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@@ -82,7 +82,7 @@ Damit sind alle Ausdrücke unserer Sprache festgelegt. Ist zum Beispiel $f$ ein
 ein Ausdruck, da er sich durch Anwendung obiger Regeln aufbauen lässt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass wir die Ausdrücke mittels der genannten Regeln rein mechanisch erstellen, ohne dass die Ausdrücke zwangsläufig irgendetwas bezeichnen müssten.
 
 \subsection{1. Stufe}
-Unterschiedliche Sprachen erster Stufe unterscheiden sich lediglich in den Mengen $\mathcal C$, $\mathcal F$ und $\mathcal R$, die man üblicherweise zur Symbolmenge $S$ zusammenfasst und auch die \textit{Signatur} der Sprache nennt. Man spricht dann auch genauer von $S$-Termen bzw. $S$-Ausdrücken. Die Sprache, das heißt die Gesamtheit aller nach obigen Regeln gebildeten Ausdrücke, wird mit $L(S)$, $L^S$ oder $L_I^S$ bezeichnet. Bei letzterem steht die römische $I$ für die 1-te Stufe. Dies bezieht sich auf den Umstand, dass gemäß letzter Erzeugungsregel nur über Variable quantifiziert werden kann. $L_I^S$ sieht nicht vor, über alle Teilmengen einer Menge oder über alle Funktionen zu quantifizieren. So lassen sich die üblichen [[Peano-Axiome]] nicht in $L_I^S$ ausdrücken, da das Induktionsaxiom eine Aussage über alle Teilmengen der natürlichen Zahlen macht. Das kann als Schwäche dieser Sprache angesehen werden, allerdings sind die Axiome der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] sämtlich in der ersten Stufe mit dem einzigen Symbol $\in$ formulierbar, so dass die erste Stufe prinzipiell für die Mathematik ausreicht.
+Unterschiedliche Sprachen erster Stufe unterscheiden sich lediglich in den Mengen $\mathcal C$, $\mathcal F$ und $\mathcal R$, die man üblicherweise zur Symbolmenge $S$ zusammenfasst und auch die \textit{Signatur} der Sprache nennt. Man spricht dann auch genauer von $S$-Termen bzw. $S$-Ausdrücken. Die Sprache, das heißt die Gesamtheit aller nach obigen Regeln gebildeten Ausdrücke, wird mit $L(S)$, $L^S$ oder $L_I^S$ bezeichnet. Bei letzterem steht die römische $I$ für die 1-te Stufe. Dies bezieht sich auf den Umstand, dass gemäß letzter Erzeugungsregel nur über Variable quantifiziert werden kann. $L_I^S$ sieht nicht vor, über alle Teilmengen einer Menge oder über alle Funktionen zu quantifizieren. So lassen sich die üblichen [[Peano-Axiome]] nicht in $L_I^S$ ausdrücken, da das Induktionsaxiom eine Aussage über alle Teilmengen der natürlichen Zahlen macht. Das kann als Schwäche dieser Sprache angesehen werden, allerdings sind die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sämtlich in der ersten Stufe mit dem einzigen Symbol $\in$ formulierbar, so dass die erste Stufe prinzipiell für die Mathematik ausreicht.
 
 \subsection{Freie Variablen}
 Weitere Eigenschaften von Ausdrücken der Sprache $L_I^S$ lassen sich ebenfalls rein syntaktisch definieren. Gemäß dem oben beschriebenen Aufbau durch Bildungsregeln definieren wir die Menge $\mathrm{frei}(\varphi)$ der im Ausdruck $\varphi$ frei vorkommenden Variablen wie folgt: