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documents/Warteschlangen: Use non-cursive font for d in dx, du, dt

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Martin Thoma 2015-09-27 19:06:23 +02:00
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@ -223,7 +223,7 @@ Die Anfangsbedingung ergibt sich aus der Forderung, daß das System zur Zeit $0$
negativ sein darf. negativ sein darf.
Man kann sehr leicht die Lösung der Gleichung ohne Randbedingung finden, indem man die Laplace-Transformation anwendet: Man kann sehr leicht die Lösung der Gleichung ohne Randbedingung finden, indem man die Laplace-Transformation anwendet:
\[G(z,u)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-xz}F(x,u)dx ~.\] \[G(z,u)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-xz}F(x,u)\diff x ~.\]
Wir erhalten nach einigen partiellen Integrationen: Wir erhalten nach einigen partiellen Integrationen:
\[G_{u}(z,u) = (\mu-\lambda)zG(z,u)+\frac{1}{2}\lambda^{2}z^{2}G(z,u) ~, \] \[G_{u}(z,u) = (\mu-\lambda)zG(z,u)+\frac{1}{2}\lambda^{2}z^{2}G(z,u) ~, \]
also also
@ -282,7 +282,7 @@ Wir betrachten die Jobs, die schon zwischen $u$ und $u+\Delta u$ Sekunden gerech
Rechenzeit $\geq u$ ist. Die Ankunftsrate in dieser Schlange ist also $\lambda(1-B(u))$.\\ Rechenzeit $\geq u$ ist. Die Ankunftsrate in dieser Schlange ist also $\lambda(1-B(u))$.\\
Die mittlere Aufenthaltsdauer ist $T(u+\Delta u) - T(u)$, und die mittlere Anzahl von Jobs in dieser Schlange ist $\approx n(u)\Delta u$. \\ Die mittlere Aufenthaltsdauer ist $T(u+\Delta u) - T(u)$, und die mittlere Anzahl von Jobs in dieser Schlange ist $\approx n(u)\Delta u$. \\
Mithilfe des Satzes von Little ergibt sich die Beziehung Mithilfe des Satzes von Little ergibt sich die Beziehung
\[n(u)=\lambda (1-B(u))\frac{dT(u)}{du} ~. \] \[n(u)=\lambda (1-B(u))\frac{\diff T(u)}{\diff u} ~. \]
Wir betrachten die folgende Strategien: Wir betrachten die folgende Strategien:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item {\bf FCFS} (\enquote{Batch}) \item {\bf FCFS} (\enquote{Batch})
@ -306,7 +306,7 @@ also
\[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \] \[T(u)=\frac{u}{1-\rho} ~. \]
Wir haben also ein \enquote{gerechtes} Verfahren gefunden. Wir haben also ein \enquote{gerechtes} Verfahren gefunden.
\item Wenn sich $N$ Programme im System befinden, bekommt ein bestimmtes Programm $\frac{1}{N}$ der gesamten Rechenzeit. \\ \item Wenn sich $N$ Programme im System befinden, bekommt ein bestimmtes Programm $\frac{1}{N}$ der gesamten Rechenzeit. \\
Daher ist $dT(u) = Ndu$. Da nur gerechnet wird, wenn das System nicht leer ist, ergibt sich: Daher ist $\diff T(u) = N \diff u$. Da nur gerechnet wird, wenn das System nicht leer ist, ergibt sich:
\[ T(u)=u\E(N \mid N \not= 0)=Cu, \] \[ T(u)=u\E(N \mid N \not= 0)=Cu, \]
also wieder ein \enquote{gerechtes} System. Um $C$ zu bestimmen, betrachten wir den Fall $u \rightarrow \infty$. Wenn $u$ groß ist, werden die meisten Jobs, die während also wieder ein \enquote{gerechtes} System. Um $C$ zu bestimmen, betrachten wir den Fall $u \rightarrow \infty$. Wenn $u$ groß ist, werden die meisten Jobs, die während
$T(u)$ ankommen, auch noch während $T(u)$ das System verlassen. Für großes $u$ ist also das Verhalten ähnlich wie im vorigen Fall, und wir erhalten wieder $T(u)$ ankommen, auch noch während $T(u)$ das System verlassen. Für großes $u$ ist also das Verhalten ähnlich wie im vorigen Fall, und wir erhalten wieder
@ -461,11 +461,11 @@ p_{n} = \frac{1}{n!} P^{*^{n}} (0) ~.
\item Die Laplace - Transformierte: Falls $f(x)$, $x \geq 0$ eine \item Die Laplace - Transformierte: Falls $f(x)$, $x \geq 0$ eine
Dichtefunktion ist, d.h. Dichtefunktion ist, d.h.
\begin{displaymath} \begin{displaymath}
f \geq 0 \qquad \mbox{und} \qquad \int_{0}^{\infty} f(x)dx = 1 ~, f \geq 0 \qquad \mbox{und} \qquad \int_{0}^{\infty} f(x)\diff x = 1 ~,
\end{displaymath} \end{displaymath}
heißt heißt
\begin{displaymath} \begin{displaymath}
\hat F(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-xt} f(x)dx \hat F(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-xt} f(x) \diff x
\end{displaymath} \end{displaymath}
die \index{Laplace - Transformierte}Laplace - Transformierte von $f$. Dieses Integral ist für $t \geq 0$ die \index{Laplace - Transformierte}Laplace - Transformierte von $f$. Dieses Integral ist für $t \geq 0$
endlich, und es gibt auch hier eine eindeutige Beziehung zwischen $\hat F$ endlich, und es gibt auch hier eine eindeutige Beziehung zwischen $\hat F$

BIN
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documents/Warteschlangen/warteschlangen.tex
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@ -30,6 +30,9 @@ Karl Grill\thanks{ copyright\copyright 1999 by Karl Grill
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\usepackage{microtype} \usepackage{microtype}
\newcommand*\diff{\mathop{}\!\mathrm{d}} % see http://tex.stackexchange.com/a/60546/5645
\newcommand*\Diff[1]{\mathop{}\!\mathrm{d^#1}}
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\title{Warteschlangentheorie} \title{Warteschlangentheorie}
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