@ -3154,12 +3154,12 @@ Dann ist \(\varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2})\), \(f_{u}=2u\) und \(f_{v}=2v\). Also \label{Kapitel 15} In diesem Paragraphen sei \(\varnothing\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\) -und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das hei\ss t: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fl\"ache mit +und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das hei\ss t: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit Parameterbereich \(B\), \(S:=\varphi(B)\) \begin{definition} \index{Oberflächenintegral} -Definiere die folgenden \textbf{Oberfl\"achenintegrale}: +Definiere die folgenden \textbf{Oberflächenintegrale}: \begin{enumerate} \item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann: \[ @@ -3190,10 +3190,10 @@ Also: \begin{satz}[Integralsatz von Stokes] \label{Satz 15.1} -Es sei \(B\) zul\"assig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{1},\gamma_{2})\) wie zu Beginn des Paragraphen +Es sei \(B\) zulässig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{1},\gamma_{2})\) wie zu Beginn des Paragraphen 13 ist. Es sei \(\varphi\in C^{2}(D,\mdr^{3})\). Weiter sei \(G\subseteq\mdr^{3}\) offen, \(S\subseteq G\) und \(F=(F_{1},F_{2},F_{3})\in C^{1}(G,\mdr^{3})\). Dann: \[ -\underbrace{\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}}_{\text{Oberfl\"achenint.}}= +\underbrace{\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}}_{\text{Oberflächenint.}}= \underbrace{\int_{\varphi\circ\gamma}{F(x,y,z)\cdot\mathrm{d}(x,y,z)}}_{\text{Wegint.}} \] \end{satz} @@ -3228,7 +3228,7 @@ Zu zeigen: \end{align*} Es ist \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=\int_{B}{\underbrace{(\rot F)(\varphi(x,y))\cdot(\varphi_{x}(x,y)\times\varphi_{y}(x,y))}_{=:g(x,y)}\mathrm{d}(x,y)}\). -F\"ur \(j=1,2,3\): +Für \(j=1,2,3\): \[ h_{j}(x,y):=\left(\underbrace{F_{j}(\varphi(x,y))\frac{\partial\varphi_{j}}{\partial y}(x,y)}_{=:u_{j}(x,y)},\underbrace{-F_{j}(\varphi(x,y))\frac{\partial\varphi_{j}}{\partial x}(x,y)}_{=:v_{j}(x,y)}\right)\quad((x,y)\in D) \] @@ -3247,7 +3247,7 @@ Damit: \end{align*} \end{beweis} -\chapter{$\fl^{p}$-R\"aume und $\mathrm{L}^{p}$-R\"aume} +\chapter{$\fl^{p}$-Räume und $\mathrm{L}^{p}$-Räume} \label{Kapitel 16} Stets in diesem Paragraphen: \(\varnothing\neq X\in\fb_{d}\) @@ -3268,9 +3268,9 @@ Dann gilt: \(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\) und \(p=p'\Leftrightarrow p=2\). Seien \(x,y\geq 0,\,p\in(1,\infty)\), dann gilt: \(xy\leq\frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{p'}}{p'}\) \end{hilfssatz} \begin{beweis} -F\"ur \(t>0:\,f(t):=\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}-t^{\frac{1}{p}}\) +Für \(t>0:\,f(t):=\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}-t^{\frac{1}{p}}\) -\"Ubung: \(\min\{f(t)\mid t>0\}=f(1)=0\) +Übung: \(\min\{f(t)\mid t>0\}=f(1)=0\) D.h.: \(t^{\frac{1}{p}}\leq\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}\quad\forall t>0\) @@ -3292,18 +3292,18 @@ Es gilt: \(\lvert f\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\Leftrightarrow \int_{X}{\lvert f\rver \begin{enumerate} \item Sei \(p\in[1,\infty)\). \(\fl^{p}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f \text{ ist messbar und }\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x<\infty}\}\). -F\"ur \(f\in\fl^{p}(X)\): \(\lVert f\rVert_{p}=\left(\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}\right)^{\frac{1}{p}}\) -\item \(\fl^{\infty}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f\text{ ist messbar und }f\text{ ist f.\"u. beschr\"ankt}\}\) +Für \(f\in\fl^{p}(X)\): \(\lVert f\rVert_{p}=\left(\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}\right)^{\frac{1}{p}}\) +\item \(\fl^{\infty}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f\text{ ist messbar und }f\text{ ist f.