diff --git a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex index 665acbe..c15b6b0 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe3.tex @@ -11,6 +11,7 @@ Damit ergibt sich: \begin{align} p(x) &= x^3 + 2x^2 - 5x + 1 \end{align} +Anmerkung: Es ist in der Klausur allerdings nicht notwendig die Monomdarstellung zu berechnen außer es wird explizit verlangt. (Das spart viel Zeit) % Anmerkung hinzugefügt von Felix Benz-Baldas \subsection*{Teilaufgabe b)} Zunächst die dividierten Differenzen berechnen: diff --git a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex index 4a0b5d8..07f804e 100644 --- a/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex +++ b/documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex @@ -30,11 +30,12 @@ Als erstes ist festzustellen, dass es sich hier um die Simpsonregel handelt und \end{align} ist. Wenn diese nun auf $N$ Intervalle aufgepflittet wird gilt folgendes: - \begin{align} - \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= (b-a) \cdot \frac{1}{6} \cdot \left [ f(a) + f(b) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{N-1} f(i \cdot \frac{1}{N}) + 4 \cdot \sum_{i=1}^N f(i \cdot \frac{1}{2N})\right ] + h &= \frac{(b-a)}{N} \\ + \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= h \cdot \frac{1}{6} \cdot \left [ f(a) + f(b) + 2 \cdot \sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h) + 4 \cdot \sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)\right ] \end{align} +<<<<<<< HEAD $\sum_{i=1}^{N-1} f(i \cdot \frac{1}{N})$ sind die Grenzknoten der Intervalle (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es insgesamt $s-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$ @@ -47,6 +48,15 @@ mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $s-1$ Stück. \centering \includegraphics*[width=\linewidth, keepaspectratio]{aufgabe4-b.png} \end{figure} +======= +$\sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h)$ steht für die Grenzknoten + (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es +insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$ +nur einmal in die Berechnung mit einfließen. + +$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen +mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $N$ Stück. +>>>>>>> f4422549d96c4826905bce10e7379dca20b9b4b7 \subsection*{Teilaufgabe c)} TODO diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe1.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe1.tex new file mode 100644 index 0000000..6567bbb --- /dev/null +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe1.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +\section*{Aufgabe 1} +\subsection*{Teilaufgabe a)} + +Erste Spalte: +\begin{align} + l_{11} &= \sqrt{a_{11}} \\ + l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}}\\ + l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}}\\ +\end{align} +Zweite Spalte: +\begin{align} + l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2}\\ + l_{32} &= (a_{32} -l_{21} \cdot l_{31}) \div l_{22} \\ +\end{align} +Dritte Spalte: +\begin{align} + l_{33} &= \sqrt{a_{33}-{l_{32}^2}-{l_{31}}^2} +\end{align} + +\subsection*{Teilaufgabe b)} +\begin{align} + l_{11} &= 2 \\ + l_{21} &= 1 \\ + l_{31} &= -2 \\ + l_{22} &= 3 \\ + l_{32} &= 1 \\ + l_{33} &= 1 \\ +\end{align} +Die restlichen Einträge sind $0$. ($L$ ist immer eine untere Dreiecksmatrix) + +\subsection*{Teilaufgabe c)} + +\begin{align} + A \cdot x = b \Leftrightarrow L \cdot L^T \cdot x = b \\ + L \cdot c = b \label{a1} +\end{align} +Löse \ref{a1} mit Vorwärtssubstitution. +\begin{align} + L^T \cdot x = c \label{a2} +\end{align} +Löse \ref{a2} mit Rückwärtssubstitution. +\begin{align} + x_3 &= 3 \\ + x_2 &= 1 \\ + x_1 &= 2 +\end{align} diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex new file mode 100644 index 0000000..d009648 --- /dev/null +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe2.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\section*{Aufgabe 2} +\subsection*{Teilaufgabe a)} +\begin{align} + r_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot r_{kj} \\ + l_{ij} = \frac{a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot r_{kj}}{r_{jj}} +\end{align} + + +\begin{algorithm} + \begin{algorithmic} + \For{$d \in \Set{1, \dots n}$} + \State berechne d-te Zeile von R + \State berechne d-te Spalte von L + \EndFor + \end{algorithmic} +\end{algorithm} + diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.pdf b/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.pdf new file mode 100644 index 0000000..c5febcd Binary files /dev/null and b/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.pdf differ diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex b/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex new file mode 100644 index 0000000..5750878 --- /dev/null +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +\documentclass[a4paper]{scrartcl} +\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math +\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts +\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts +\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf +\usepackage{pdfpages} % Signatureinbingung und includepdf +\usepackage{geometry} % [margin=2.5cm]layout +\usepackage[pdftex]{hyperref} % links im text +\usepackage{color} +\usepackage{framed} +\usepackage{enumerate} % for advanced numbering of lists +\usepackage{marvosym} % checkedbox +\usepackage{wasysym} +\usepackage{braket} % for \Set{} +\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont +\usepackage{gauss} +\usepackage{algorithm,algpseudocode} +\usepackage{parskip} +\usepackage{lastpage} +\allowdisplaybreaks + +\newcommand{\cmark}{\ding{51}}% +\newcommand{\xmark}{\ding{55}}% + +\title{Numerik Klausur 3 - Musterlösung} +\makeatletter +\makeatother + +\usepackage{fancyhdr} +\fancyfoot[C]{} + +\begin{document} + \include{Aufgabe1} + \include{Aufgabe2} + \include{Aufgabe3} + \include{Aufgabe4} + \include{Aufgabe5} +\end{document} diff --git a/documents/Numerik/Klausur3/Makefile b/documents/Numerik/Klausur3/Makefile new file mode 100644 index 0000000..cecc116 --- /dev/null +++ b/documents/Numerik/Klausur3/Makefile @@ -0,0 +1,8 @@ +SOURCE = Klausur3 +make: + pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf + pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf + make clean + +clean: + rm -rf $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg