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Aufgabe 2 für Klausur 2 Musterlösung geschrieben

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

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 \section*{Aufgabe 2}
 \subsection*{Teilaufgabe a)}
-Formel: $y_i = \frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1} y_j \cdot l_{ij}}{l_{ii}} $
 
-Anmerkung: $l_{ii}$ kann nicht $0$ sein, da L dann nicht mehr invertierbar wäre.
+\textbf{Behauptung:} Für $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^{*} = cos(x^{*})$ konvergiert.
 
-Algorithmus:
+\textbf{Beweis:} 
+Sei $ D := [-1, 1]$.\\
+Trivial: $D$ ist abgeschlossen.
 
-\begin{algorithm}[H]
-    \begin{algorithmic}
-    	\For{$i=1$ to $i=n$}
-			\State $sum \gets 0$
-			\For{$j = 1$ to $j = i-1$}
-				\State $sum \gets sum + y_i \cdot l_{ij}$
-			\EndFor
-			\State $y_i \gets \frac{b_i - sum}{l_{ii}}$
-		\EndFor
-    \end{algorithmic}
-\caption{TODO}
-\end{algorithm}
+Sei $ x \in D$, so gilt:
+\begin{align*}
+	0 < cos(x) \leq 1
+\end{align*}
+Also: $cos(x) \in D$.\\ Wenn $x \not\in D$, so gilt $y := cos(x)$ und $cos(y) \in D$. D.h. bereits nach einem Iterationschritt wäre $cos(x) \in D$ für $x \in \mathbb{R}$! Dies ist wichtig, da damit gezeigt ist, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ für jedes $x \in \mathbb{R}$ konvergiert! Es kommt nur dieser einzige Iteratationsschritt für $x \not\in \mathbb{R}$ hinzu.
 
-\subsubsection*{(b)}
-\begin{algorithm}[H]
-    \begin{algorithmic}
-    \Require Matrix $A$, Vektor $b$
-	\Procedure{LoeseLGS}{$A$, $b$}
-    	\State $P, L, R \gets \Call{LRZer}{A}$
-		\State $b^* \gets P \cdot b$
-		\State $c \gets \Call{VorSub}{L, b^*}$
-		\State $x \gets \Call{RueckSub}{R, c}$
-		\State \Return $x$
-	\EndProcedure
-    \end{algorithmic}
-\caption{Löse ein LGS $Ax = b$}
-\end{algorithm}
+Nun gilt mit $ x, y \in D, x < y, \xi \in (x,y) $ und dem Mittelwert der Differentialrechnung:
+\begin{align*}
+	\frac{cos(x) - cos(y)}{x - y} = cos'(\xi) \\
+	\Leftrightarrow cos(x) - cos(y) =  cos'(\xi) * (x - y)  \\
+	\Leftrightarrow | cos(x) - cos(y) | = | cos'(\xi) * (x - y) | \leq | cos'(\xi) | * | (x - y) | 
+\end{align*}
+Da $ \xi \in (0, 1) $ gilt:
+\begin{align*}
+	0 \leq | cos'(\xi) | = | sin(\xi) | < 1 
+\end{align*}
+Damit ist gezeigt, dass $cos(x) : D \rightarrow D$ Kontraktion auf $D$.
 
-\subsection*{Teilaufgabe c)}
-Aufwand:
-\begin{itemize}
-\item Vorwärts-/Rückwärtssubstitution: jeweils $\frac{1}{2} \cdot n^2$
-\item LR-Zerlegung: $\frac{1}{3}n^3$
-\item gesamt: $\frac{1}{3}n^3+n^2$
-\end{itemize}
+Damit sind alle Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
+
+Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Aussage.