From 40aac8b02ab79c351e12d2d72d22a3e962525c35 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Martin Thoma Date: Mon, 15 Oct 2012 06:29:27 +0200 Subject: [PATCH] added Analysis III from mitschriebwiki.nomeata.de --- documents/Analysis III/Ana3Bachelor.tex | 4336 +++++++++++++++++++ documents/Analysis III/Makefile | 9 + documents/Analysis III/ana.sty | 2 + documents/Analysis III/latexki.sty | 7 + documents/Analysis III/mathe.sty | 137 + documents/Analysis III/saetze-schmoeger.sty | 54 + 6 files changed, 4545 insertions(+) create mode 100644 documents/Analysis III/Ana3Bachelor.tex create mode 100644 documents/Analysis III/Makefile create mode 100644 documents/Analysis III/ana.sty create mode 100644 documents/Analysis III/latexki.sty create mode 100644 documents/Analysis III/mathe.sty create mode 100644 documents/Analysis III/saetze-schmoeger.sty diff --git a/documents/Analysis III/Ana3Bachelor.tex b/documents/Analysis III/Ana3Bachelor.tex new file mode 100644 index 0000000..1c0b13f --- /dev/null +++ b/documents/Analysis III/Ana3Bachelor.tex @@ -0,0 +1,4336 @@ +% Original Source: http://mitschriebwiki.nomeata.de/data/WS10/Ana3Bachelor.tex +\documentclass[a4paper,twoside,DIV15,BCOR12mm,chapterprefix=true,headings=onelinechapter]{scrbook} +\usepackage{ana} + +\lecturer{Dr. C. Schmoeger} +\semester{Wintersemeseter 10/11} +\scriptstate{complete} + +\author{Die Mitarbeiter von \url{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}} +\title{Analysis III - Bachelorversion} +\makeindex + +\begin{document} +\maketitle + +\renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}} +%\chapter{Inhaltsverzeichnis} +\addcontentsline{toc}{chapter}{Inhaltsverzeichnis} +\tableofcontents + +\chapter{Vorwort} + +\section{Über dieses Skriptum} +Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von Herrn Schmoeger im +Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe (KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher Genehmigung +von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht +verantwortlich. + +\section{Wer} +Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt an diesem Mitschrieb sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Jan Ihrens, Peter Pan und Benjamin Unger. + +\section{Wo} +Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter \url{http://mitschriebwiki.nomeata.de} abgerufen werden. +Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die \LaTeX-Funktionen erweitert. +Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung +beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion} möglich. + + +\renewcommand{\thechapter}{\arabic{chapter}} +\renewcommand{\chaptername}{§} +\renewcommand*{\chapterformat}{§\,\thechapter \enskip} +\setcounter{chapter}{-1} + +\chapter{Vorbereitungen} +\label{Kapitel 0} + +In diesem Paragraphen seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\varnothing$) und $f:X\to Y, g:Y\to Z$ Abbildungen. +\begin{enumerate} +\index{Potenzmenge} +\index{Disjunktheit} +\item +\begin{enumerate} +\item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt \textbf{Potenzmenge} von $X$. +\item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$ \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\varnothing$ für $A,B\in\fm$ mit $A\ne B$. +\item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also $A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $\{A_1,A_2,\ldots\}$ disjunkt ist. In diesem Fall schreibe: $\dot{\bigcup}_{j=1}^\infty:=\bigcup_{j=1}^\infty A_j$\\ +Allgemein sei $\bigcup_{j=1}^\infty A_j:=\bigcup A_j$ und $\bigcap_{j=1}^\infty A_j:=\bigcap A_j$. +\end{enumerate} +\item Sei $A\subseteq X$, für $x\in X$ definiere +\[\mathds{1}_A(x):=\begin{cases}1, x\in A\\ 0, x\in A^c\end{cases}\] +wobei $A^c:=X\setminus A$. +\item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$ und es gelten folgende Eigenschaften: +\begin{enumerate} +\item $f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c$ +\item Ist $B_j$ eine Folge in $\mathcal{P}(Y)$, so gilt: +\begin{align*} +f^{-1}(\bigcup B_j)=\bigcup f^{-1}(B_j)\\ +f^{-1}(\bigcap B_j)=\bigcap f^{-1}(B_j)\\ +\end{align*} +\item Ist $C\subseteq Z$, so gilt: +\[(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\] +\end{enumerate} +\item $\sum_{j=1}^\infty a_j =: \sum a_j$ +\end{enumerate} + +\chapter{$\sigma$-Algebren und Maße} +\label{Kapitel 1} + +In diesem Paragraphen sei $\varnothing\ne X$ eine Menge. + +\begin{definition} +\index{$\sigma$-!Algebra} +Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine \textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt: +\begin{enumerate} +\item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$ +\item[($\sigma_2$)] Ist $A\in\fa$, so ist auch $A^c\in\fa$. +\item[($\sigma_3$)] Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist $\bigcup A_j\in\fa$. +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{beispiel} +\begin{enumerate} +\item $\{X,\varnothing\}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind $\sigma$-Algebren auf $X$. +\item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\{X,\varnothing, A, A^c\}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. +\item $\fa:=\{A\subseteq X: A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar$\}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$. +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\begin{lemma} +\label{Lemma 1.1} +Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann: +\begin{enumerate} +\item $\varnothing\in\fa$ +\item Ist $(A_j)$ eine Folge in $\fa$, so ist $\bigcap A_j\in\fa$. +\item Sind $A_1,\ldots,A_n\in\fa$, so gilt: +\begin{enumerate} +\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ +\item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$ +\item $A_1\setminus A_2\in\fa$ +\end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item $\varnothing=X^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$)). +\item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch $D=(D^c)^c\in\fa$. +\item \begin{enumerate} +\item $A_1\cup\cdots\cup A_n\in\fa$ folgt aus ($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\varnothing$ ($j\ge 1$). +\item $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\fa$ folgt aus (2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1$). +\item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$ +\end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{lemma} +\label{Lemma 1.2} +Sei $\varnothing\ne\cf$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. Dann ist +\[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\] +eine $\sigma$-Algebra auf $X$. +\end{lemma} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item[($\sigma_1$)] $\forall\fa\in\cf:X\in\fa\implies X\in\fa_0$. +\item[($\sigma_2$)] Sei $A\in\fa_0$, dann gilt: +\begin{align*} +\forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\ +&\implies A^c\in\fa_0 +\end{align*} +\item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt: +\begin{align*} +\forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0 +\end{align*} +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{definition} +\index{Erzeuger} +Sei $\varnothing\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$ und $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere +\[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\] +Dann ist wegen 1.2 $\sigma(\mathcal{E})$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}. $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von $\sigma(\mathcal{E})$. +\end{definition} + +\begin{lemma} +\label{Lemma 1.3} +Sei $\varnothing\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$. +\begin{enumerate} +\item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$. $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "kleinste" $\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält. +\item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$. +\item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$. +\end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Klar nach Definition. +\item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt $\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$. +\item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$, also folgt nach Definition $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{beispiel} +\begin{enumerate} +\item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist $\sigma(\mathcal{E})=\{X,\varnothing,A,A^c\}$. +\item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$. Dann gilt: +\[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\varnothing, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\] +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\begin{erinnerung} +\index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit} +Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt \textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit $A=X\cap G$.\\ +Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in $X$. +\end{erinnerung} + +\begin{definition} +\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{$\sigma$-!Algebra, Borelsche} +\index{Borel!Mengen} +Sei $X\subseteq\mdr^d$. +\begin{enumerate} +\item $\mathcal{O}(X):=\{A\subseteq X:A$ ist offen in $X\}$ +\item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt \textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$. +\item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen \textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}. +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{beispiel} +\begin{enumerate} +\item Sei $X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ offen (abgeschlossen) in $X$, so ist $A\in\fb(X)$. +\item Ist $A\subseteq\mdr^d$ offen (abgeschlossen) so ist $A\in\fb_d$. +\item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also $\mdq=\{r_1,r_2,\ldots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$). Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$, dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\ +Allgemeiner lässt sich zeigen: $\mdq^d:=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\ldots,n)\}\in\fb_d$. +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\begin{definition} +\index{Intervall} +\index{Halbraum} +\begin{enumerate} +\item Seien $I_1,\ldots,I_d$ Intervalle in $\mdr$. $I_1\times\cdots\times I_d$ heißt ein \textbf{Intervall} in $\mdr^d$. +\item Seien $a=(a_1,\ldots,a_d), b=(b_1,\ldots,b_d)\in\mdr^d$. +\[a\le b:\iff a_j\le b_j\quad (j=1,\ldots,d)\] +\item Seien $a,b\in\mdr^d$ und $a\le b$. +\begin{align*} +(a,b)&:=(a_1,b_1)\times\cdots\times(a_d,b_d)\\ +(a,b]&:=(a_1,b_1]\times\cdots\times(a_d,b_d]\\ +[a,b)&:=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_d,b_d)\\ +[a,b]&:=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_d,b_d] +\end{align*} +mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\varnothing$, falls $a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,d\}$. +\item Für $k\in\{1,\ldots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die folgenden \textbf{Halbräume}: +\begin{align*} +H_k^-(\alpha):=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha\}\\ +H_k^+(\alpha):=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mdr^d:x_k\ge\alpha\} +\end{align*} +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{satz}[Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra auf $\mdr^d$] +\label{Satz 1.4} +Es seien $\ce_1,\ce_2,\ce_3$ wie folgt definiert: +\begin{align*} +\ce_1&:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b\}\\ +\ce_2&:=\{(a,b]:a,b\in\mdq^d, a\le b\}\\ +\ce_3&:=\{H^-_k(\alpha):\alpha\in\mdq, k=1,\ldots,d\} +\end{align*} +Dann gilt: +\[\fb_d=\sigma(\ce_1)=\sigma(\ce_2)=\sigma(\ce_3)\] +Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen. +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Sei $G\in\co(\mdr^d), \fm:=\{(a,b):a,b\in\mdq^d,a\le b, (a,b)\subseteq G\}$. Dann ist $\fm$ abzählbar und $G=\bigcup_{I\in\fm}I$. also gilt: +\[G\in\sigma(\ce_1)\implies \fb_d=\sigma(\co(\mdr^d))\subseteq\sigma(\ce_1)\] +\item Sei $(a,b)\in\ce_1$.\\ +\textbf{Fall 1:} $(a,b)=\varnothing\in\ce_2\subseteq\sigma(\ce_2)$\\ +\textbf{Fall 2:} $(a,b)\ne\varnothing, a=(a_1\ldots,a_d), b=(b_1\ldots,b_d)$. Dann gilt für alle $j\in\{1,\ldots,d\}:a_j0\exists n_c\in\mdn:\forall n\ge n_c: x_n> c\] +\item Sei $(a_n)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Es gilt +\[\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum a_n = +\infty\] +genau dann wenn $a_j=+\infty$ für ein $j\in\mdn$ oder, falls alle $a_j<+\infty$, wenn $\sum a_n$ divergiert. +\end{enumerate} +Wegen 13.1 Ana I können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet werden, ohne dass sich ihr Wert verändert. +\end{definition} + +\begin{definition} +\index{Maß} +\index{$\sigma$-!Additivität} +\index{Maßraum} +\index{Maß!endliches} +\index{Wahrscheinlichkeitsmaß}\index{Maß!Wahrscheinlichkeits-} +Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann wenn gilt: +\begin{enumerate} +\item[$(M_1)$] $\mu(\varnothing)=0$ +\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist $\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt \textbf{$\sigma$-Additivität}. +\end{enumerate} +Ist $\mu$ ein Maß auf $\fa$, so heißt $(X,\fa,\mu)$ ein \textbf{Maßraum}.\\ +Ein Maß $\mu$ heißt \textbf{endlich}, genau dann wenn $\mu(X)<\infty$. Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß}, genau dann wenn $\mu(X)=1$ ist. +\end{definition} + +\begin{beispiel} +\index{Punktmaß}\index{Maß!Punkt-} +\index{Dirac-Maß}\index{Maß!Dirac-} +\index{Zählmaß}\index{Maß!Zähl-} +\begin{enumerate} +\item Sei $\fa=\cp(X)$ und $x_0\in X$. $\delta_{x_0}:\fa\to[0,+\infty]$ sei definiert durch: +\[\delta_{x_0}(A):= +\begin{cases} +1,\ x_0\in A\\ +0,\ x_0\not\in A +\end{cases}\] +Klar ist, dass $\delta_{x_0}(\varnothing)=0$ ist.\\ +Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$. +\[\delta_{x_0}(\bigcup A_j)= +\left.\begin{cases} +1,\ x_0\in\bigcup A_j\\ +0,\ x_0\not\in\bigcup A_j +\end{cases}\right\}=\sum\delta_{x_0}(A_j)\] +$\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\cp(X)$ und heißt \textbf{Punktmaß} oder \textbf{Dirac-Maß}. +\item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in $[0,+\infty]$. Definiere $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ durch: +\begin{align*} +\mu(A):= +\begin{cases} +0&,A=\varnothing\\ +\sum_{j\in A}p_j&,A\ne\varnothing +\end{cases} +\end{align*} +Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}. Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der Elemente von $A$. +\item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\varnothing\ne Y\subseteq X$ und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$. Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch $\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$). Dann ist $(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\ +Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$ und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch $\mu_{|Y}(A):=\mu(A)$. +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\begin{satz} +\label{Satz 1.7} +\((X,\fa,\mu)\) sei ein Ma\ss raum, es seien \(A,B\in\fa\) und \((A_{j})\) sei eine Folge in \(\fa\). Dann: +\begin{enumerate} +\item \(A\subseteq B\,\implies\,\mu(A)\leq\mu(B)\) +\item Ist \(\mu(A)<\infty\) und \(A\subseteq B,\implies\,\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)\) +\item Ist \(\mu\) endlich, dann ist \(\mu(A)<\infty\) und \(\mu(A^{c})=\mu(X)-\mu(A)\) +\item \(\mu\left(\bigcup A_{j}\right)\leq\sum{\mu(A_{j})}\) (\(\sigma\)-Subadditivit\"at) +\item Ist \(A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq\cdots\), so ist \(\mu(\bigcup A_{j})=\lim_{n\to\infty}{\mu(A_{n})}\) +\item Ist \(A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq\cdots\) und \(\mu(A)<\infty\), so ist + \(\mu(\bigcap A_{j})=\lim_{n\to\infty}{\mu(A_{n})}\) +\end{enumerate} +\end{satz} +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +% Eigentlich muesste es in folgender Zeile statt B=(B\setminus A)\cup A korrekt +% heissen: B=(B\setminus A)\cupdot A -- Spaeter... +\item[(1)-(3)] \(B=(B\setminus A)\cup A\). Dann: \(\mu(B)=\underbrace{\mu(B\setminus A)}_{\geq0}+\mu(A)\geq\mu(A)\) +\item[(4)] % Das muesste jetzt eigentlich Punkt 4 sein... +\(B_{1}=A_{1},\,B_{k}:=A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}{A_{j}}\quad(k\geq 2)\) + +Dann: \(B_{j}\in\fa,\,B_{j}\subseteq A_{j}\,(j\in\MdN);\,(B_{j})\) disjunkt und \(\bigcup A_{j}=\bigcup B_{j}\). Dann: +\[ +\mu\left(\bigcup A_{j}\right)=\mu\left(\bigcup B_{j}\right)=\sum{\underbrace{\mu(B_{j})}_{\leq\mu(A_{j})}}\leq\sum{\mu(A_{j})} +\] +\item[(5)] % Das muesste jetzt eigentlich Punkt 5 sein... +\(B_{1}=A_{1},\,B_{k}=A_{k}\setminus A_{k-1}\,(k\geq 2)\) + +Dann: \(B_{j}\subseteq\fa;\,B_{j}\subseteq A_{j}\,(j\in\MdN);\,\bigcup A_{j}=\bigcup B_{j}\) und \(A_{n}=\bigcup_{j=1}^{n}{B_{j}}\)%\bigcupdot_{j=1}^{n}{B_{j}}\) + +Dann: \(\mu(\bigcup A_{j})=\mu(\bigcup B_{j})=\sum{\mu(B_{j})}=\lim_{n\to\infty}{\underbrace{\sum_{j=1}^{n}{\mu(B_{j})}}_{=\mu\left(\bigcup_{j=1}^{n}{B_{j}}\right)=\mu(A_{n})}}\) +\item[(6)] \"Ubung +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\chapter{Das Lebesguema\ss} +\label{Kapitel 2} +\index{Lebesguemaß} + +In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\varnothing\). +\begin{definition} +\index{Ring} +Sei \(\varnothing\neq\mathfrak{R}\subseteq\mathcal{P}(X)\). \(\mathfrak{R}\) +hei\ss t ein \textbf{Ring} (auf \(X\)), genau dann wenn gilt: +\begin{enumerate} +\item \(\varnothing\in\mathfrak{R}\) +\item \(A,B\in\mathfrak{R}\,\implies\,A\cup B,\,B\setminus A\in\mathfrak{R}\) +\end{enumerate} +\end{definition} +\begin{definition} +\index{Elementarvolumen} +\index{Figuren} +Sei \(d\in\MdN\). +\begin{enumerate} +\item \(\ci_{d}:=\{(a,b]\mid a,b\in\MdR^{d},\,a\leq b\}\). +Seien \(a=(a_{1},\ldots,a_{d}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{d})\in\MdR^d\) und \(I:=(a,b]\in \ci_{d}\) +\[ +\lambda_{d}(I)=\begin{cases}0&\text{falls }I=\varnothing\\(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots(b_{d}-a_{d})&\text{falls }I\neq\varnothing\end{cases}\quad\text{(\textbf{Elementarvolumen})} +\] +\item \(\cf_d:=\left\{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j}\mid n\in\MdN,\,I_{1},\ldots,I_{n}\in I_{d}\right\}\) (\textbf{Menge der Figuren}) +\end{enumerate} +\end{definition} +Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\) und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesguema\ss) + +Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}=\sigma(\ci_{d})=\sigma(\cf_{d})\) +\begin{lemma} +\label{Lemma 2.1} +Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann: +\begin{enumerate} +\item \(I\cap I'\in\ci_{d}\) +\item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\) Genauer: \(\exists\left\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: +\(I\setminus I'=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot +\item \(\exists\left\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) +\item \(\cf_d\) ist ein Ring. +\end{enumerate} +\end{lemma} +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Sei \(I=\prod_{k=1}^{d}{(a_{k},b_{k}]},\,I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k},\beta_{k}]};\,\alpha_{k}':=\max\{\alpha_{k},a_{k}\},\,\beta_{k}':=\min\{\beta_{k},b_{k}\}\) + +Ist \(\alpha_{k}'\geq\beta_{k}'\) f\"ur ein \(k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\varnothing\in\ci_{d}\). +Sei \(\alpha_{k}'<\beta_{k}'\forall k\in\{1,\ldots,d\}\), so ist \(I\cap I'=\prod_{k=1}^{d}{(\alpha_{k}',\beta_{k}']\in\ci_{d}}\) +\item Induktion nach \(d\): +\begin{itemize} +\item[I.A.] Klar \checkmark % hier fehlt noch eine Graphik +\item[I.V.] Die Behauptung gelte f\"ur ein \(d\geq 1\) +\item[I.S.] Seien \(I,I'\in\ci_{d+1}\). Es existieren \(I_{1},I_{1}'\in\ci_{1}\) und \(I_{2},I_{2}'\in\ci_{d}\) mit: +\(I=I_{1}\times I_{2},\,I'=I_{1}'\times I_{2}'\) +% Graphik einfuegen! + +Nachrechnen: +\[ +I\setminus I'=(I_{1}\setminus I_{1}')\times I_{2}\dot \cup(I_{1}\cap I_{1}')\times(I_{2}\setminus I_{2}') +\] +I.A.