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2
documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md
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@ -27,4 +27,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
|12.01.2014 | 16:00 - 16:15 | `cleveref` benutzt
|12.01.2014 | 22:15 - 22:30 | Beweis erstellt, dass Überlagerungen surjektiv sind
|12.01.2014 | 23:30 - 00:00 | Gruppenaktion -> Gruppenoperation; Projektiver Raum zu Index hinzugefügt
|13.01.2014 | 19:00 - | TODOs erledigen
|13.01.2014 | 19:00 - 00:00 | TODOs erledigen; Tippfehler korrigieren

BIN
documents/GeoTopo/GeoTopo.pdf
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Binary file not shown.

6
documents/GeoTopo/Kapitel1.tex
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@ -402,12 +402,12 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
\begin{bemerkung}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Für jeden topologischen Raum ist
$\text{Homöo}(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}$
$\Homoo(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}$
eine Gruppe.\xindex{Homöomorphismengruppe}
\item Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen
Räumen ist ein Homöomorphismus.
\item $\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$ für jeden
eine Untergruppe von $\Homoo(X)$ für jeden
metrischen Raum $X$.
\end{enumerate}
\end{bemerkung}
@ -580,7 +580,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
\begin{korollar}
Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $Z(X)$ ist die größte zusammehängede Teilmenge von $X$,
\item $Z(X)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$,
die $x$ enthält.
\item $Z(X)$ ist abgeschlossen.
\item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten.

40
documents/GeoTopo/Kapitel2.tex
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@ -1,7 +1,7 @@
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simpizidkomplexe}
\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simplizialkomplexe}
\section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
\begin{definition}
Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
@ -120,7 +120,7 @@
$Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$.
$Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten.
Falls $Z$ hausdoffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale
Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale
Mannigfaltigkeit.
\end{definition}
@ -352,14 +352,14 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\begin{beispiel}
$f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein
Diffeomorphismis, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
Diffeomorphismus, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
gilt: $f \circ g = \id_\mdr, \;\;\; g \circ f = \id_\text{\mdr}$
\end{beispiel}
\begin{bemerkung}
Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann ist
\[\text{Diffeo}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\]
eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$.
\[\Diffeo(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\]
eine Untergruppe von $\Homoo(X)$.
\end{bemerkung}
\begin{definition}
@ -390,7 +390,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\begin{figure}
\centering
\subfloat[Kugelkooridnaten]{
\subfloat[Kugelkoordinaten]{
\includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/spherical-coordinates.pdf}
\label{fig:spherical-coordinates}
}%
@ -399,7 +399,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\label{fig:solid-of-revolution}
}%
\subfloat[Sinus und Cosinus haben keine gemeinsamme Nullstelle]{
\subfloat[Sinus und Kosinus haben keine gemeinsame Nullstelle]{
\includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
\label{fig:sin-cos}
}%
@ -526,11 +526,11 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix} \in \mdr^{(n-1) \times (n-1)}\]
ist diffbar.
ist differenzierbar.
$\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da:
\[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\]
\item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
\item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \det(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
$\grad(\det-1)(A) = 0$?
@ -557,23 +557,23 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage} $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält
\gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear abhängig.
\item $\text{conv}(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
\item $\conv(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
\item Sei $\Delta^k = \text{conv}(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
\item Sei $\Delta^k = \conv(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
Dann heißt $\Delta^k$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
und $k$ die Dimension des Simplex.
\item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \text{conv}(v_0, \dots, v_k)$
Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \conv(v_0, \dots, v_k)$
ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
\item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
$I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \text{conv}(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
\textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
von $\Delta$.
@ -613,15 +613,15 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\item Eine endliche Menge $K$ von Simplizes im $\mdr^n$
heißt (endlicher) \textbf{Simplizialkomplex}\xindex{Simplizialkomplex},
wenn gilt:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*]
\item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex
ist $S \in K$
\item Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist
$\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer
oder ein Teilsimplex von $\Delta_1$ und von
$\Delta_2$
$\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein
Teilsimplex von $\Delta_1$ und von
$\Delta_2$ \label{def:simplizialkomplex.ii}
\end{enumerate}
\item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Spurtoplogie)
\item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Spurtopologie)
heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
von $K$.
\item Ist $d = \max \Set{ k | K \text{ enthält } k-\text{Simplex}}$,
@ -655,7 +655,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\label{fig:simplizialkomplex-cube-divided}
}
\subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft (ii) verletzt ist]{
\subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft \ref{def:simplizialkomplex.ii} verletzt ist]{
\parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex}}
\label{fig:no-simplizialkomplex-triangles}
}%
@ -852,7 +852,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
\end{beweis}
\begin{korollar}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Eckenmenge $V$
Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Knotenmenge $V$
und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h.

12
documents/GeoTopo/Kapitel3.tex
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@ -68,13 +68,13 @@
nicht homöotop.
\item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$.
Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$
Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$
sind homöotop.
\begin{figure}
\centering
\input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
\caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
\caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$}
\label{fig:paths-from-origin}
\end{figure}
@ -98,7 +98,7 @@
\label{fig:torus-three-paths}
}%
\label{fig:homotop-paths}
\caption{Beispiele für (nicht)-homotopie von Wegen}
\caption{Beispiele für (nicht)-Homotopie von Wegen}
\end{figure}
\end{beispiel}
@ -551,7 +551,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
\underline{2. Fall}: $p(y_1) \neq p(y_2)$.
Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umbebungen von $p(y_1)$
Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umgebungen von $p(y_1)$
und $p(y_2)$.
$\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind Umgebungen von
@ -805,7 +805,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
$\xRightarrow{q \text{ offen}} q(W)$ ist offene Umgebung von $p(z) \cdot d(\tilde{p}(z))$.
Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in Defintion~\ref{def:12.1} und
Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in Definition~\ref{def:12.1} und
$V \subseteq q^{-1}(U)$ die \todo{Was?}{Komp.} die $\tilde{p}(z)$
enthält.
@ -1051,7 +1051,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
\begin{enumerate}[label=\arabic*),ref=\thebeispiel.\arabic*]
\item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenoperation1}
\item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h$
\item $G$ operatiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
\item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
\begin{enumerate}[label=\roman*)]
\item $1_G \circ h = 1_G \cdot h \cdot 1_G^{-1} = h$
\item \begin{align*}

12
documents/GeoTopo/Kapitel4.tex
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@ -6,7 +6,7 @@
Axiome\xindex{Axiom} bilden die Grundbausteine jeder mathematischen Theorie. Eine
Sammlung aus Axiomen nennt man Axiomensystem\xindex{Axiomensystem}.
Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch
ein paar sehr grundlegende Vorderungen an ihn: Axiomensysteme sollen
ein paar sehr grundlegende Forderungen an ihn: Axiomensysteme sollen
\textbf{widerspruchsfrei} sein, die Axiome sollen möglichst
\textbf{unabhängig} sein und \textbf{Vollständigkeit} wäre auch toll.
Mit Unabhängigkeit ist gemeint, dass kein Axiom sich aus einem anderem
@ -19,7 +19,7 @@ Vollständigkeit. Ein Axiomensystem gilt als Vollständig, wenn
jede Aussage innerhalb des Systems verifizierbar oder falsifizierbar
ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz,
der z.~B. für die Arithmetik beweist, dass nicht alle Aussagen
formal bewiesen oder wiederlegt werden können.
formal bewiesen oder widerlegt werden können.
Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner
Abhandlung \enquote{Die Elemente} ein Axiomensystem für die Geometrie
@ -65,7 +65,7 @@ aufgestellt.
\begin{definition}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $P, Q, R$ liegen \textbf{kolinear}\xindex{kolinear},
\item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear},
wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
\item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$
@ -94,7 +94,7 @@ aufgestellt.
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
\enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$
sind kolinear.\\
sind kollinear.\\
$\stackrel{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow}
\begin{cases}
Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\
@ -158,7 +158,7 @@ aufgestellt.
\Obda sei $i=1$ und $j=2$, also $\varphi_1(R) = \varphi_2(R)$.
\end{behauptung}
\begin{behauptung}
Hat eine Isometrie $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kolinear sind,
Hat eine Isometrie $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kollinear sind,
so ist $\varphi = \id_X$.
Aus Beh. 1 und Beh. 2 folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$,
@ -172,7 +172,7 @@ aufgestellt.
\end{behauptung}
\begin{beweis}
Es ist $\varphi(PQ) = \varphi(P) \varphi(Q)$ weil $\varphi$
wegen \ref{axiom:2} kolinearität erhält.
wegen \ref{axiom:2} Kollinearität erhält.
Sei nun $R \in PQ$. Dann ist $d(P, \varphi(R)) \stackrel{P \text{ ist Fixpunkt}}{=} d(\varphi(P), \varphi(R)) = d(P, R)$.
Weiter ist $\varphi (PQ^+) = \varphi(P) \varphi(Q)^+ = PQ^+$

5
documents/GeoTopo/Readme.md
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@ -57,4 +57,7 @@ Was noch kommen soll
* ... replace `\usepackage[...]{hyperref}` by `\usepackage{nohyperref}`
* In `titlepage.tex`: replace `10cm` by `4cm`
* Momentan sind es ca. 60 Seiten in A4. In A5 sind es ca.
4. Version für Sehgeschädigte und Blinde
4. Version für Sehgeschädigte:
* min `12pt`, besser `14pt`
* nicht `article`, `book`, `report` sondern `extarticle`
* Sans serif: Arial, Helvetica (`\usepackage{cmbright}`)

2
documents/GeoTopo/shortcuts.sty
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@ -80,6 +80,8 @@
\DeclareMathOperator{\Perm}{Perm}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\Homoo}{Homöo}
\DeclareMathOperator{\Diffeo}{Diffeo}
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
%%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace}