mirror of
https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples.git
synced 2025-04-24 22:08:04 +02:00
Textsetzung: Figure bekommt htp; stackrel -> overset; \ref -> \cref; enumerate
This commit is contained in:
Martin Thoma
parent
7c20107730
commit
508b4ee518
12 changed files with 185 additions and 162 deletions
|
|
@ -46,3 +46,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
|
|||
|24.01.2014 | 23:00 - 00:15 | Digitalisieren der Vorlesung von 23.01.2014
|
||||
|25.01.2014 | 09:30 - 12:45 | Digitalisieren der Vorlesung von 23.01.2014
|
||||
|25.01.2014 | 13:05 - 13:35 | Aufgabe aus Tutorium hinzugefügt
|
||||
|26.01.2014 | 19:00 - 22:00 | Textsetzung: Figure bekommt htp; stackrel -> overset; \ref -> \cref; enumerate
|
||||
|
|
|
|||
Binary file not shown.
|
|
@ -62,8 +62,8 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
|
|||
\begin{definition}
|
||||
Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\stackrel{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
|
||||
\item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss}
|
||||
\item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\overset{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
|
||||
\item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\overset{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss}
|
||||
\item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \xindex{Rand}
|
||||
\item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \xindex{dicht}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -303,14 +303,14 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
|
|||
\begin{definition}
|
||||
Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige}, wenn für jedes offene
|
||||
$U \subseteq Y$ auch $f^{-1} (U) \subseteq X$ offen ist. \label{def:stetigkeit}
|
||||
\item $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
|
||||
und es eine
|
||||
stetige Abbildung $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass
|
||||
$g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begingroup
|
||||
|
|
@ -333,7 +333,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
|
|||
\enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben
|
||||
und $U := \fB_\varepsilon(f(x))$.\\
|
||||
Dann ist $U$ offen in $Y$.\\
|
||||
$\xRightarrow{\ref{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$ ist
|
||||
$\xRightarrow{\text{Def. }\ref{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$ ist
|
||||
offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.\\
|
||||
$\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass
|
||||
$\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$\\
|
||||
|
|
@ -364,7 +364,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
|
|||
stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$.
|
||||
\item Sei $X = [0, 1), Y = S^1 = \Set{z \in \mdc | \|z\| = 1}$
|
||||
und $f(t) = e^{2 \pi i t}$
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/topology-continuous-mapping}
|
||||
\caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren
|
||||
|
|
@ -476,11 +476,10 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
|
|||
Es gilt: $f$ ist bijektiv und die Umkehrabbildung ist ebenfalls
|
||||
stetig.
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\index{Stetigkeit|)}
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Mitschrieb vom 31.10.2013 %
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\index{Stetigkeit|)}
|
||||
\section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(}
|
||||
\begin{definition}\xindex{zusammenhaengend@zusammenhängend}
|
||||
Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen,
|
||||
|
|
@ -550,7 +549,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
|
|||
$\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend $ \qed$
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\label{zusammenhangVereinigung}
|
||||
\begin{bemerkung}\label{bem:zusammenhangVereinigung}
|
||||
Sei $X$ ein topologischer Raum und $A, B \subseteq X$ zusammenhängend.
|
||||
|
||||
Ist $A \cap B \neq \emptyset$, dann ist $A \cup B$ zusammenhängend.
|
||||
|
|
@ -597,8 +596,8 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
|
|||
ist unerlaubte Zerlegung.
|
||||
\item Nach \cref{zusammenhangAbschluss} ist $\overline{Z(x)}$
|
||||
zusammenhängend $\Rightarrow \overline{Z(x)} \subseteq Z(x)$
|
||||
$\Rightarrow Z(x) = \overline{Z(x}$
|
||||
\item Ist $Z(y) \cap Z(x) \neq \emptyset \xRightarrow{\ref{zusammenhangVereinigung}} Z(y) \cup Z(x)$
|
||||
$\Rightarrow Z(x) = \overline{Z(x)}$
|
||||
\item Ist $Z(y) \cap Z(x) \neq \emptyset \xRightarrow{\text{Bem. }\ref{bem:zusammenhangVereinigung}} Z(y) \cup Z(x)$
|
||||
ist zusammenhängend. \\
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Rightarrow Z(x) \cup Z(y) &\subseteq Z(x) \Rightarrow Z(y) \subseteq Z(x)\\
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -7,7 +7,7 @@
|
|||
\item Beweisen Sie, dass eine topologische Mannigfaltigkeit
|
||||
genau dann wegzusammenhängend ist, wenn sie zusammenhängend
|
||||
ist
|
||||
\item Betrachten Sie nun wie in Beispiel~\ref{bsp:mannigfaltigkeit8}
|
||||
\item Betrachten Sie nun wie in \cref{bsp:mannigfaltigkeit8}
|
||||
den Raum $X:= (\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1, 0_2}$
|
||||
versehen mit der dort definierten Topologie. Ist $X$
|
||||
wegzusammenhängend?
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -5,7 +5,7 @@
|
|||
\section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
|
||||
$X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
|
||||
offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
|
||||
|
|
@ -16,11 +16,11 @@
|
|||
\item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
|
||||
wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der
|
||||
Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$
|
||||
\item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph.
|
||||
Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer):
|
||||
|
|
@ -32,11 +32,11 @@
|
|||
\[f:\mdr^n \rightarrow \mdr^m \rightarrow \mdr^n, \;\;\; (x_1, \dots, x_n) \mapsto (x_1, x_2, \dots, x_n, 0, \dots, 0)\]
|
||||
eine stetige injektive Abbildung. Also müsste $f(\mdr^n)$
|
||||
offen sein $\Rightarrow$ Widerspruch
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine
|
||||
$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus
|
||||
einer Karte.
|
||||
|
|
@ -105,7 +105,7 @@
|
|||
\item $\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension
|
||||
$n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine
|
||||
Mannigfaltigkeit bilden.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
|
|
@ -148,7 +148,7 @@
|
|||
\item oder mehr Henkel, wie z.B. der Zweifachtorus in \cref{fig:double-torus}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/Double-torus-illustration.png}
|
||||
\caption{Zweifachtorus}
|
||||
|
|
@ -161,15 +161,15 @@
|
|||
und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}.
|
||||
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$
|
||||
\item Ist $\grad(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
|
||||
$X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{bem:Mannigfaltigkeitskriterium}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*]
|
||||
\item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist,
|
||||
gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$
|
||||
mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt
|
||||
|
|
@ -189,9 +189,9 @@
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$,
|
||||
$V(F) = S^2$, $\grad(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
|
||||
$V(F) = S^2$, $\grad(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\text{Bem. }\ref{bem:Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
|
||||
ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$
|
||||
\item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
|
|
@ -208,10 +208,10 @@
|
|||
\caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
|
||||
\end{figure}
|
||||
Es gilt: $\grad(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\grad(0,0) = (0,0)$.
|
||||
Daher ist \cref{Mannigfaltigkeitskriterium}
|
||||
Daher ist \cref{bem:Mannigfaltigkeitskriterium}
|
||||
nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
|
||||
eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\xindex{Mannigfaltigkeit!mit Rand}
|
||||
|
|
@ -278,21 +278,21 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\begin{definition}
|
||||
Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$}\xindex{Mannigfaltigkeit!differenzierbare},
|
||||
wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$
|
||||
$k$-mal stetig differenzierbar ist.
|
||||
\item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!glatte},
|
||||
wenn $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
|
||||
Klasse $C^\infty$ ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$
|
||||
($k \in \mdn \cup \Set{\infty}$) mit Atlas $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item Eine Karte $(U, \varphi)$ auf $X$ heißt \textbf{verträglich}\xindex{verträglich}
|
||||
mit $\atlas$, wenn alle Kartenwechsel $\varphi \circ \varphi_i^{-1}$
|
||||
und $\varphi_i \circ \varphi^{-1}$ ($i \in I$ mit $U_i \cap U \neq \emptyset$)
|
||||
|
|
@ -303,7 +303,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
|
||||
Eine $C^\infty$-Struktur heißt auch \textbf{differenzierbare Struktur}\xindex{Struktur!differenzierbare}
|
||||
auf $X$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
|
|
@ -315,7 +315,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
Seien $X, Y$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension
|
||||
$n$ bzw. $m$, $x \in X$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item Eine stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ heißt\label{def:stetigeAbbildungDiffbar}
|
||||
\textbf{differenzierbar}\xindex{Abbildung!differenzierbare}
|
||||
in $x$ (von Klasse $C^k$),
|
||||
|
|
@ -331,11 +331,11 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
es eine differenzierbare Abbildung $g: Y \rightarrow X$
|
||||
von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \id_X$
|
||||
und $f \circ g = \id_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Bedingung in Definition~\ref{def:stetigeAbbildungDiffbar} hängt nicht
|
||||
Die Bedingung in \cref{def:stetigeAbbildungDiffbar} hängt nicht
|
||||
von den gewählten Karten ab.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
|
|
@ -381,14 +381,14 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item Rotationsflächen: Sei $r:\mdr \rightarrow \mdr_{> 0}$
|
||||
eine differenzierbare Funktion.
|
||||
|
||||
$F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3 \;\;\; (u,v) \mapsto (r(u) \cos (u), r(v) \sin(u), v)$
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\subfloat[Kugelkoordinaten]{
|
||||
\includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/spherical-coordinates.pdf}
|
||||
|
|
@ -433,7 +433,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\end{pmatrix}\]
|
||||
hat Rang 2 für $\cos v \neq 0$. In $N$ und $S$ ist
|
||||
$\cos v = 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
|
|
@ -497,7 +497,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
eine Abbildung, $(g,h) \mapsto g \cdot h$, sodass $(G, \circ)$
|
||||
eine Gruppe ist.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $G$ heißt \textbf{topologische Gruppe}\xindex{Gruppe!topologische},
|
||||
wenn die Abbildungen $\circ: G \times G \rightarrow G$
|
||||
und $\iota: G \rightarrow G$.
|
||||
|
|
@ -506,11 +506,11 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\item Ist $G$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, so heißt
|
||||
$G$ \textbf{Lie-Gruppe}\xindex{Lie-Gruppe}, wenn
|
||||
$(G, \circ)$ und $(G, \iota)$ differenzierbar sind.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen.
|
||||
\item $\GL_n(\mdr)$
|
||||
\item $(\mdr^\times, \cdot)$
|
||||
|
|
@ -537,7 +537,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
$\frac{\partial}{\partial a_{11}} (\det -1) = 1 \cdot \det A_{11}$
|
||||
|
||||
Es gibt $i \in \Set{1, \dots, n}$ mit $\frac{\partial}{\partial a_{1i}} (\det -1) A \neq 0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
|
|
@ -553,16 +553,16 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\section{Simplizialkomplex}
|
||||
\begin{definition}\xindex{Lage!allgemeine}
|
||||
Seien $v_0, \dots, v_k \in \mdr^n$ Punkte.
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage} $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
|
||||
affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält
|
||||
\gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear abhängig.
|
||||
\item $\conv(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item Sei $\Delta^k = \conv(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
|
||||
die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -578,7 +578,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
von $\Delta$.
|
||||
|
||||
$s_{i_0, \dots, i_r}$ ist $r$-Simplex.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
|
|
@ -609,7 +609,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
% Mitschrieb vom 21.11.2013 %
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*]
|
||||
\item Eine endliche Menge $K$ von Simplizes im $\mdr^n$
|
||||
heißt (endlicher) \textbf{Simplizialkomplex}\xindex{Simplizialkomplex},
|
||||
wenn gilt:
|
||||
|
|
@ -655,7 +655,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\label{fig:simplizialkomplex-cube-divided}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft \ref{def:simplizialkomplex.ii} verletzt ist]{
|
||||
\subfloat[$P$ ist kein Teilsimplex, da Eigenschaft \cref{def:simplizialkomplex.ii} verletzt ist]{
|
||||
\parbox[c][4cm]{5cm}{\centering\input{figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex}}
|
||||
\label{fig:no-simplizialkomplex-triangles}
|
||||
}%
|
||||
|
|
@ -672,15 +672,15 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\[f:|K| \rightarrow |L|\]
|
||||
heißt \textbf{simplizial}\xindex{Abbildung!simpliziale}, wenn für
|
||||
jedes $\Delta \in K$ gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $f(\Delta) \in L$
|
||||
\item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
|
||||
affine Abbildung.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item $\varphi(e_1) := b_1$, $\varphi(e_2) := b_2$\\
|
||||
$\varphi$ ist eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
|
||||
|
||||
|
|
@ -693,7 +693,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\item \todo[inline]{Wozu dient das Beispiel?}
|
||||
|
||||
\resizebox{0.9\linewidth}{!}{\input{figures/topology-2.tex}}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
|
|
@ -707,7 +707,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item $\chi(\Delta^1) = 2 - 1 = 1$\\
|
||||
$\chi(\Delta^2) = 3 - 3 + 1 = 1$\\
|
||||
$\chi(\Delta^3) = 4 - 6 + 4 - 1 = 1$
|
||||
|
|
@ -716,7 +716,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
$\chi(\text{Ikosaeder}) = 12 - 30 + 20 = 2$
|
||||
\item $\chi(\text{Würfel}) = 8 - 12 + 6 = 2$\\
|
||||
$\chi(\text{Würfel, unterteilt in Dreiecksflächen}) = 8 - (12 + 6) + (6 \cdot 2) = 2$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
|
|
@ -729,7 +729,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
definiert ein $k$-Simplex.\\
|
||||
$\Rightarrow a_k(\Delta^n) = \binom{n+1}{k+1}, \;\;\; k = 0, \dots, n$\\
|
||||
$\Rightarrow \chi(\Delta^n) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k+1}$\\
|
||||
$f(x) = (x+1)^{n+1} \stackrel{\substack{\text{\tiny{Binomischer}}\\\text{\tiny{Lehrsatz}}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\
|
||||
$f(x) = (x+1)^{n+1} \overset{\substack{\text{\tiny{Binomischer}}\\\text{\tiny{Lehrsatz}}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\
|
||||
$\Rightarrow 0 = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^k = \chi(\Delta^n) -1$\\
|
||||
$\Rightarrow \chi(\Delta^n) = 1 \qed$
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
|
@ -738,12 +738,12 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
% Mitschrieb vom 28.11.2013 %
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item Ein 1D-Simplizialkomplex heißt \textbf{Graph}\xindex{Graph}.
|
||||
\item Ein Graph, der homöomorph zu $S^1$ ist, heißt \textbf{Kreis}\xindex{Kreis}.
|
||||
\item Ein zusammenhängender Graph heißt \textbf{Baum}\xindex{Baum},
|
||||
wenn er keinen Kreis enthält.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
|
|
@ -778,16 +778,16 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item Jeder zusammenhängende Graph $\Gamma$ enthält einen
|
||||
Teilbaum $T$, der alle Ecken von $\Gamma$ enthält.%
|
||||
\footnote{$T$ wird \enquote{Spannbaum} genannt.}
|
||||
\item Ist $n = a_1(\Gamma) = a_1(T)$, so ist $\chi(\Gamma) = 1 - n$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\thedefinition.\alph*]
|
||||
\item Siehe \enquote{Algorithmus von Kruskal}.
|
||||
\item $\begin{aligned}[t]\chi(\Gamma) &= a_0(\Gamma) - a_1(\Gamma)\\
|
||||
&= a_0(\Gamma) - (n+a_1(T))\\
|
||||
|
|
@ -905,12 +905,12 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
|
|||
Sei $Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n$ und
|
||||
$B_n := \text{Bild}(d_{n+1}) \subseteq C_n$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $H_n = H_n(K, \mdr) := Z_n / B_n$ heißt $n$-te
|
||||
\textbf{Homotopiegruppe}\xindex{Homotopiegruppe} von $K$.
|
||||
\item $b_n(K) := \dim_{\mdr} H_n$ heißt $n$-te
|
||||
\textbf{Belti-Zahl}\xindex{Belit-Zahl} von $K$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -23,7 +23,7 @@
|
|||
$\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
|
||||
d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{Weg!homotope},
|
||||
wenn es eine stetige Abbildung
|
||||
\[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
|
||||
|
|
@ -34,7 +34,7 @@
|
|||
$\gamma_1$ und $\gamma_2$.
|
||||
\item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
|
||||
Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
|
|
@ -60,7 +60,7 @@
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus
|
||||
\cref{fig:circle-two-paths} nicht homöotop.
|
||||
\item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
|
||||
|
|
@ -71,7 +71,7 @@
|
|||
Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$
|
||||
sind homöotop.
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
|
||||
\caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$}
|
||||
|
|
@ -85,7 +85,7 @@
|
|||
$H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig,
|
||||
$H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
|
||||
$H(t,1) = 0 \; \forall t \in I$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
|
|
@ -175,7 +175,7 @@
|
|||
ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
%\includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-bemerkung-10-6.jpg}
|
||||
\input{figures/topology-homotop-paths-2.tex}
|
||||
|
|
@ -225,7 +225,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item $S^1 = \Set{z \in \mdc | {|z|} = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$
|
||||
|
||||
$\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$
|
||||
|
|
@ -240,7 +240,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
Für jedes sternförmige $G \subseteq \mdr^n$ ist
|
||||
$\pi_1(G,x) = \Set{e}$
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/star-shaped-domain.tex}
|
||||
\caption{Sternförmiges Gebiet}.
|
||||
|
|
@ -253,7 +253,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
|
||||
Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden
|
||||
Wegen!
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
|
||||
|
|
@ -265,7 +265,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
ein Gruppenisomorphismus.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/todo.tex}
|
||||
\caption{Situation aus \cref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
|
||||
|
|
@ -294,13 +294,13 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine
|
||||
stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item Dann ist die Abbildung $f_* : \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, y),
|
||||
[y] \rightarrow [f \circ y]$ ein Gruppenhomomorphismus.
|
||||
\item Ist $Z$ ein weiterer topologischer Raum und $g: Y \rightarrow Z$
|
||||
eine stetige Abbildung $z:= g(y)$. Dann ist
|
||||
$(g \circ f)_* = g_* \circ f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Z,z)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
|
|
@ -319,14 +319,14 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber
|
||||
$f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) -0 \Set{e}$
|
||||
ist nicht injektiv
|
||||
\item $f: \mdr \rightarrow S^1, t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
|
||||
ist surjektiv, aber $f_*: \pi_1(\mdr, 0) = \Set{e} \rightarrow \pi_1(S^2, 1) \cong \mdz$
|
||||
ist nicht surjektiv
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}%Folgerung 11.6
|
||||
|
|
@ -406,9 +406,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/topologischer-raum-x.tex}
|
||||
\caption{Topologischer Raum $X$}
|
||||
|
|
@ -419,20 +419,20 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
$\pi_1(U,x) = <a> \cong \mdz, \pi_1(V,x) = <b> \cong \mdz$,
|
||||
insbesondere ist $a*b$ nicht homotop zu $b*a$.
|
||||
\item Torus: $\pi_1(T^2, X)$ wird erzeugt von $a$ und $b$.
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/topology-4.tex}
|
||||
\caption{$a*b = b*a \Leftrightarrow a * b * \overline{a} * \overline{b} \sim e$}
|
||||
\label{fig:torous-a-b}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
% Mitschrieb vom 12.12.2013 %
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section{Überlagerungen}\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|(}
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=4cm, keepaspectratio]{figures/topology-r-spiral-covering-s.pdf}
|
||||
\caption{$\mdr \rightarrow S^1$,\\$t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$}
|
||||
|
|
@ -449,13 +449,13 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item siehe \cref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
|
||||
\item siehe \cref{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
|
||||
\item $\mdr^n \rightarrow T^n = \mdr^n / \mdz^n$
|
||||
\item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$\xindex{Raum!projektiver}
|
||||
\item $S^1 \rightarrow S^1$, $z \mapsto z^2$, siehe \cref{fig:liftung-s1-s1}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
|
|
@ -506,7 +506,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $y \in V$ und $x \in p(V)$, sodass $x=p(y)$ gilt.
|
||||
Sei weiter $U = U_x$ die offene Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1}
|
||||
Sei weiter $U = U_x$ die offene Umgebung von $x$ wie in \cref{def:12.1}
|
||||
und $V_j$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y$ enthält.
|
||||
|
||||
Dann ist $V \cap V_j$ offene Umgebung von $y$.
|
||||
|
|
@ -529,10 +529,10 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
|
||||
\begin{bemerkung} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
|
||||
Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x \in X$.
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item $X$ hausdorffsch $\Rightarrow Y$ hausdorffsch
|
||||
\item $p^{-1}(X)$ ist diskret in $Y$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
|
|
@ -578,7 +578,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in Definition~\ref{def:12.1}, $x \in U$.
|
||||
Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in \cref{def:12.1}, $x \in U$.
|
||||
Dann enthält jedes $V_j, j \in I_X$ genau ein Element von
|
||||
$p^{-1}(x)$
|
||||
|
||||
|
|
@ -595,7 +595,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
\textbf{Liftung} von $f$, wenn $p \circ \tilde{f} = f$ ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\resizebox{0.95\linewidth}{!}{\input{figures/liftung-torus-r.tex}}
|
||||
\caption{Beim Liften eines Weges bleiben geschlossene Wege im allgemeinen nicht geschlossen}
|
||||
|
|
@ -609,7 +609,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
$\exists z_0 \in Z: f_0(z) = f_1(z) \Rightarrow f_0 = f_1$
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/commutative-diagram-2.tex}
|
||||
\caption{Situation aus \cref{kor:12.5}}
|
||||
|
|
@ -621,7 +621,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
|
||||
\underline{Z.~Z.}: $T$ ist offen und $Z \setminus T$ ist auch offen.
|
||||
|
||||
Sei $z \in T, x = f(z), U$ Umgebung von $x$ wie in Definition~\ref{def:12.1},
|
||||
Sei $z \in T, x = f(z), U$ Umgebung von $x$ wie in \cref{def:12.1},
|
||||
$V$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die $y:=f_0(z) = f_1(z)$.\todo{deutsch?}
|
||||
|
||||
Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$.
|
||||
|
|
@ -648,10 +648,10 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
|
|||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Existenz: Siehe \Cref{fig:satz-12.6}.
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.6\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/skizze-1.jpg}
|
||||
\caption{Skizze für den Beweis von Satz~\ref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}}
|
||||
\caption{Skizze für den Beweis von \cref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}}
|
||||
\label{fig:satz-12.6}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
|
@ -709,10 +709,10 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|||
|
||||
\begin{bemerkung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
|
||||
Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
|
||||
\item $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
|
|
@ -720,7 +720,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|||
\item Sei $\tilde{\gamma}$ ein Weg in $Y$ um $y_0$ und
|
||||
$p_* ([\tilde{\gamma}]) = e$, also $p \circ \tilde{\gamma} \sim \gamma_{x_0}$
|
||||
|
||||
Nach Proposition~\ref{proposition:12.7} ist dann
|
||||
Nach \cref{proposition:12.7} ist dann
|
||||
$\tilde{\gamma}$ homotop zum Lift des konstanten Wegs
|
||||
$\gamma_{x_0}$ mit Anfangspunkt $y_0$, also zu
|
||||
$\gamma_{y_0} \Rightarrow [\tilde{\gamma}] = e$
|
||||
|
|
@ -754,8 +754,8 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
Wegen Folgerung~\ref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
|
||||
und wegen Folgerung~\ref{kor:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
|
||||
Wegen \cref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
|
||||
und wegen \cref{kor:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
|
||||
bijektiv.
|
||||
|
||||
Nach \todo{Was ist das?}{12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
|
||||
|
|
@ -806,7 +806,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|||
|
||||
$\xRightarrow{q \text{ offen}} q(W)$ ist offene Umgebung von $p(z) \cdot d(\tilde{p}(z))$.
|
||||
|
||||
Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in Definition~\ref{def:12.1} und
|
||||
Sei $U \subseteq q(W)$ offen wie in \cref{def:12.1} und
|
||||
$V \subseteq q^{-1}(U)$ die \todo{Was?}{Komp.} die $\tilde{p}(z)$
|
||||
enthält.
|
||||
|
||||
|
|
@ -836,7 +836,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|||
$p(\tilde{x_0}) = x_0$ und
|
||||
$\tilde{y_0} \in q^{-1}(x_0) \subseteq \tilde{Y}$.
|
||||
|
||||
Nach Satz~\ref{thm:12.11} gibt es genau eine Überlagerung
|
||||
Nach \cref{thm:12.11} gibt es genau eine Überlagerung
|
||||
\[f:\tilde{X} \rightarrow \tilde{Y} \text{ mit } f(x_0) = \tilde{Y_0} \text{ und } q \circ f = p\]
|
||||
und genau eine Überlagerung
|
||||
\[g: \tilde{Y} \rightarrow \tilde{X} \text{ mit } g(\tilde{y_0}) = \tilde{x_0} \text{ und } p \circ g = q\]
|
||||
|
|
@ -887,7 +887,7 @@ der folgende Satz:
|
|||
|
||||
\underline{Annahme}: $[\tilde{\gamma}] \neq e$
|
||||
|
||||
Mit Folgerung~\ref{kor:12.8a} folgt dann: $[\gamma] \neq e$.
|
||||
Mit \cref{kor:12.8a} folgt dann: $[\gamma] \neq e$.
|
||||
|
||||
Dann ist der Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit Anfangspunkt
|
||||
$\tilde{x_0}$ ein Weg von $\tilde{x_0}$ nach $(x_0, [\gamma])$.
|
||||
|
|
@ -905,7 +905,7 @@ der folgende Satz:
|
|||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}%In Vorlesung:12.14
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe,
|
||||
die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}
|
||||
$\Deck(p) = \Deck(Y/X) = \Deck(Y \rightarrow X)$
|
||||
|
|
@ -915,7 +915,7 @@ der folgende Satz:
|
|||
\item Ist $p$ eine reguläre Decktransformation, dann gilt:
|
||||
$\forall x \in X: \Deck(Y/X)$ operiert transitiv
|
||||
auf der Menge der Urbilder $p^{-1}(x)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
|
|
@ -935,7 +935,7 @@ der folgende Satz:
|
|||
$\Delta \subseteq Y \times Y$ unter der stetigen
|
||||
Abbildung $y \mapsto (f(y),y)$. Außerdem ist $\Fix(f)$
|
||||
offen, denn ist $y \in \Fix(f)$, so sei $U$ eine
|
||||
Umgebung von $p(y) \in X$ wie in Definition~\ref{def:12.1}
|
||||
Umgebung von $p(y) \in X$ wie in \cref{def:12.1}
|
||||
und $U \subseteq p^{-1}(U)$ die Komponente, die $y$
|
||||
enthält; also $p:V \rightarrow U$ ein Homöomorphismus.
|
||||
Dann ist $W := f^{-1}(V) \cap V$ offene Umgebung von $y$.
|
||||
|
|
@ -952,16 +952,16 @@ der folgende Satz:
|
|||
Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein
|
||||
$f \in \Deck(Y/X)$ mit $f(y_0) = y_1$, denn ist
|
||||
$f(y_0) = g(y_0)$, so ist \todo{Was steht hier?}{$(g^{-1} - f) y_0 = y_0$},
|
||||
also nach \ref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$.
|
||||
also nach \cref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
|
||||
\begin{bspenum}
|
||||
\item $p: \mdr \rightarrow S^1: \Deck(\mdr / S^1) = \Set{t \mapsto t + n | n \in \mdz} \cong \mdz$
|
||||
\item $p: \mdr^2 \rightarrow T^2: \Deck(\mdr^2 / T^2) \cong \mdz \times \mdz = \mdz^2$
|
||||
\item $p: S^n \rightarrow \praum^n(\mdr): \Deck(g^n / \praum^n(\mdr)) = \Set{x \mapsto \pm x} \cong \mdz / 2 \mdz$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bspenum}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
Nun werden wir eine Verbindung zwischen der Decktransformationsgruppe
|
||||
|
|
@ -985,8 +985,8 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
$f, g \in \Deck(\tilde{X}/ X) \Rightarrow \gamma_{g \circ f} = \gamma_g * g(\gamma_f)$
|
||||
$\Rightarrow p(\gamma_{g \circ f}) = p(\gamma_g) * \underbrace{(p \circ g)}_{=p} (\gamma_f) = \rho(g) \neq \rho(f)$
|
||||
\item \underline{$\rho$ ist injektiv}: $\rho(f) = e \Rightarrow p (\gamma_f) \sim \gamma_{x_0}$
|
||||
$\xRightarrow{\ref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$
|
||||
$\Rightarrow f(x_0) = \tilde{x_0} \xRightarrow{\ref{kor:12.14c}} f = \id_{\tilde{x}}$.
|
||||
$\xRightarrow{\cref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$
|
||||
$\Rightarrow f(x_0) = \tilde{x_0} \xRightarrow{\text{Bem. }\cref{kor:12.14c}} f = \id_{\tilde{x}}$.
|
||||
\item \underline{$\rho$ ist surjektiv}: Sei $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$,
|
||||
$\tilde{\gamma}$ Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit
|
||||
Anfangspunkt $\tilde{x_0}$. Der Endpunkt von $\tilde{\gamma}$
|
||||
|
|
@ -994,7 +994,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
|
||||
\underline{$p$ ist reguläre Überlagerung}: Seien
|
||||
$\tilde{x_0}, \tilde{x_1} \in \tilde{X}$ mit
|
||||
$p(\tilde{x_0}) = p(\tilde{x_1})$. Nach Satz~\ref{thm:12.11}
|
||||
$p(\tilde{x_0}) = p(\tilde{x_1})$. Nach \cref{thm:12.11}
|
||||
gibt es genau eine Überlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow X$
|
||||
mit $p=p \circ \tilde{p}$ und $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$.
|
||||
Somit ist $\tilde{p}$ eine Decktransformation und damit
|
||||
|
|
@ -1023,9 +1023,9 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
\[(\cos(2 \pi g(0)), \sin(2 \pi g(0))) = (p \circ g)(0) = p(0) = (1,0)\]
|
||||
|
||||
Es existiert $n \in \mdz$ mit $g(0) = n$. Da auch $f_n(0) = 0 + n = n$
|
||||
gilt, folgt mit Folgerung~\ref{kor:12.14c} $g = f_n$. Damit folgt:
|
||||
gilt, folgt mit \cref{kor:12.14c} $g = f_n$. Damit folgt:
|
||||
\[\Deck(\mdr/S^1) = \Set{f_n | n \in \mdz} \cong \mdz\]
|
||||
Nach Satz~\ref{thm:12.15} also $\pi_1(S^1) \cong \Deck(\mdr/S^1) \cong \mdz$
|
||||
Nach \cref{thm:12.15} also $\pi_1(S^1) \cong \Deck(\mdr/S^1) \cong \mdz$
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|)}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1042,10 +1042,10 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
\[ \circ: G \times X \rightarrow X,\;\;\; (g,x) \mapsto g \cdot x,\]
|
||||
|
||||
für die gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theplaindefinition.\roman*]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.1}
|
||||
\item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.2}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
|
|
@ -1068,7 +1068,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
|
||||
$\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $G$ operiert durch Homomorphismen, wenn für jedes $g \in G$
|
||||
die Abbildung
|
||||
\[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \cdot X\]
|
||||
|
|
@ -1076,7 +1076,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
\item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
|
||||
\textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn
|
||||
$\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
|
||||
|
|
@ -1090,9 +1090,9 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
(m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\
|
||||
&= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\
|
||||
&= g^{-1} \circ (g \circ x)\\
|
||||
&\stackrel{\ref{def:gruppenoperation.2}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
|
||||
&\overset{\mathclap{\cref{def:gruppenoperation.2}}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
|
||||
&= 1_G \circ x\\
|
||||
&\stackrel{\ref{def:gruppenoperation.1}}{=} x
|
||||
&\overset{\mathclap{\cref{def:gruppenoperation.1}}}{=} x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1103,13 +1103,13 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
\begin{bemerkung}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
|
||||
Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item Die Gruppenoperation von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
|
||||
den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$
|
||||
\item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei
|
||||
die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
|
||||
$G \rightarrow \Homoo(X)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
|
|
@ -1123,16 +1123,16 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
|
||||
Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$.
|
||||
|
||||
z.~Z. \ref{def:gruppenoperation.2}:
|
||||
z.~Z. \cref{def:gruppenoperation.2}:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
|
||||
&= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
|
||||
&= (\varrho(g_1) \circ \varrho(g_2))(x)\\
|
||||
&\stackrel{\varrho \text {ist Hom.}}{=} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
|
||||
&\overset{\varrho \text {ist Hom.}}{=} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
|
||||
&= (g_1 \cdot g_2) \circ x
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
z.~Z. \ref{def:gruppenoperation.1}:
|
||||
z.~Z. \cref{def:gruppenoperation.1}:
|
||||
$1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ Homomorphismus ist.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1169,7 +1169,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
|
|||
\textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5
|
||||
Die Konstruktion aus \cref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
|
||||
$\pi_1(X, x_0)$ aus \cref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
|
||||
$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
|
||||
$\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach \cref{thm:12.15}
|
||||
ist \begin{align*}\varrho(\pi_1(X, x_0)) &= \Deck(\tilde{X} / X)\\
|
||||
&= \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -11,10 +11,10 @@
|
|||
Winkel.
|
||||
|
||||
Zeigen Sie:
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||
\begin{aufgabeenum}
|
||||
\item Die beiden Nebenwinkel von $\angle PQR$ sind gleich.
|
||||
\item Der Winkel $\angle PQR$ ist gleich seinem Scheitelwinkel.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabeenum}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}\label{ub11:aufg3}
|
||||
|
|
@ -23,7 +23,7 @@
|
|||
definiert durch $d(P, Y) := \inf{d(P, y) | y \in Y}$.
|
||||
|
||||
Zeigen Sie:
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*),ref=\theenumi{} (\alph*)]
|
||||
\begin{aufgabeenum}
|
||||
\item Ist $\triangle ABC$ ein Dreieck, in dem die Seiten
|
||||
$\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ kongruent sind, so
|
||||
sind die Winkel $\angle ABC$ und $\angle BCA$ gleich.
|
||||
|
|
@ -35,7 +35,7 @@
|
|||
$g$ im rechten Winkel schneidet. Diese Grade heißt
|
||||
\textit{Lot}\xindex{Lot} von $P$ auf $g$ und der
|
||||
Schnittpunkt des Lots mit $g$ heißt \textit{Lotfußpunkt}\xindex{Lotfußpunkt}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabeenum}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}\label{ub-tut-24:a1}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -71,7 +71,7 @@ aufgestellt.
|
|||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear},
|
||||
wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
|
||||
\item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
|
||||
|
|
@ -80,7 +80,7 @@ aufgestellt.
|
|||
\item \textbf{Halbgeraden}\xindex{Halbgerade}:\\
|
||||
$PR^+ := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q}$\\
|
||||
$PR^- := \Set{Q \in X | P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R}$\\
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
|
|
@ -91,10 +91,10 @@ aufgestellt.
|
|||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item $PR^+ \cup PR^- = PR$
|
||||
\item $PR^+ \cap PR^- = \Set{P}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
|
|
@ -266,12 +266,12 @@ schneiden sich.
|
|||
\item $B$ liegt zwischen $P$ und $C$.
|
||||
|
||||
$d(P,A) + d(A, C) > d(P,C) = d(P,B) + d(B,c) = d(P,A) + d(B,C)$
|
||||
$\Rightarrow d(A,c) > d(B,C) \Rightarrow$ Widerspruch zu \ref{enum:komischer-beweis-i}
|
||||
$\Rightarrow d(A,c) > d(B,C) \Rightarrow$ Widerspruch zu \cref{enum:komischer-beweis-i}
|
||||
\item $C$ liegt zwischen $P$ und $B$
|
||||
|
||||
$d(P,C) + d(C,A) > d(P,A) = d(P,B) = d(P,C) + d(C, B)$\\
|
||||
$\Rightarrow d(C, A) > d(C, B)$\\
|
||||
$\Rightarrow$ Widerspruch zu \ref{enum:komischer-beweis-i}
|
||||
$\Rightarrow$ Widerspruch zu \cref{enum:komischer-beweis-i}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
|
@ -438,7 +438,7 @@ schneiden sich.
|
|||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\label{def:14.8}%In Vorlesung: 14.8
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\alph*]
|
||||
\begin{defenum}
|
||||
\item \label{def:14.8a} Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$
|
||||
zusammen mit $2$ Halbgeraden mit Anfangspunkt $P$.\\
|
||||
Man schreibt: $\angle R_1 P R_2$ bzw. $\angle R_2 P R_1$\footnote{Für dieses Skript gilt: $\angle R_1 P R_2 = \angle R_2 P R_1$. Also sind insbesondere alle Winkel $ \leq 180^\circ$.}
|
||||
|
|
@ -452,7 +452,7 @@ schneiden sich.
|
|||
bzgl. $PR_2$ wie $R_1$
|
||||
\item \label{def:14.8d} Im Dreieck $\triangle PQR$ gibt es Innenwinkel und
|
||||
Außenwinkel.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defenum}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
|
|
@ -580,7 +580,7 @@ Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
|
|||
gleich $\pi$.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/triangle-2.tex}
|
||||
\caption{Situation aus \cref{bem:14.12}}
|
||||
|
|
@ -604,10 +604,10 @@ Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
|
|||
In ähnlichen Dreiecken sind Verhältnisse entsprechender Seiten gleich.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/todo.tex}
|
||||
\caption{Bild 2}
|
||||
\input{figures/hyberbolische-geometrie-2.tex}
|
||||
\caption{Strahlensatz}
|
||||
\label{fig:bild-2}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
|
@ -615,7 +615,7 @@ Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
|
|||
TODO
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/triangle-similar.tex}
|
||||
\caption{Die Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle AB'C'$ sind ähnlich.}
|
||||
|
|
@ -645,7 +645,7 @@ Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
|
|||
|
||||
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist $\nicefrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$.
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/todo.tex}
|
||||
\caption{Flächenberechnung im Dreiecks}
|
||||
|
|
@ -654,7 +654,7 @@ Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist $\nicefrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \
|
|||
|
||||
\underline{Zu zeigen:} Unabhängigkeit von der gewählten Grundseite.
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\begin{figure}[htp]
|
||||
\centering
|
||||
\input{figures/triangle-3.tex}
|
||||
\caption{$\triangle ABL_a$ und $\triangle C{L_C}B$ sind ähnlich, weil $\IWS = \pi$}
|
||||
|
|
@ -774,15 +774,15 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|||
|
||||
\begin{bemerkung}[Eigenschaften der hyperbolischen Geraden]
|
||||
Die hyperbolischen Geraden erfüllen\dots
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{bemenum}
|
||||
\item \dots die Inzidenzaxiome \ref{axiom:1}
|
||||
\item \dots das Anordnungsaxiom \ref{axiom:3.2}
|
||||
\item \dots nicht das Parallelenaxiom \ref{axiom:5}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bemenum}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*), ref=\theproposition (\alph*)]
|
||||
\item Offensichtlich sind \ref{axiom:1.3} und \ref{axiom:1.2}
|
||||
erfüllt. Für \ref{axiom:1.1} gilt:\\
|
||||
Gegeben $z_1, z_2 \in \mdh$\\
|
||||
|
|
@ -815,7 +815,7 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}%In Vorlesung: Proposition 15.2
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
||||
\begin{propenum}
|
||||
\item Die Gruppe $\SL_2(\mdr)$ operiert auf $\mdh$ durch
|
||||
\[\sigma(z):= \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} \circ z := \frac{az + b}{cz + d}\]
|
||||
\item Es ist $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
|
||||
|
|
@ -831,8 +831,8 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|||
\begin{pmatrix}1 & a\\ 0 & 1\end{pmatrix}, a \in \mdr\;\;\;
|
||||
\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}\]
|
||||
erzeugt
|
||||
\item $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item \label{prop:15.2e} $\PSL_2(\mdr)$ operiert auf $G$
|
||||
\end{propenum}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{beweis}\leavevmode
|
||||
|
|
@ -862,7 +862,9 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|||
\item Es genügt die Aussage für Matrizen aus \cref{prop:15.2d}
|
||||
zu zeigen.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\sigma = \begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = \lambda^2 z$
|
||||
\item $\sigma = \begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = \lambda^2 z$.
|
||||
Daraus ergeben sich die Situationen, die in \cref{fig:prop15.2.e.fall1.1} und
|
||||
\cref{fig:prop15.2.e.fall1.2} dargestellt sind.
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\subfloat[Fall 1]{
|
||||
|
|
@ -871,10 +873,10 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
|
|||
}%
|
||||
\subfloat[Fall 2 (Strahlensatz)]{
|
||||
\resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/hyberbolische-geometrie-2.tex}}
|
||||
\label{fig:prop15.2.e.fall1.1}
|
||||
\label{fig:prop15.2.e.fall1.2}
|
||||
}%
|
||||
\label{fig:prop15.2.e.fall1.0}
|
||||
\caption{TODO}
|
||||
\caption{Beweis von \cref{prop:15.2e} für eine Diagonalmatrix}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\item Offensichtlich gilt die Aussage für $\sigma = \begin{pmatrix}1 & a\\0 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
\item Sei nun $\sigma = \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}$, also $\sigma(z) = - \frac{1}{z}$
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -71,7 +71,7 @@
|
|||
\begin{beweis}
|
||||
Nach Definition der Produkttopologie bilden Mengen
|
||||
der Form
|
||||
\[\prod_{i \in J} U_j \times \prod_{\stackrel{i \in \mdn}{i \notin J}} P_i, \text{ wobei } J \subseteq \mdn \text{ endlich und } U_j \subseteq P_j \text{offen } \forall{j \in J}\]
|
||||
\[\prod_{i \in J} U_j \times \prod_{\overset{i \in \mdn}{i \notin J}} P_i, \text{ wobei } J \subseteq \mdn \text{ endlich und } U_j \subseteq P_j \text{offen } \forall{j \in J}\]
|
||||
eine Basis der Topologie. Damit sind die offenen
|
||||
Mengen von $P$ Vereinigungen von Mengen der obigen
|
||||
Form. $\qed$
|
||||
|
|
@ -102,12 +102,12 @@
|
|||
\textbf{Bew.:} $\det: \GL_n(\mdr) \rightarrow \mdr \setminus \Set{0}$
|
||||
ist stetig. Außerdem ist
|
||||
$\det(\GL_n(\mdr)) = \mdr \setminus \Set{0}$ nicht
|
||||
kompakt. $\stackrel{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$
|
||||
kompakt. $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$
|
||||
$\GL_n(\mdr)$ ist nicht kompakt. $\qed$
|
||||
\item \textbf{Beh.:} $\SL_1(\mdr)$ ist nicht kompakt, für $n > 1$ ist $\SL_n(\mdr)$ kompakt.\\
|
||||
\textbf{Bew.:} Für $\SL_1(\mdr)$ gilt:
|
||||
$\SL_1(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{1 \times 1} | \det A = 1} = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix} \cong \Set{1}$.
|
||||
$\stackrel{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow} \SL_1(\mdr)$ ist
|
||||
$\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow} \SL_1(\mdr)$ ist
|
||||
kompakt.\\
|
||||
|
||||
$\SL_n(\mdr) \subseteq \GL_n(\mdr)$ lässt sich mit einer
|
||||
|
|
@ -120,7 +120,7 @@
|
|||
\textbf{Bew.:} $\praum(\mdr) \cong S^n/_{x \sim -x}$.
|
||||
Per Definition der Quotiententopologie ist die Klassenabbildung stetig.
|
||||
Da $S^n$ als abgeschlossene und beschränkte Teilmenge
|
||||
des $\mdr^{n+1}$ kompakt ist $\stackrel{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$
|
||||
des $\mdr^{n+1}$ kompakt ist $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$
|
||||
$\praum(\mdr)$ ist kompakt. $\qed$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -49,6 +49,8 @@ Was noch kommen soll
|
|||
====================
|
||||
|
||||
1. Alle `TODOS` auflösen
|
||||
* "Punkt" suchen
|
||||
* Checken, ob alle Seitenumbrüche / Bildgrößen stimmen
|
||||
2. Reviews (Mathematik, LaTeX und Bilder)
|
||||
3. A5-Version drucken
|
||||
* In `GeoTopo.tex`...
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -42,9 +42,7 @@
|
|||
\newframedtheorem{proposition}[satz]{Proposition}
|
||||
\newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
|
||||
\newtheorem{folgerung}[satz]{Folgerung}
|
||||
\newtheorem{plaindefinition}{Definition}
|
||||
\newenvironment{definition}{\begin{plaindefinition}}{\end{plaindefinition}}
|
||||
\newenvironment{definition*}{\begin{plaindefinition*}}{\end{plaindefinition*}}
|
||||
\newtheorem{definition}{Definition}
|
||||
\newtheorem{beispiel}{Beispiel}
|
||||
\newtheorem{bemerkung}{Bemerkung}
|
||||
\theoremstyle{nonumberplain}
|
||||
|
|
@ -64,6 +62,7 @@
|
|||
\def\mdq{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
|
||||
\def\mdz{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
|
||||
\def\mdn{\ensuremath{\mathbb{N}}}
|
||||
\def\mdh{\ensuremath{\mathbb{H}}}
|
||||
\def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
|
||||
|
||||
\def\atlas{\ensuremath{\mathcal{A}}}
|
||||
|
|
@ -71,6 +70,7 @@
|
|||
|
||||
\def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}}
|
||||
\def\SL{\ensuremath{\mathrm{SL}}}
|
||||
\def\PSL{\ensuremath{\mathrm{PSL}}}
|
||||
\newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}}
|
||||
\newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}}
|
||||
\newcommand{\id}{\textnormal{id}}
|
||||
|
|
@ -84,6 +84,9 @@
|
|||
\DeclareMathOperator{\Diffeo}{Diffeo}
|
||||
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
|
||||
\DeclareMathOperator{\IWS}{IWS}
|
||||
\newcommand{\iu}{{i\mkern1mu}} % imaginary unit
|
||||
%\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
|
||||
%\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
|
||||
|
||||
%%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace}
|
||||
|
|
@ -99,7 +102,6 @@
|
|||
\crefname{korollar}{Korollar}{Korollare}
|
||||
\crefname{folgerung}{Folgerung}{Folgerungen}
|
||||
\crefname{definition}{Definition}{Definitionen}
|
||||
\crefname{plaindefinition}{Definition}{Definitionen}
|
||||
\crefname{behauptung}{Behauptung}{Behauptungen}
|
||||
\crefname{beispiel}{Beispiel}{Beispiele}
|
||||
\crefname{aufgabe}{Aufgabe}{Aufgaben}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -42,9 +42,7 @@
|
|||
\newframedtheorem{proposition}[satz]{Proposition}
|
||||
\newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
|
||||
\newtheorem{folgerung}[satz]{Folgerung}
|
||||
\newtheorem{plaindefinition}{Definition}
|
||||
\newenvironment{definition}{\begin{plaindefinition}}{\end{plaindefinition}}
|
||||
\newenvironment{definition*}{\begin{plaindefinition*}}{\end{plaindefinition*}}
|
||||
\newtheorem{definition}{Definition}
|
||||
\newtheorem{beispiel}{Beispiel}
|
||||
\newtheorem{bemerkung}{Bemerkung}
|
||||
\theoremstyle{nonumberplain}
|
||||
|
|
@ -104,10 +102,29 @@
|
|||
\crefname{korollar}{Korollar}{Korollare}
|
||||
\crefname{folgerung}{Folgerung}{Folgerungen}
|
||||
\crefname{definition}{Definition}{Definitionen}
|
||||
\crefname{plaindefinition}{Definition}{Definitionen}
|
||||
\crefname{behauptung}{Behauptung}{Behauptungen}
|
||||
\crefname{beispiel}{Beispiel}{Beispiele}
|
||||
\crefname{aufgabe}{Aufgabe}{Aufgaben}
|
||||
\crefname{bemerkung}{Bemerkung}{Bemerkungen}
|
||||
%\let\OldAngle\angle
|
||||
%\let\angle\sphericalangle
|
||||
|
||||
\newlist{defenum}{enumerate}{1}
|
||||
\setlist[defenum]{label=\alph*),ref=\textup{\thedefinition.\alph*}}
|
||||
\crefalias{defenumi}{definition}
|
||||
|
||||
\newlist{bemenum}{enumerate}{1}
|
||||
\setlist[bemenum]{label=\alph*),ref=\textup{\thebemerkung.\alph*}}
|
||||
\crefalias{bemenumi}{bemerkung}
|
||||
|
||||
\newlist{bspenum}{enumerate}{1}
|
||||
\setlist[bspenum]{label=\arabic*),ref=\textup{\thebeispiel.\arabic*}}
|
||||
\crefalias{bspenumi}{beispiel}
|
||||
|
||||
\newlist{propenum}{enumerate}{1}
|
||||
\setlist[propenum]{label=\alph*), ref=\textup{\theproposition~(\alph*)}}
|
||||
\crefalias{propenumi}{proposition}
|
||||
|
||||
\newlist{aufgabeenum}{enumerate}{1}
|
||||
\setlist[aufgabeenum]{label=(\alph*),ref=\textup{\theaufgabe~(\alph*)}}
|
||||
\crefalias{aufgabeenumi}{aufgabe}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Add table
Add a link
Reference in a new issue