Tippfehler korrigiert

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -27,4 +27,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |12.01.2014 | 16:00 - 16:15 | `cleveref` benutzt
 |12.01.2014 | 22:15 - 22:30 | Beweis erstellt, dass Überlagerungen surjektiv sind
 |12.01.2014 | 23:30 - 00:00 | Gruppenaktion -> Gruppenoperation; Projektiver Raum zu Index hinzugefügt
-|13.01.2014 | 19:00 -       | TODOs erledigen
+|13.01.2014 | 19:00 - 00:00 | TODOs erledigen; Tippfehler korrigieren

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -402,12 +402,12 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \begin{bemerkung}
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item Für jeden topologischen Raum ist 
-              $\text{Homöo}(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}$
+              $\Homoo(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}$
               eine Gruppe.\xindex{Homöomorphismengruppe}
         \item Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen 
               Räumen ist ein Homöomorphismus.
         \item $\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
-              eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$ für jeden
+              eine Untergruppe von $\Homoo(X)$ für jeden
               metrischen Raum $X$.
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
@@ -580,7 +580,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 \begin{korollar}
     Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt:
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
-        \item $Z(X)$ ist die größte zusammehängede Teilmenge von $X$,
+        \item $Z(X)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$,
               die $x$ enthält.
         \item $Z(X)$ ist abgeschlossen.
         \item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten.

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Henriekes Mitschrieb vom 07.11.2013                               %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simpizidkomplexe}
+\chapter{Mannigfaltigkeiten und Simplizialkomplexe}
 \section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
 \begin{definition}
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
@@ -120,7 +120,7 @@
 
     $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$.
     $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten.
-    Falls $Z$ hausdoffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale 
+    Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale 
     Mannigfaltigkeit.
 \end{definition}
 
@@ -352,14 +352,14 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 
 \begin{beispiel}
     $f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein
-    Diffeomorphismis, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
+    Diffeomorphismus, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
     gilt: $f \circ g = \id_\mdr, \;\;\; g \circ f = \id_\text{\mdr}$
 \end{beispiel}
 
 \begin{bemerkung}
     Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit. Dann ist
-    \[\text{Diffeo}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\]
+    \[\Diffeo(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Diffeomorphismus}}\]
-    eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$.
+    eine Untergruppe von $\Homoo(X)$.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}
@@ -390,7 +390,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 
             \begin{figure}
                 \centering
-                \subfloat[Kugelkooridnaten]{
+                \subfloat[Kugelkoordinaten]{
                     \includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/spherical-coordinates.pdf}
                     \label{fig:spherical-coordinates}
                 }%
@@ -399,7 +399,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
                     \label{fig:solid-of-revolution}
                 }%
 
-                \subfloat[Sinus und Cosinus haben keine gemeinsamme Nullstelle]{
+                \subfloat[Sinus und Kosinus haben keine gemeinsame Nullstelle]{
                     \includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
                     \label{fig:sin-cos}
                 }%
@@ -445,7 +445,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 \end{korollar}
 
 \begin{beweis}
-    \todo{Hier muss ich nochmals drüberlesen.}
+    \todo{Hier muss ich nochmals drüber lesen.}
     \underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist Diffeomorphismus
 
     \begin{figure}[htp]
@@ -526,11 +526,11 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
                 a_{n1} & \dots  & a_{nn}
               \end{pmatrix} \in \mdr^{(n-1) \times (n-1)}\]
 
-            ist diffbar.
+            ist differenzierbar.
 
             $\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da:
             \[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\]
-        \item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
+        \item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \det(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
 
               $\grad(\det-1)(A) = 0$?
 
@@ -557,23 +557,23 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
         \item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage} $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
               affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält
               \gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear abhängig.
-        \item $\text{conv}(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
+        \item $\conv(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
-        \item Sei $\Delta^k = \text{conv}(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
+        \item Sei $\Delta^k = \conv(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
               die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
 
               Dann heißt $\Delta^k$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
               und $k$ die Dimension des Simplex.
         \item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
-              Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \text{conv}(v_0, \dots, v_k)$
+              Lage heißt $\delta (v_0, \dots, v_k) = \conv(v_0, \dots, v_k)$
               ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
         \item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
               $I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
-              so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \text{conv}(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
+              so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
               \textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
               von $\Delta$. 
 
@@ -613,15 +613,15 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
         \item Eine endliche Menge $K$ von Simplizes im $\mdr^n$
               heißt (endlicher) \textbf{Simplizialkomplex}\xindex{Simplizialkomplex},
               wenn gilt:
-            \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+            \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*]
                 \item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex
                       ist $S \in K$
                 \item Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist 
-                      $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer
+                      $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein 
-                      oder ein Teilsimplex von $\Delta_1$ und von 
+                        Teilsimplex von $\Delta_1$ und von 
-                      $\Delta_2$
+                      $\Delta_2$ \label{def:simplizialkomplex.ii}
             \end{enumerate}
-        \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Spurtoplogie)
+        \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Spurtopologie)
               heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
               von $K$.
         \item Ist $d = \max \Set{ k | K \text{ enthält } k-\text{Simplex}}$,
@@ -655,7 +655,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
         \label{fig:simplizialkomplex-cube-divided}
     }
 
-    \subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft (ii) verletzt ist]{
+    \subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft \ref{def:simplizialkomplex.ii} verletzt ist]{
         \parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex}}
         \label{fig:no-simplizialkomplex-triangles}
     }%
@@ -852,7 +852,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 \end{beweis}
 
 \begin{korollar}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
-    Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Eckenmenge $V$
+    Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Knotenmenge $V$
     und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
 
     Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h.

