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Vorlesung vom 07.01.2014 digitalisiert
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Martin Thoma
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649d423938
5 changed files with 174 additions and 11 deletions
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@ -20,3 +20,4 @@ Datum | Uhrzeit | Bemerkung
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22.12.2013 | 14:00 - 14:45 |
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22.12.2013 | 17:00 - 18:20 |
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26.12.2013 | 18:30 - 18:45 | http://tex.stackexchange.com/q/151393/5645
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08.01.2014 | 16:15 - 17:50 | Digitalisieren der Vorlesung vom 07.01.2014
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Binary file not shown.
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@ -709,11 +709,11 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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nur von $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$ ab.
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Es gilt:
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\begin{align}
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\begin{align*}
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\tilde{\gamma_0}(1) &= \tilde{\gamma_1}(1)\\
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\Leftrightarrow [\tilde{\gamma_0} * \tilde{\gamma_1}^{-1}] &\in \pi_1(Y, y_0)\\
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\Leftrightarrow [\gamma_0 * \gamma_1^{-1}] &\in p_* (\pi_1(Y,y_0))
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\end{align}
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\end{align*}
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Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in
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$Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\sigma_i(1) = y_i$\\
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$\Rightarrow p * \delta_i$ ist geschlossener Weg in
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@ -1005,5 +1005,160 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
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Nach Satz~\ref{thm:12.15} also $\pi_1(S^1) \cong \Deck(\mdr/S^1) \cong \mdz$
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\end{beispiel}
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\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|)}
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% Lea's Mitschrieb vom 07.01.2014 %
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\section{Gruppenaktionen}\index{Gruppenaktion|(}
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\begin{definition}\xindex{Gruppenaktion}% in Vorlesung: Definition 13.1
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Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
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Eine \textbf{Gruppenaktion} oder kurz \textbf{Aktion} von $G$ auf
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$X$ ist eine Abbildung $\circ$:
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\[ \circ: G \times X \rightarrow X, (g,x) \mapsto g \cdot x,\]
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für die gilt:
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\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theplaindefinition.\roman*]
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\item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenaktion.1}
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\item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenaktion.2}
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*),ref=\thebeispiel.\arabic*]
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\item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenaktion1}
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\item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h$
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\item $G$ operatiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
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\begin{enumerate}[label=\roman*)]
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\item $1_G \circ h = 1_G \cdot h \cdot 1_G^{-1} = h$
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\item \begin{align*}
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(g_1 \cdot g_2) \circ h &= (g_1 \cdot g_2) \cdot h \cdot (g \cdot g_2)^{-1}\\
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||||
&= g_1 \cdot (g_2 \cdot h \cdot g_2^{-1}) \cdot g_1^{-1}\\
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||||
&= g_1 \circ (g_2 \circ h)
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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\begin{definition}
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Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
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$\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenaktion.
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $G$ operiert durch Homomorphismen, wenn für jedes $g \in G$
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die Abbildung
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\[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \cdot X\]
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ein Homöomorphismus ist.
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\item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Aktin $\circ$
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\textbf{stetig}\xindex{Gruppenaktion!stetige}, wenn
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$\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{korollar}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
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Jede stetige Aktion ist eine Aktion durch Homöomorphismen.
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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Nach Voraussetzung ist $\circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
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Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$:
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\begin{align*}
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(m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\
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&= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\
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||||
&= g^{-1} \circ (g \circ x)\\
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||||
&\stackrel{\ref{def:gruppenaktion.2}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
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||||
&= 1_G \circ x\\
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||||
&\stackrel{\ref{def:gruppenaktion.1}}{=} x
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||||
\end{align*}
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}
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In Beispiel~\ref{bsp:gruppenaktion1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
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\end{beispiel}
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\begin{korollar}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
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Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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||||
\item Die Gruppenaktion von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
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den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$
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\item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei
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die Aktionen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
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$G \rightarrow \Homoo(X)$
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\end{enumerate}
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\end{korollar}
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\begin{beweis}
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\item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Aktion von $G$
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auf $X$. Dann sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ definiert
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durch $\varrho(g)(X) = g \cdot x \;\;\; \forall g \in G, x \in X$,
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also $\varrho(g) = m_g$.
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||||
$\varrho$ ist Homomorphismus: $\varrho(g_1 \cdot g_2) = m_{g_1 \cdot g_2} = m_{g_1} \circ m_{g_2} = \varrho(g_1) \circ \varrho(g_2)$,
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||||
denn für $x \in X: \varrho(g_1 \cdot g_2) (x) = (g_1 \cdot g_2) \circ x = g_1 \circ (g_2 \circ x) = \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x)) = (\varrho(g_1) \circ \varrho (g_2)) (x)$
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||||
Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$.
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z.~Z. \ref{def:gruppenaktion.2}:
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\begin{align*}
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g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
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||||
&= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
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||||
&= (\varrho(g_1) \circ \varrho(g_2))(x)\\
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||||
&\stackrel{\varrho \text {ist Hom.}}{=} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
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||||
&= (g_1 \cdot g_2) \circ x
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||||
\end{align*}
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||||
z.~Z. \ref{def:gruppenaktion.1}:
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||||
$1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ Homomorphismus ist.
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\end{beweis}
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\begin{beispiel}\label{bsp:13.4}%In Vorlesung: Beispiel 13.4
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Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $p: \tilde{X} \rightarrow X$
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eine universelle Überlagerung, $x_0 \in X$, $\tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit
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$p(\tilde{x_0}) = x_0$.
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Dann operiert $\pi_1(X, x_0)$ auf $\tilde{X}$ durch Homöomorphismen wie folgt:
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Für $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$ und $\tilde{x} \in \tilde{X}$ sei
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$[\gamma] \circ \tilde{x} = \tilde{\gamma * \varrho} (1)$ wobei
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$\tilde{\gamma}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $\tilde{x}$ in
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$\tilde{X}$ sei, $\varrho := p(\tilde{\delta}) = p \circ \delta$.
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Also: $\delta$ ist ein Weg in $X$ von $x_0$ nach $x=p(\tilde{x})$
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und $\rtilde{\gamma * \delta}$ die Liftung von $\gamma * \delta$
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mit Anfangspunkt $\tilde{x_0}$.
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$[\gamma] \cdot \tilde{x}$ hängt nicht von der Wahl von $\tilde{\gamma}$
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ab; ist $\tilde{\gamma}'$ ein anderer Weg von $\tilde{x_0}$ nach
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$\tilde{x}$, so sind $\tilde{\delta}$ und $\tilde{\delta}'$ homotop,
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also auch $\rtilde{\gamma * \delta}$ und $\rtilde{\gamma * \delta'}$
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homotop.
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Gruppenaktion, denn:
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\begin{enumerate}[label=\roman*)]
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\item $[e] \circ \tilde{x} = \rtilde{e * \delta} = \tilde{x}$
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\item $\rtilde{\gamma_1 * \gamma_2 * \delta}(1) = [\gamma_1 * \gamma_2] \circ \tilde{x} = ([\gamma_1] * [\gamma_2]) \circ \tilde{x}$\\
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||||
$\gamma_1 * \gamma_2 * \delta(1) = [\gamma_1] \circ (\tilde{\gamma_2 * \delta})(1) = [\gamma_1] \circ ([\gamma_2] \circ \tilde{x})$
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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\textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5
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Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Aktion
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$\pi_1(X, x_0)$ aus Beispiel~\ref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
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$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
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ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}$
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\begin{beispiel}% In Vorlesung: Beispiel 13.6
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Sei $X := S^2 \subseteq \mdr^3$ und $\tau$ die Drehung um die $z$-Achse
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um $180^\circ$.
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$g = \langle \tau \rangle = \Set{\id, \tau}$ operiert auf $S^2$
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durch Homöomorphismen.
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Frage: Was ist $S^2 / G$? Ist $S^2 / G$ eine Mannigfaltigkeit?
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\end{beispiel}
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\index{Gruppenaktion|)}
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% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel3-UB}
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@ -29,15 +29,6 @@ $\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
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$\mdr^\times\;$ Einheitengruppe von $\mdr$ ($\mdr \setminus \Set{0}$)\\
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$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen ($\Set{a+ib|a,b \in \mdr}$)\\
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$\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
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% Gruppen %
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\section*{Gruppen}
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$\text{Homöo}(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
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$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
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||||
$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
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||||
\end{minipage}
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\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
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@ -70,5 +61,15 @@ $X \# Y\;\;\;$ Verklebung von $X$ und $Y$\\
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$\gamma_1 * \gamma_2\;\;\;$ Zusammenhängen von Wegen\\
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\end{minipage}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Gruppen %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
\section*{Gruppen}
|
||||
$\Homoo(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
|
||||
$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
|
||||
$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
|
||||
$\Perm(X)\;\;\;$ Permutationsgruppe\\
|
||||
$\Sym(X)\;\;\;$ Symmetrische Gruppe
|
||||
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||||
$f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene\\
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||||
$\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\
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@ -76,9 +76,15 @@
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\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
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\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
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\DeclareMathOperator{\Perm}{Perm}
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\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
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||||
\DeclareMathOperator{\Homoo}{Homöo}
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%%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace}
|
||||
\newcommand\Obda{O.~B.~d.~A.\xspace}
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||||
\newcommand{\ts}[1]{\textnormal{#1}} % textual subscript
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
% http://tex.stackexchange.com/a/101138/5645
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\newcommand\rtilde[1]{\widetilde{\mathit{#1}}}
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