Viele kleine Verbesserungen; Lösungen ausführlicher beschrieben

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -39,7 +39,7 @@
 	 \add[\cdot (-\frac{1}{3})]{0}{2}
 	\end{gmatrix}
 	&\\
-	L^{(2)} &= \begin{pmatrix}
+	L^{(1)} &= \begin{pmatrix}
 		1 & 0 & 0\\
 		-\frac{1}{2} & 1 & 0\\
      	-\frac{1}{3} & 0 & 1
@@ -53,7 +53,7 @@
 	 \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{1}{2}
 	\end{gmatrix}
 	&\\
-	L^{(3)} &= \begin{pmatrix}
+	L^{(2)} &= \begin{pmatrix}
 		1 & 0 & 0\\
 		0 & 1 & 0\\
      	0 & -\frac{1}{2} & 1
@@ -69,9 +69,9 @@
 Es gilt:
 
 \begin{align}
-	L^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot \underbrace{P^{(1)}}_{=: P} \cdot A^{0} &= \underbrace{A^{(3)}}_{=: R}\\
-	\Leftrightarrow P A &= (L^{(3)} \cdot L^{(2)})^{-1} \cdot R \\
-	\Rightarrow L &= (L^{(3)} \cdot L^{(2)})^{-1}\\
+	L^{(2)} \cdot L^{(1)} \cdot \underbrace{P^{(1)}}_{=: P} \cdot A^{0} &= \underbrace{A^{(3)}}_{=: R}\\
+	\Leftrightarrow P A &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1} \cdot R \\
+	\Rightarrow L &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1}\\
 	&= \begin{pmatrix}
 		1 & 0 & 0\\
 		\frac{1}{2} & 1 & 0\\
@@ -95,7 +95,7 @@ Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com
 \textbf{Aufgabe:} $A$ auf positive Definitheit untersuchen, ohne Eigenwerte zu berechnen.
 
 \textbf{Vorüberlegung:}
-Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv Definit $\dots$
+Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv definit $\dots$
 \begin{align*}
   \dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n \setminus \Set{0}: x^T A x > 0\\
 	& \Leftrightarrow \text{Alle Eigenwerte sind größer als 0}
@@ -103,8 +103,8 @@ Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv Definit $\dots$
 
 Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
 \begin{align*}
- \text{$A$ ist pos. Definit} & \Leftrightarrow \text{alle führenden Hauptminore von $A$ sind positiv}\\
-	& \Leftrightarrow \text{es gibt eine Cholesky-Zerlegung $A=GG^T$ mit $G$ ist reguläre untere Dreiecksmatrix}\\
+ \text{$A$ ist positiv definit} & \Leftrightarrow \text{alle führenden Hauptminore von $A$ sind positiv}\\
+	& \Leftrightarrow \text{es gibt eine Cholesky-Zerlegung $A=GG^T$}\\
 \end{align*}
 
 \subsubsection*{Lösung 1: Hauptminor-Kriterium}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex

@@ -12,7 +12,10 @@
 
 Nutze Interpolationsformel von Lagrange:
 
-\[p(x) = \sum_{i=0}^{1} f_i \cdot L_i(x)\]
+\begin{align}
+    L_i &= \frac{\prod_{j=1, j \neq i}^n (x-x_j)}{\prod_{j=1, j \neq i}^n (x_i - x_j)}\\
+    p(x) &= \sum_{i=0}^{1} f_i \cdot L_i(x)
+\end{align}
 
 Berechne Lagrangepolynome:
 
@@ -23,10 +26,27 @@ Berechne Lagrangepolynome:
 
 So erhalten wir:
 
-\[p(x) = f(a) \frac{x-b}{a-b} + f(b) \frac{x-a}{b-a}\]
+\begin{align}
+    p(x) &= f(a) \frac{x-b}{a-b} + f(b) \frac{x-a}{b-a}\\
+    &= \frac{f(a) (b-x) + f(b) (x-a)}{b-a} \\
+    &= \frac{f(a)b- f(a)x + f(b) x- f(b)a}{b-a}\\
+    &=\frac{x \cdot \left (f(b)-f(a) \right  ) + f(a)b- f(b)a}{b-a}\\
+    &= x \cdot \underbrace{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}_{=:r} + \underbrace{\frac{f(a)b - f(b)a}{b-a}}_{=: s}
+\end{align}
 
 Nun integrieren wir das Interpolationspolynom:
 
+\begin{align}
+    \int_a^b p(x) \mathrm{d} x &= \left [\frac{r}{2} x^2 +  sx \right ]_a^b\\
+    &= \left (\frac{a^2 r}{2} + sa \right ) - \left (\frac{b^2 r}{2} + sb \right )\\
+    &= a\left (\frac{a r}{2} + s \right ) - b \left (\frac{b r}{2} + s \right )\\
+    &= a\left (\frac{a \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{2} + \frac{f(a)b - f(b)a}{b-a} \right ) - b \left (\frac{b \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{2} + \frac{f(a)b - f(b)a}{b-a} \right )\\
+    &= a\left (\frac{-a f(a)+2b f(a)-a f(b)}{2 \cdot(b-a)}\right ) - b \left (\frac{bf(b) + b f(a) - 2 a f(b)}{2 \cdot (b-a)} \right )\\
+    & \dots \text{theoretisch sollte das zu } (b-a)(\frac{f(a)}{2} + \frac{f(b)}{2}) \text{ zu vereinfachen sein}
+\end{align}
+
+Alternativer Rechenweg
+
 \[ \int_a^b p(x)dx = \int_a^b f(a) \frac{x-b}{a-b}dx + \int_a^b f(b) \frac{x-a}{b-a}dx \]
 \[ = \int_a^b \frac{f(a) \cdot x}{a-b}dx - \int_a^b \frac{f(a) \cdot b}{a-b}dx + \int_a^b \frac{f(b) \cdot x}{b-a}dx - \int_a^b \frac{f(b) \cdot a}{b-a}dx \]
 \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) \cdot a^2}{a-b} - \frac{f(a) \cdot b^2}{a-b} + \frac{f(a) \cdot b \cdot a}{a-b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{f(b) \cdot b^2}{b-a} \]
@@ -46,5 +66,8 @@ Formel zwei mal auf äquidistanten Intervallen anwenden.
 \textbf{Lösung:}
 
 \begin{align}
-	\int_0^4 p(x) dx = \int_0^2 p(x)dx + \int_2^4 p(x)dx = 24
+	\int_0^4 p(x) \mathrm{d}x &= \int_0^2 p(x)\mathrm{d}x + \int_2^4 p(x)\mathrm{d}x \\
+    &= (2-0)\cdot \left (\frac{0}{2} + \frac{4}{2} \right ) + (4-2) \cdot \left (\frac{4}{2} + \frac{16}{2} \right )\\
+    &= 2 \cdot 2 + 2 \cdot (2+8)\\
+    &= 24
 \end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex

@@ -5,7 +5,9 @@ $p$, falls sie exakte Lösungen für alle Polynome vom Grad $\leq p -1$
 liefert.
 
 \subsection*{Teilaufgabe b}
-\[\sum_{i=1}^s b_i c_i^{q-1} = \frac{1}{q} \text{ für } q = 1, \dots, p\]
+Die Ordnungsbedingungen, mit denen man zeigen kann, dass eine Quadraturformel
+mindestens Ordnung $p$ hat, lautet:
+\[\forall p \in \Set{1, \dots, p}: \sum_{i=1}^s b_i c_i^{q-1} = \frac{1}{q}\]
 
 \subsection*{Teilaufgabe c}
 \paragraph{Aufgabe} Bestimmen Sie zu den Knoten $c_1 = 0$ und $c_2 = \frac{2}{3}$ Gewichte, um eine Quadraturformel
@@ -13,30 +15,53 @@ maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
 
 \paragraph{Lösung}
 
-Als erstes stellen wir fest, dass die Knoten nicht symmetrisch (d.h. 
-gespiegelt bei $\frac{1}{2}$) sind. TODO: Warum ist das wichtig?
-
-$\stackrel{\text{Satz 28}}{\Rightarrow}$ Wenn wir Ordnung $s = 2$ fordern, sind die Gewichte eindeutig bestimmt.
-
-Da $c_1 = 0$ kann es sich nicht um die Gauß-QF handeln. Somit können 
-wir nicht Ordnung 4  erreichen.
-
 Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch 
-geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden. 
-Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung 2 zu sichern:
+geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden. Nach Satz 27 ist diese
+Wahl eindeutig.
+Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung $p=2$ zu sichern.
+
+Dazu stellen wir zuerst die Lagrange-Polynome auf:
 
+\begin{align}
+	L_1(x) &= \frac{x-x_2}{x_1 - x_2} = \frac{x-c_2}{c_1-c_2} = \frac{x-\nicefrac{2}{3}}{-\nicefrac{2}{3}} = -\frac{3}{2} x + 1\\
+    L_2(x) &= \frac{x-x_1}{x_2 - x_1} = \frac{x-c_1}{c_2-c_1} = \frac{x}{\nicefrac{2}{3}} = \frac{3}{2} x
+\end{align}
+
+Nun gilt für die Gewichte:
 \begin{align}
 	b_i &= \int_0^1 L_i(x) \mathrm{d}x\\
-	b_1 &= \frac{1}{4}\\
+	b_1 &= \int_0^1 -\frac{3}{2} x + 1 \mathrm{d}x = \left [ -\frac{3}{4}x^2 + x \right ]_0^1 = \frac{1}{4}\\
 	b_2 &= \frac{3}{4}
 \end{align}
 
-Diese Gewichte $b_1, b_2$ erfüllen die 1. und 2. Ordnungsbedingung.
-
+Nun sind die Ordnungsbedingungen zu überprüfen:
 \begin{align}
-	\frac{1}{3} &= \sum_{i=1}^2 b_i \cdot c_i^2\\
-			&= \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}\\
-			&= \frac{1}{3}
+    \nicefrac{1}{1} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^0 + b_2 c_2^0 = \nicefrac{1}{4} + \nicefrac{3}{4} \text{\;\;\cmark}\\
+    \nicefrac{1}{2} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^1 + b_2 c_2^1 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \text{\;\;\cmark}\\
+    \nicefrac{1}{3} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^2 + b_2 c_2^2 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} \text{\;\;\cmark}\\
+    \nicefrac{1}{4} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^3 + b_2 c_2^3 = \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{27} \text{\;\;\xmark}\\
 \end{align}
 
-Damit ist auch die 3. Ordnungsbedingung und mit den Knoten maximale Ordnung erfüllt.
+Die Quadraturformel mit den Knoten $c_1 = 0$, $c_2 = \nicefrac{2}{3}$ sowie
+den Gewichten $b_1 = \nicefrac{1}{4}$, $b_2 = \nicefrac{3}{4}$ erfüllt
+also die 1., 2. und 3. Ordnungsbedingung, nicht jedoch die 4.
+Ordnungsbedingung. Ihre maximale Ordnung ist also $p=3$.
+
+\textbf{Anmerkungen:} Da $c_1 = 0$ kann es sich nicht um die Gauß-QF handeln.
+Somit können wir nicht Ordnung $p=4$ erreichen.
+
+Bei der Suche nach den Gewichten hätte man alternativ auch das folgende
+LGS lösen können:
+
+\begin{align}
+    \begin{pmatrix}
+        c_1^0 & c_2^0\\
+        c_1^1 & c_2^1 
+    \end{pmatrix}
+    \cdot x
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        1\\
+        \nicefrac{1}{2}
+    \end{pmatrix}
+\end{align}

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

@@ -1,8 +1,6 @@
 \section*{Aufgabe 2}
 
-\subsection*{Lösungsalternative 1:}
-
-\textbf{Voraussetzung:} 
+\paragraph{Voraussetzung:} 
 Gegeben sei eine Funktion $F$:
 \begin{align*}
     F: \mathbb{R} &\rightarrow [-1, 1]\\
@@ -11,7 +9,7 @@ Gegeben sei eine Funktion $F$:
 
 sowie eine Folge $(x)_k$ mit $x_{k+1} := F(x_k)$.
 
-\textbf{Behauptung:} $\displaystyle \exists! x^*: \forall x \in \mathbb{R}: \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = x^*$
+\paragraph{Behauptung:} $\displaystyle \exists! x^*: \forall x \in \mathbb{R}: \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = x^*$
 
 \paragraph{Beweis:} über den Banachschen Fixpunktsatz.
 \begin{proof}