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@ -512,8 +512,8 @@ In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
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Sei \(\emptyset\neq \fr \subseteq \cp(X)\).
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$\fr$ heißt ein \textbf{Ring} (auf \(X\)), genau dann wenn gilt:
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\begin{enumerate}
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\item \(\emptyset\in\fr\)
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\item \(A,B\in\fr\,\implies\,A\cup B,\;B\setminus A \in \fr\)
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\item \(\emptyset \in \fr\)
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\item \(A,B \in \fr \, \implies \; A\cup B, \, B \setminus A \in \fr\)
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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@ -522,118 +522,131 @@ In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
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\index{Figuren}
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Sei \(d\in\MdN\).
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\begin{enumerate}
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\item \(\ci_{d}:=\{(a,b]\mid a,b\in\MdR^{d},\,a\leq b\}\).
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Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\MdR^d\) und \(I:=(a,b]\in \ci_{d}\)
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\[
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\lambda_{d}(I)=\begin{cases}0&\text{falls }I=\emptyset\\(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots(b_{d}-a_{d})&\text{falls }I\neq\emptyset\end{cases}\quad\text{(\textbf{Elementarvolumen})}
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\]
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||||
\item \(\cf_d:=\left\{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j}\mid n\in\MdN,\,I_{1},\dots,I_{n}\in I_{d}\right\}\) (\textbf{Menge der Figuren})
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\item \(\ci_{d}:=\Set{(a,b] | a,b \in \MdR^{d}, \, a \leq b}\).
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||||
Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\MdR^d\)
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||||
und \(I:=(a,b] \in \ci_{d}\)
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\[
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||||
\lambda_{d}(I)= \begin{cases}
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0 & \text{falls }I=\emptyset\\
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(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots(b_{d}-a_{d}) & \text{falls }I\neq\emptyset\end{cases}\quad\text{(\textbf{Elementarvolumen})}
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||||
\]
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||||
\item \(\cf_d:=\left\{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j}\mid n\in\MdN,\,I_{1},\dots,I_{n}\in I_{d}\right\}\) (\textbf{Menge der Figuren})
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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||||
Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\) und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesguemaß)
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Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\)
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und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesguemaß)
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Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}=\sigma(\ci_{d})=\sigma(\cf_{d})\)
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\begin{lemma}
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\label{Lemma 2.1}
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Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann:
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\begin{enumerate}
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\item \(I\cap I'\in\ci_{d}\)
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\item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\) Genauer: \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
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\(I\setminus I'=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot
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||||
\item \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
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||||
\item \(\cf_d\) ist ein Ring.
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\end{enumerate}
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\label{Lemma 2.1}
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||||
Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann:
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\begin{enumerate}
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\item \(I\cap I'\in\ci_{d}\)
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\item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\)
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Genauer: \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
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||||
\(I\setminus I'=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot
|
||||
\item \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
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||||
\item \(\cf_d\) ist ein Ring.
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\begin{beweis}
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\begin{enumerate}
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\item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\)
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||||
\item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\)
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Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) für ein \(k\in\{1,\dots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\emptyset\in\ci_{d}\).
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||||
Sei \(\alpha_{k}'<\beta_{k}'\forall k\in\{1,\dots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k}',\beta_{k}']\in\ci_{d}}\)
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||||
\item Induktion nach \(d\):
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\begin{itemize}
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\item[I.A.] Klar \checkmark % hier fehlt noch eine Graphik
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||||
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(d\geq 1\)
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\item[I.S.] Seien \(I,I'\in\ci_{d+1}\). Es existieren \(I_{1},I_{1}'\in\ci_{1}\) und \(I_{2},I_{2}'\in\ci_{d}\) mit:
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\(I=I_{1}\times I_{2},\,I'=I_{1}'\times I_{2}'\)
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||||
% Graphik einfuegen!
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Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) für ein \(k\in\{1,\dots,d\}\),
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so ist \(I\cap I'=\emptyset\in\ci_{d}\).
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Sei \(\alpha_{k}'<\beta_{k}'\forall k\in\{1,\dots,d\}\), so
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ist \(I\cap I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k}',\beta_{k}']\in\ci_{d}}\)
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\item Induktion nach \(d\):
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\begin{itemize}
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\item[I.A.] Klar \checkmark % hier fehlt noch eine Graphik
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\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(d\geq 1\)
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\item[I.S.] Seien \(I,I'\in\ci_{d+1}\). Es existieren \(I_{1},I_{1}'\in\ci_{1}\) und \(I_{2},I_{2}'\in\ci_{d}\) mit:
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\(I=I_{1}\times I_{2},\,I'=I_{1}'\times I_{2}'\)
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% Graphik einfuegen!
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||||
Nachrechnen:
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\[
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||||
I\setminus I'=(I_{1}\setminus I_{1}')\times I_{2}\dot \cup(I_{1}\cap I_{1}')\times(I_{2}\setminus I_{2}')
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||||
\]
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||||
I.A.\(\implies\,I_{1}\setminus I_{1}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{1}\)\\
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||||
I.V.\(\implies\,I_{2}\setminus I_{2}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{d}\)\\
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||||
Daraus folgt die Behauptung für \(d+1\)
|
||||
\end{itemize}
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||||
\item Wir zeigen mit Induktion nach \(n\): ist \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit \(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\), so
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||||
existiert \(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\)\checkmark
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||||
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\geq 1\)
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||||
\item[I.S.] Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n+1}{I_{j}}\quad(I_{1},\dots,I_{n+1}\in\ci_{d})\)
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||||
Nachrechnen:
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||||
\[
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||||
I\setminus I'=(I_{1}\setminus I_{1}')\times I_{2}\dot \cup(I_{1}\cap I_{1}')\times(I_{2}\setminus I_{2}')
|
||||
\]
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||||
I.A.\(\implies\,I_{1}\setminus I_{1}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{1}\)\\
|
||||
I.V.\(\implies\,I_{2}\setminus I_{2}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{d}\)\\
|
||||
Daraus folgt die Behauptung für \(d+1\)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Wir zeigen mit Induktion nach \(n\): ist
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||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
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||||
\(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\), so existiert
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
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||||
\(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\)\checkmark
|
||||
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\geq 1\)
|
||||
\item[I.S.] Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n+1}{I_{j}}\quad(I_{1},\dots,I_{n+1}\in\ci_{d})\)
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||||
IV\(\,\implies\,\exists\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
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||||
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot...
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||||
IV\(\,\implies\,\exists\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
|
||||
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot...
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||||
Dann: \(A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{(I_{j}'\setminus I_{n+1})}\) % \cupdot...
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||||
Dann: \(A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{(I_{j}'\setminus I_{n+1})}\) % \cupdot...
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Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\dots,l)\):
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||||
\(I_{j}'\setminus I_{n+1}=\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\quad(I_{j}''\in\ci_{d})\)
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Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\dots,l)\):
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||||
\(I_{j}'\setminus I_{n+1}=\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\quad(I_{j}''\in\ci_{d})\)
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Damit folgt:
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\[
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||||
A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{\left(\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\right)}
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||||
\]
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||||
Daraus folgt die Behauptung für \(n+1\).
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\end{itemize}
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\item \((a,a]=\emptyset\implies\emptyset\in\cf_{d}\)
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Damit folgt:
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\[
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||||
A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{\left(\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\right)}
|
||||
\]
|
||||
Daraus folgt die Behauptung für \(n+1\).
|
||||
\end{itemize}
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||||
\item \((a,a]=\emptyset\implies\emptyset\in\cf_{d}\)
|
||||
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Seien \(A,B\in\cf_{d}\). Klar: \(A\cup B\in\cf_{d}\)
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Seien \(A,B\in\cf_{d}\). Klar: \(A\cup B\in\cf_{d}\)
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||||
Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}'}\quad(I_{j},I_{j}'\in\ci_{d})\). Zu zeigen: \(B\setminus A\in\cf_{d}\)
|
||||
\begin{itemize}
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||||
\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\implies B\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n}(\underbrace{I_{j}'\setminus I_{j}}_{\in\cf_{d}})\). Wende
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||||
(2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{1}\) an. Aus (2) folgt dann \(B\setminus A\in\cf_{d}\).
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||||
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\in\MdN\)
|
||||
\item[I.S.] Sei \(A'=A\cup I_{n+1}\quad(I_{n+1}\in\ci_{d})\). Dann:
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||||
\[
|
||||
B\setminus A'=\underbrace{(B\setminus A)}_{\in\cf_{d}}\setminus\underbrace{I_{n+1}}_{\in\cf_{d}}\in\cf_{d}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}'}\quad(I_{j},I_{j}'\in\ci_{d})\). Zu zeigen: \(B\setminus A\in\cf_{d}\)
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\implies B\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n}(\underbrace{I_{j}'\setminus I_{j}}_{\in\cf_{d}})\). Wende
|
||||
(2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{1}\) an. Aus (2) folgt dann \(B\setminus A\in\cf_{d}\).
|
||||
\item[I.V.] Die Behauptung gelte für ein \(n\in\MdN\)
|
||||
\item[I.S.] Sei \(A'=A\cup I_{n+1}\quad(I_{n+1}\in\ci_{d})\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
B\setminus A'=\underbrace{(B\setminus A)}_{\in\cf_{d}}\setminus\underbrace{I_{n+1}}_{\in\cf_{d}}\in\cf_{d}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{Lemma 2.2}
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit
|
||||
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=A=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}=\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}
|
||||
\]
|
||||
\label{Lemma 2.2}
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und
|
||||
\(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit
|
||||
\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=A=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). Dann:
|
||||
\[
|
||||
\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}=\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}
|
||||
\]
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
|
||||
disjunkt (beachte Lemma \ref{Lemma 2.1}, Punkt 3).
|
||||
\[
|
||||
\lambda_{d}(A):=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}
|
||||
\]
|
||||
Wegen Lemma \ref{Lemma 2.2} ist \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty)\)
|
||||
wohldefiniert.
|
||||
Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
|
||||
\(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
|
||||
disjunkt (beachte Lemma \ref{Lemma 2.1}, Punkt 3).
|
||||
\[
|
||||
\lambda_{d}(A):=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}
|
||||
\]
|
||||
Wegen Lemma \ref{Lemma 2.2} ist \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty)\)
|
||||
wohldefiniert.
|
||||
\end{definition}
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{Satz 2.3}
|
||||
Seien \(A,B\in\cf_{d}\) und \((B_{n})\) sei eine Folge in \(\cf_{d}\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(A\cap B=\emptyset\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(A\subseteq B\implies\lambda_{d}(A)\leq\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(\lambda_{d}(A\cup B)\leq\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\) und
|
||||
\(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\).
|
||||
\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und \(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{Satz 2.3}
|
||||
Seien \(A,B\in\cf_{d}\) und \((B_{n})\) sei eine Folge in \(\cf_{d}\).
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(A\cap B=\emptyset\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(A\subseteq B\implies\lambda_{d}(A)\leq\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item \(\lambda_{d}(A\cup B)\leq\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
|
||||
\item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\)
|
||||
und \(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\).
|
||||
\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und
|
||||
\(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt:
|
||||
\(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
|
|
|
|||
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