ü. beschränkt}\}\) -F\"ur \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert f(x)\rVert=\inf\{c>0\mid \exists\text{Nullmenge }N_{c}\subseteq X: \lvert f(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\}\) +Für \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert f(x)\rVert=\inf\{c>0\mid \exists\text{Nullmenge }N_{c}\subseteq X: \lvert f(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\}\) \end{enumerate} \end{definition} \begin{bemerkung} -Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Ma\ss. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschr\"ankt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\). +Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Ma\ss. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\). \end{bemerkung} \begin{beweis} -\"Ubung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\varnothing\) und \(\overline{X\setminus N}=X\)) +Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\varnothing\) und \(\overline{X\setminus N}=X\)) \end{beweis} \begin{beispiel} @@ -3330,7 +3330,7 @@ Dann ist \(fg\in\fl^{1}(X)\) und es gilt die \textbf{Höldersche Ungleichung}: \index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz} Ist \(p=2\,(\implies p'=2)\), so hei\ss t obige Ungleichung auch \textbf{Cauchy-Schwarzsche Ungleichung}. -\item \(\fl^{p}(X)\) ist ein reeller Vektorraum und f\"ur \(f,g\in\fl^{p}(X)\) gilt die \textbf{Minkowskische Ungleichung}: +\item \(\fl^{p}(X)\) ist ein reeller Vektorraum und für \(f,g\in\fl^{p}(X)\) gilt die \textbf{Minkowskische Ungleichung}: \index{Ungleichung!Minkowski} \[ \lVert f+g\rVert_{p}\leq\lVert f\rVert_{p}+\lVert g\rVert_{p} @@ -3340,24 +3340,24 @@ Ist \(p=2\,(\implies p'=2)\), so hei\ss t obige Ungleichung auch \textbf{Cauchy- \begin{beweis} \begin{enumerate} -\item Unterscheide die folgenden F\"alle: +\item Unterscheide die folgenden Fälle: \begin{itemize} \item[Fall 1:] \(p=1\) (also \(p'=\infty\)) oder \(p=\infty\) (also \(p'=1\)). Etwa \(p=1,\,p'=\infty\). Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\). \(\tilde{g}:=\mathds{1}_{X\setminus N_{c}}\cdot g\) -Dann: \(g=\tilde{g}\) fast \"uberall und \(\lvert\tilde{g}\rvert\leq c\) auf \(X\). Weiter: \(fg=f\tilde{g}\) fast \"uberall, -bzw. \(\lvert fg\rvert=\lvert f\tilde{g}\rvert\) fast \"uberall. +Dann: \(g=\tilde{g}\) fast überall und \(\lvert\tilde{g}\rvert\leq c\) auf \(X\). Weiter: \(fg=f\tilde{g}\) fast überall, +bzw. \(\lvert fg\rvert=\lvert f\tilde{g}\rvert\) fast überall. Dann: \[ \int_{X}{\lvert fg\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\tilde{g}\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\rvert\underbrace{\lvert\tilde{g}\rvert}_{\leq c}\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}=c\cdot\lVert f\rVert_{1}<\infty \] -Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). \"Ubergang zum Infimum \"uber alle \(c>0\) +Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\) liefert: \(\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert g\rVert_{\infty}\cdot\lVert f\rVert_{1}\) -\item[Fall 2:] Sei \(10\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls: +Sei \(x_{0}\in\mdn\). Für \(\ep>0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls: \(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das hei\ss t, es existiert ein \(x_{\ep}\in U_{\ep}(x_{0})\cap I:\,x_{\ep}\not\in N\). Also: \(\forall n\in\mdn\,\exists x_{n}\in U_{\frac{1}{n}}(x_{0})\cap I:\, x_{n}\not\in N\). Also: \(x_{n}\to x_{0}\).\\ @@ -4159,17 +4159,17 @@ Sei \(m\geq n\). Dann gilt: \(\mathrm{E}_{n}\subseteq\mathrm{E}_{m}\), also \(w: Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}_{\mdr}\). Es gelten die folgenden Bezeichnungen: \begin{enumerate} -\item F\"ur \(k\in\mdn\) bezeichnen wir die Funktionen \(t\mapsto\cos(kt)\) und \(t\mapsto\sin(kt)\) mit \(\cos(k\cdot)\) bzw. +\item Für \(k\in\mdn\) bezeichnen wir die Funktionen \(t\mapsto\cos(kt)\) und \(t\mapsto\sin(kt)\) mit \(\cos(k\cdot)\) bzw. \(\sin(k\cdot)\). -\item F\"ur \(k\in\mdn_{0}:\,\alpha_{k}:=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)\cos(kt)\mathrm{d}t}=\frac{1}{\pi}\Re(f\mid e_{k})\).\\ -F\"ur \(k\in\mdn:\,\beta_{k}:=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)\sin(kt)\mathrm{d}t}=\frac{1}{\pi}\Im(f\mid e_{k}),\,\beta_{0}:=0\). +\item Für \(k\in\mdn_{0}:\,\alpha_{k}:=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)\cos(kt)\mathrm{d}t}=\frac{1}{\pi}\Re(f\mid e_{k})\).\\ +Für \(k\in\mdn:\,\beta_{k}:=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)\sin(kt)\mathrm{d}t}=\frac{1}{\pi}\Im(f\mid e_{k}),\,\beta_{0}:=0\). \end{enumerate} \begin{definition} \index{gerade Funktion} \index{ungerade Funktion} -\(f\) hei\ss t \textbf{gerade} (bez\"uglich \(\pi\)) genau dann, wenn gilt: \(f(t)=f(2\pi-t)\) f\"ur fast alle \(t\in[0,2\pi]\).\\ -\(f\) hei\ss t \textbf{ungerade} (bez\"uglich \(\pi\)) genau dann, wenn gilt: \(f(t)=-f(2\pi-t)\) f\"ur fast alle \(t\in[0,2\pi]\).\\ +\(f\) hei\ss t \textbf{gerade} (bezüglich \(\pi\)) genau dann, wenn gilt: \(f(t)=f(2\pi-t)\) für fast alle \(t\in[0,2\pi]\).\\ +\(f\) hei\ss t \textbf{ungerade} (bezüglich \(\pi\)) genau dann, wenn gilt: \(f(t)=-f(2\pi-t)\) für fast alle \(t\in[0,2\pi]\).\\ % Bild nicht vergessen... \end{definition} @@ -4203,7 +4203,7 @@ f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\frac{4}{\pi}\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{\sin(( Beachte: \((S_{n}f)(0)=0\to 0\neq1=f(0)\) und \((S_{n}f)(2\pi)=0\to 0\neq -1=f(2\pi)\). \item \(f(t):=\begin{cases}t,&0\leq t\leq\pi\\2\pi-t,&\pi\leq t\leq 2\pi\end{cases}\)\\ \(f\) ist gerade, das hei\ss t \(\beta_{k}=0\,\forall k\in\mdn\) und \(\alpha_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{t\cos(kt)\mathrm{d}t},\,\alpha_{0}=\pi\).\\ -F\"ur \(k\geq 1:\quad\alpha_{k}=\begin{cases}0,&k\text{ gerade}\\-\frac{4}{\pi k^{2}},&k\text{ ungerade}\end{cases}\).\\ +Für \(k\geq 1:\quad\alpha_{k}=\begin{cases}0,&k\text{ gerade}\\-\frac{4}{\pi k^{2}},&k\text{ ungerade}\end{cases}\).\\ Damit: \[ f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{\cos((2j+1)\cdot)}{(2j+1)^{2}}} @@ -4284,9 +4284,9 @@ Aus \ref{Satz 18.7} bzw. \ref{Satz 18.8} folgt: \[ f(t) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{j=0}^\infty \frac{\cos((2j+1) t )}{(2j+1)^2} \quad \forall t \in [0,2\pi] \] Setzt man nun $t=0$, folgt \[ 0 = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{(2j+1)^2} \] -und man erh\"alt durch Umstellen eine Auswertung f\"ur diese eigentlich kompliziert wirkende Reihe: +und man erhält durch Umstellen eine Auswertung für diese eigentlich kompliziert wirkende Reihe: \[ \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{(2j+1)^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{8} \] -(dass diese Reihe konvergiert, ist eine einfache \"Ubung aus Ana I; ihren Wert aber haben wir bislang noch nicht berechnet) +(dass diese Reihe konvergiert, ist eine einfache Übung aus Ana I; ihren Wert aber haben wir bislang noch nicht berechnet) \item $f(t) = (t - \pi)^2 \quad (t \in [0,2\pi])$. $f$ ist gerade bzgl. $\pi$, also ist $\beta_k = 0$. Es ist \[ \alpha_k = \begin{cases} \frac{2}{3}\pi^2, &k=0\\ \frac{4}{k^2}, &k \geq 1 \end{cases} \quad \text{(nachrechnen!)}\] @@ -4294,9 +4294,9 @@ Also: \[ f \overset{\| \cdot \|_2}{=} \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{j=1}^\infty \frac{\cos(j \cdot)}{j^2} \] Aus \ref{Satz 18.9} bzw. \ref{Satz 18.7}(2) folgt: \[ f(t) = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{j=1}^\infty \frac{\cos(j t)}{j^2} \quad \forall t \in [0, 2\pi] \] -Setzt man nun $t=0$, erh\"alt man +Setzt man nun $t=0$, erhält man \[ \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2}, \text{ also } \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2} = \frac{\pi^2}{6} \] -Damit erh\"alt man z.B. auch +Damit erhält man z.B. auch \[ \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{(2j)^2} = \frac{1}{4} \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^2} = \frac{\pi^2}{24} \] und damit \[ \sum_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{j+1}}{j^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \pm \ldots = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{12} \] diff --git a/documents/Analysis III/Makefile b/documents/Analysis III/Makefile index 52e78cb..6085ad4 100644 --- a/documents/Analysis III/Makefile +++ b/documents/Analysis III/Makefile @@ -1,4 +1,4 @@ -DOKUMENT = Ana3Bachelor +DOKUMENT = Analysis-III make: pdflatex $(DOKUMENT).tex -output-format=pdf