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -68,13 +68,13 @@
               nicht homöotop.
         \item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$. 
 
-              Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$
+              Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$
               sind homöotop.
 
               \begin{figure}
                 \centering
                 \input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
-                \caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
+                \caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$}
                 \label{fig:paths-from-origin}
               \end{figure}
 
@@ -98,7 +98,7 @@
             \label{fig:torus-three-paths}
         }%
         \label{fig:homotop-paths}
-        \caption{Beispiele für (nicht)-homotopie von Wegen}
+        \caption{Beispiele für (nicht)-Homotopie von Wegen}
     \end{figure}
 \end{beispiel}
 
@@ -551,7 +551,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
 
         \underline{2. Fall}: $p(y_1) \neq p(y_2)$.
         
-        Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umbebungen von $p(y_1)$
+        Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umgebungen von $p(y_1)$
         und $p(y_2)$.
 
         $\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind Umgebungen von
@@ -805,7 +805,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
 
     $\xRightarrow{q \text{ offen}} q(W)$ ist offene Umgebung von $p(z) \cdot d(\tilde{p}(z))$.
 
-    Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in Defintion~\ref{def:12.1} und
+    Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in Definition~\ref{def:12.1} und
     $V \subseteq q^{-1}(U)$ die \todo{Was?}{Komp.} die $\tilde{p}(z)$
     enthält.
 
@@ -1051,7 +1051,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
     \begin{enumerate}[label=\arabic*),ref=\thebeispiel.\arabic*]
         \item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenoperation1}
         \item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h$
-        \item $G$ operatiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
+        \item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
         \begin{enumerate}[label=\roman*)]
             \item $1_G \circ h = 1_G \cdot h \cdot 1_G^{-1} = h$
             \item \begin{align*}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 Axiome\xindex{Axiom} bilden die Grundbausteine jeder mathematischen Theorie. Eine
 Sammlung aus Axiomen nennt man Axiomensystem\xindex{Axiomensystem}.
 Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch 
-ein paar sehr grundlegende Vorderungen an ihn: Axiomensysteme sollen
+ein paar sehr grundlegende Forderungen an ihn: Axiomensysteme sollen
 \textbf{widerspruchsfrei} sein, die Axiome sollen möglichst
 \textbf{unabhängig} sein und \textbf{Vollständigkeit} wäre auch toll.
 Mit Unabhängigkeit ist gemeint, dass kein Axiom sich aus einem anderem
@@ -19,7 +19,7 @@ Vollständigkeit. Ein Axiomensystem gilt als Vollständig, wenn
 jede Aussage innerhalb des Systems verifizierbar oder falsifizierbar
 ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz, 
 der z.~B. für die Arithmetik beweist, dass nicht alle Aussagen
-formal bewiesen oder wiederlegt werden können.
+formal bewiesen oder widerlegt werden können.
 
 Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner 
 Abhandlung \enquote{Die Elemente} ein Axiomensystem für die Geometrie
@@ -65,7 +65,7 @@ aufgestellt.
 
 \begin{definition}
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
-        \item $P, Q, R$ liegen \textbf{kolinear}\xindex{kolinear}, 
+        \item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear}, 
               wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
         \item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
               und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$
@@ -94,7 +94,7 @@ aufgestellt.
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
               \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$ 
-              sind kolinear.\\
+              sind kollinear.\\
               $\stackrel{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow}
               \begin{cases} 
                 Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\
@@ -158,7 +158,7 @@ aufgestellt.
         \Obda sei $i=1$ und $j=2$, also $\varphi_1(R) = \varphi_2(R)$.
     \end{behauptung}
     \begin{behauptung}
-        Hat eine Isometrie $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kolinear sind,
+        Hat eine Isometrie $\varphi$ 3 Fixpunkte, die nicht kollinear sind,
         so ist $\varphi = \id_X$.
 
         Aus Beh. 1 und Beh. 2 folgt, dass $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \id_X$,
@@ -172,7 +172,7 @@ aufgestellt.
         \end{behauptung}
         \begin{beweis}
             Es ist $\varphi(PQ) = \varphi(P) \varphi(Q)$ weil $\varphi$
-            wegen \ref{axiom:2} kolinearität erhält.
+            wegen \ref{axiom:2} Kollinearität erhält.
 
             Sei nun $R \in PQ$. Dann ist $d(P, \varphi(R)) \stackrel{P \text{ ist Fixpunkt}}{=} d(\varphi(P), \varphi(R)) = d(P, R)$.
             Weiter ist $\varphi (PQ^+) = \varphi(P) \varphi(Q)^+ = PQ^+$

documents/GeoTopo/Readme.md

@@ -57,4 +57,7 @@ Was noch kommen soll
       * ... replace `\usepackage[...]{hyperref}` by `\usepackage{nohyperref}`
   * In `titlepage.tex`: replace `10cm` by `4cm`
   * Momentan sind es ca. 60 Seiten in A4. In A5 sind es ca.
-4. Version für Sehgeschädigte und Blinde
+4. Version für Sehgeschädigte:
+  * min `12pt`, besser `14pt`
+  * nicht `article`, `book`, `report` sondern `extarticle`
+  * Sans serif: Arial, Helvetica (`\usepackage{cmbright}`)

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -80,6 +80,8 @@
 \DeclareMathOperator{\Perm}{Perm}
 \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
 \DeclareMathOperator{\Homoo}{Homöo}
+\DeclareMathOperator{\Diffeo}{Diffeo}
+\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
 
 %%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace}