diff --git a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf index e250513..f65bb00 100644 Binary files a/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf and b/documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf differ diff --git a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex index 9340c3d..43d4110 100644 --- a/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex +++ b/documents/GeoTopo/Kapitel2.tex @@ -102,5 +102,152 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n \end{enumerate} \end{beispiel} +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% Mitschrieb vom 14.11.2013 % +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\begin{definition}\xindex{Verklebung} + Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$ + und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus + $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u) \forall{u \in U}$ + erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten + Quotiententopologie. + + $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$. + $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten. + Falls $Z$ hausdoffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale + Mannigfaltigkeit. +\end{definition} + +\todo[inline]{Bilder mit Verklebung einfügen} + +\begin{korollar} + Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist + $X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$. +\end{korollar} + +\begin{beweis} + Produkte von Karten sind Karten. $\qed$ +\end{beweis} + +\begin{beispiel} + Mannigfaltigkeiten mit Dimension 1: + \begin{enumerate}[label=\arabic*)] + \item Offene Intervalle, $\mdr$, $(0,1)$ sind alle homöomorph + \item $S^1$ + \end{enumerate} + + Mannigfaltigkeiten mit Dimension 2: + \begin{enumerate}[label=\arabic*)] + \item $\mdr^2$ + \item $S^2$ (0 Henkel) + \item $T^2$ (1 Henkel) + \item oder mehr Henkel, wie z.B. der Zweifachtorus in Abb. \ref{fig:double-torus} + \end{enumerate} + + \begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png} + \caption{Zweifachtorus} + \label{fig:double-torus} + \end{figure} +\end{beispiel} + +\begin{korollar} + Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar + und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}. + + Dann gilt: + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$ + \item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \forall{x \in X}$, so ist + $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{Mannigfaltigkeitskriterium} + \end{enumerate} +\end{korollar} + +\begin{beweis} + \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*] + \item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist, + gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$ + mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt + $\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$ + ist offen. + \item Sei $x \in X$ mit $\text{grad}(F)(x) \neq 0$, also + \obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$, + $x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$. + Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun: + Es gibt Umgebungen $U$ von $x'$ und differenzierbare + Funktionen $g: U \rightarrow \mdr$, sodass + $G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$ + eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von + $x$ in $X$ ist. + \end{enumerate} + $\qed$ +\end{beweis} + +\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel} + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$, + $V(F) = S^2$, $\text{grad}(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$ + ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$ + \item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$ + \begin{figure}[ht] + \centering + \subfloat[$F(x,y) = y^2 - x^3$]{ + \input{figures/3d-function-semicubical-parabola.tex} + \label{fig:semicubical-parabola-2d} + }% + \subfloat[$y^2 - ax^3 = 0$]{ + \input{figures/2d-semicubical-parabola.tex} + \label{fig:semicubical-parabola-3d} + }% + \label{Neilsche-Parabel} + \caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.} + \end{figure} + Es gilt: $\text{grad}(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\text{grad}(0,0) = (0,0)$. + Daher ist Korollar \label{Mannigfaltigkeitskriterium} + nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem + eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. + \end{enumerate} +\end{beispiel} + +\begin{definition}\textbf{Mannigfaltigkeit!mit Rand} + Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie. + $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand}, + wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$ + offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene + Teilmenge von + \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_m \geq 0}\] + ist. $R_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}. +\end{definition} + +\begin{beispiel} + \todo[inline]{Viele Bilder: Pair of pants, sphere with a hole, halbraum...} +\end{beispiel} + +\begin{definition}\xindex{Rand} + Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und + Atlas $(U_i, \varphi_i)$. Dann heißt + \[\partial X := \bigcup_{i\in I} \Set{x \in U_i | \varphi_i (x)_n = 0}\] + \textbf{Rand} von $X$. +\end{definition} + +$\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. + +\begin{definition}\xindex{Kartenwechsel}\xindex{bergangsfunktion} + Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas + $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ + + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Für $i, j \in I$ mit $U_i, U_j \neq \emptyset$ heißt + \begin{align*} + \varphi_{ij} &:= \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\\ + \varphi_i (U_i \cap U_j) &\rightarrow \varphi_j (U_i \cap U_j) + \end{align*} + \textbf{Kartenwechsel} oder \textbf{Übergangsfunktion}. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\todo[inline]{Bilder mit Verklebung einfügen} + % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein. \input{Kapitel2-UB} diff --git a/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex b/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex index ea97cf7..72bf109 100644 --- a/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex +++ b/documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex @@ -65,6 +65,27 @@ sort=MengenoperationNSetminus } +\newglossaryentry{cup} +{ + name={\ensuremath{A \cup B}}, + description={Vereinigung}, + sort=MengenoperationOCup +} + +\newglossaryentry{dcup} +{ + name={\ensuremath{A \dcup B}}, + description={Disjunkte Vereinigung}, + sort=MengenoperationOCupD +} + +\newglossaryentry{cap} +{ + name={\ensuremath{A \cap B}}, + description={Schnitt}, + sort=MengenoperationOCap +} + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Zahlenmengen % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% diff --git a/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex b/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex new file mode 100644 index 0000000..01147b5 --- /dev/null +++ b/documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex @@ -0,0 +1,32 @@ +\begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + legend pos=south east, + axis x line=middle, + axis y line=middle, + grid = major, + %width=9cm, + %height=4.5cm, + grid style={dashed, gray!30}, + xmin= 0, % start the diagram at this x-coordinate + xmax= 12, % end the diagram at this x-coordinate + ymin=-10, % start the diagram at this y-coordinate + ymax= 10, % end the diagram at this y-coordinate + %axis background/.style={fill=white}, + xlabel=$x$, + ylabel=$y$, + %xticklabels={-2,-1.6,...,7}, + tick align=outside, + %minor tick num=-3, + enlargelimits=true] + \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; + + \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; + \addlegendentry{$a=\frac{1}{3}$} + \addlegendentry{$a=1$} + \addlegendentry{$a=2$} + \end{axis} +\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex b/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex new file mode 100644 index 0000000..5036624 --- /dev/null +++ b/documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +\pgfplotsset{ + colormap={whitered}{ + color(0cm)=(white); + color(1cm)=(orange!75!red) + } +} +\begin{tikzpicture}[scale=0.5] + \begin{axis}[ + colormap name=whitered, + width=15cm, + view={155}{45}, + enlargelimits=false, + grid=major, + domain=-5:5, + y domain=-5:5, + samples=56, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000]. + % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645 + xlabel=$x$, + ylabel=$y$, + zlabel={$z$}, + colorbar, + colorbar style={ + at={(-0.1,0)}, + anchor=south west, + height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height}, + title={$f(x,y)$} + } + ] + \addplot3[surf] {y*y-x*x*x}; + \end{axis} +\end{tikzpicture} diff --git a/documents/GeoTopo/figures/Double-torus-illustration.png b/documents/GeoTopo/figures/Double-torus-illustration.png new file mode 100644 index 0000000..804d0b8 Binary files /dev/null and b/documents/GeoTopo/figures/Double-torus-illustration.png differ diff --git a/documents/GeoTopo/shortcuts.sty b/documents/GeoTopo/shortcuts.sty index b7085b7..a0bba59 100644 --- a/documents/GeoTopo/shortcuts.sty +++ b/documents/GeoTopo/shortcuts.sty @@ -62,4 +62,7 @@ \def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}} \newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}} +\newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}} +\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.} + diff --git a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/2d-semicubical-parabola.tex b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/2d-semicubical-parabola.tex new file mode 100644 index 0000000..7fdde4b --- /dev/null +++ b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/2d-semicubical-parabola.tex @@ -0,0 +1,39 @@ +\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone} + +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{tikz} + +\begin{document} +\begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + legend pos=south east, + axis x line=middle, + axis y line=middle, + grid = major, + %width=9cm, + %height=4.5cm, + grid style={dashed, gray!30}, + xmin= 0, % start the diagram at this x-coordinate + xmax= 12, % end the diagram at this x-coordinate + ymin=-10, % start the diagram at this y-coordinate + ymax= 10, % end the diagram at this y-coordinate + %axis background/.style={fill=white}, + xlabel=$x$, + ylabel=$y$, + %xticklabels={-2,-1.6,...,7}, + tick align=outside, + %minor tick num=-3, + enlargelimits=true] + \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; + + \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; + \addplot[domain=0:12, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; + \addlegendentry{$a=\frac{1}{3}$} + \addlegendentry{$a=1$} + \addlegendentry{$a=2$} + \end{axis} +\end{tikzpicture} +\end{document} diff --git a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.png b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.png new file mode 100644 index 0000000..da3940a Binary files /dev/null and b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.png differ diff --git a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.tex b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.tex new file mode 100644 index 0000000..a51da5e --- /dev/null +++ b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/3d-function-semicubical-parabola.tex @@ -0,0 +1,41 @@ +\documentclass{article} +\usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview} +\setlength\PreviewBorder{2mm} +\usepackage{pgfplots} +\pgfplotsset{compat=1.9} + +\begin{document} +\begin{preview} +\pgfplotsset{ + colormap={whitered}{ + color(0cm)=(white); + color(1cm)=(orange!75!red) + } +} +\begin{tikzpicture}[scale=0.5] + \begin{axis}[ + colormap name=whitered, + width=6cm, + view={155}{45}, + enlargelimits=false, + grid=major, + domain=-5:5, + y domain=-5:5, + samples=56, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000]. + % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645 + xlabel=$x$, + ylabel=$y$, + zlabel={$z$}, + colorbar, + colorbar style={ + at={(-0.1,0)}, + anchor=south west, + height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height}, + title={$f(x,y)$} + } + ] + \addplot3[surf] {y*y-x*x*x}; + \end{axis} +\end{tikzpicture} +\end{preview} +\end{document} diff --git a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/Makefile b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/Makefile new file mode 100644 index 0000000..a0d0ae3 --- /dev/null +++ b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/Makefile @@ -0,0 +1,35 @@ +SOURCE = 3d-function-semicubical-parabola +DELAY = 80 +DENSITY = 300 +WIDTH = 512 + +make: + pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf + make clean + +clean: + rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot + +gif: + pdfcrop $(SOURCE).pdf + convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif + make clean + +png: + make + make svg + inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png + +transparentGif: + convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif + make clean + +svg: + make + #inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg + pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg + # Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs: + inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg + rsvg-convert -a -w $(WIDTH) -f svg $(SOURCE).svg -o $(SOURCE)2.svg + inkscape $(SOURCE)2.svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg + rm $(SOURCE)2.svg diff --git a/tikz/3d-function-semicubical-parabola/Readme.md b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/Readme.md new file mode 100644 index 0000000..233de72 --- /dev/null +++ b/tikz/3d-function-semicubical-parabola/Readme.md @@ -0,0 +1,3 @@ +Compiled example +---------------- +![Example](3d-function-semicubical-parabola.png)