tex-projects/LaTeX-examples
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Martin Thoma 2013-10-30 19:17:05 +01:00
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documents/GeoTopo/Kapitel1.tex
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@ -354,19 +354,20 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
\end{korollar}
\begin{beweis}
\enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben.
Sei $U := \fB_\varepsilon(f(x))$. Dann ist $U$ offen in $Y$.
\enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben
und $U := \fB_\varepsilon(f(x))$.\\
Dann ist $U$ offen in $Y$.\\
$\stackrel{\ref{def:stetigkeit}}{\Rightarrow} f^{-1}(U)$ ist
offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.
offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.\\
$\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass
$\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$
$\Rightarrow f(\fB_\delta(x)) \subseteq U$
$\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$\\
$\Rightarrow f(\fB_\delta(x)) \subseteq U$\\
$\Rightarrow \Set{y \in X | d_X(x,y) < \delta} \Rightarrow$ Beh.
\enquote{$\Leftarrow$}: Sei $U \subseteq Y$ offen, $X \in f^{-1}(U)$.
Dann gibt es $\varepsilon > 0$, sodass $\fB_\varepsilon(f(x)) \subseteq U$
\enquote{$\Leftarrow$}: Sei $U \subseteq Y$ offen, $X \in f^{-1}(U)$.\\
Dann gibt es $\varepsilon > 0$, sodass $\fB_\varepsilon(f(x)) \subseteq U$\\
$\stackrel{\text{Vor.}}{\Rightarrow}$ Es gibt $\delta > 0$, sodass
$f(\fB_\delta(x) \subseteq \fB_\varepsilon (f(x)))$
$f(\fB_\delta(x)) \subseteq \fB_\varepsilon (f(x)))$\\
$\Rightarrow \fB_\delta(x) \subseteq f^{-1}(\fB_\varepsilon(f(x))) \subseteq f^{-1}(U)$
$\qed$
\end{beweis}