\(\implies\,I_{1}\setminus I_{1}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{1}\)\\ +I.V.\(\implies\,I_{2}\setminus I_{2}'=\) endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus \(\ci_{d}\)\\ +Daraus folgt die Behauptung f\"ur \(d+1\) +\end{itemize} +\item Wir zeigen mit Induktion nach \(n\): ist \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit \(I_{1},\ldots,I_{d}\in\ci_{d}\), so +existiert \(\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: +\(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) +\begin{itemize} +\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\)\checkmark +\item[I.V.] Die Behauptung gelte f\"ur ein \(n\geq 1\) +\item[I.S.] Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n+1}{I_{j}}\quad(I_{1},\ldots,I_{n+1}\in\ci_{d})\) + +IV\(\,\implies\,\exists\{I_{1}',\ldots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: +\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot... + +Dann: \(A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{(I_{j}'\setminus I_{n+1})}\) % \cupdot... + +Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\ldots,l)\): +\(I_{j}'\setminus I_{n+1}=\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\quad(I_{j}''\in\ci_{d})\) + +Damit folgt: +\[ +A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{\left(\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\right)} +\] +Daraus folgt die Behauptung f\"ur \(n+1\). +\end{itemize} +\item \((a,a]=\varnothing\implies\varnothing\in\cf_{d}\) + +Seien \(A,B\in\cf_{d}\). Klar: \(A\cup B\in\cf_{d}\) + +Sei \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}'}\quad(I_{j},I_{j}'\in\ci_{d})\). Zu zeigen: \(B\setminus A\in\cf_{d}\) +\begin{itemize} +\item[I.A.] \(n=1:\,A=I_{1}\implies B\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n}(\underbrace{I_{j}'\setminus I_{j}}_{\in\cf_{d}})\). Wende +(2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{1}\) an. Aus (2) folgt dann \(B\setminus A\in\cf_{d}\). +\item[I.V.] Die Behauptung gelte f\"ur ein \(n\in\MdN\) +\item[I.S.] Sei \(A'=A\cup I_{n+1}\quad(I_{n+1}\in\ci_{d})\). Dann: +\[ +B\setminus A'=\underbrace{(B\setminus A)}_{\in\cf_{d}}\setminus\underbrace{I_{n+1}}_{\in\cf_{d}}\in\cf_{d} +\] +\end{itemize} +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{lemma} +\label{Lemma 2.2} +Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(\{I_{1},\ldots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und +\(\{I_{1}',\ldots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit +\(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=A=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). Dann: +\[ +\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}=\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')} +\] +\end{lemma} +\begin{definition} +Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit \(\{I_{1},\ldots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) +disjunkt (beachte Lemma \ref{Lemma 2.1}, Punkt 3). +\[ +\lambda_{d}(A):=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})} +\] +Wegen Lemma \ref{Lemma 2.2} ist \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty)\) +wohldefiniert. +\end{definition} +\begin{satz} +\label{Satz 2.3} +Seien \(A,B\in\cf_{d}\) und \((B_{n})\) sei eine Folge in \(\cf_{d}\). +\begin{enumerate} +\item \(A\cap B=\varnothing\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\) +\item \(A\subseteq B\implies\lambda_{d}(A)\leq\lambda_{d}(B)\) +\item \(\lambda_{d}(A\cup B)\leq\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\) +\item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\) und +\(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\). +\item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und \(\bigcap B_{n}=\varnothing\), so gilt: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\) +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert +\(\{I_{1},\ldots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) +disjunkt und es existiert \(\{I_{1}',\ldots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: +\(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). + +\(J:=\{I_{1},\ldots,I_{n},I_{1}',\ldots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus +\(A\cap B=\varnothing\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann: +\(A\cup B=\bigcup_{I\in J}{I}\) % Hier auch wieder: \bigcupdot + +Also: +\begin{align*} +\lambda_{d}(A\cup B)&=\sum_{I\in J}{\lambda_{d}(I)}\\ + &=\sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}+\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}\\ + &=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B) +\end{align*} +\item wie bei Satz \ref{Satz 1.7} +\item \(\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda(A\cup(B\setminus A))\overset{(1)}{=}\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B\setminus A)\overset{(2)}{\leq}\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\) % \cupdot... +\item \"Ubung; es gen\"ugt zu betrachten: \(B\in\ci_{d}\) % Graphik einfuegen +\item Sei \(\varepsilon>0\). Aus (4) folgt: Zu jedem \(B_{n}\) existiert ein +\(C_{n}\in\cf_{d}:\overline{C}_{n}\subseteq B_{n}\) und +\begin{equation} +\label{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)} +\lambda_{d}(B_{n}\setminus C_{n})\leq\frac{\varepsilon}{2^{n}} +\end{equation} +Dann: +\(\bigcap{\overline{C}_{n}}\subseteq\bigcap{B_{n}}=\varnothing\implies\bigcup{\overline{C}_{n}^{c}}=\mdr^{d}\implies\underbrace{\overline{B}_{1}}_{\text{kompakt}}\subseteq\bigcup{\underbrace{\overline{C}_{n}^{c}}_{\text{offen}}}\) + +Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, \S 2) folgt: +\(\exists m\in\mdn:\,\bigcup_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}^{c}}\supseteq\overline{B}_{1}\) +Dann: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\overline{B}_{1}^{c}\). +Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\). + +Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\varnothing\). Das hei\ss t: +\(\bigcap_{j=1}^{n}{\overline{C}_{j}}=\varnothing\,\forall n\geq m\) + +\(D_{n}:=\bigcap_{j=1}^{n}{C_{j}}\). Dann: \(D_{n}=\varnothing\,\forall n\geq m\) + +\textbf{Behauptung:} \(\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\ep\,\forall n\in\mdn\) +\begin{beweis} +\begin{itemize} +\item[I.A.] \(\lambda_{d}(B_{1}\setminus D_{1})=\lambda_{d}(B_{1}\setminus C_{1})\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\ep\) \checkmark +\item[I.V.] Die Behauptung gelte f\"ur ein \(n\in\mdn\). +\item[I.S.] \begin{align*} + \lambda_{d}(B_{n+1}\setminus D_{n+1})&=\lambda_{d}\left((B_{n+1}\setminus D_{n})\cup(B_{n+1}\setminus C_{n+1})\right)\\ + &\overset{(3)}{\leq}\lambda_{d}(\underbrace{B_{n+1}\setminus D_n}_{\subseteq B_{n}\setminus D_{n}})+\underbrace{\lambda_{d}(B_{n+1}\setminus C_{n+1})}_{\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2^{n+1}}}\\ + &\overset{(2)}{\leq}\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})+\frac{\ep}{2^{n+1}}\\ + &\overset{\text{I.V.}}{\leq}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)+\frac{\ep}{2^{n+1}}\\ +&=\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)\ep + \end{align*} +\end{itemize} +\end{beweis} + +F\"ur \(n\geq m:\,D_{n}=\varnothing\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\varepsilon\leq\varepsilon\) +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{definition} +\index{Prämaß} +Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) +hei\ss t ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt: +\begin{enumerate} +\item \(\mu(\varnothing)=0\) +\item Ist \(A_{j}\) eine disjunkte Folge in \(\fr\) und \(\bigcup{A_{j}}\in\fr\), so ist \(\mu\left(\bigcup{A_{j}}\right)=\sum{\mu(A_{j})}\). +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{Satz 2.4} +\(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) ist ein Pr\"ama\ss . +\end{satz} +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Klar: \(\lambda_{d}(\varnothing)=0\) +\item Sei \(A_{j}\) eine disjunkte Folge in \(\cf_{d}\) und \(A:=\bigcup{A_{j}}\in\cf_{d}\). + +\(B_{n}:=\bigcup_{j=n}^{\infty}{A_{j}}\,(n\in\mdn)\); \((B_{n})\) hat die +Eigenschaften aus \ref{Satz 2.3}, Punkt 5. Also: \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\). + +F\"ur \(n\geq 2\): +\[ +\lambda_{d}(A)=\lambda_{d}(A_{1}\cup\cdots\cup A_{n-1}\cup B_{n})\overset{\ref{Satz 2.3}.(1)}{=}\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}+\lambda_{d}(B_{n}) +\] +Daraus folgt: +\[ +\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}=\lambda_{d}(A)-\lambda_{d}(B_{n})\quad\forall n\geq 2 +\] +Mit \(n\to\infty\) folgt die Behauptung. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{satz}[Fortsetzungssatz von Carath\'eodory] +\label{Satz 2.5} +Sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\) und \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) ein Pr\"ama\ss. Dann +existiert ein Ma\ss raum \((X,\fa(\mu),\overline{\mu})\) mit +\begin{enumerate} +\item \(\sigma(\fr)\subseteq\fa(\mu)\) +\item \(\overline{\mu}(A)=\mu(A)\,\forall A\in\fr\) +\end{enumerate} +Insbesondere: \(\overline{\mu}\) ist ein Ma\ss \ auf \(\sigma(\fr)\). +\end{satz} + +\begin{satz}[Eindeutigkeitssatz] +\label{Satz 2.6} +Sei \(\varnothing\neq\ce\subseteq\cp(X)\), es seien \(\nu,\,\mu\) Ma\ss e auf +\(\sigma(\ce)\) und es gelte: \(\mu(E)=\nu(E)\,\forall E\in\ce\). + +Weiter gelten: +\begin{enumerate} +\item \(E,F\in\ce\implies E\cap F\in\ce\quad\text{(durchschnittstabil)}\) +\item Es existiert eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\) und +\(\mu(E_{n})<\infty\forall n\in\mdn\). +\end{enumerate} +Dann: \(\mu=\nu\) auf \(\sigma(\ce)\). +\end{satz} + +\begin{satz}%[Lebesguema\ss] +\label{Satz 2.7} +\index{Lebesguemaß} +Es gibt genau eine Fortsetzung von \(\lambda_{d}:\cf_{d}\to[0,\infty]\) auf +\(\fb_{d}\) zu einem Ma\ss. Diese Fortsetzung hei\ss t \textbf{Lebesguemaß} \ (L-Ma\ss) +und wird ebenfalls mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet. +\end{satz} +\begin{beweis} +Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} und Satz \ref{Satz 2.4} folgt: \(\lambda_{d}\) ist ein +Pr\"ama\ss \ auf \(\fr:=\cf_{d}\); es ist \(\sigma(\fr)=\fb_{d}\). + +Aus Satz \ref{Satz 2.5} folgt: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Ma\ss \ auf +\(\fb_{d}\) fortgesetzt werden. + +Sei \(\nu\) ein weiteres Ma\ss \ auf \(\fb_{d}\) mit: +\(\nu(A)=\lambda_{d}(A)\,\forall A\in\cf_{d}\). \(\ce:=\ci_{d}\). Dann: +\(\sigma(\ce)\overset{\ref{Satz 1.4}}{=}\fb_{d}\). +\begin{enumerate} +\item \(E,F\in\ce\overset{\ref{Lemma 2.1}}{\implies}E\cap F\in\ce\) +\item \(E_{n}:=(-n,n]^{d}\) + +Klar: +\begin{align*} +\bigcup E_{n}&=\mdr^{d}\\ +\lambda_{d}(E_{n})&=(2n)^{d}<\infty +\end{align*} +\end{enumerate} +Klar: \(\nu(E)=\lambda_{d}(E)\,\forall E\in\ce\). Mit Satz \ref{Satz 2.6} folgt +dann: \(\nu=\lambda_{d}\) auf \(\fb_{d}\). +\end{beweis} + +\begin{bemerkung} +Sei \(X\in\fb_{d}\). Aus 1.6 folgt: \(\fb(X)=\{A\in\fb_{d}\mid A\subseteq X\}\). +Die Einschr\"ankung von \(\lambda_{d}\) auf \(\fb(X)\) hei\ss t ebenfalls +L-Ma\ss \ und wird mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet. +\end{bemerkung} + +\begin{beispieleX} +\begin{enumerate} +\item Seien \(a=(a_{1},\ldots,a_{d}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{d})\in\mdr^{d},\,a\leq b\) und \(I=[a,b]\).\\ +\textbf{Behauptung}\\\(\lambda_{d}([a,b])=(b_{1}-a_{1})\cdots(b_{d}-a_{d})\) (Entsprechendes gilt f\"ur \((a,b)\) und \([a,b)\)) +\begin{beweis} +\(I_{n}:=(a_{1}-\frac{1}{n},b_{1}]\times\cdots\times(a_{d}-\frac{1}{n},b_{d}];\,I_{1}\supset I_{2}\supset\cdots;\,\bigcap I_{n}=I,\,\lambda_{d}(I_{1})<\infty\) + +Aus Satz \ref{Satz 1.7}, Punkt 5, folgt: +\begin{align*} +\lambda_{d}(I)&=\lim_{n\to\infty}{\lambda_{d}(I_{n})}\\ +&=\lim_{n\to\infty}{(b_{1}-a_{1}+\frac{1}{n})\cdots(b_{d}-a_{d}+\frac{1}{n})}\\ +&=(b_{1}-a_{1})\cdots(b_{d}-a_{d}) +\end{align*} +\end{beweis} +\item Sei \(a\in\mdr^{d},\,\{a\}=[a,a]\in\fb_{d}\). Aus obigem Beispiel (1) +folgt: \(\lambda_{d}(\{a\})=0\). +\item \(\mdq^{d}\) ist abz\"ahlbar, also: \(\mdq^{d}=\{a_{1},a_{2},\ldots\}\) +mit \(a_{j}\neq a_{i}\,(i\neq j)\). Dann: \(\mdq^{d}=\bigcup\{a_{j}\}\) %\bigcupdot... + +Dann gilt: \(\mdq^{d}\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(\mdq^{d})=\sum{\lambda_{d}(\{a_{j}\})}=0\). +\item Wie in Beispiel (3): Ist \(A\subseteq\mdr^{d}\) abz\"ahlbar, so ist +\(A\in\fb_{d}\) und \(\lambda_{d}(A)=0\). +\item Sei \(j\in\{1,\ldots,d\}\) und \(H_{j}:=\{(x_{1},\ldots,x_{d})\in\mdr^{d}\mid x_{j}=0\}\). \(H_{j}\) ist abgeschlossen, damit folgt: \(H_{j}\in\fb_{d}\). + +Ohne Beschr\"ankung der Allgemeinheit sei \(j=d\). Dann: +\(I_{n}:=\underbrace{[-n,n]\times\cdots\times[-n,n]}_{(d-1)-\text{mal}}\times\{0\}\). +% Hier fehlt noch eine Graphik +Aus Beispiel (1) folgt: \(\lambda_{d}(I_{n})=0\). + +Aus \(H_{d}=\bigcup{I_{n}}\) folgt: \(\lambda_{d}(H_{d})\leq\sum{\lambda_{d}(I_{n})}=0\). Also: \(\lambda_{d}(H_{j})=0\). +\end{enumerate} +\end{beispieleX} + +\begin{definition} +Sei $x\in\mdr^d, B\subseteq\mdr^d$. Definiere: +\[x+B:=\{x+b\mid b\in B\}\] +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Ist $I\in\ci_d$, so gilt $x+I\in\ci_d$ und $\lambda_d(x+I)=\lambda_d(I)$. +\end{beispiel} + +\begin{satz} +\label{Satz 2.8} +Sei $x\in\mdr^d, \fa:=\{B\in\fb_d:x+B\in\fb_d\}$ und $\mu:\fa\to[0,\infty]$ sei definiert durch $\mu(A):=\lambda_d(x+A)$. Dann gilt: +\begin{enumerate} +\item $(\mdr^d,\fa,\mu)$ ist ein Maßraum. +\item Es ist $\fa=\fb_d$ und $\mu=\lambda_d$ auf $\fb_d$. D.h. für alle $A\in\fb_d$ ist $x+A\in\fb_d$ und $\lambda_d(x+A)=\lambda_d(A)$ (Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes). +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Leichte Übung! +\item Es ist klar, dass $\fb_d\supseteq\fa$. Nach dem Beispiel von oben gilt: +\[\ci_d\subseteq\fa\subseteq\fb_d=\sigma(\ci_d)\subseteq\sigma(\fa)=\fa\] +Setze $\ce:=\ci_d$, dann ist $\sigma(\ce)=\fb_d$ und es gilt nach dem Beispiel von oben: +\[\forall E\in\ce:\mu(E)=\lambda_d(E)\] +$\ce$ hat die Eigenschaften (1) und (2) aus Satz \ref{Satz 2.6}, daraus folgt dann, dass $\mu=\lambda_d$ auf $\fb_d$ ist. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{satz} +\label{Satz 2.9} +Sei $\mu$ ein Maß auf $\fb_d$ mit der Eigenschaft: +\[\forall x\in\mdr^d, A\in\fb_d:\mu(A)=\mu(x+A)\] +Weiter sei $c:=\mu((0,1]^d)<\infty$. Dann gilt: +\[\mu=c\cdot\lambda_d\] +\end{satz} + +\begin{satz}[Regularität des Lebesgue-Maßes] +\label{Satz 2.10} +Sei $A \in\fb_d$, dann gilt: +\begin{enumerate} +\item +$\lambda_d(A)=\inf\left\{\lambda_d(G)\mid G\subseteq\mdr^d\text{ offen und }A \subseteq G\right\}\\ + =\inf\left\{\lambda_d(V)\mid V=\bigcup_{j=1}^\infty I_j, I_j\subseteq\mdr^d\text{ offenes Intervall }, A\subseteq V\right\}$ +\item $\lambda_d(A)=\sup\{\lambda_d(K)\mid K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A\}$ +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Ohne Beweis. +\item Setze $\beta:=\sup\{\lambda_d(K)\mid K\subseteq\mdr^d\text{ kompakt }, K\subseteq A\}$. Sei $K$ kompakt und $K\subseteq A$, dann gilt $\lambda_d(K)\le\lambda_d(A)$, also ist auch $\beta\le\lambda_d(A)$. + +\textbf{Fall 1:} Sei $A$ zusätzlich beschränkt.\\ +Sei $\ep>0$. Es existiert ein $r>0$, sodass $A\subseteq B:=\overline{U_r(0)}\subseteq[-r,r]^d$ ist, dann gilt: +\[\lambda_d(A)\le\lambda_d([-r,r]^d)=(2r)^d<\infty\] +Aus (1) folgt, dass eine offene Menge $G\supseteq B\setminus A$ existiert mit $\lambda_d(G)\le\lambda_d(B\setminus A)+\ep$. Dann gilt nach \ref{Satz 1.7}: +\[\lambda_d(B\setminus A)=\lambda_d(B)-\lambda_d(A)\] +Setze nun $K:=B\setminus G=B\cap G^c$, dann ist $K$ kompakt und $K\subseteq B\setminus(B\setminus A)=A$. Da $B\subseteq G\cup K$ ist, gilt: +\[\lambda_d(B)\le\lambda_d(G\cup K)\le \lambda_d(B)-\lambda_d(A)+\ep+\lambda_d(K)\] +Woraus folgt: +\[\lambda_d(A)\le\lambda_d(K)+\ep\] + +\textbf{Fall 2:} Sei $A\in\fb_d$ beliebig.\\ +Setze $A_n:=A\cap\overline{U_n(0)}$. Dann ist $A_n$ für alle $n\in\mdn$ beschränkt, $A_n\subseteq A_{n+1}$ und $A=\bigcup_{n\in\mdn} A_n$. Nach \ref{Satz 1.7} gilt: +\[\lambda_d(A)=\lim\lambda_d(A_n)\] +Aus Fall 1 folgt, dass für alle $n\in\mdn$ ein kompaktes $K_n\subseteq A_n$ mit $\lambda_d(A_n)\le\lambda_d(K_n)+\frac1n$ existiert. Dann gilt: +\[\lambda_d(A_n)\le\lambda_d(K_n)+\frac1n\le\lambda_d(A)+\frac1n\] +Also auch: +\[\lambda_d(A)=\lim\lambda(K_n)\le\beta\] +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\textbf{Auswahlaxiom:}\\ +Sei $\varnothing\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\{X_\omega\mid \omega\in\Omega\}$ ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass $C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat. + +\begin{satz}[Satz von Vitali] +\label{Satz 2.11} +Es existiert ein $C\subseteq\mdr^d$ sodass $C\not\in\fb_d$. +\end{satz} + +\begin{beweis} +Wir definieren auf $[0,1]^d$ eine Äquivalenzrelation $\sim$, durch: +\begin{align*} +\forall x,y\in[0,1]^d: x \sim y\iff x-y\in\mdq^d\\ +\forall x\in[0,1]^d:[x]:=\{y\in[0,1]^d\mid x\sim y\} +\end{align*} +Nach dem Auswahlaxiom existiert ein $C\subseteq[0,1]^d$, sodass $C$ mit jedem $[x]$ genau ein Element gemeinsam hat. +Es ist $\mdq^d\cap[-1,1]^d=\{q_1,q_2,\ldots\}$ mit $q_i\ne q_j$ für $(i\ne j)$. Dann gilt: +\begin{align*} +\tag{1} \bigcup_{n=1}^\infty(q_n+C)\subseteq[-1,2]^d\\ +\tag{2} [0,1]^d\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty(q_n+C) +\end{align*} +\begin{beweis} +Sei $x\in[0,1]^d$. Wähle $y\in C$ mit $y\in[x]$, dann ist $x\sim y$, also $x-y\in\mdq^d\cap[-1,1]^d$. D.h.: +\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\] +\end{beweis} +Außerdem ist $\{q_n+C\mid n\in\mdn\}$ disjunkt. +\begin{beweis} +Sei $z\in(q_n+C)\cap(q_m+C)$, dann existieren $a,b\in\mdq^d$, sodass gilt: +\begin{align*} +(q_n+a=z=q_m+b) &\implies (b-a=q_m-q_n\in\mdq^d)\\ +&\implies (a\sim b) \implies([a]=[b])\\ +&\implies (a=b)\implies (q_n=q_m) +\end{align*} +\end{beweis} +\textbf{Annahme:} $C\in\fb_d$, dann gilt nach (1): +\begin{align*} +3^d&=\lambda_d([-2,1]^d)\\ +&\ge\lambda_d(\bigcup(q_n+C))\\ +&=\sum \lambda_d(q_n+C)\\ +&=\sum \lambda_d(C) +\end{align*} +Also ist $\lambda_d(C)=0$. Damit folgt aus (2): +\begin{align*} +1&=\lambda_d([0,1]^d)\\ +&\le \lambda_d(\bigcup (q_n+C))\\ +&=\sum \lambda_d(C)\\ +&=0 +\end{align*} +\end{beweis} + +\chapter{Messbare Funktionen} +\label{Kapitel 3} + +In diesem Paragraphen seien $\varnothing\ne X,Y,Z$ Mengen. + +\begin{definition} +\index{messbar!Raum}\index{Raum!messbarer} +Ist $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, so heißt $(X,\fa)$ ein \textbf{messbarer Raum}. +\end{definition} + +\begin{definition} +\index{$\fa$-$\fb$-messbar} +\index{messbar!Funktion} +Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $\fb$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ und $f:X\to Y$ eine Funktion. $f$ heißt genau dann \textbf{$\fa$-$\fb$-messbar}, wenn gilt: +\[\forall B\in\fb: f^{-1}(B)\in\fa\] +\end{definition} + +\begin{bemerkung} +Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt: +\begin{enumerate} +\item $f$ sei $\fa$-$\fb$-messbar, $\fa'$ eine weitere $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\fa\subseteq\fa'$ und $\fb'$ sei eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ mit $\fb'\subseteq\fb$.\\ +Dann ist $f$ $\fa'$-$\fb'$-messbar. +\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach \ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist $f_{\mid X_0}:X_0\to Y$ $\fa_{X_0}$-$\fb$-messbar. +\end{enumerate} +\end{bemerkung} + +\begin{beispiel} +\begin{enumerate} +\item Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $A\subseteq X$. $\mathds{1}_A:X\to\mdr$ ist genau dann $\fa$-$\fb_1$-messbar, wenn $A\in\fa$ ist. +\item Sei $X=\mdr^d$. Ist $A\in\fb_d$, so ist $\mathds{1}_A$ $\fb_d$-$\fb_1$-messbar. +\item Ist $C$ wie in \ref{Satz 2.11}, so ist $\mathds{1}_C$ nicht $\fb_d$-$\fb_1$-messbar. +\item Es sei $f:X\to Y$ eine Funktion und $\fb$ ($\fa$) eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ ($X$), dann ist $f$ $\cp(X)$-$\fb$-messbar ($\fa$-$\{Y,\varnothing\}$-messbar). +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\begin{satz} +\label{Satz 3.1} +Seien \(\fa,\,\fb,\,\fc\) \(\sigma\)-Algebren auf \(X,\,Y\) bzw. \(Z\). Weiter seien \(f:\,X\to Y\) und \(g:\,Y\to Z\) +Funktionen. +\begin{enumerate} +\item Ist \(f\) \(\fa-\fb-\)messbar und ist \(g\) \(\fb-\fc-\)messbar, so ist \(g\circ f:\,X\to Z\) \(\fa-\fc-\)messbar. +\item Sei \(\varnothing\neq\ce\subseteq\cp(Y)\) und \(\sigma(\ce)=\fb\). Dann: +\begin{center} +\(f\) ist \(\fa-\fb-\)messbar, genau dann, wenn gilt: \(\forall E\in\ce:\,f^{-1}(E)\in\fa\) +\end{center} +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Sei \(C\in\fc\); \(g\) ist messbar, daraus folgt \(g^{-1}(C)\in\fb\); +\(f\) ist messbar, daraus folgt \(f^{-1}(g^{-1}(C))=(g\circ f)^{-1}(C)\in\fa\) +\item \begin{itemize} +\item[\(\Rightarrow\)] \checkmark +\item[\(\Leftarrow\)] \(\fd:=\{B\subseteq Y\mid f^{-1}(B)\in\fa\}\) +\"Ubung: \(\fd\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(Y\). + +Aus der Voraussetzung folgt: \(\ce\subseteq\fd\). +Dann: \(\fb=\sigma(\ce)\subseteq\fd\). Ist \(B\in\fb\), so ist \(B\in\fd\), also +\(f^{-1}(B)\in\fa\). +\end{itemize} +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{definition} +\index{messbar!Borel}\index{messbar} +Sei \(X\in\fb_{d}\). Ist \(f:\,X\to\mdr^{k}\) \(\fb(X)-\fb_{k}-\)messbar, so hei\ss t \(f\) \textbf{(Borel-)messbar}. +\end{definition} +Ab jetzt sei stets \(X\in\fb_{d}\). (Erinnerung: \(\fb(X)=\{A\in\fb_{d}\mid A\subseteq X\}\)) + +\begin{satz} +\label{Satz 3.2} +Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) und \(\alpha,\beta\in\mdr\). +\begin{enumerate} +\item Ist \(f\) auf \(X\) stetig, so ist \(f\) messbar. +\item Ist \(f=(f_{1},\ldots,f_{k})\), so gilt: \(f\) ist messbar \(\Leftrightarrow\) alle \(f_{j}\) sind messbar. +\item Sind \(f\) und \(g\) messbar, so ist \(\alpha f+\beta g\) messbar. +\item Sei \(k=1\) und \(f\) und \(g\) seien messbar. Dann: +\begin{enumerate} +\item \(fg\) ist messbar +\item Ist \(f(x)\neq0\forall x\in X\), so ist \(\frac{1}{f}\) messbar +\item \(\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}\in\fb(X)\) +\end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Sei \(G\in\co(\mdr^{k})\). Mit \(f\) stetig folgt: \(f^{-1}(G)\in\co(X)\in\fb(X)\) + +\(\sigma(\co(\mdr^{k}))=\fb_{k}\). Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 3.1}.(2). +\item \begin{itemize} +\item[\(\Leftarrow:\)] Sei \(I=(a,b]=\prod_{j=1}^{k}{(a_{j},b_{j}]}\in I_{k}\quad (a=(a_{1},\ldots,a_{k}),\,b=(b_{1},\ldots,b_{k}),\,a\leq b)\) + +Dann: \(f^{-1}(I)=\bigcap_{j=1}^{k}{\underbrace{f_{j}^{-1}(\underbrace{(a_{j},b_{j}]}_{\in\fb_{1}}}_{\in\fb(X)}}\in\fb(X)\) + +Aus \(\sigma(I_{k})=\fb_{k}\) folgt mit \ref{Satz 3.1}.(2): \(f\) ist messbar. +\item[\(\Rightarrow:\)] F\"ur \(j=1,...,k\) sei \(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch +\(p_{j}(x_{1},\ldots,x_{k}):=x_{j}\) + +\(p_{j}\) ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist \(f_{j}=p_{j}\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(f_{j}\) ist +messbar. +\end{itemize} +\item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\); aus (2): \(h\) ist messbar. + +\(\vp(x,y):=\alpha x+\beta y\,(x,y\in\mdr^{k})\) + +\(\vp\) ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist \(\alpha f+\beta g=\vp\circ h\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: +\(\alpha f+\beta g\) ist messbar. +\item +\begin{enumerate} +\item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\) ist messbar (nach (2)); \(\vp(x,y):=xy\), \(\vp\) ist stetig, also messbar. + +Es ist \(fg=\vp\circ h\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(fg\) ist messbar. +\item \(\vp(x):=\frac{1}{x}\), \(\vp\) ist stetig auf \(\mdr\setminus\{0\}\), also messbar. + +\(\frac{1}{f}=\vp\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1}.(1) folgt: \(\frac{1}{f}\) ist messbar. +\item \(A:=\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}=\{x\in X\mid f(x)-g(x)\in[0,\infty)\}=\underbrace{(f-g)}_{\text{messbar nach (3)}}^{-1}(\overbrace{[0,\infty)}^{\in\fb_{1}})\in\fb(X)\) +\end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{folgerungen} +\label{Folgerung 3.3} +\begin{enumerate} +\item Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\varnothing\) und \(X=A\cup B\). Weiter seien \(f:A\to\mdr^{k}\) und +\(g:B\to\mdr^{k}\) messbar. Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch +\[ +h(x):=\begin{cases}f(x)&x\in A\\g(x)&x\in B\end{cases}, +\] +messbar. +\item Ist \(f:X\to\mdr^{k}\) messbar und \(g(x):=\lVert f(x)\rVert\,(x\in X)\), so ist \(g\) messbar. +\end{enumerate} +\end{folgerungen} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Sei \(C\in\fb_{k}\). Dann: +\[ +h^{-1}(C)=\underbrace{f^{-1}(C)}_{\in\fb(A)\subseteq\fb(X)}\cup\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in\fb(B)\subseteq\fb(X)}\in\fb(X) +\] +\item Definiere \(\vp(z)=\lVert z\rVert\quad(z\in\mdr^{k})\); \(\vp\) ist +stetig, also messbar. + +Es ist \(g=\vp\circ f\). Mit \ref{Satz 3.1} folgt: \(g\) ist messbar. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{beispiel} +\(X=\mdr^{2},\,f(x,y):=\begin{cases}\frac{\sin(y)}{x}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}\) + +f\"ur \(x\neq 0:\,f(x,x)=\frac{\sin(X)}{x}\overset{x\to 0}{\to}1\neq 0=f(0,0)\), daraus folgt: \(f\) ist nicht stetig. + +\(A:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x=0\},\,B:=\{(x,y)\in\mdr^{2}\mid x\neq 0\},\,X=A\cup B,\,A\cap B=\varnothing\). \(A\) ist +abgeschlossen, das hei\ss t: \(A\in\fb_{2},\,B=A^{C}\in\fb_{2}\) + +\begin{align*} +f_{1}(x,y)&:=0\quad((x,y)\in A)\\ +f_{2}(x,y)&:=\frac{\sin(y)}{x}\quad((x,y)\in B) +\end{align*} + +\(f_{1}\) ist stetig auf \(A\), \(f_{2}\) ist stetig auf \(B\). Also: \(f_{1},\,f_{2}\) ist messbar; mit \ref{Folgerung 3.3}.(1) folgt: \(f\) ist messbar. +\end{beispiel} + +\textbf{Ein neues Symbol kommt hinzu:} \(-\infty\){ + +\(\imdr:=[-\infty,+\infty]:=\mdr\cup\{-\infty,+\infty\}\) + +In \(\imdr\) gelten folgende Regeln, wobei \(a\in\mdr\): +\begin{enumerate} +\item \(-\infty0\\ + 0&a=0\\\mp\infty&a<0\end{cases}\) +\item \(\frac{a}{\pm\infty}:=0\) +\end{enumerate} +} + +\begin{definition} +\begin{enumerate} +\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in \(\imdr\). \(x_{n}\rightarrow+\infty:\Leftrightarrow\forall c\in\mdr\exists n_{c}\in\mdn:x_{n}\geq c\forall n\geq n_{c}\)\\ +Analog f\"ur \(-\infty\). +\item Seien \(f,g: X\to\imdr\). Dann: +\begin{align*} + \{f\leq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\leq g(x)\}\\ + \{f\geq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\geq g(x)\}\\ + \{f\neq g\}&:=\{x\in X\mid f(x)\neq g(x)\}\\ + \{fg\}&:=\{x\in X\mid f(x)>g(x)\} +\end{align*} +\item Sei \(a\in\imdr\) und \(f:\,X\to\imdr\). Dann: +\begin{align*} + \{f\leq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\leq a\}\\ + \{f\geq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\geq a\}\\ + \{f\neq a\}&:=\{x\in X\mid f(x)\neq a\}\\ + \{fa\}&:=\{x\in X\mid f(x)>a\} +\end{align*} +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} +\index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{messbar} +\(\ifb_{1}:=\{B\cup E\mid B\in\fb_{1},\,E\subseteq\{-\infty,+\infty\}\}\). Dann: \(\fb_{1}\subseteq\ifb_{1}\)\\ +Übung: \(\ifb_{1}\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(\imdr\).\\ +\(\ifb_{1}\) hei\ss t \textbf{Borelsche \(\sigma\)-Algebra} auf \(\imdr\). +Sei \(f:\,X\to\imdr\). \(f\) hei\ss t \textbf{(Borel-)messbar} (mb) \(:\Leftrightarrow\,f\) ist \(\fb(X)-\ifb_{1}-\) messbar. +\end{definition} + +\begin{beispiel} +\(f(x):=+\infty\quad(x\in X)\), also: \(f:\,X\to\imdr\) + +Sei \(B\in\overline{\fb}_{1},\,A:=f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}\) +\begin{itemize} +\item[Fall 1:] \(+\infty\not\in B\), dann: \(A=\varnothing\in\fb(X)\) +\item[Fall 2:] \(+\infty\in B\), dann: \(A=X\in\fb(X)\) +\end{itemize} +\(f\) ist messbar. +\end{beispiel} + +\begin{satz} +\label{Satz 3.4} +\begin{enumerate} +\item Definiere die Mengen: +\begin{align*} +\ce_1&:=\{[-\infty,a]\mid a\in\mdq\} & \ce_2&:=\{[-\infty,a)\mid a\in\mdq\}\\ +\ce_3&:=\{(a,\infty]\mid a\in\mdq\} & \ce_4&:=\{[a,\infty]\mid a\in\mdq\} +\end{align*} +Dann gilt: +\[\overline{\fb_1}=\sigma(\ce_j)\quad \text{ für }j\in\{1,2,3,4\}\] +\item Für $f:X\to\imdr$ sind die folgenden Aussagen äquivalent: +\begin{enumerate} +\item $f$ ist messbar. +\item $\forall a\in\mdq: \{f\le a\}\in\fb(X)$. +\item $\forall a\in\mdq: \{f\ge a\}\in\fb(X)$. +\item $\forall a\in\mdq: \{f< a\}\in\fb(X)$. +\item $\forall a\in\mdq: \{f> a\}\in\fb(X)$. +\end{enumerate} +\item Die Äquivalenzen in (2) gelten auch für Funktionen $f:X\to\mdr$. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +Die folgenden Beweise erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funktionieren fast analog für die anderen. +\begin{enumerate} +\item Für $a\in\mdq$ gilt: +\[[-\infty,a]^c=(a,\infty]\in\sigma(\ce_1)\] +D.h. es gilt $\ce_3\subseteq\sigma(\ce_1)$ und damit auch $\sigma(\ce_3)\subseteq\sigma(\ce_1)$. +\item Es gilt: +\[\{f\le a\}=\{x\in X\mid f(x)\le a\}=f^{-1}([-\infty,a])\] +Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und \ref{Satz 3.1}. +\item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{definition} +Sei $M\subseteq\imdr$. +\begin{enumerate} +\item Ist $M=\varnothing$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei +\[\sup M:=-\infty\] +\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\varnothing$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei +\[\sup M:= \sup (M\setminus\{-\infty\})\] +\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei +\[\sup M:=\infty\] +\item Es sei $\inf M:=-\sup(-M)$, wobei $-M:=\{-m\mid m\in M\}$. +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} +Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$. +\begin{enumerate} +\item Die Funktion $\sup_{n\in\mdn}(f_n):X\to\imdr$ $\left(\inf_{n\in\mdn}(f_n):X\to\imdr\right)$ ist definiert durch: +\[(\sup_{n\in\mdn} f_n)(x):=\sup\{f_n(x)\mid n\in\mdn\}\quad x\in X\] +\[\left((\inf_{n\in\mdn} f_n)(x):=\inf\{f_n(x)\mid n\in\mdn\}\quad x\in X\right)\] +\item Die Funktion $\limsup_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr$ $\left(\liminf_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr\right)$ ist definiert durch: +\begin{align*} +\tag{$*$} \limsup_{n\to\infty} f_n &:= \inf_{j\in\mdn}(\sup_{n\ge j} f_n)\\ +\liminf_{n\to\infty} f_n &:= \sup_{j\in\mdn}(\inf_{n\ge j} f_n) +\end{align*} +\textbf{Erinnerung:} Für eine beschränkte Folge $(a_n)$ in $\mdr$ war +\[\limsup_{n\to\infty} a_n:=\inf\{\sup\{a_n\mid n\ge j\}\mid j\in\mdn\}\] +\item Sei $N\in\mdn$ und $g_j:=f_j$ (für $j=1,\ldots,N$), $g_j:=f_N$ (für $j>N$). Definiere: +\begin{align*} +\max_{1\le n\le N} f_n &:=\sup_{j\in\mdn} g_n\\ +\min_{1\le n\le N} f_n &:=\inf_{j\in\mdn} g_n +\end{align*} +\item Ist $f_n(x)$ für jedes $x\in\imdr$ konvergent, so ist $\lim_{n\to\infty} f_n:X\to\imdr$ definiert durch: +\[(\lim_{n\to\infty} f_n)(x):=\lim_{n\to\infty} f_n(x)\] +(In diesem Fall gilt $\lim_{n\to\infty} f_n = \limsup_{n\to\infty} f_n = \liminf_{n\to\infty} f_n$.) +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{Satz 3.5} +Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$ und jedes $f_n$ messbar. +\begin{enumerate} +\item Dann sind ebenfalls messbar: +\begin{align*} +&\sup_{n\in\mdn} f_n &&\inf_{n\in\mdn} f_n &&\limsup_{n\in\mdn} f_n &&\liminf_{n\in\mdn} f_n +\end{align*} +\item Ist $(f_n(x))$ für jedes $x\in X$ in $\imdr$ konvergent, so ist $\lim_{n\to\infty} f_n$ messbar. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Sei $a\in\mdq$, dann gilt (nach \ref{Satz 3.4}(2)): +\[\{\sup_{n\in\mdn} f_n\le a\}=\bigcap_{n\in\mdn}\{f_n\le a\}\in\fb(X)\] +Also ist $\sup_{n\in\mdn} f_n$ messbar. Analog lässt sich die Messbarkeit von $\inf_{n\in\mdn} f_n$ zeigen, der Rest folgt dann aus ($*$). +\item Folgt aus (1) und obiger Bemerkung in der Definition. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{beispiel} +Sei $X=I$ ein Intervall in $\mdr$ und $f:I\to\mdr$ sei auf $I$ differenzierbar.\\ +Für $x\in I,n\in\mdn$ sei $f_n:= n(f(x-\frac1n)-f(x))$. Da $f$ stetig ist, ist auch jedes $f_n$ stetig, also insbesondere messbar und es gilt: +\[f_n(x)=\frac{f(x-\frac1n)-f(x)}{\frac1n}\stackrel{n\to\infty}{\to}f'(x)\] +Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist. +\end{beispiel} + +\begin{definition} +\index{Positivteil}\index{Negativteil} +Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion. +\begin{enumerate} +\item $f_+:=\max\{f,0\}$ heißt \textbf{Positivteil} von $f$. +\item $f_-:=\max\{-f,0\}$ heißt \textbf{Negativteil} von $f$. +\end{enumerate} +Es gilt $f_+,f_-\ge 0$, $f=f_+-f_-$ und $|f|=f_++f_-$. +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{Satz 3.6} +Seien $f,g:X\to\imdr$ und $\alpha,\beta\in\mdr$. +\begin{enumerate} +\item Sind $f,g$ messbar und ist $\alpha f(x)+\beta g(x)$ für jedes $x\in X$ definiert, so ist $\alpha f+\beta g$ messbar. +\item Sind $f,g$ messbar und ist $f(x)g(x)$ für jedes $x\in X$ definiert, so ist $fg$ messbar. +\item $f$ ist genau dann messbar, wenn $f_+$ und $f_-$ messbar sind. In diesem Fall ist auch $|f|$ messbar. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item[(1)+(2)] Für alle $n\in\mdn, x\in X$ seien $f_n$ und $g_n$ wie folgt definiert: +\begin{align*} +f_n(x)&:=\max\{-n,\min\{f(x),n\}\}\\ +g_n(x)&:=\max\{-n,\min\{g(x),n\}\} +\end{align*} +Dann sind $f_n(x),g_n(x)\in[-n,n]$ für alle $n\in\mdn,x\in X$. Nach \ref{Satz 3.2}(3) sind also $\alpha f_n+\beta g_n$ und $f_ng_n$ messbar. Außerdem gilt: +\begin{align*} +\alpha f_n(x)+\beta g_n(x)&\stackrel{n\to\infty}\to \alpha f(x)+\beta g(x)\\ +f_n(x)g_n(x)&\stackrel{n\to\infty}\to f(x)g(x) +\end{align*} +Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 3.5}(2). +\item[(3)] Nach \ref{Satz 3.5}(1) sind $f_+$ und $f_-$ messbar, wenn $f$ messbar ist. Die umgekehrte Implikation folgt aus \ref{Satz 3.6}(1). Sind $f_+$ und $f_-$ messbar, so folgt ebenfalls aus \ref{Satz 3.6}(1), dass $|f|=f_++f_-$ messbar ist. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{beispiel} +Sei $C\subseteq\mdr^d$ wie in \ref{Satz 2.11}, also $C\not\in\fb_d$. Definiere $f:\mdr^d\to\mdr$ wie folgt: +\[f(x):=\begin{cases} 1&,x\in C\\ -1&,x\not\in C\end{cases}\] +Dann ist $\{f\ge 1\}=C$, also $f$ \textbf{nicht} messbar. Aber für alle $x\in\mdr^d$ ist $|f(x)|=1$, also $|f|=\mathds{1}_{\mdr^d}$ und damit messbar. +\end{beispiel} + +\begin{definition} +\index{einfach} +\index{Treppenfunktion} +\index{Normalform} +$f:X\to\mdr$ sei messbar. +\begin{enumerate} +\item $f$ heißt \textbf{einfach} oder \textbf{Treppenfunktion}, genau dann wenn $f(X)$ endlich ist. +\item $f$ sei einfach und $f(X)=\{y_1,\ldots,y_m\}$ mit $y_i\ne y_j$ für $i\ne j$. Sei weiter $A_j:=f^{-1}(\{y_j\})$ für $j=1,\ldots,m$. Dann sind $A_1,\ldots,A_m\in\fb(X)$ und $X=\bigcup_{j=1}^m A_j$ disjunkte Vereinigung. +\[f=\sum_{j=1}^m y_j \mathds{1}_{A_j}\] +heißt \textbf{Normalform} von $f$. +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Sei $A\in\fb(X)$. Definiere: +\[f:=\mathds{1}_A=2\cdot\mathds{1}_A-\mathds{1}_X+\mathds{1}_{X\setminus A}=\mathds{1}_A+0\cdot\mathds{1}_{X\setminus A}\] +Wobei das letzte die Normalform von $f$ ist. Man sieht also, dass einfache Funktionen mehrere Darstellungen haben können. +\end{beispiel} + +\begin{satz} +\label{Satz 3.7} +Linearkombinationen und Produkte, sowie endliche Maxima und Minima einfacher Funktionen, sind einfach. +\end{satz} + +\begin{satz} +\label{Satz 3.8} +\index{zulässig} +Sei $f:X\to\imdr$ messbar. +\begin{enumerate} +\item Ist $f\ge 0$ auf $X$, so existiert eine Folge $(f_n)$ von einfachen Funktionen $f_n:X\to[0,\infty)$, sodass $0\le f_n\le f_{n+1}$ auf $X$ ($\forall n\in\mdn$) und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}{\to}f(x)$ ($\forall x\in X$). In diesem Fall heißt $(f_n)$ \textbf{zulässig} für $f$. +\item Es existiert eine Folge $(f_n)$ von einfachen Funktionen $f_n:X\to\mdr$, sodass $|f_n|\le |f|$ auf $X$ ($\forall n\in\mdn$) und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}{\to}f(x)$ ($\forall x\in X$). +\item Ist $f$ beschränkt auf $X$ (also insbesondere $\pm\infty\not\in f(X)$), so kommt in (2) noch hinzu, dass $(f_n)$ auf $X$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{folgerungen}[(Beweis mit 3.8(2) und 3.5)] +Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion, dann ist $f$ genau dann messbar, wenn eine Folge einfacher Funktionen $(f_n)$ mit $f_n:X\to\mdr$ und $f_n(x)\stackrel{n\to\infty}\to f(x)$ für alle $x\in X$ existiert. +\end{folgerungen} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Für $n\in\mdn$ definiere $\varphi_n:[0,\infty]\to[0,\infty)$ durch +\[\varphi_n(t):=\begin{cases}\frac{[2^nt]}{2^n} &,0\le t1\) und \(B_n:=\{\alpha f_n\geq g\}\). Dann ist \[B_n\in\fb(X) \text{ und }(B_n\subseteq B_{n+1}\text{, sowie } \mathds{1}_{B_n}g\leq\alpha f_n.\] +Sei \(x\in X\).\\ +\textbf{Fall 1:} Ist \(f(x)=0\), so ist wegen \(0\leq g\leq f\) auch \(g(x)=0\). Somit ist \(x\in B_n\) für jedes \(\natn\).\\ +\textbf{Fall 2:} Ist \(f(x)>0\), so ist \[\frac{1}{\alpha}g(x)0\), so ist \(\frac{1}{\alpha}g(x)0\})=0$ +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item \((f_n)\) und \((g_n)\) seien zulässig für $f$ bzw. $g$. Weiter sei \((h_n):=\alpha (f_n)+\beta (g_n) \). +Dann ist wegen \ref{Satz 3.7} und \(\alpha , \beta \geq 0\), dass \((h_n)\) zulässig für \(\alpha f+\beta g\) ist. Dann: +\begin{align*} +\int_X(\alpha f + \beta g)\,dx +&= \lim\limits_{n\to\infty}\int_X \left( \alpha (f_n)+\beta (g_n) \right)\,dx\\ +&\overset{\ref{Satz 4.2}}= \alpha\lim\limits_{n\to\infty}\int_X(f_n)\,dx + \beta\lim\limits_{n\to\infty}\int_X(g_n)\,dx\\ +&=\alpha\int_Xf\,dx + \beta\int_Xg\,dx +\end{align*} +\item Wegen \(f\leq g\) auf $X$ ist \(M(f)\subseteq M(g)\) und somit auch \(\sup M(f)\leq\sup M(g)\). Aus \ref{Folgerung 4.4} folgt nun die Behauptung. +\item Setze \(A:=\{f>0\}=\{x\in X:f(x)>0\}\). +\begin{enumerate} +\item["'$\implies$"'] Sei \(\int_Xf\,dx=0\) und \(A_n:=\{f>\frac{1}{n}\}\). Dann ist \(A=\bigcup A_n\) und \(f\geq\frac{1}{n}\mathds{1}_{A_n}\). Damit folgt: +\begin{align*} +0 = \int_Xf\,dx +\overset{\text{(2)}}\geq \int_X\frac1{n}\mathds{1}_{A_n}\,dx +=\frac1{n}\lambda(A_n) +\intertext{Es ist also \(\lambda(A_n)=0\) und damit gilt weiter} +\lambda(A)=\lambda(\bigcup A_n) \overset{\ref{Satz 1.7}}\leq \sum\lambda(A_n)=0 +\end{align*} +Also ist auch \(\lambda(A)=0\). +\item["'$\impliedby$"'] Sei \(\lambda(A)=0\), \((f_n)\) zulässig für $f$ und \(c_n:=\max\{f_n(x):x\in X\}\). Dann ist \(f_n\leq c_n\mathds{1}_A\) und es gilt: +\[0 \leq \int_Xf_n\,dx\overset{\text{(2)}} \leq \int_Xc_n\mathds{1}_A\,dx = c_n\lambda(A) \overset{\text{Vor.}} = 0 \] +Es ist also \(\int_Xf_n\,dx=0\) für jedes $\natn$ und somit auch \(\int_Xf\,dx=0\) +\end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version I)] +\label{Satz 4.6} +Sei $(f_n)$ eine Folge messbarer Funktionen $f_n:X\to[0,\infty]$ und es gelte $f_n\le f_{n+1}$ auf $X$ für jedes $n\in\mdn$. +\begin{enumerate} +\item Für alle $x\in X$ existiert $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$. +\item Die Funktion $f:X\to[0,\infty]$ definiert durch: +\[f(x):=\lim_{n\to\infty} f_n(x)\] +ist messbar. +\item $\int_X \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x) \text{ d}x=\int_X f(x) \text{ d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\int_X f_n(x) \text{ d}x$ +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Für alle $x\in X$ ist \(\left(f_n(x)\right)\) wachsend, also konvergent in \([0,+\infty]\). +\item folgt aus \ref{Satz 3.5}. +\item Sei \( \left(u_j^{(n)}\right)_{j\in\mdn} \) zulässig für $f_n$ und \(v_j:=\max\left\{u_j^{(1)}, u_j^{(2)}, \ldots , u_j^{(j)} \right\} \). +Aus \ref{Satz 3.7} folgt, dass $v_j$ einfach ist und aus der Konstruktion lässt sich nachrechnen, dass gilt: + \[0\leq v_j\leq v_{j+1} \text{ und } v_j\leq f_n\leq f \text{ und } f_n=\sup\limits_{j\in\mdn}u_j^{(n)} \leq \sup\limits_{j\in\mdn}v_j \text{ (auf $X$)}\] +Damit ist $(v_j)$ zulässig für $f$ und es gilt: +\[ \int_Xf\,dx=\lim\limits_{j\to\infty}\int_Xv_j\,dx\leq\lim\limits_{j\to\infty}\int_Xf_j\,dx\leq\int_Xf\,dx \] +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version II)] +\label{Satz 4.7} +Sei $(f_n)$ eine Folge messbarer Funktionen $f_n:X\to[0,\infty]$. +\begin{enumerate} +\item Für alle $x\in X$ existiert $s(x):=\sum_{j=1}^\infty f_j(x)$. +\item $s:X\to[0,\infty]$ ist messbar. +\item $\int_X \sum_{j=1}^\infty f_j(x) \text{ d}x= \sum_{j=1}^\infty \int_X f_j(x) \text{ d}x$ +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +Setze \[s_n:=\sum\limits_{j=1}^nf_j\] +Dann erfüllt \((s_n)\) die Voraussetzungen von \ref{Satz 4.6}. Aus 4.6 und \ref{Satz 4.5}(1) folgt die Behauptung. +\end{beweis} + +\begin{satz} +\label{Satz 4.8} +Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar und es sei $\varnothing\ne Y\in\fb(X)$ (also $Y\subseteq X$ und $Y\in\fb_d$). Dann sind die Funktionen $f_{|Y}:Y\to[0,\infty]$ und $\mathds{1}_Y\cdot f:X\to[0,\infty]$ messbar und es gilt: +\[\int_Y f(x) \text{ d}x:=\int_Y f_{|Y}(x) \text{ d}x=\int_X (\mathds{1}_Y\cdot f)(x) \text{ d}x\] +\end{satz} + +\begin{beweis} +\textbf{Fall 1:} Die Behauptung ist klar, falls $f$ einfach ist. (Übung!)\\ +\textbf{Fall 2:} Sei \((f_n)\) zulässig für $f$ und \(g_n:=f_{n|Y} , h_n:=\mathds{1}_Y f_n\) +Dann ist \((g_n)\) zulässig für \(f_{|Y}\) und \((h_n)\) ist zulässig für \(\mathds{1}_Y f_n\). +Insbesondere sind \(f_{n|Y}\) und \(\mathds{1}_Y f_n\) nach \ref{Satz 3.5} messbar. +Weiter gilt: +\[ \int_Y f_{|Y}\,dx \overset{n\to\infty}\longleftarrow \int_Yg_n\,dx \overset{Fall 1}=\int_Xh_n\,dx\overset{n\to\infty}\longrightarrow \int_X\mathds{1}_Yf\,dx \] +\end{beweis} + +\begin{definition} +\index{integrierbar}\index{Integral}\index{Lebesgueintegral} +Sei $f:X\to\imdr$ messbar. $f$ heißt (Lebesgue-)\textbf{integrierbar} (über $X$), genau dann wenn $\int_X f_+(x) \text{ d}x<\infty$ \textbf{und} $\int_X f_-(x) \text{ d}x<\infty$.\\ +In diesem Fall heißt: +\[\int_X f(x) \text{ d}x:=\int_X f_+(x) \text{ d}x-\int_X f_-(x) \text{ d}x\] +das (Lebesgue-)\textbf{Integral} von $f$ (über $X$). +\end{definition} + +\textbf{Beachte:}\\ +Ist $f:X\to[0,\infty]$ messbar, so ist $f$ genau dann integrierbar, wenn gilt: +\[\int_X f(x) \text{ d}x<\infty\] + +\begin{beispiel} +Sei $X \in \fb_1$, $f(x) := \begin{cases} 1&,x\in X\cap\MdQ\\ 0&,x\in X\setminus\MdQ\end{cases} = \mathds{1}_{X\cap\MdQ}$. +$X, \MdQ \in \fb_1 \implies X \cap \MdQ \in \fb_1 \implies f$ ist messbar. +\[0 \leq \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \mathds{1}_{X\cap\MdQ} \text{ d}x = \lambda(X\cap\MdQ) \leq \lambda(\MdQ) = 0\] +\textbf{Das heißt:} $f \in \fl^1(X)$, $\int_X f \text{ d}x = 0$. +Ist speziell $X = [a,b]\quad (a0$ offene Intervalle $I_1,I_2,\ldots\subseteq\mdr^d$ existieren mit $N\subseteq\bigcup I_j$ und $\sum_{j=1}^\infty \lambda(I_j)\le\ep$. +\end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item $0\le\lambda(M)\le\lambda(N)=0$ +\item $0\le\lambda(\bigcup N_j)\le\sum\lambda(N_j)=0$ +\item Folgt aus \ref{Satz 2.10}. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{bemerkung} +$\ $ +\begin{enumerate} +\item $\mdq$ ist "`klein"': $\mdq$ ist "`nur"' abzählbar. +\item $\mdq$ ist "`groß"': $\overline\mdq=\mdr$ +\item $\mdq$ ist "`klein"': $\lambda(\mdq)=0$ +\end{enumerate} +\end{bemerkung} + +\begin{definition} +\index{für fast alle} +\index{fast überall} +\begin{enumerate} +\item Sei $(E)$ eine Eigenschaft für Elemente in $X$.\\ +$(E)$ gilt \textbf{für fast alle} (ffa) $x\in X$, genau dann wenn $(E)$ \textbf{fast überall} (fü) (auf $X$) gilt, genau dann wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass $(E)$ für alle $x\in X\setminus N$ gilt. +\item $\int_\varnothing f(x) \text{ d}x:=0$ +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{Satz 5.2} +Seien $f:X\to\imdr$ messbare Funktionen. +\begin{enumerate} +\item Ist $f$ integrierbar, so ist $f$ fast überall endlich. +\item Ist $f \ge0$ auf $X$, so ist $\int_X f(x)\text{ d}x=0$ genau dann wenn fast überall $f=0$. +\item Ist $f$ integrierbar und $N\subseteq X$ eine Nullmenge, so gilt: +\[\int_N f(x)\text{ d}x=0\] +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item ist gerade \ref{Folgerung 4.10}. +\item ist gerade \ref{Satz 4.5}(3) +\item Setze $g:=\mathds{1}_N f$. Aus \ref{Satz 4.11} folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach \ref{Satz 4.9} auch $\lvert g \rvert$ integrierbar. Für $x\in X\setminus N$ gilt: +\[g(x)=\lvert g(x) \rvert =0\] +D.h. $\lvert g \rvert =0$ fast überall. Aus (2) folgt damit $\int_X \lvert g \rvert \,dx = 0$. Dann ist mit \ref{Satz 4.11}: \[\left\lvert\int_X g\,dx \right\rvert \leq \int_X \lvert g \rvert \,dx =0\] +und somit $\int_X g\,dx=0$. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{satz} +\label{Satz 5.3} +$f,g:X\to\imdr$ seien messbar. +\begin{enumerate} +\item Ist $f$ integrierbar und gilt fast überall $f=g$, so ist $g$ integrierbar und es gilt: +\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\] +\item Ist $f$ integrierbar und $g:=\mathds{1}_{\{ \lvert f \rvert <\infty \}}\cdot f$, so ist $g$ integrierbar und es gilt: \[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\] +\item Sind $f$ und $g$ beide $\geq0$ auf $X$, und ist fast überall $f=g$, so ist +\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\] +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Nach Voraussetzung existiert eine Nullmenge $N\subseteq X$, sodass gilt: +\[\forall x\in X\setminus N:f(x)=g(x)\] +Aus \ref{Satz 5.2}(3) folgt dann $\int_N f\,dx=0$. +Sei $x\in X\setminus N$ Dann gilt: +\[\left( \mathds{1}_N \lvert g \rvert \right)(x)=\mathds{1}_N(x)\cdot \lvert g(x) \rvert=0\] +D.h.: Fast überall ist $\mathds{1}_N \lvert g \rvert =0$. Aus \ref{Satz 5.2}(2) folgt $\int_N \lvert g \rvert\,dx=\int_X\mathds{1}_N\cdot \lvert g \rvert\,dx=0$. +Dann gilt: +\begin{align*} +\int_X \lvert g\rvert\,dx & = \int_X \left(\mathds{1}_N \lvert g\rvert + \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert \right)\,dx\\ + &= \int_X\mathds{1}_N \lvert g\rvert\,dx + \int _X\mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert\,dx\\ + &= \int_X \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g \rvert\,dx\\ +& \leq\int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.9}}< \infty +%hier soll eigentlich das kleinergleich unter das erste gleichzeichen... +\end{align*} +\ref{Satz 4.9} liefert nun, dass $\lvert g\rvert$ und damit auch $g$ integrierbar ist. Weiter gilt: +\begin{align*} +\int_Xg\,dx &\overset{\ref{Satz 4.12}} = \int_N g\,dx+ \int_{X\setminus N}g\,dx = \int_{X\setminus N}g\,dx\\ +&= \int_{X\setminus N}f\,dx \overset{\ref{Satz 5.2}(3)}= \int_N f\,dx +\int_{X\setminus N}f\,dx\\ +&\overset{\ref{Satz 4.12}}= \int_X f\,dx. +\end{align*} + +\item Setze $N:=\left\{\lvert f\rvert =\infty \right\}$. Aus \ref{Satz 5.2}(1) folgt, dass $N$ eine Nullmenge ist. Sei $x\in X\setminus N$, so ist $x\in \left\{\lvert f\rvert <\infty \right\}$ und $g(x)=f(x)$. +D.h. fast überall ist $f=g$. (Klar: $g$ ist mb). Dann folgt die Behauptung aus (1). +\item \textbf{Fall 1:} $\int_Xf\,dx<\infty$\\ +Dann ist $f$ integrierbar, damit ist nach (1) auch $g$ integrierbar und es gilt: +\[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\] +\textbf{Fall 2:} $\int_Xf\,dx=\infty$.\\ +Annahme: $\int_Xg\,dx<\infty$. Dann gilt nach Fall 1: $\int_Xf\,dx<\infty$. $\lightning$ +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{definition} +$(f_n)$ sei eine Folge von Funktionen $f_n:X\to\imdr$. +\begin{enumerate} +\item $(f_n)$ konvergiert fast überall (auf $X$) genau dann, wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert, sodass für alle $x\in X\setminus N$ $\left(f_n(x)\right)$ in $\imdr$ konvergiert. +\item Sei $f:X\to\imdr$. $(f_n)$ konvergiert fast überall (auf $X$) gegen $f$ genau dann, wenn eine Nullmenge $N\subseteq X$ existiert mit: $f_n(x)\to f(x) \forall x\in X\setminus N$\\ +In diesem Fall schreiben wir: $f_n\to f$ fast überall. +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{Satz 5.4} +Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}: X\to\imdr\) und \((f_{n})\) konvergiere fast \"uberall (auf \(X\)). +Dann: +\begin{enumerate} +\item Es existiert \(f: X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to f\) fast \"uberall. +\item Ist \(g: X\to\imdr\) eine Funktion mit \(f_{n}\to g\) fast \"uberall, so gilt \(f=g\) fast \"uberall. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{bemerkung} +Ist \(g\) wie in (2), so muss \(g\) nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in der \"Ubung). +\end{bemerkung} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{1}\subseteq X:\,(f_{n}(x))\) konvergiert in \(\imdr\) für alle +\(x\in X\setminus N_{1}\). +\[ +f(x)=\begin{cases}0&x\in N_{1}\\\lim_{n\to\infty}{f_{n}(x)}&x\in X\setminus N_{1}\end{cases} +\] +\(g_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(g_{n}\) ist messbar und \(g_{n}(x)\to f(x)\) für alle \(x\in X\). +Mit \ref{Satz 3.5} folgt: \(f\) ist messbar. +\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{2}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{2}\). +\(N=N_{1}\cup N_{2}\). Aus \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge. + +Für \(x\in X\setminus N:\,f(x)=g(x)\). +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{satz}[Satz von Beppo Levi (Version III)] +\label{Satz 5.5} +Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\) und für jedes \(n\in\mdn\) gelte: +\(f_{n}\leq f_{n+1}\) fast überall. Dann existiert eine messbare Funktion +\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast \"uberall und +\[\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\] +\end{satz} + +\begin{beweis} +Zu jedem \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge +\(N_{n}:\,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\forall x\in X\setminus N_{n}\). +\(N:=\bigcup_{n=1}^{\infty}{N_{n}}\); Mit \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine +Nullmenge. + +Dann: \(f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\). + +\(\hat{f}_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(\hat{f}_{n}\) ist +messbar, \(\hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf \(X\) f\"ur alle \(n\in\mdn\). + +\(f(x):=\lim_{n\to\infty}{\hat{f}_{n}(x)}\,(x\in X)\); \ref{Satz 3.5} liefert: +\(f\) ist messbar. Weiter: \(\hat{f}_{n}\to f\). +\[ +\int_{X}{f\mathrm{d}x}\overset{\text{\ref{Satz 4.6}}}{=}\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{\hat{f}_{n}\mathrm{d}x}}\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(2)}}{=}\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}} +\] +\end{beweis} + +\chapter{Der Konvergenzsatz von Lebesgue} +\label{Kapitel 6} + +Stets in diesem Paragraphen: \(\varnothing\neq X\in\fb_{d}\) + +\begin{lemma}[Lemma von Fatou] +\label{Lemma 6.1} +\((f_{n})\) sei eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\). +\begin{enumerate} +\item Es gilt: +\[\int_{X}{(\liminf_{n\to\infty}f_{n})(x)\mathrm{d}x}\leq\liminf_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}(x)\mathrm{d}x}}\] +\item Ist \(f: X\to[0,+\infty]\) messbar und gilt \(f_{n}\to f\) fast \"uberall, +so ist +\[ +\int_{X}{f\mathrm{d}x}\leq\liminf_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}} +\] +\item Ist \(f\) wie in (2) und ist \(\left(\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\right)\) +beschr\"ankt, so ist \(f\) integrierbar. +\end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item \(g_{j}:=\inf_{n\geq j}{f_{n}}\). Aus \ref{Satz 3.5} folgt: \(g_{j}\) ist messbar, klar: \(g_{j}\leq g_{j+1}\) auf +\(X\); \(\sup_{j\in\mdn}{g_{j}}=\liminf_{n\to\infty}{f_{n}}\) + +Weiter: \(g_{j}\leq f_{n}\,(n\geq j)\) + +Dann: +\begin{align*} + \int_{X}{\liminf_{n\to\infty}f_{n}\mathrm{d}x}&=\int_{X}{\sup_{j\in\mdn}g_{j}\mathrm{d}x}\\ + &=\int_{X}{\lim_{j\to\infty}g_{j}(x)\mathrm{d}x}\\ + &\overset{\ref{Satz 4.6}}{=}\lim_{j\to\infty}\int_{X}{g_{j}\mathrm{d}x}\\ + &=\sup_{j\in\mdn}\underbrace{\int_{X}{g_{j}\mathrm{d}x}}_{\leq\inf_{n\geq j}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\\ + &\leq\sup_{j\in\mdn}\left\{\inf_{n\geq j}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\right\}\\ + &=\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x} +\end{align*} +\item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\): \(f_{n}(x)\to f(x)\,\forall x\in X\setminus N\). Dann: +\(f=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\) fast \"uberall. +\begin{align*} + \int_{X}{f\mathrm{d}x}&\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\mathrm{d}x}\\ + &=\int_{X}{(\lim_{n\to\infty}\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n})\mathrm{d}x}\\ + &\overset{(1)}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\mathrm{d}x}\\ + &\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x} +\end{align*} +\item folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt +\[ +0\leq\int_{X}{f\mathrm{d}x}\overset{\text{(2)}}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}<\infty +\] +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{satz}[Konvergenzsatz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz)] +\label{Satz 6.2} +\((f_{n})\) sei eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:X\to\imdr\), \((f_{n})\) +konvergiere fast \"uberall und es sei \(g:X\to[0,+\infty]\) integrierbar. F\"ur +jedes \(n\in\mdn\) gelte \(\lvert f_{n}\rvert\leq g\) fast \"uberall. Dann sind +alle \(f_{n}\) integrierbar und es existiert ein \(f\in\fl^{1}(X)\) mit: +\begin{enumerate} +\item \(f_{n}\to f\) fast \"uberall +\item \(\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\to\int_{X}{f\mathrm{d}x}\) +\item \(\int_{X}{\lvert f_{n}-f\rvert\mathrm{d}x}\to 0\) +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beispiel} +% Hier fehlt eventuell eine Graphik... +Sei \(X=\mdr,\,f_{n}:=n\mathds{1}_{(0,\frac{1}{n})}\). Dann: +\[ +\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}=n\cdot\lambda_{1}\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right)=n\cdot\frac{1}{n}=1\forall n\in\mdn +\] +Es gilt \(f_{n}\to f:=0\) punktweise und \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=0 \neq 1 = \int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\). \ref{Satz 6.2} ist ohne Majorante im allgemeinen +falsch. +\end{beispiel} + +\begin{beweis} +% Nummerierung vernuenftig zurechtbasteln +\begin{enumerate} +\item Aus \ref{Satz 5.4} folgt: Es existiert \(\hat{f}:X\to\imdr\) messbar mit \(f_{n}\to\hat{f}\) fast \"uberall. +Es existiert eine Nullmenge \(N_{0}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to\hat{f}(x)\,\forall x\in X\setminus N_{0}\) +\item F\"ur alle \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge \(N_{n}\subseteq X:\,\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{n}\). + +Setze \(N:=\bigcup_{n=0}^{\infty}{N_{n}}\). Mit \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge. + +Wir haben: \(\lvert f_{n}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\) und +\(\lvert\hat{f}(x)\rvert\leq g(x)\,\forall x\in X\setminus N\). +\item \(f_{n}=\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) fast \"uberall und \(\hat{f}=\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\) +fast \"uberall. + +Es gilt \(\lvert\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\rvert\leq g\) und \(\lvert\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\rvert\leq g\). Mit +\ref{Satz 4.9} folgt: \(\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\) und \(\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\) sind integrierbar. + +Mit \ref{Satz 5.3}.(1) folgt: \(f_{n}\) und \(\hat{f}\) sind integrierbar. +\item \(\tilde{N}:=N\cup\{\lvert\hat{f}\rvert=\infty\}\cup\{g=\infty\}\). Mit \ref{Folgerung 4.10} und \ref{Lemma 5.1} folgt: +\(\tilde{N}\) ist eine Nullmenge. + +Setze \(f:=\mathds{1}_{X\setminus N}\hat{f}\). Dann: \(f\) ist messbar; es ist \(\lvert f\rvert\leq\lvert\hat{f}\rvert\). +Mit \ref{Satz 4.9} folgt: \(f\) ist integrierbar. + +Es ist \(f(X)\subseteq\mdr\). Also: \(f\in\fl^{1}(X)\). + +Sei \(x\in X\setminus\tilde{N}:\,f(x)=\tilde{f}(x)=\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)\). +D.h. \(f_{n}\to f\) fast \"uberall. +\item Definiere $g_n:=|f|+\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}g-\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}|f_n-f|$. Es ist fast überall +\begin{align*} +\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}g=g&&\mathds{1}_{X\setminus \tilde N}|f_n-f|=|f_n-f| +\end{align*} +Nach \ref{Satz 5.3}(1) ist $g$ integrierbar und $g_n\to |f|+g$ fast überall. Es gilt: +\begin{align*} +|f_n-f|\le|f_n|+|f|\le g+|f| \text{ auf} X\setminus\tilde N +\end{align*} +D.h. es ist $g\ge0$ auf X. +\item Es gilt: +\begin{align*} +\int_X(|f|+g)\text{ d}x&\stackrel{\ref{Lemma 6.1}(2)}\le \liminf_{n\to\infty} \int_X g_n \text{ d}x\\ +&=\liminf \left(\int_{\tilde N} g_n\text{ d}x+\int_{X\setminus\tilde N}g_n\text{ d}x\right)\\ +&=\liminf \int_{X\setminus\tilde N}g_n\text{ d}x\\ +&=\liminf \int_{X\setminus\tilde N}(|f|+g-|f_n-f|)\text{ d}x\\ +&=\int_{X\setminus\tilde N} (|f|+g)\text{ d}x-\limsup \int_{X\setminus\tilde N}|f_n-f|\text{ d}x\\ +&\stackrel{\ref{Satz 5.2}(3)}= \int_X |f|+g\text{ d}x-\limsup\int_X |f_n-f|\text{ d}x +\end{align*} +Daraus folgt: +\[\limsup\int_x|f_n-f|\text{ d}x\le 0\] +Also gilt auch: +\[|\int_Xf_n\text{ d}x-\int_Xf\text{ d}x|=|\int_X(f_n-f)\text{ d}x\le \int_X|f_n-f|\text{ d}x\to 0\] +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{beispiel} +Sei \(X:=[1,\infty)\) und \(f_n(x):=\frac1{x^\frac32}\sin\left(\frac xn \right) \) für alle \(x\in X, n\in\mdn\) mit \(f_n(x)\to f(x)\equiv 0\) für jedes \(x\in X\). +Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$. +Definiere nun \[g(x):=\frac1{x^\frac32}\] +Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist +und aus \ref{Satz 4.14} folgt \[g\in\mathfrak{L}^1(X) \text{ sowie } \int_X g(x)\,dx = \text{R-}\int^\infty_1 g(x)\,dx\] +Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}: +\[\int_X f_n\,dx\to 0 \text{ und } \int_X\lvert f_n\rvert\,dx\to 0 \ (n\to\infty) \] +\end{beispiel} + +\begin{folgerung}[aus \ref{Satz 6.2}] +\label{Folgerung 6.3} +\begin{enumerate} + \item Sei \(f:X\to\imdr\) messbar und \((A_n)\) sei eine Folge in \(\fb(X)\) mit \(A_n\subseteq A_{n+1}\) für jedes $\natn$ und \(X=\bigcup A_n\). Weiter sei + \begin{align*} + f_n:=\mathds{1}_{A_n}\cdot f \text{ integrierbar für alle } \natn \intertext{und} \left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right) \text{ sei beschränkt. } + \end{align*} + Dann ist $f$ integrierbar und es gilt: \[\int_{A_n}f\,dx \to \int_Xf\,dx \quad \text{für } n \to \infty\] + \item Sei \(a\in\mdr\), \(X:=[a,\infty]\) und \(f:X\to\mdr\) sei stetig. Weiter sei R-\(\int_a^\infty f\,dx\) \textbf{absolut} konvergent. Dann ist \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) und wie in \ref{Satz 4.14}: + \[\text{L-}\int_Xf\,dx=\text{R-}\int^\infty_a f\,dx \] +\end{enumerate} +\end{folgerung} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} + \item Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes \(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich: + \[ \lvert f_n\rvert=\lvert \mathds{1}_{A_n}f\rvert=\mathds{1}_{A_n}\lvert f\rvert \leq \mathds{1}_{A_{n+1}}\lvert f\rvert=\lvert f_{n+1}\rvert \] + Dann gilt: + \[ \int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\lim\int_X \lvert f_n\rvert\,dx = \lim\int_{A_n} \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}<\infty \] + Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine + integrierbare Majorante und es folgt mit \ref{Satz 6.2}: + \[ \int_Xf\,dx = \lim\int_Xf_n\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \] + \item Setze \(A_n:=[a,n]\ (\natn)\) und es gelte o.B.d.A.: \(a\leq 1\). Dann gilt: + \[ \int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^n_a \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}\longrightarrow \text{R-}\int^\infty_a \lvert f\rvert\,dx \] + D.h.\(\left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right)\) ist beschränkt. Definiere \(f_n:=\mathds{1}_{A_n}f\) mit \ref{Satz 4.13} folgt daraus, dass $f_n$ integrierbar ist. Weiter folgt + aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und + \[ \text{L-}\int_Xf\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \lim\left(\text{R-}\int^n_a f\,dx \right) = \text{R-}\int^\infty_a f\,dx. \] +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{bemerkung} +\ref{Folgerung 6.3}(2) gilt entsprechend für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale. +\end{bemerkung} + +\begin{folgerung} +\label{Folgerung 6.4} +\begin{enumerate} + \item \((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und + \[g_n:=f_1+f_2+\ldots+f_n \ (\natn)\] + Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$ konvergiert und + \[\lvert g_n(x)\rvert \leq g(x) \text{ für jedes } \natn \text{ und } x\in X\setminus N\] + Setzt man + \[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):= + \begin{cases} + 0, & \text{falls } x\in N \\ + \lim\limits_{n\to\infty}g_n(x), & \text{falls } x\in X\setminus N + \end{cases}\quad,\] + so gilt, dass $f$ integrierbar ist und + \[\int_X \left( \sum^\infty_{j=1}f_j(x) \right)\,dx = \sum^\infty_{j=1}\left( \int_Xf_j(x)\,dx \right) \] + \item Sei \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) und \((A_n)\) eine \textbf{disjunkte} Folge in \(\fb(X)\) mit \(X=\dot\bigcup A_n\). Dann gilt + \[\int_Xf\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_{A_j}f\,dx \] +\end{enumerate} +\end{folgerung} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} + \item Fast überall gelten \(g_n\to f\) und für jedes \(\natn\) auch \(\lvert g_n\rvert \leq g\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt + \begin{align*} + \int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx + &= \int_Xf\,dx \\ + &\overset{\ref{Satz 6.2}}= \lim\int_Xg_n\,dx \\ + &= \lim\int_X\left(\sum^n_{j=1}f_j\right)\,dx \\ + &=\lim\sum^n_{j=1}\int_Xf_j(x)\,dx \\ + &=\sum^\infty_{j=1}\int_Xf_j\,dx \\ + \end{align*} + \item Setze \(f_j:=\mathds{1}_{A_j}f\), \(g:=\lvert f\rvert\), \(g_n:=f_1+\ldots+f_n\). Dann ist + \[\lvert g_n\rvert = \lvert \mathds{1}_{A_1\cup\ldots\cup A_n}\cdot f\rvert \leq \lvert f\rvert =g \] + Es gilt: \(g_n\to f\) auf $X$. Aus (1) folgt + \[ \int_Xf\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_Xf_j\,dx = \sum^\infty_{j=1}\int_{A_j}f\,dx \] +\end{enumerate} +\end{beweis} + + +\chapter{Parameterintegrale} +\label{Kapitel 7} + +In diesem Paragraphen sei stets \(\varnothing\neq X\in \fb_d\). + +\begin{satz} +\label{Satz 7.1} +Sei \(U\in\fb_k, t_0\in U\) und es sei \(f\colon U\times X\to \mdr\) eine Funktion mit: +\begin{enumerate} + \item Für jedes \(t\in U\) ist \(x\mapsto f(t,x)\) messbar. + \item Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\) so, dass \(t\mapsto f(t,x)\) für jedes \(x\in X\setminus N\) stetig in $t_0$ ist. + \item Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für + jedes \(t\in U\) und jedes \(x\in X\setminus N_t\) gilt: \[ \lvert f(t,x)\rvert \leq g(x) \] +\end{enumerate} +Dann ist \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar. Ist \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch +\[ F(t):=\int_Xf(t,x)\,dx,\] +so ist $F$ stetig in $t_0$. +\end{satz} + +Also: \[ \lim\limits_{t\to t_0}\int_X f(t,x)\,dx = \lim\limits_{t\to t_0}F(t)=F(t_0) = \int_X f(t_0,x)\,dx =\int_X\lim\limits_{t\to t_0} f(t,x)\,dx \] + +\begin{beweis} +Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und +\[g_n(x):=f(t_n,x) \ (\natn, x\in X) \] +Setze \[ \tilde N := N\cup \left(\bigcup^\infty_{n=1}N_{t_n} \right) \] +Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt +\[g_n(x)\to f(t_0,x) \text{ fast überall auf } X\] +Voraussetzung (3) liefert \(\lvert g_n(x)\rvert = \lvert f(t_n,x)\rvert \leq g(x) \) für jedes \(\natn\) und \(x\in X\setminus\tilde N\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt +\[ F(t_n) = \int_X f(t_n,x)\,dx = \int_Xg_n\,dx \longrightarrow \int_X f(t_0,x)\,dx = F(t_0) \] +\end{beweis} + +\textbf{Bezeichnung}\\ +Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar +(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und +\[\int\limits^b_af(x)\,dx:=\int\limits_{(a,b)}f_{|(a,b)}(x)\,dx \] +Dann ist +\[ \int_I f(x) dx = \int_{(a,b)} f(x) dx\] +Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \] + +\begin{folgerung} +\label{Folgerung 7.2} +Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch +\[F(t):=\int^t_a f(x)\,dx,\] so ist \(F\in C(I)\). +\end{folgerung} + +\begin{beweis} +Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und +\[\lvert h(t,x)\rvert = \mathds{1}_{(a,t)}\cdot \lvert f(x)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert \text{ für alle } t,x\in I\] +Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist. Sei \(t_0\in I\) und \(N:=\{t_0\}\), also eine Nullmenge. +Dann ist \(t\mapsto h(t,x)\) für jedes \(x\in I\setminus N\) stetig in \(t_0\) (zur Übung). Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 7.1}. +\end{beweis} + +\begin{satz} +\label{Satz 7.3} +Sei \(U\subseteq \mdr^k\) offen, \(f\colon U\times X\to\mdr\) eine Funktion. Es sei \(g\colon X\to [0,+\infty]\) integrierbar und \(N\subseteq X\) sei eine Nullmenge. +Weiter gelte: +\begin{enumerate} + \item für jedes \(t\in U\) sei \(x\mapsto f(t,x)\) integrierbar. + \item für jedes \(x\in X\setminus N\) sei \(t\mapsto f(t,x)\) partiell differenzierbar auf $U$. + \item \(\left\lvert \frac{ \partial f}{\partial t_j} \right\rvert \leq g(x) \) für jedes \(x\in X\setminus N\), jedes \(t\in U\) und jedes \(j\in\{1,\ldots,k\}\) +\end{enumerate} +Ist dann \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch \[F(t):=\int_X f(t,x)dx\] so ist $F$ auf $U$ partiell differenzierbar und für jedes \( t\in U\) sowie jedes \( j\in\{1,\ldots,k\}\) gilt: +\[ \frac{\partial F}{\partial t_j}(t) = \int_X\frac{\partial f}{\partial t_j}(t,x)\,dx \] +\end{satz} +\textbf{Also: } \( \frac{\partial}{\partial t_j}\int_X f(t,x)\,dx = \int_X \frac{\partial f}{\partial t_j}(t,x)\,dx \). + +\begin{beweis} +Sei o.B.d.A. \(k=1\), also \(U\subseteq\mdr\). Sei \(t_0\in U\) und \((h_n)\) eine Folge mit \(h_n\to 0\) und \(h_n\neq 0\) für alle \(\natn\). +Setze \[g_n(x):=\frac{f(t_0+h_n,x)-f(t_0,x)}{h_n} \ \ (x\in X, \natn) \] +Aus Voraussetzung (2) folgt für jedes \(x\in X\setminus N\): \[ g_n(x)\to \frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x) \ \ (n\to\infty) \] +Nach dem Mittelwertsatz aus Analysis 1 existiert für jedes \(x\in X\setminus N\) und jedes \(\natn\) ein \(s_n=s_n(x)\) zwischen \(t_0\) und \(t_0+h_n\) mit: +\[ \left\lvert g_n(x) \right\rvert = \left\lvert \frac{\partial f}{\partial t}(s_n,x)\right\rvert \overset{(3)}\leq g(x) \] +Aus \ref{Satz 6.2} folgt \[ \int_X g_n\,dx \longrightarrow \int_X\frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x)\,dx \] +Es ist nach Konstruktion gerade \(\int_X g_n\,dx =\frac{F(t_0+h_n)-F(t_0)}{h_n} \). +\end{beweis} + +\chapter{Vorbereitungen auf das, was kommen mag} +\label{Kapitel 8} + +In diesem Paragraphen seien \(k,l,d\in\mdn\) und \(k+l=d\). \(\mdr^d\cong\mdr^k\times\mdr^l\). Für Punkte \(z\in\mdr^d\) schreiben wir \(z=(x,y)\), wobei \(x\in\mdr^k\) und \(y\in\mdr^l\). + +\begin{definition} +\begin{enumerate} + \item \(p_1\colon\mdr^d\to\mdr^k\) sei definiert durch \(p_1(x,y):=x\) + \item \(p_2\colon\mdr^d\to\mdr^l\) sei definiert durch \(p_2(x,y):=y\) + \item Für \(y\in\mdr^l\) sei \(j_y\colon\mdr^k\to\mdr^d\) definiert durch \(j_y(x):=(x,y)\) + \item Für \(x\in\mdr^k\) sei \(j^x\colon\mdr^l\to\mdr^d\) definiert durch \(j^x(y):=(x,y)\) +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{lemma} +\label{Lemma 8.1} +\(p_1,p_2,j_y,\) und \(j^x\) sind messbar. +\end{lemma} + +\begin{beweis} +\(p_1,p_2,j_y\) und \(j^x\) sind stetig, also nach \ref{Satz 3.2} messbar. +\end{beweis} + +\begin{definition} +Sei \(C\subseteq\mdr^d\).\\ +Sei \(y\in\mdr^l\), dann heißt \(C_y:=\{x\in\mdr^k:(x,y)\in C\}=(j_y)^{-1}(C)\) der \textbf{y-Schnitt} von C.\\ +Sei \(x\in\mdr^k\), dann heißt \(C^x:=\{y\in\mdr^l:(x,y)\in C\}=(j^x)^{-1}(C)\) der \textbf{x-Schnitt} von C. +\end{definition} + +\begin{lemma} +\label{Lemma 8.2} +Sei \(C\in\fb_d\). Dann ist \(C_y\in\fb_k\) und \(C^x\in\fb_l\). +\end{lemma} + +\begin{beweis} +folgt aus \ref{Lemma 8.1}. +\end{beweis} + +\textbf{Beachte: } Sei \(A\in\mdr^k\) und \(B\in\mdr^l\), sowie \(C:=A\times B \subseteq\mdr^d\). Dann: +\begin{align*} +C_y= \begin{cases} + {\varnothing, \text{falls } y\notin B}\\ + {A, \text{falls } y\in B} + \end{cases} +& +&C^x=\begin{cases} + {\varnothing, \text{falls } x\notin A}\\ + {B, \text{falls } x\in A} + \end{cases} +\end{align*} + +\begin{lemma} +\label{Lemma 8.3} +Sei \(A\in\fb_k\) und \(B\in\fb_l\). Dann ist \(C:=A\times B\in\fb_d\). +\end{lemma} + +\begin{beweis} +Es ist +\[C=(A\times\mdr^l)\cap(\mdr^k\times B) = p_1^{-1}(A)\cap p_2^{-1}(B)\] +Nach \ref{Lemma 8.1} sind \(p_1^{-1}(A), p_2^{-1}(B) \in\fb_d\) und somit ist auch \(p_1^{-1}(A)\cap p_2^{-1}(B) \in\fb_d\) +\end{beweis} + +\begin{definition} +Sei \(f\colon\mdr^d\to\imdr\). \\ +Für \(y\in\mdr^l\): \[f_y(x):=f(x,y) \ \ (x\in\mdr^k)\] +Für \(x\in\mdr^k\): \[f^x(y):=f(x,y) \ \ (y\in\mdr^l)\] +Es ist \(f_y=f\circ j_y\) und \(f^x=f\circ j^x\). +\end{definition} + +\begin{lemma} +\label{Lemma 8.4} +Ist \(f\colon\mdr^d\to\imdr\) messbar, so sind \(f_y\) und \(f^x\) messbar. +\end{lemma} + +\begin{beweis} +folgt aus \ref{Lemma 8.1} und \ref{Lemma 8.3}. +\end{beweis} + +%vielleicht funktioniert die nummerierung jetzt ... +\begin{defusatz}[ohne Beweis] +\label{Satz 8.5} +Sei \(C\in\fb_d\). Die Funktionen \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) seien unter Beachtung von \ref{Lemma 8.2} definiert durch: +\begin{align*} +\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l) +\end{align*} +Dann sind \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) messbar. +\end{defusatz} + + +\begin{bemerkung} +Für \(C\in\fb_d\) gilt: +\begin{align*} +\varphi_C(x)=\lambda_l(C^x)=\int_{\mdr^l}\mathds{1}_{C^x}(y)\,dy=\int_{\mdr^l}\mathds{1}_{C}(x,y)\,dy \\ +\psi_C(y)=\lambda_k(C_y)=\int_{\mdr^k}\mathds{1}_{C_y}(x)\,dx=\int_{\mdr^k}\mathds{1}_{C}(x,y)\,dx +\end{align*} +\end{bemerkung} + + +\chapter{Das Prinzip von Cavalieri} +\label{Kapitel 9} + +Die Bezeichnungen seien wie im Paragraphen 8. + +\begin{satz}[Prinzip von Cavalieri] +\label{Satz 9.1} +Sei \(C\in\fb_d\). Dann: +\[ \lambda_d(C)=\int_{\mdr^k}\lambda_l(C^x)\,dx=\int_{\mdr^l}\lambda_k(C_y)\,dy \] +\end{satz} +Das heißt: +\[ \int_{\mdr^d}\mathds{1}_{C}(x,y) \text{ d}(x,y) = \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l} \mathds{1}_{C}(x,y)\,dy\right)\,dx = \int_{\mdr^l} \left(\int_{\mdr^k} \mathds{1}_{C}(x,y)\,dx\right)\,dy \] + + +\begin{beispiel} +\begin{enumerate} + \item Sei \(k=l=1\), also \(d=2\). Sei \(r>0\) und \[C:=\{(x,y)\in\mdr^2: x^2+y^2\leq r^2\}\] + Da $C$ abgeschlossen ist, gilt \(C\in\fb_2\).\\ + Ist \(\lvert y\rvert>r\), so ist \(C_y=\varnothing\), also \(\lambda_1(C_y)=0\).\\ + Sei also \(\lvert y\rvert\leq r\). Sei \(x\in\mdr\) so, dass \((x,y)\in\partial C\). Dann ist \(x^2+y^2=r^2\), also \(x=\pm\sqrt{r^2-y^2}\). + Das heißt, es ist \[C_y=\left[-\sqrt{r^2-y^2},+\sqrt{r^2-y^2}\right]\text{ und } \lambda_1(C_y)=2\sqrt{r^2-y^2}\] + Aus \ref{Satz 9.1} folgt: + \begin{align*} + \lambda_2(C) + &=\int_\mdr\lambda_1(C_y)\,dy \\ + &=\int_{[-r,r]}\lambda_1(C_y)\,dy + \int_{\mdr\setminus [-r,r]}\lambda_1(C_y)\,dy\\ + &=\int_{[-r,r]}2\sqrt{r^2-y^2}\,dy\\ + &\overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^r_{-r}2\sqrt{r^2-y^2}\,dy\\ + &\overset{Ana I}= \pi r^2 + \end{align*} + \item Sei \(\varnothing\neq X\subseteq\mdr^d\). $X$ sei kompakt, also \(X\in\fb_d\). Weiter sei \(f\colon X\to[0,\infty)\) stetig, woraus mit \ref{Satz 4.11} \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) folgt. + Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\] + $C$ ist kompakt und somit gilt: \(C\in\fb_{d+1}\).\\ + Ist \(x\notin X\), so ist \(C^x=\varnothing\), also \(\lambda_1(C^x)=0\).\\ + Ist \(x\in X\), so ist \(C^x=[0,f(x)]\), also \(\lambda_1(C^x)=f(x)\). Damit gilt + \[\lambda_{d+1}(C) \overset{\ref{Satz 9.1}}= \int_{\mdr^d}\lambda_1(C^x)\,dx = \int_X\lambda_1(C^x)\,dx + \int_{\mdr^d\setminus X}\lambda_1(C^x) \text{ d}x = \int_Xf(x)\,dx \] + \item Sei \(I=[a,b]\subseteq\mdr\) mit \(a0$ und +\[K:=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^20$ und +\[K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2+z^2\le r^2\}\] +Dann ist $K$ abgeschlossen, also $K\in\fb_3$.\\ +\textbf{Fall $|z|>r$:} Es ist $K_z=\varnothing$, also $\lambda_2(K_z)=0$.\\ +\textbf{Fall $|z|\ge r$:} Es ist +\[K_z=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2\le r^2-z^2\}\] +und damit $\lambda_2(K_z)=\pi(r^2-z^2)$.\\ +Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann: +\begin{align*} +\lambda_3(K)&=\int_\mdr \lambda_2(K_z)\text{ d}z\\ +&=\int_{[-r,r]}\lambda_2(K_z)\text{ d}z+\int_{\mdr\setminus[-r,r]}\lambda_2(K_z)\text{ d}z\\ +&=\int_{[-r,r]}\pi(r^2-z^2)\text{ d}z\\ +&\stackrel{\ref{Satz 4.13}}=\int_{-r}^r \pi r^2-\pi z^2\text{ d}z\\ +&=\frac43\pi r^3 +\end{align*} +\item $\lambda_2\left(\text{\smiley}\right)=0$ +\item Wir wollen nun \textbf{Rotationskörper} betrachten. Sei dazu $I=[a,b]\subseteq\mdr$ mit $a0$, $I=[0,h]$ und $f(z)=\frac rhz$. Definiere den Kegel +\[V:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le \frac{r^2}{h^2}z^2\}\] +Dann ist +\begin{align*} +\lambda_3(V)&=\pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}z^2\text{ d}z\\ +&=\frac{\pi r^2h}3 +\end{align*} +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\chapter{Der Satz von Fubini} +\label{Kapitel 10} + +Die Bezeichnungen seien wie in den Paragraphen 8 und 9. + +\begin{satz}[Satz von Tonelli] +\label{Satz 10.1} +Es sei \(f\colon\mdr^d\to[0,+\infty]\) messbar. (Aus \S 8 folgt dann, dass \(f^x,f_y\) messbar sind, wobei klar ist, dass \(f^x,f_y\geq 0\) sind.)\\ +Für \(x\in\mdr^k\): +\[F(x):=\int_{\mdr^l}f(x,y)\,dy=\int_{\mdr^l}f^x(y)\,dy\] +Für \(y\in\mdr^l\): +\[G(y):=\int_{\mdr^k}f(x,y)\,dx=\int_{\mdr^k}f_y(x)\,dx\] +Dann sind $F,G$ messbar und +\[\int_{\mdr^d}f(z)\,dz=\int_{\mdr^k}F(x)\,dx=\int_{\mdr^l}G(y)\,dy\] +also +\begin{align*} +\tag{$*$}\int_{\mdr^d}f(x,y)\,d(x,y)=\int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}f(x,y)\,dy\right)dx=\int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}f(x,y)\,dx\right)dy +\end{align*} +\textbf{(iterierte Integrale)} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\textbf{Fall 1:} Sei \(C\in\fb_d\) und \(f=\mathds{1}_{C}\). Die Behauptungen folgen dann aus \ref{Satz 9.1}.\\ +\textbf{Fall 2:} Sei \(f\geq 0\) und einfach. Die Behauptungen folgen aus Fall 1, \ref{Satz 3.6} und \ref{Satz 4.5}.\\ +\textbf{Fall 3 - Der allgemeine Fall:}\\ + Sei \((f_n)\) zulässig für $f$, also: \(0\leq f_n\leq f_{n+1}\), \(f_n\) einfach und \(f_n\to f\) auf \(\mdr^d\). +Für \(x\in\mdr^k\) und \(\natn\) gilt: +\[F_n(x):=\int_{\mdr^l}f_n(x,y)\,dy\] +und nach Fall 2 ist \(F_n\) messbar. \\ +Aus \(0\leq f_n\leq f_{n+1}\) folgt \(0\leq F_n\leq F_{n+1}\) und \ref{Satz 4.6} liefert \(F_n\to F\) auf \(\mdr^k\). Dann gilt +\[\int_{\mdr^d}f(z)\,dz = \lim \int_{\mdr^d}f_n(z)\,dz \overset{Fall 2}= \lim \int_{\mdr^k}F_n(x)\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\int_{\mdr^k}F(x)\,dx\] +Genauso zeigt man +\[\int_{\mdr^d}(f(z)\,dz=\int_{\mdr^l}G(y)\,dy\] +\end{beweis} + +\begin{satz}[Satz von Fubini (Version I)] +\label{Satz 10.2} +Es sei \(f\colon\mdr^d\to\imdr\) integrierbar. Dann existieren Nullmengen \(M\subseteq\mdr^k\) und \(N\subseteq\mdr^l\) mit +\begin{align*} + f^x\colon\mdr^l\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } x\in\mdr^k\setminus M \\ + f_y\colon\mdr^k\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } y\in\mdr^l\setminus N +\end{align*} +Setze +\begin{align*} + F(x):= + \begin{cases} + \int_{\mdr^l}f^x(y)\,dy=\int_{\mdr^l}f(x,y)\,dy & \text{, falls } x\in\mdr^k\setminus M \\ + 0 & \text{, falls } x\in M + \end{cases} +\intertext{und} + G(y):= + \begin{cases} + \int_{\mdr^k}f_y(x)\,dx=\int_{\mdr^k}f(x,y)\,dx & \text{, falls } y\in\mdr^l\setminus N \\ + 0 & \text{, falls } y\in N + \end{cases} +\end{align*} +Dann sind $F$ und $G$ integrierbar und es gelten folgende zwei Gleichungen +\[ \int_{\mdr^d}f(z)\,dz = \int_{\mdr^k}F(x)\,dx = \int_{\mdr^l}G(y)\,dy \] +Es gilt also wieder \((\ast)\) aus \ref{Satz 10.1}. +\end{satz} + +\begin{beweis} +Wir zeigen nur die Aussagen über \(f^x\), $F$ und die erste der obigen beiden Gleichungen. Genauso zeigt man die Aussagen über \(f_n, G\) und die zweite Gleichung.\\ +Aus \ref{Lemma 8.1} folgt, dass \(f^x\) messbar ist. Definiere + \begin{align*} + \Phi(x) := \int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy + = \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy \ \text{ für } x\in\mdr^k + \end{align*} +Nach \ref{Satz 10.1} ist \(\Phi\) messbar und + \begin{align*} + \int_{\mdr^k}\Phi(x)\,dx + = \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy\right)dx \overset{\ref{Satz 10.1}} + = \int_{\mdr^d}\lvert f(z)\rvert\,dz + < \infty + \end{align*} +(denn mit $f$ ist nach \ref{Satz 4.9} auch \(\lvert f\rvert\) integrierbar). Somit ist \(\Phi\) integrierbar. +Setze \(M:=\{\Phi = \infty \}\) was nach \ref{Satz 4.10} eine Nullmenge ist. +Also gilt: + \begin{align*} + \int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy + = \Phi(x) < \infty \ \text{ für jedes } x\in\mdr^k\setminus M + \end{align*} +Das heißt, \(\lvert f^x\rvert\) ist für jedes \(x\in\mdr^k\setminus M\) integrierbar und es gilt nach \ref{Satz 4.9} auch + \begin{align*} + f^x \text{ ist integrierbar für jedes } x\in\mdr^k\setminus M + \end{align*} +Aus \ref{Folgerung 9.2} folgt, dass \(M\times\mdr^l\) eine Nullmenge ist. +Setze + \begin{align*} + \tilde f(z):= + \begin{cases} + f(z) &\text{, falls } z\in\mdr^d\setminus(M\times\mdr^l)\\ + 0 &\text{, falls } z\in M\times\mdr^l + \end{cases} + \end{align*} +Aus \ref{Lemma 9.3} folgt, dass \(\tilde f\) messbar ist. Klar ist, dass fast überall \(f=\tilde f\) gilt. Es ist +\[\tilde f^x = \left(\mathds{1}_{(M\times\mdr^l)^C}\cdot f\right)^x\] +Das heißt \(\tilde f^x\) ist integrierbar für jedes \(x\in\mdr^k\). Dann gilt + \begin{align*} + F(x) \overset{\ref{Satz 5.3}} + = \int_{\mdr^l}\tilde f(x,y)\,dy + = \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_+ (x,y)\,dy}_{=:F^+(x)} - \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_- (x,y)\,dy}_{=:F^-(x)} + \end{align*} +Nach \ref{Satz 10.1} sind \(F^+\) und \(F^-\) messbar. Die Dreiecksungleichung liefert nun + \begin{align*} + \lvert F(x)\rvert + \leq \int_{\mdr^l}\lvert \tilde f(x,y)\rvert\,dy + \overset{\ref{Satz 5.3}}= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy + = \Phi(x) \ \text{ für } x\in\mdr^k + \end{align*} +Also ist \(\lvert F\rvert\leq\Phi\) und \(\Phi\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass $F$ und \(\lvert F\rvert\) integrierbar sind +und dann sind auch \(F^+\) und \(F^-\) integrierbar (zur Übung). Es folgt + \begin{align*} + \int_{\mdr^k}F(x)\,dx + & = \int_{\mdr^k}F^+(x)\,dx - \int_{\mdr^k}F^-(x)\,dx \\ + & = \int_{\mdr^k} \left(\int_{\mdr^l} \tilde f_+(x,y)\,dy\right)dx - \int_{\mdr^k} \left(\int_{\mdr^l}\tilde f(x,y)\,dy\right)dx \\ + & \overset{\ref{Satz 10.1}}= \int_{\mdr^d}\tilde f_+(z)\,dz - \int_{\mdr^d}\tilde f_-(z)\,dz \\ + & = \int_{\mdr^d}\tilde f(z)\,dz \\ + & = \int_{\mdr^d}f(z)\,dz + \end{align*} +\end{beweis} + +\begin{satz}[Satz von Fubini (Version II)] +\label{Satz 10.3} +Sei \(\varnothing\neq X\in\fb_k\), \(\varnothing\neq Y\in\fb_l\) und \(D:=X\times Y\) (nach \S 8 ist \(D\in\fb_d\)). +Es sei \(f\colon D\to\imdr\) messbar. +Ist \(f\geq 0\) auf $D$ oder ist $f$ integrierbar, so gilt +\[ \int_D f(x,y)\,d(x,y) = \int_X\left(\int_Yf(x,y)\,dy\right)dx = \int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,dx\right)dy \] +\end{satz} + +\begin{beweis} +Definiere \(\tilde f\) wie in \ref{Lemma 9.3} und wende \ref{Satz 10.1} beziehungsweise \ref{Satz 10.2} an. +\end{beweis} + +\begin{bemerkung} +\ref{Satz 10.1}, \ref{Satz 10.2} und \ref{Satz 10.3} gelten natürlich auch für mehr als zwei iterierte Integrale. +\end{bemerkung} + +\textbf{"'Gebrauchsanweisung"' für Fubini:}\\ +Gegeben: \(\varnothing\neq D\subseteq\fb_d\) und messbares \(f\colon D\to\imdr\). +Setze $f$ auf \(\mdr^d\) zu einer messbaren Funktion \(\tilde f\) fort (zum Beispiel wie in \ref{Lemma 9.3}). +Aus \ref{Satz 3.8} folgt dann, dass \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) messbar ist und \ref{Satz 10.1} liefert + \begin{align*} + \int_{\mdr^d}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dz + = \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dy\right)dx + = \int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dx\right)dy + \end{align*} +Ist eines der drei obigen Integrale endlich, so ist \(\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\) integrierbar und +damit ist nach \ref{Satz 4.9} auch \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) integrierbar.\\ +Dann ist $f$ integrierbar und es folgt + \begin{align*} + \int_Df(z)\,dz + & = \int_{\mdr^d}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(z)\,dz \\ + & \overset{\ref{Satz 10.2}}= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(x,y)\,dy\right)dx \\ + & = \int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(x,y)\,dx\right)dy + \end{align*} + +\begin{beispiel} +\begin{enumerate} +\item Sei \(D=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\cdots\times[a_d,b_d]\) mit \(a_i\leq b_i \ (i=1,\ldots,d)\). +Es sei \(f\colon D\to\mdr\) stetig. $D$ ist kompakt, also gilt \(D\in\fb_d\). +Nach \ref{Satz 4.12}(2) ist \(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) und aus obiger Bemerkung folgt + \begin{align*} + \int_Df(x_1,\ldots,x_d)\,d(x_1,\ldots,x_d) + = \int_{a_d}^{b^d} \left(\cdots \left( \int_{a_2}^{b^2} \left(\int_{a_1}^{b^1}f(x_1,\ldots,x_d)\,dx_1\right)dx_2\right)\cdots\right)dx_d + \end{align*} +Die Reihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden. Aus \ref{Satz 4.13} folgt +\[\int_{a_i}^{b_i}\cdots \text{ d}x_i= \text{R-}\int_{a_i}^{b_i}\cdots\text{ d}x_i\] + +\textbf{Konkretes Beispiel}\\ +Sei \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d])\). + \begin{align*} + \int_Df(x)g(y)\,d(x,y) + & = \int_c^d\left(\int_a^bf(x)g(y)\,dx\right)dy \\ + & = \int_c^d\left(g(y)\left(\int_a^bf(x)\,dx\right)\right)dy \\ + &= \left(\int_a^bf(x)\,dx\right) \left(\int_c^dg(y)\,dy\right) + \end{align*} +\item + Wir rechtfertigen die "'Kochrezepte"' aus Analysis II, Paragraph 15. + Seien \(a,b\in\mdr\) mit \(a0\). Für \(b>0\) gilt +\begin{align*} + \int^b_0 e^{-xy}\,dy = \left. -\frac1x e^{-xy}\right\rvert^b_0 + =-\frac1x e^{-xb}+\frac1x + \overset{b\to\infty}\longrightarrow\frac1x +\end{align*} +und daraus folgt \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy=\frac1x\) + +\begin{beispiel} +\begin{enumerate} +\item[(4)] + Sei + \[g:= + \begin{cases} + \frac{\sin x}{x} &\text{, falls } x>0 \\ + 1 &\text{, falls } x=0 + \end{cases}\] + $g$ ist stetig auf \([0,\infty)\). Aus Analysis 1 ist bekannt, dass + \(\int_0^\infty g(x)\,dx\) konvergent, aber \textbf{ nicht } + absolut konvergent ist. Aus \ref{Satz 4.14} folgt, dass + \(g\notin\mathfrak{L}^1\left([0,\infty)\right)\)\\ + \textbf{Behauptung: } \(\int^\infty_0 g(x)\,dx = \frac\pi{2}\)\\ + \textbf{Beweis: } Setze \(X:=[0,R]\) mit \(R>0\), \(Y:=[0,\infty)\) und + \(D:=X\times Y\), sowie + \[f(x,y):= e^{-xy}\sin x \text{ für } (x,y)\in D\] + Es ist \(D\in\fb_2\) und $f$ stetig, also messbar. Es ist weiter + \(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) (warum?) und + \begin{align*} + \int_D f(x,y)\,d(x,y) + &\overset{\ref{Satz 10.3}}= + \int_X\left(\int_Y f(x,y)\,dy\right)dx \\ + &=\int_0^R\left(\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\,dy\right)dx\\ + &=\int^R_0\sin x\left(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy\right)dx\\ + &\overset{\text{Vorbemerkung}}= + \int^R_0\frac{\sin x}{x}\,dx =:I_R + \end{align*} + Dann gilt + \begin{align*} + I_R + &\overset{\ref{Satz 10.3}}= + \int_Y\left(\int_X f(x,y)\,dx\right)dy + =\int^\infty_0\underbrace{ + \left(\int^R_0 e^{-xy}\sin x\,dx\right)}_{=:\varphi(y)}dy + \end{align*} + Zweimalige partielle Integration liefert (nachrechnen!): + \[\varphi(y)=\frac1{1+y^2}-\frac1{1+y^2}e^{-yR}(y\sin R+\cos R)\] + Damit gilt + \begin{align*} + I_R= + \int^\infty_0 \frac{dy}{1+y^2} + -\int^\infty_0\frac1{1+y^2}e^{-yR}(y\sin R+\cos R)\,dy + \end{align*} + Aus Analysis 1 ist bekannt, dass das erste Integral gegen + \(\frac{\pi}2\) konvergiert und das zweite Integral setzen + wir gleich \(\tilde I_R\).\\ + Es gilt + \begin{align*} + \lvert\tilde I_R\rvert + &\leq \int^\infty_0\frac1{1+y^2}e^{-yR} + (y\lvert\sin R\rvert + \lvert\cos R\rvert)\,dy \\ + &\leq \int^\infty_0\frac{y+1}{y^2+1} e^{-yR}\,dy\\ + &\leq 2\int^\infty_0 e^{-yR}\,dy \\ + &\overset{\text{Vorbemerkung}}=\frac2R + \end{align*} + Das heißt also \(\tilde I_R\to 0 \ (R\to\infty)\) und damit folgt + die Behauptung durch + \[I_R=\frac{\pi}2-\tilde I_R\to\frac{\pi}2 \ (R\to\infty)\] +\end{enumerate} +\end{beispiel} + + +\chapter{Der Transformationssatz (Substitutionsregel)} +\label{Kapitel 11} + +Die Sätze in diesem Paragraphen geben wir \textbf{ohne} Beweis an. Es seien +\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen. + +\begin{definition} +\index{Diffeomorphismus} +Sei \(\Phi\colon X\to Y\) eine Abbildung. \(\Phi\) heißt +\textbf{Diffeomorphismus} genau dann wenn \(\Phi\in C^1(X,\mdr^d)\), \(\Phi\) +ist bijektiv und \(\Phi^{-1}\in C^{1}(Y,\mdr^d)\).\\ +Es gilt \[x=\Phi^{-1}(\Phi(x))\text{ für jedes } x\in X\] +Kettenregel: \[I=\left(\Phi^{-1}\right)^\prime(\Phi(x))\cdot\Phi^\prime(x) +\text{ für jedes } x\in X\] Das heißt \(\Phi^\prime(x)\) ist invertierbar für +alle \(x\in X\) und somit ist \(\det\left(\Phi^\prime(x)\right)\neq 0\) +für alle \(x\in X\). +\end{definition} + +\begin{satz}[Transformationssatz (Version I)] +\label{Satz 11.1} +\(\Phi\colon X\to Y\) sei ein Diffeomorphismus. +\begin{enumerate} +\item \(f\colon Y\to[0,+\infty]\) sei messbar und für \(x\in X\) sei + \(g(x):=f\left(\Phi(x)\right)\cdot\lvert\det\Phi^\prime(x)\rvert\).\\ + Dann ist \(g\) messbar und es gilt: + \begin{align*}\tag{$*$} \int_Yf(y)\,dy=\int_Xg(x)\,dx=\int_Xf\left(\Phi(x)\right) + \cdot\lvert\det\Phi^\prime(x)\rvert\,dx\end{align*} +\item \(f\colon Y\to\imdr\) sei integrierbar und $g$ sei definiert wie in (1). + Dann ist $g$ integrierbar und es gilt die Formel \((\ast)\). +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{erinnerung} +\index{Inneres} +Sei \(A\subseteq\mdr^d\) und \(A^\circ:=\{x\in A :\text{ es existiert ein } r=r(x)>0 +\text{ mit } U_r(x)\subseteq A\}\) das \textbf{Innere} von $A$. $A^\circ$ ist offen! +\end{erinnerung} + +\begin{beispiel} +Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\varnothing\) und +\(A\setminus A^\circ=A\). Aus \(\mdr=A\dot\cup\mdq\) folgt +\[\infty=\lambda_1(\mdr)=\lambda_1(A)+\lambda_1(\mdq)=\lambda_1(A)\] +Das heißt \(A\setminus A^\circ\) ist keine Nullmenge. +\end{beispiel} + + +\begin{satz}[Transformationssatz (Version II)] +\label{Satz 11.2} +Es sei $\varnothing \neq U \subseteq \MdR^d$ offen, $\Phi \in C^1(U, \MdR^d)$, $A \subseteq U$, $A \in \fb_d$, +$X := A^{\circ}$ und $A \setminus A^{\circ}$ eine Nullmenge. +Weiter sei $\Phi$ injektiv auf $X$, $\det\Phi' \neq 0$ für alle $x \in X$, $B:=\Phi(A) \in \fb_d$ und +$g(x) = f(\Phi(x)) \cdot \lvert\det\Phi'(x)\rvert$ für $x \in A$. +%% BILD: von Phi und Mengen +Dann gilt: +\begin{enumerate} +\item $Y := \Phi(X)$ ist offen und $\Phi: X\to Y$ ist ein Diffeomorphismus. +\item Ist $f\colon B \to [0, \infty]$ messbar, so ist $g\colon A \to [0, \infty]$ messbar und +\[ \int_B f(y) \, dy = \int_A g(x) \, dx= \int_A f(\Phi(x)) \cdot\lvert\det(\Phi'(x))\rvert \, dx \qquad (\ast\ast)\] +\item Ist $f\colon B \to \imdr$ messbar, so gilt:\\ +\[ f \in \fl^{1}(B) \gdw g \in \fl^{1}(A) \] +Ist $f \in \fl^{1}(B)$ so gilt $(\ast\ast)$ +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{folgerungen} +\label{Folgerung 11.3} +\begin{enumerate} +\item Sei $T\colon \MdR^d \to \MdR^d$ linear und $\det T \neq 0$. Weiter sei $A \in \fb_d$ und $v \in \MdR^d$. +Dann ist $T(A) \in \fb_d$ und es gilt: +\[\lambda_d(T(A)+v) = \lvert\det T\rvert \cdot\lambda_d(A)\] +\item $\Phi\colon X \to Y$ sei ein Diffeomorphismus und $A \in \fb(X)$. +Dann ist $\Phi(A) \in \fb_d$ und es gilt: +\[\lambda_d(\Phi(A)) = \int_A |\det \Phi'(X)| \, dx\] +\item Sei $F \in C^1(X, \MdR^d)$ und $N \subseteq X$ eine Nullmenge. +Dann ist $F(N)$ enthalten in einer Nullmenge. +\end{enumerate} +\end{folgerungen} + +\begin{beispiel} +Seien $a,b > 0$ und $T:=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, $\det T = a b > 0$. Definiere: +\[A:=\{(x,y)\in \MdR^2: x^2 + y^2 \leq 1\}\] +Dann ist $A \in \fb_2$ und $\lambda_2(A) = \pi$. +\begin{align*} +(u,v) \in T(A) &\gdw \exists (x,y)\in A: (u,v) = (a x, b y)\\ +&\gdw \exists (x,y) \in A: (x = \frac{u}{a})\wedge (y = \frac{v}{b})\\ +&\gdw \frac{u^2}{a^2} + \frac{v^2}{b^2} \leq 1 +\end{align*} +%% BILD: einer Ellipse +Aus \ref{Folgerung 11.3} folgt $T(A) \in \fb_2$ und $\lambda(T(A)) = a b \pi$. +\end{beispiel} + +\setcounter{section}{3} +\section{Polarkoordinaten} +\index{Polarkoordinaten} +%% BILD: von PK neben Formeln +%% Tabellarisches Layout? +Jeder Vektor im $\mdr^2$ lässt sich nicht nur durch seine Projektionen auf die Koordinatenachsen $(x,y)$, sondern auch eindeutig durch seine Länge $r$ und den (kleinsten positiven) Winkel $\varphi$ zur $x$-Achse darstellen. Diese Darstellung $(r,\varphi)$ heißen die \textbf{Polarkoordinaten} des Vektors. Dabei gilt: +\[r = \|(x,y)\| = \sqrt{x^2 + y^2}\] +und +\[\begin{cases} +x = r \cos(\varphi)\\ +y = r \sin(\varphi) +\end{cases}\] +Definiere nun für $(r,\varphi) \in [0,\infty)\times[0,2\pi]$: +\[\Phi(r,\varphi) := (r \cos(\varphi), r \sin(\varphi))\] +Dann ist $\Phi \in C^1(\MdR^2, \MdR^2)$ und es gilt: +\[\Phi'(r,\varphi) = \begin{pmatrix} +\cos(\varphi) & -r \sin(\varphi) \\ +\sin(\varphi) & r \cos(\varphi) +\end{pmatrix}\] +d.h. falls $r > 0$ ist gilt: +\[\det\Phi'(r,\varphi) = r \cos^2(\varphi) + r \sin^2(\varphi) = r > 0\] + + +\begin{bemerkung}[Faustregel für Polarkoordinaten] +Ist ein Integral der Form $\int_B f(x,y) d(x,y)$ zu berechnen, so lässt sich oft eine Menge $A$ finden, sodass $\Phi(A) = B$ ist. +%% BILD: Kreissektor <=> Rechteck +Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann: +\[\int_B f(x,y) \text{ d}(x,y) = \int_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\] +\end{bemerkung} + +\begin{beispiel} +\begin{enumerate} +\item Sei $0 \le \rho < R$. Definiere +\[B := \{(x,y) \in \MdR^2 : \rho^2 \le x^2 + y^2 \le R^2\} \] +Dann gilt: +%% BILD: der Kreisfläche und Trafo +\begin{align*} +\lambda_2(B) &= \int_B 1 \text{ d}(x,y)\\ +&= \int_A 1 \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\ +&\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_{\rho}^{R} \left( \int_0^{2\pi} r \text{ d}\varphi \right) \text{ d}r\\ +&= \left[ 2\pi \frac{1}{2} r^2 \right]_\rho^R\\ +&= \pi (R^2 - \rho^2) +\end{align*} + +\item Definiere +\[B := \{ (x,y) \in \MdR^2 : x^2 + y^2 \le 1, y \ge 0 \}\] +%% BILD: der (Halb)Kreisfläche und Trafo +Dann gilt: +\begin{align*} +\int_B y \sqrt{x^2+y^2} \text{ d}(x,y) &= \int_A r \sin(\varphi) r \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\ +&= \int_A r^3 \sin\varphi \text{ d}(r,\varphi) \\ +&\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_0^\pi \left( \int_0^1 r^3 \sin\varphi \text{ d}r \right) \text{ d}\varphi\\ +&= \frac{1}{4} \int_0^\pi \sin\varphi \text{ d}\varphi\\ +&= \left[ \frac{1}{4}(-\cos\varphi) \right]_0^\pi\\ +&= \frac{1}{4}(1+1) = \frac{1}{2} +\end{align*} +\item \textbf{Behauptung:} \[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\] +\textbf{Beweis:} +%% BILD: Bilder von Kreis und Rechtecktrafos/näherungen +Für $\rho > 0$ sei +\[B_\rho := \{(x,y) \in \MdR^2 \mid x,y\ge 0, x^2+ y^2 \le \rho^2\}\] +Weiterhin sei $Q_\rho := [0,\rho] \times [0,\frac{\pi}2]$ und $f(x,y) = e^{-(x^2 + y^2)}$. Dann gilt: +\begin{align*} +\int_{ B_\rho } f(x,y) \text{ d}(x,y) &= \int_{Q_\rho} e^{-r^2} r\text{ d}(r,\varphi)\\ +&\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_0^\rho r e^{-r^2} \text{ d}r \right) \text{ d}\varphi \\ +&= \frac{\pi}{2} \left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_{0}^{\rho}\\ +&= \frac{\pi}{2} \left( -\frac{1}{2} e^{-\rho^2} +\frac{1}{2} \right) \\ +& =: h(\rho) \stackrel{\rho \to \infty}\to \frac\pi4 +\end{align*} +Außerdem gilt: +\begin{align*} +\int_{Q_\rho} f(x,y) \text{ d}(x,y) &= \int_{Q_\rho} e^{-x^2} e^{-y^2}\text{ d}(x,y) \\ +&= \int_0^\rho \left( \int_0^\rho e^{-x^2} e^{-y^2} \text{ d}y \right) \text{ d}x \\ +&= \left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2 +\end{align*} + +Wegen $ B_\rho \subseteq Q_\rho \subseteq B_{\sqrt{2} \rho} $ und $f \ge 0$ folgt: +\begin{center} +\begin{tabular}{cccccc} +&$\int_{B_\rho} f \text{ d}(x,y)$ &$\le$ &$\int_{Q_\rho} f \text{ d}(x,y)$ &$\le$ &$\int_{B_{\sqrt{2} \rho}} f \text{ d}(x,y)$\\ +$\implies$ &$h(\rho)$ &$\le$ &$\int_{Q_\rho} f \text{ d}(x,y)$ &$\le$ &$h(\sqrt{2} \rho)$ \\ +$\implies$ &$h(\rho)$ &$\le$ &$\left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2$ &$\le$ &$h(\sqrt{2} \rho)$ \\ +$\implies$ &$\sqrt{h(\rho)}$ &$\le$ &$\int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x$ &$\le$ &$\sqrt{h(\sqrt{2} \rho)}$\\ +\end{tabular} +\end{center} +Mit $\rho \to \infty$ folgt daraus +\[\int_0^\infty e^{-x^2} \text{ d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\] +und damit die Behauptung. +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\section{Zylinderkoordinaten} +\index{Zylinderkoordinaten} +Definiere für $(r,\varphi,z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi]\times\mdr$: +\[\Phi(r,\varphi,z):=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),z)\] +Dann gilt: +\[|\det\Phi'(r,\varphi,z)|=\left|\det +\begin{pmatrix} +\cos(\varphi)&-r\sin(\varphi)&0\\ +\sin(\varphi)&r\cos(\varphi)&0\\ +0&0&1\end{pmatrix}\right|=r +\] + +\begin{bemerkung}[Faustregel für Zylinderkoordinaten] +Ist ein Integral der Form $\int_B f(x,y,z) d(x,y,z)$ zu berechnen, so lässt sich eine Menge $A$ finden, sodass $\Phi(A) = B$ ist. +Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann: +\[\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) = \int_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi, z) \cdot r \text{ d}(r,\varphi,z)\] +\end{bemerkung} + +\begin{beispiel} +Definiere +\[B:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le 1, x,y\ge 0,z\in[0,1]\}\] +Dann gilt: +\begin{align*} +\int_B z+y\sqrt{x^2+y^2}\text{ d}(x,y,z)&=\int_A(z+r\sin(\varphi)\cdot r)\cdot r\text{ d}(r,\varphi,z)\\ +&=\int_A rz+r^3\sin(\varphi)\text{ d}(r,\varphi,z)\\ +&=\int_0^1(\int_0^{\frac\pi 2}(\int_0^1 rz+r^3\sin(\varphi)\text{ d}r)\text{ d}\varphi)\text{ d}z\\ +&=(\int_0^1 r\text{ d}r)\cdot(\int_0^1 z\text{ d}z)\cdot(\int_0^{\frac\pi 2} \text{ d}\varphi)+ (\int_0^1 r^3\text{ d}r)\cdot(\int_0^{\frac\pi 2} \sin(\varphi)\text{ d}\varphi)\cdot(\int_0^1 \text{ d}z)\\ +&= \frac\pi 8+\frac14 +\end{align*} +\end{beispiel} + +\section{Kugelkoordinaten} +\index{Kugelkoordinaten} +Definiere für $(r,\varphi,\theta)\in [0,\infty)\times[0,2\pi]\times[0,\pi]$: +\[\Phi(r,\varphi,\theta):=(r\cos(\varphi)\sin(\theta),r\sin(\varphi)\sin(\theta),r\cos(\theta))\] +Dann gilt (nachrechnen!): +\[\det\Phi'(r,\varphi,\theta)= -r^2\sin(\theta)\] + +\begin{bemerkung}[Faustregel für Kugelkoordinaten] +Ist ein Integral der Form $\int_B f(x,y,z) d(x,y,z)$ zu berechnen, so lässt sich eine Menge $A$ finden, sodass $\Phi(A) = B$ ist. +Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann: +\[\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) = \int_A f(r\cos(\varphi)\sin(\theta),r\sin(\varphi)\sin(\theta),r\cos(\theta)) \cdot r^2\sin(\theta) \text{ d}(r,\varphi,\theta)\] +\end{bemerkung} + +\begin{beispiel} +Definiere +\[B:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid 1\le \|(x,y,z)\|\le 2, x,y,z\ge 0\}\] +Dann gilt: +\begin{align*} +\int_B \frac1{x^2+y^2+z^2}\text{ d}(x,y,z)&=\int_A \frac1{r^2}\cdot r^2\cdot\sin(\theta)\text{ d}(r,\varphi,\theta)\\ +&=\int_A \sin(\theta)\text{ d}(r,\varphi,\theta)\\ +&=\frac\pi2 +\end{align*} +\end{beispiel} + +\begin{beispiel}[Zugabe von Herrn Dr. Ullmann] +Wir wollen das Kugelvolumen $\lambda_3(K)$ mit $K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid\|(x,y,z)\|\le 1\}$ berechnen. Dann ist $K=\Phi(A)$ mit $A:= [0,1]\times[0,2\pi]\times [0,\pi]$. Und es gilt: +\begin{align*} +\lambda_3(K)&=\int_K 1\text{ d}(x,y,z)\\ +&=\int_A r^2\sin(\theta)\text{ d}(r,\varphi,\theta)\\ +&=\int_0^1(\int_0^{2\pi}(\int_0^\pi r^2\sin(\theta) \text{ d}\theta)\text{ d}\varphi)\text{ d}r\\ +&=(\int_0^1 r^2 \text{ d}r)\cdot(\int_0^{2\pi} \text{ d}\varphi)\cdot(\int_0^\pi \sin(\theta) \text{ d}\theta)\\ +&=\frac{4\pi}3 +\end{align*} +\end{beispiel} + + +\chapter{Vorbereitungen für die Integralsätze} +\label{Kapitel 12} + +\begin{definition} +\index{Kreuzprodukt} +Seien $a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3)\in\mdr^3$. Dann heißt +\[a\times b:=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\] +das \textbf{Kreuzprodukt} von $a$ mit $b$. +Mit $e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$ gilt formal: +\[a\times b = \det\begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}e_1&a_1&b_1\\e_2&a_2&b_2\\e_3&a_3&b_3\end{pmatrix}\] +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Sei $a=(1,1,2), b=(1,1,0)$, dann gilt: +\[a\times b= \det \begin{pmatrix}e_1&1&1\\e_2&1&1\\e_3&2&0\end{pmatrix}=-2e_1-(-2)e_2+(1-1)e_3=(-2,2,0)\] +\end{beispiel} + +\textbf{Regeln zum Kreuzprodukt:} +\begin{enumerate} +\item $b\times a= -a\times b$ +\item $a\times a=0$ +\item $(\alpha a)\times(\beta b)=\alpha\beta(a\times b)$ für $\alpha,\beta\in\mdr$ +\item $a\cdot(a\times b)=b\cdot(a\times b)=0$ +\end{enumerate} + +\begin{definition} +\index{Divergenz} +Sei $\varnothing\ne D\subseteq\mdr^n$, $D$ offen und $f=(f_1,\ldots,f_n)\in C^1(D,\mdr^n)$. Dann heißt +\[\divv f:=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial f_n}{\partial x_n}\in C(D,\mdr)\] +die \textbf{Divergenz} von $f$. +\end{definition} + +\begin{definition} +\index{Rotation} +Sei $\varnothing\ne D\subseteq\mdr^3$, $D$ offen und $F=(P,Q,R)\in C^1(D,\mdr^3)$. Dann heißt: +\[\rot F:=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)\in C(D,\mdr^3)\] +die \textbf{Rotation} von $F$. +Dabei gilt formal: +\[\rot F=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\times(P,Q,R)\] +\end{definition} + +\begin{definition} +\index{Tangentialvektor} +Sei $\gamma:[a,b]\to\mdr^n$ ein Weg. Ist $\gamma$ in $t_0\in[a,b]$ differenzierbar mit $\gamma'(t_0)\ne 0$, so heißt $\gamma'(t_0)\in\mdr^n$ \textbf{Tangentialvektor} von $\gamma$ in $t_0$. +\end{definition} + +\chapter{Der Integralsatz von Gauß im $\MdR^2$} +\label{Kapitel 13} + +In diesem Paragraphen sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei $R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei +\begin{displaymath} +\gamma(t) := (x_0 + R(t)\cos t,y_0 + R(t)\sin t) \text{ } (t\in[0,2\pi]) +\end{displaymath} +Dann ist $\gamma$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in $\MdR^2$. Es sei +\[B:= \{(x_0+r\cos t,y_0 + r\sin t): t\in [0,2\pi ], 0\le r\le R(t)\}\] +Dann ist $B$ kompakt, also $B\in\fb_2 $. Weiter ist $\partial B = \gamma([0,2\pi]) = \Gamma_\gamma$.\\ +Sind $B$ und $\gamma$ wie oben, so heißt $B$ \begriff{zulässig}. +\index{zulässig} +\begin{beispiel} + Sei $R$ konstant, also $R(t) = R > 0$, so ist $B = \overline{U_R(x_0,y_0)}$ +\end{beispiel} + +\begin{satz}[Integralsatz von Gauß im $\MdR^2$] +\label{Satz 13.1} +$B$ und $\gamma$ seien wie oben ($B$ also zulässig). Weiter sei $D\subseteq \MdR^2$ offen, $B\subseteq D$ und $f = (u,v) \in C^1(D,\MdR^2)$. Dann +\begin{liste} +\item $\int_B u_x(x,y)d(x,y) = \int_{\gamma} u(x,y) d(y)$ +\item $\int_B v_y(x,y)d(x,y) = -\int_{\gamma} v(x,y) d(x)$ +\item $\int_B \divv f(x,y)d(x,y) = \int_{\gamma} (udy - vdx)$ +\end{liste} +\end{satz} + +\begin{folgerung} +Mit $f(x,y) := (x,y)$ erhält man aus \ref{Satz 13.1}: Sind $B$ und $\gamma$ wie in \ref{Satz 13.1}, so gilt: +\begin{liste} +\item $\lambda_2(B) = \int_\gamma xdy$ +\item $\lambda_2(B) = -\int_\gamma ydx$ +\item $\lambda_2(B) = \frac12\int_\gamma (xdy - ydx)$ +\end{liste} +\end{folgerung} + +\begin{beispiel} +Definiere +\[B:= \{(x,y)\in\MdR^2:x^2+y^2 \le R^2\}\quad (R>0)\] +und $\gamma(t) = (R\cos t,R\sin t)$, für $t\in[0,2\pi]$, dann gilt: +\[\lambda_2(B) = \int_0^{2\pi} R\cos t\cdot R\cos t \text{ d}t = R^2\int_0^{2\pi} \cos^2t \text{ d}t = \pi R^2\] +\end{beispiel} + +\begin{beweis} +Wir beweisen nur (1). ((2) beweist man analog und (3) folgt aus (1) und (2))\\ +O.B.d.A: $(x_0,y_0) = (0,0)$ und $R$ stetig db. Also $\gamma = (\gamma_1,\gamma_2)$, $\gamma (t) = (\underbrace{R(t)\cos t}_{= \gamma_1(t)},\underbrace{R(t)\sin t)}_{=\gamma_2(t)}$. $R$ stetig differenzierbar. $A:= \int_B u_x(x,y)d(x,y)$\\ +Zu zeigen: $A=\int_0^{2\pi} u(\gamma (t))\cdot \gamma_2'(t) dt$.\\ +Mit Polarkoordinaten, Transformations-Satz und Fubini: +\begin{displaymath} + A = \int_0^{2\pi }(\int_0^{R(t)} u_x(r\cos t,r\sin t)r dr) dt +\end{displaymath} +\begin{enumerate} + \item $\beta(r,t) := u(r\cos t,r\sin t)$. Nachrechnen: $r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t = u_x(r\cos t,r\sin t)r$. Also: + \begin{displaymath} + A = \int_0^{2\pi} (\int_0^{R(t)} (r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t) dr)dt + \end{displaymath} + \item $\int_0^{R(t)} r\beta_r(r,t) dr = r\beta(r,t)\vert_{r=0}^{r=R(t)} - \underbrace{\int_0^{R(t)} \beta(r,t) dr}_{=:\alpha(t)} = R(t)\beta(R(t),t) - \alpha(t) = R(t)u(\gamma(t)) -\alpha(t)$ + \item $\Psi(s,t) := \int_0^s \beta(r,t)dr$. Mit dem zweiten Hauptsatz aus Analysis 1 folgt: $\Psi_s(s,t) = \beta(s,t)$ \\ 7.3 \folgt $\Psi_t(s,t) = \int_0^s \beta_t(r,t) dr$.\\ + Dann: $\alpha(t) = \Psi(R(t),t)$, also + \begin{displaymath} + \alpha'(t) = \Psi_s(R(t),t)\cdot R'(t) + \Psi_t(R(t),t)\cdot 1 = R'(t)\underbrace{\beta(R(t),t)}_{=u(\gamma(t))} + \int_0^{R(t)} \beta_t(r,t) dr + \end{displaymath} + \folgt $\int_0^{R(t)}\beta_t(r,t)dr = \alpha'(t) - R'(t)\cdot u(\gamma(t))$. + \item Aus (1),(2),(3) folgt: \\ + \begin{align*} + A &= \int_0^{2\pi} (R(t)\cdot u(\gamma(t))\cdot \cos t - \alpha(t)\cos t - \alpha'(t)\sin t + R'(t)\cdot u(\gamma(t))\sin t) dt\\ &= \int_0^{2\pi}u(\gamma(t))\gamma_2'(t)dt - \int_0^{2\pi} (\alpha(t)\sin t)' dt\\ &= \int_0^{2\pi} u(\gamma(t))\gamma_2'(t)dt - \underbrace{[\alpha(t)\sin t]_0^{2\pi}}_{=0}\\ &= \int_0^{2\pi} u(\gamma(t))\gamma_2'(t) dt + \end{align*} +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\chapter{Flächen im $\MdR^3$} +\label{Kapitel 14} + +\begin{definition} +\index{Fläche} +\index{Flächenstück} +\index{Parameterbereich} +\index{Normalenvektor} +\index{Flächeninhalt} + Es sei $\varnothing \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist + \begin{displaymath} + \varphi' = \begin{pmatrix}\frac{\partial \varphi_1}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_1}{\partial v}\\ + \frac{\partial \varphi_2}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_2}{\partial v}\\ + \frac{\partial \varphi_3}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_3}{\partial v}\\ + \end{pmatrix} + \end{displaymath} + Sei $(u_0,v_0)\in B$ und + \begin{align*} + \gamma(t) &:= \varphi(t,v_0) &\gamma'(t) &= \varphi_u(t,v_0) &\gamma'(u_0) &= \varphi_u(u_0,v_0)\\ + \tilde{\gamma}(t)&:= \varphi(u_0,t) &\tilde{\gamma}'(t) &= \varphi_v(u_0,v) &\tilde{\gamma}'(v_0) &= \varphi_v(u_0,v_0) + \end{align*} + Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$: + \[N(u_0,v_0) := \varphi_u(u_0,v_0)\times\varphi_v(u_0,v_0)\] + Seien $\Delta u,\Delta v >0$ (aber "`klein"'). $a:= \Delta u\varphi_u(u_0,v_0)$, $b:= \Delta v\varphi_v(u_0,v_0)$. + \[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\] + Aus der Linearen Algebra folgt, der "`Inhalt"' von $P$ ist $\|a \times b\| = \Delta u\Delta v \|N(u_0,v_0)\|$. + \begin{displaymath} + I(\varphi) = \int_B \|N(u,v)\| d(u,v) + \end{displaymath} + heißt deshalb \textbf{Flächeninhalt} von $\varphi$ +\end{definition} + +\begin{beispiel} + $B:=[0,2\pi]\times[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, $D=\MdR^2$\\ + $\varphi(u,v) := (\cos u\cos v,\sin u\cos v,\sin v)$. Dann: $\varphi(B) = \{(x,y,z)\in\MdR^3:\ x^2+y^2+z^2 = 1\}$.\\ + Nachrechnen: $N(u,v) = \cos v\varphi(u,v)$. Dann: $\|N(u,v)\| = |\cos v|\underbrace{\|\varphi(u,v)\|}_{=1} = \cos v\ \ \ \ ((u,v)\in B)$. \\ + Damit gilt: + \[I(\varphi) = \int_B \cos v d(u,v) = \int_0^{2\pi} (\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos v d(v)) d(u) = 4\pi\] +\end{beispiel} + +\section{Explizite Parameterdarstellung} +Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze +\[\varphi(u,v):=(u,v,f(u,v))\quad((u,v)\in D)\] +Damit ist \(\varphi_{|B}\) eine Fl\"ache (in expliziter Darstellung). +% hier Graphik einfuegen +Dann ist \(S=\varphi(B)\) gleich dem Graph von \(f_{|B}\). + +\[ +\varphi_{u}=(1,0,f_{u}),\quad \varphi_{v}=(0,1,f_{v}),\quad N(u,v)=(-f_{u},-f_{v},1)\quad\text{(Nachrechnen!)} +\] +Damit gilt: +\[I(\varphi)=\int_{B}{(f_{u}^{2}+f_{v}^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\] + +\begin{beispiel} +Sei \(D=\mdr^{2},\,B:=\{(u,v)\in\mdr^{2}\mid u^{2}+v^{2}\leq 1\}\) und +\[f(u,v):=u^{2}+v^{2}\] +Dann ist \(\varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2})\), \(f_{u}=2u\) und \(f_{v}=2v\). Also ist \(S=\varphi(B)\) ein Paraboloid. +\[I(\varphi)=\int_{B}{(4u^{2}+4v^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\overset{\text{PK}}{=}\frac{\pi}{6}\left(\sqrt{5}^{3}-1\right)\quad \text{(Nachrechnen!)}\] +\end{beispiel} + +\chapter{Integralsatz von Stokes} +\label{Kapitel 15} + +In diesem Paragraphen sei \(\varnothing\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\) +und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das hei\ss t: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fl\"ache mit +Parameterbereich \(B\), \(S:=\varphi(B)\) + +\begin{definition} +\index{Oberflächenintegral} +Definiere die folgenden \textbf{Oberfl\"achenintegrale}: +\begin{enumerate} +\item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann: +\[ +\int_{\varphi}{f\mathrm{d}\sigma}:=\int_{B}{f(\varphi(u,v))\lVert N(u,v)\rVert\mathrm{d}(u,v)} +\] +\item Sei \(F:\,S\to\mdr^{3}\) stetig. Dann: +\[ +\int_{\varphi}{F\cdot n\mathrm{d}\sigma}:=\int_{B}{F(\varphi(u,v))\cdot N(u,v)\mathrm{d}(u,v)} +\] +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{beispiel} +Seien \(D,\,B,\,f,\,\varphi\) wie im letzten Beispiel in Kapitel 14. % Paragraphenzeichen!? + +Sei \(F(x,y,z):=(x,y,z)\); bekannt: \(N(u,v)=(-2u,-2v,1)\). Dann: +\begin{align*} +F(\varphi(u,v))\cdot N(u,v)&=F(u,v,u^{2}+v^{2})\cdot(-2u,-2v,1)\\ +&=(u,v,u^{2}+v^{2})\cdot (-2u,-2v,1)\\ +&=-(u^{2}+v^{2}) +\end{align*} + +Also: +\[ +\int_{\varphi}{F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=-\int_{B}{(u^{2}+v^{2})\mathrm{d}(u,v)}=-\frac{\pi}{2} +\] +\end{beispiel} + +\begin{satz}[Integralsatz von Stokes] +\label{Satz 15.1} +Es sei \(B\) zul\"assig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{1},\gamma_{2})\) wie zu Beginn des Paragraphen +13 ist. Es sei \(\varphi\in C^{2}(D,\mdr^{3})\). Weiter sei \(G\subseteq\mdr^{3}\) offen, \(S\subseteq G\) und \(F=(F_{1},F_{2},F_{3})\in C^{1}(G,\mdr^{3})\). Dann: +\[ +\underbrace{\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}}_{\text{Oberfl\"achenint.}}= + \underbrace{\int_{\varphi\circ\gamma}{F(x,y,z)\cdot\mathrm{d}(x,y,z)}}_{\text{Wegint.}} +\] +\end{satz} + +\begin{beispiel} +\(D,\,B,\,f,\,F\) und \(\varphi\) seien wie in obigem Beispiel. +% Bild einfuegen... +Hier: \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\quad(t\in [0,2\pi])\). +Dann: \((\varphi\circ\gamma)(t)=\varphi(\cos t, \sin t)=(\cos t, \sin t, 1)\quad(t\in [0,2\pi])\). + +Es ist \(\rot F=0\), also: \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=0\) +\begin{align*} +\int_{\varphi\circ\gamma}{F(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}&= + \int_{0}^{2\pi}{F((\varphi\circ\gamma)(t))\cdot(\varphi\circ\gamma)'(t)\mathrm{d}t}\\ +&=\int_{0}^{2\pi}{F(\cos t,\sin t, 1)\cdot (-\sin t,\cos t,0)\mathrm{d}t}\\ +&=\int_{0}^{2\pi}{\underbrace{(\cos t,\sin t,1)\cdot (-\sin t,\cos t,0)}_{=0}\mathrm{d}t}\\ +&=0 +\end{align*} +\end{beispiel} + +\begin{beweis} +Sei \(\varphi:=\varphi\circ\gamma,\,\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\), also + \(\varphi_{j}=\varphi_{j}\circ\gamma\quad(j=1,2,3)\). + +Zu zeigen: +\begin{align*} +\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma} + &=\int_{\varphi}{F(x,y,z)\mathrm{d}(x,y,z)}\\ + &=\int_{0}^{2\pi}{F(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\mathrm{d}t}\\ + &=\int_{0}^{2\pi}{\left(\sum_{j=1}^{3}{F_{j}(\varphi(t))\varphi_{j}'(t)}\right)\mathrm{d}t}\\ + &=\sum_{j=1}^{3}{\int_{0}^{2\pi}{F_{j}(\varphi(t))\varphi_{j}'(t)\mathrm{d}t}} +\end{align*} + +Es ist \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=\int_{B}{\underbrace{(\rot F)(\varphi(x,y))\cdot(\varphi_{x}(x,y)\times\varphi_{y}(x,y))}_{=:g(x,y)}\mathrm{d}(x,y)}\). +F\"ur \(j=1,2,3\): +\[ +h_{j}(x,y):=\left(\underbrace{F_{j}(\varphi(x,y))\frac{\partial\varphi_{j}}{\partial y}(x,y)}_{=:u_{j}(x,y)},\underbrace{-F_{j}(\varphi(x,y))\frac{\partial\varphi_{j}}{\partial x}(x,y)}_{=:v_{j}(x,y)}\right)\quad((x,y)\in D) +\] + + +\(h_{j}=(u_{j},v_{j});\quad F\in C^{1},\,\varphi\in C^{2}\), damit folgt: \(h_{j}\in C^{1}\) + +Nachrechnen: \(g=\mathrm{div} h_{1}+\mathrm{div} h_{2}+\mathrm{div} h_{3}\) + +Damit: +\begin{align*} +\int_{B}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma} + &=\sum_{j=1}^{3}{\int_{B}{\mathrm{div}\,h_{j}(x,y)\mathrm{d}(x,y)}}\\ + &=\sum_{j=1}^{3}{\int_{\gamma}{(u_{j}\mathrm{d}y-v_{j}\mathrm{d}x)}}\\ + &=\int_{0}^{2\pi}{F_{j}(\varphi(t))\varphi_{j}'(t)\mathrm{d}t} +\end{align*} +\end{beweis} + +\chapter{$\fl^{p}$-R\"aume und $\mathrm{L}^{p}$-R\"aume} +\label{Kapitel 16} + +Stets in diesem Paragraphen: \(\varnothing\neq X\in\fb_{d}\) + +\begin{definition} +Sei \(p\in[1,+\infty]\). +\[ +p':=\begin{cases} +\infty&,\,p=1\\ +1&,\,p=\infty\\ +\frac{p}{p-1}&,\,10:\,f(t):=\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}-t^{\frac{1}{p}}\) + +\"Ubung: \(\min\{f(t)\mid t>0\}=f(1)=0\) + +D.h.: \(t^{\frac{1}{p}}\leq\frac{t}{p}+\frac{1}{p'}\quad\forall t>0\) + +Seien \(u,v>0,\,t:=\frac{u}{v}\). Dann: \(\frac{u^{\frac{1}{p}}}{v^{\frac{1}{p}}}\leq\frac{u}{vp}+\frac{1}{p'}\). Daraus folgt +\(u^{\frac{1}{p}}v^{1-\frac{1}{p}}\leq\frac{u}{p}+\frac{v}{p'}\implies u^{\frac{1}{p}}v^{\frac{1}{p'}}\leq \frac{u}{p}+\frac{v}{p'}\) + +Seien \(x,y>0:\,u:=x^{p},\,v:=y^{p'}\). Dann: \(xy\leq\frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{p'}}{p'}\). + +Im Falle \(x=0\) oder \(y=\infty\) ist die Ungleichung trivialerweise richtig. +\end{beweis} + +\begin{erinnerung} +Sei \(f:\,X\to\mdr\) messbar und \(p>0\), so ist \(\lvert f\rvert^{p}\) messbar (vgl. Kapitel 3). + +Es gilt: \(\lvert f\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\Leftrightarrow \int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}<\infty\) +\end{erinnerung} + +\begin{definition} +\begin{enumerate} +\item Sei \(p\in[1,\infty)\). \(\fl^{p}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f \text{ ist messbar und }\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x<\infty}\}\). + +F\"ur \(f\in\fl^{p}(X)\): \(\lVert f\rVert_{p}=\left(\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}\right)^{\frac{1}{p}}\) +\item \(\fl^{\infty}(X)=\{f:\,X\to\mdr\mid f\text{ ist messbar und }f\text{ ist f.\"u. beschr\"ankt}\}\) + +F\"ur \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert f(x)\rVert=\inf\{c>0\mid \exists\text{Nullmenge }N_{c}\subseteq X: \lvert f(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\}\) +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{bemerkung} +Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Ma\ss. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschr\"ankt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\). +\end{bemerkung} +\begin{beweis} +\"Ubung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\varnothing\) und \(\overline{X\setminus N}=X\)) +\end{beweis} + +\begin{beispiel} +Sei \(d=1,\,X=[1,\infty),\,p>1\,(p<\infty),\,\alpha,\beta>0,\,f(x)=\frac{1}{x^{\alpha}},\,g(x)=\frac{1}{x^{\beta}}\) +\begin{enumerate} +\item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\] +konvergiert genau dann, wenn \(\alpha p>1\Leftrightarrow \alpha>\frac{1}{p}\) +\item +\[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\] +konvergiert genau dann, wenn $\alpha+\beta >1$ +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\begin{satz} +\label{Satz 16.1} +Sei \(p\in[1,\infty]\) und \(p'\) wie zu Anfang dieses Kapitels, also \(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\). +\begin{enumerate} +\item Sei \(f\in\fl^{p}(X)\) und \(g\in\fl^{p'}(X)\). +\index{Ungleichung!Hölder} +Dann ist \(fg\in\fl^{1}(X)\) und es gilt die \textbf{Höldersche Ungleichung}: +\[ +\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p'} +\] + +\index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz} +Ist \(p=2\,(\implies p'=2)\), so hei\ss t obige Ungleichung auch \textbf{Cauchy-Schwarzsche Ungleichung}. +\item \(\fl^{p}(X)\) ist ein reeller Vektorraum und f\"ur \(f,g\in\fl^{p}(X)\) gilt die \textbf{Minkowskische Ungleichung}: +\index{Ungleichung!Minkowski} +\[ +\lVert f+g\rVert_{p}\leq\lVert f\rVert_{p}+\lVert g\rVert_{p} +\] +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Unterscheide die folgenden F\"alle: +\begin{itemize} +\item[Fall 1:] \(p=1\) (also \(p'=\infty\)) oder \(p=\infty\) (also \(p'=1\)). Etwa \(p=1,\,p'=\infty\). + +Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\). +\(\tilde{g}:=\mathds{1}_{X\setminus N_{c}}\cdot g\) + +Dann: \(g=\tilde{g}\) fast \"uberall und \(\lvert\tilde{g}\rvert\leq c\) auf \(X\). Weiter: \(fg=f\tilde{g}\) fast \"uberall, +bzw. \(\lvert fg\rvert=\lvert f\tilde{g}\rvert\) fast \"uberall. + +Dann: +\[ +\int_{X}{\lvert fg\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\tilde{g}\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\rvert\underbrace{\lvert\tilde{g}\rvert}_{\leq c}\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}=c\cdot\lVert f\rVert_{1}<\infty +\] +Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). \"Ubergang zum Infimum \"uber alle \(c>0\) +liefert: \(\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert g\rVert_{\infty}\cdot\lVert f\rVert_{1}\) +\item[Fall 2:] Sei \(10\) und \(\lVert g\rVert_{p'}>0\). + +Aus obigem Hilfssatz: +\[ +\frac{\lvert f(x)\rvert}{\lVert f\rVert_{p}}\cdot\frac{\lvert g(x)\rvert}{\lVert g\rVert_{p'}}\leq\frac{1}{p}\frac{\lvert f(x)\rvert^{p}}{\lVert f\rVert_{p}^{p}}+\frac{1}{p'}\frac{\lvert g(x)\rvert^{p'}}{\lVert g\rVert_{p'}^{p'}}\quad\forall x\in X +\] +Integration liefert: +\begin{align*} +\frac{1}{\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p'}}\int_{X}{\lvert f(x)g(x)\rvert\mathrm{d}x} + &\leq\frac{1}{p}\cdot\frac{1}{\lVert f\rVert_{p}^{p}}\int_{X}{\lvert f\rvert^{p}\mathrm{d}x}+ + \frac{1}{p'}\cdot\frac{1}{\lVert g\rVert_{p'}^{p'}}\int_{X}{\lvert g\rvert^{p'}\mathrm{d}x}\\ + &=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}\\ + &=1<\infty +\end{align*} +Daraus folgt: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und +\[ +\frac{\lVert fg\rVert_{1}}{\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p}}\leq 1\Leftrightarrow \lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert f\rVert_{p}\cdot\lVert g\rVert_{p} +\] +\end{itemize} +\item Klar: Ist \(f\in\fl^{p}(X)\) und \(\alpha\in\mdr\), so ist \(\alpha f\in\fl^{p}(X)\) +\begin{itemize} +\item[Fall 1:] \(p=1\): Mit \ref{Satz 4.11} folgt: \(\fl^{1}(X)\) ist ein reeller Vektorraum. + +Seien \(f,g\in\fl^{1}(X)\). Dann: \(\lvert f+g\rvert\leq\lvert f\rvert+\lvert g\rvert\) auf \(X\). Damit: +\[ +\int_{X}{\lvert f+g\rvert\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}+\int_{X}{\lvert g\rvert\mathrm{d}x} +\] +\item[Fall 2:] \(p=\infty\): Seien \(f,\,g\in\fl^{\infty}(X)\). Seien \(c_{1},\,c_{2}>0\) und \(N_{1},\,N_{2}\subseteq X\) +Nullmengen und \(\lvert f(x)\rvert\leq c_{1}\forall x\in X\setminus N_{1},\,\lvert g(x)\rvert\leq c_{2}\forall x\in X\setminus N_{2}\). + +\(N=N_{1}\cup N_{2}\) ist eine Nullmenge. Dann: \(\lvert f(x)+g(x)\rvert\leq\lvert f(x)\rvert+\lvert g(x)\rvert\leq c_{1}+c_{2} +\forall x\in X\setminus N\). Es folgt: \(f+g\in\fl^{\infty}(X)\) und \(\lVert f+g\rVert_{\infty}\leq c_{1}+c_{2}\). + +\"Ubergang zum Infimum \"uber alle solche \(c_{1}\), bzw. \(c_{2}\), liefert: \(\lVert f+g\rVert_{\infty}\leq\lVert f\rVert_{\infty}+\lVert g\rVert_{\infty}\). +\item[Fall 3:] Sei \(11$, dann ist $\frac 1{r'}=1-\frac pq$. Aus $|f|^{pr}=|f|^q\in\fl^1(X)$ folgt $|f|^p\in\fl^r(X)$. Definiere $g:=\mathds{1}_X$, dann ist $g\in\fl^{r'}(X)$, da $\lambda_d(X)<\infty$. Wegen \ref{Satz 16.1} gilt dann: +\[g\cdot|f|^p\in\fl^1(X)\implies |f|^p\in\fl^1(X)\implies f\in\fl^p(X)\] +Aus der Hölderschen Ungleichung folgt: +\begin{align*} +\|f\|^p_p&=\|g\cdot |f|^p\|_1\\ +&\le \|g\|_{r'}\cdot\||f|^p\|_r\\ +&= (\int_X g^{r'}\text{ d}x)^{\frac 1{r'}}\cdot(\int_X |f|^{pr}\text{ d}x)^{\frac 1r}\\ +&= \lambda_d(X)^{\frac1{r'}}\cdot(\int_X |f|^{q}\text{ d}x)^{\frac pq}\\ +&= \lambda_d(X)^{1-\frac pq}\cdot\|f\|^p_q +\end{align*} +Also gilt: +\[\|f\|_p\le\lambda_d(X)^{\frac1p-\frac1q}\|f\|_q\] +\end{beweis} + +\begin {beispiel} +\begin{enumerate} +\item Sei $X:=(0,1]$, $1\le p0)$. Dann gilt nach +\ref{Satz 4.14} und Analysis I: +\begin{align*} +f\in\fl^p(X)&\iff\int_0^1\frac1{x^{\alpha p}}\text{ d}x \text{ konvergiert}\\ +&\iff\alpha p<1\\ +&\iff \alpha<\frac 1p +\end{align*} +Sei $\frac 1q<\alpha<\frac 1p$, dann ist $f\in\fl^p(X)$ und $f\not\in\fl^q(X)$. D.h. $\fl^p(X)\not\subseteq\fl^q(X)$ und aus \ref{Satz 16.2} folgt $\fl^q(X)\subseteq\fl^p(X)$. +\item Sei $X:=[1,\infty)$, $p=1$, $q\in(1,\infty)$ und $f(x):=\frac 1x$. Dann gilt nach \ref{Satz 4.14} und Analysis I: $f\not\in\fl^p(X)$ und $f\in\fl^q(X)$. D.h. also $\fl^q(X)\not\subseteq\fl^p(X)$.\\ +Definiere $g(x):=\mathds{1}_{[1,2)}\cdot (2-x)^{-\frac 1q}$. Übung: $g\in\fl^p(X)$ und $g\not\in\fl^q(X)$. D.h. also $\fl^p(X)\not\subseteq\fl^q(X)$. +\end{enumerate} +\end{beispiel} + +\begin{satz}[Satz von Lebesgue ($\fl^p$-Version)] +\label{Satz 16.3} +Sei $1\le p<\infty$, $f:X\to\mdr$ sei messbar, $g:X\to[0,\infty]$ integrierbar und $(f_n)$ eine Folge in $\fl^p(X)$ mit den Eigenschaften: +\begin{enumerate} +\item $f_n\to f$ f.ü. auf $X$ +\item $\forall n\in\mdn: |f_n|^p\le g$ f.ü. auf $X$. +\end{enumerate} +Dann ist $f\in\fl^p(X)$ und es gilt +\[\|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\] +\end{satz} + +\begin{beweis} +Aus (i) und (ii) folgt: $|f|^p \leq g$ f.\"u. +Im Paragraphen 5 haben wir gesehen, dass dann gilt: +\[ \int_X |f|^p \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \] +(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar). +Daraus folgt: $f \in \fl^p(X)$. + +Setze $g_n := |f_n - f|^p$. Aus (i): $g_n \to 0$ f.\"u. Es sind $f_n, f \in \fl^p(X)$ (ersteres nach Voraussetzung, zweiteres haben wir gerade gezeigt), und weil $\fl^p(X)$ ein reeller Vektorraum ist (\ref{Satz 16.1}(2)), folgt: +\[ f_n - f \in \fl^p(X) \] +Also $g_n \in \fl^1(X)$. +Es ist +\[ 0 \leq g_n \leq \left( |f_n| + |f| \right)^p \leq \left( g^{\frac{1}{p}} + g^{\frac{1}{p}} \right)^p = \left( 2g^{\frac{1}{p}} \right)^p = 2^p g \quad\text{f.\"u.} \] +Mit \ref{Satz 6.2} folgt schließlich: +\[ \underbrace{\int_X g_n \text{ d}x}_{=\|f_n - f\|_p^p} \to 0. \] +\end{beweis} + +Aus \ref{Satz 16.1} folgt: $\fl^p(X)$ ist ein reeller Vektorraum (VR), wobei für $f,g\in\fl^p(X)$ gilt: +\[\|\alpha f\|_p=|\alpha|\cdot \|f\|_p\quad (\alpha\in\mdr)\] +\[\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p\] +Aber $\|\cdot\|_p$ ist \textbf{keine} Norm auf $\fl^p(X)$! Denn aus $\|f\|_p=0$ folgt nur $f=0$ f.ü. + +\begin{definition} +Es sei $\cn:=\{f:X\to\mdr\mid f\text{ ist messbar und } f=0 \text{ f.ü.}\}$, dann ist $\cn$ ein Untervektorraum von $\fl^p(X)$. Definiere +\[L^p(X):=\fl^p(X)\diagup\cn=\{\hat f=f+\cn\mid f\in\fl^p(X)\}\] +Aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass $L^p(X)$ durch die Skalarmultiplikation +\[\alpha\cdot\hat f := \widehat{\alpha f}\] +und die Addition +\[\hat f+\hat g:=\widehat{f+g}\] +zu einem Vektorraum über $\mdr$ wird. +\end{definition} + +Setze f\"ur $\hat f \in L^1(X)$: +\[\int_X \hat f(x) \text{ d}x := \int_X f(x) \text{ d}x\] +dabei ist diese Definition unabh\"angig von der Wahl des Repr\"asentanten $f \in \fl^1(X)$ von $\hat f$, denn: ist auch noch $g \in \fl^1(X)$ und $\hat g = \hat f$, so ist $f - g \in \cn$, also $f-g = 0$ f.\"u. und damit: $\int_X f \text{ d}x = \int_X g \text{ d}x$. + +F\"ur $\hat f \in L^p(X)$ definiere +\[\| \hat f \|_p := \| f \|_p\] +wobei diese Definition unabh\"angig ist von der Wahl des Repr\"asentanten $f \in \fl^p(X)$ von $\hat f$. + +F\"ur $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze +\[( \hat f | \hat g ) := \int_X f(x)g(x) \text{ d}x\] +(auch diese Definition ist Repr\"asentanten-unabh\"angig) (Beachte: $f\cdot g \in \fl^1(X)$ ) + +\textbf{Dann gilt:} +\index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz} +\begin{enumerate} \item $L^p(X)$ ist unter $\| \cdot \|_p$ ein normierter Raum (NR). +\item F\"ur $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ gilt: +\[ | ( \hat f | \hat g ) | = | \int_X f(x)g(x) \text{ d}x | \leq \int_X |fg| \text{ d}x = \| fg \|_1 \overset{\ref{Satz 16.1}}{\leq} \| f \|_2 \| g \|_2 = \| \hat f \|_2 \| \hat g \|_2 \] +\textbf{(Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)} +\end{enumerate} +\textbf{Nachrechnen:} $( \hat f | \hat g )$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X)$. Es gilt: +\[ ( \hat f | \hat f) = \int_X f(x)^2 \text{ d}x = \| \hat f \|_2^2 \] +\textbf{Also:} $\| \hat f \|_2 = \sqrt{( \hat f | \hat f )}$ + +\begin{definition} +\index{Prähilbertraum} +\index{Hilbertraum} +Sei $(B, \| \cdot \|)$ ein normierter Raum. Gilt mit einem Skalarprodukt $( \cdot | \cdot )$ auf $B$: +\begin{align*} +\tag{$*$} \| v \| = \sqrt{(v | v)} \quad \forall v \in B +\end{align*} +so hei\ss t $B$ ein \textbf{Prähilbertraum}. Ist $B$ ein Banachraum mit $(*)$, so hei\ss t $B$ ein \textbf{Hilbertraum}. +\end{definition} + +\textbf{Vereinbarung:} ab jetzt sei stets in diesem Paragraphen $1 \leq p < \infty$. + +\begin{bemerkung} +\index{Chauchyfolge} +Seien \(f,f_n\in\fl^p(X)\) +\begin{enumerate} +\item \(\| f_n-f\|_p = \| \hat{f_n}-\hat f\|_p\to 0\) genau + dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\) + mit dem Grenzwert \(\hat f\) ist. +\item \((\hat f_n)\) ist eine \textbf{Cauchyfolge} (CF) in \(L^p(X)\) genau dann, wenn für jedes $\ep>0$ ein $n_0\in\mdn$ exitiert mit: + \begin{align*} + \tag{$*$} \| \hat f_n-\hat f_m\|_p =\| f_n-f_m\|_p<\ep\quad\forall n,m\geq n_0 + \end{align*} +\item Wie in Analysis II zeigt man: gilt \(\| f_n-f\|_p= + \| \hat f_n-\hat f\|_p\to 0\), so ist \((\hat f_n)\) eine Cauchyfolge + in \(L^p(X)\). + + +\end{enumerate} +\end{bemerkung} + +\begin{satz}[Satz von Riesz-Fischer] +\label{Satz 16.4} +\((\hat f_n)\) sei eine Cauchyfolge in \(L^p(X)\), das heißt es gilt \((\ast)\) aus obiger Bemerkung (2). +Dann existiert ein \(f\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) mit: +\begin{enumerate} +\item \(f_{n_j}\to f\) fast überall auf \(X\). +\item \(\| f_n-f\|_p\to 0 \ \ (n\to\infty)\). +\end{enumerate} +Das heißt \(L^p(X)\) ist ein Banachraum (\(L^2(X)\) ist ein Hilbertraum). +\end{satz} + +\begin{bemerkung} +Voraussetzungen und Bezeichnungen seien wie in \ref{Satz 16.4}. Im Allgmeinen wird \textbf{nicht} +gelten, dass fast überall \(f_n\to f\) ist. +\end{bemerkung} + +\begin{beispiel} +Sei \(X=[0,1]\) und \((I_n)\) sei die folgende Folge von Intervallen: +\[I_1=\left[0,1\right], I_2=\left[0,\frac12\right], I_3=\left[\frac12,1\right], I_4=\left[0,\frac14\right], +I_5=\left[\frac14,\frac12\right], I_6=\left[\frac12, \frac34\right], I_7=\left[\frac34,1\right], \ldots\] +Es sei \(f_n:=\mathds{1}_{I_n}\), sodass \(\int_X f_n\,dx=\int_{I_n}1\,dx=\lambda_1(I_n)\to 0\). +Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\). +Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge +\(I_{n_j}\) mit \(x\in I_{n_j}\) für jedes \(j\in\mdn\) existiert. Somit ist \(f_{n_j}(x)=1\) für jedes \(j\in\mdn\) +und deshalb gilt fast überall \(f_n\nrightarrow 0\). +\end{beispiel} + +\begin{beweis}[von \ref{Satz 16.4}] +Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\). +Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\) +für alle \(l\geq n_1\). +Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und +\(\| f_l-f_{n_2}\|_p<\ep_2\) für alle \(l\geq n_2\). +Etc.\\ +Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit +\[(+)\ \ \ \| f_l-f_{n_j}\|_p<\ep_j \text{ für alle } l\geq n_j \text{ mit } j\in\mdn\] +Setze \(g_j:=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}\ (j\in\mdn)\). Klar: \(g_l\in\fl^p(X)\). +Für \(N\in\mdn\): \[S_N:=\int_X\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert^p\right)^{\frac1p}\] +Dann: +\begin{align*} + S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p + \leq \sum^N_{j=1}\| g_j\|_p + \overset{\text{(+)}}\leq \sum^N_{j=1}\ep_j + =\sum^N_{j=1}\frac1{2^j} + \leq 1 +\end{align*} +Setze \[g(x):=\sum^\infty_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert \text{ für } x\in X\] +Es ist \(g\geq0\) und messbar. Weiter gilt: +\begin{align*} + 0\leq \int_X g^p\,dx + =\int_X\lim_{N\to\infty}\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right)^p\,dx + \overset{\ref{Satz 6.2}}\leq \liminf_{N\to\infty}S_N^p + \leq 1 +\end{align*} +Somit ist \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 5.2} folgt, dass eine Nullmenge \(N_1\subseteq X\) +existiert mit \(0\leq g^p(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\). Es ist dann auch +\(0\leq g(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\) und somit folgt nach Konstruktion von $g$, dass +\(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) konvergiert absolut in jedem \(x\in X\setminus N_1\). +Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem +\(x\in X\setminus N_1\) konvergiert. + +Für \(m\in\mdn\): +\[\sum^{m-1}_{j=1}g_j=f_{n_m}-f_{n_1} \implies f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1} \] +Deshalb ist \((f_{n_m})\) konvergent (in \mdr) für alle \(x\in X\setminus N_1\). +\begin{align*} +f(x):= + \begin{cases} + \lim_{m\to\infty}f_{n_m}(x) &, x\in X\setminus N_1 \\ + 0 &, x\in N_1 + \end{cases} +\end{align*} +Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und +\(f(X)\subseteq\mdr\). +Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit +\[\lvert f_{n_m}\rvert = \lvert f_{n_1}\rvert + \sum^{m-1}_{j=1}g_j \leq \lvert f_{n_1}\rvert + +\lvert g\rvert\] +Wie im Beweis von Satz \ref{Satz 16.1} folgern wir +\[\lvert f_{n_m}\rvert^p\leq 2^p\left(\lvert f_{n_1}\rvert^p+g^p\right)=:\tilde g \] + \(f_{n_1}\in\fl^p(X)\), \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 16.3} folgt, dass \(f\in\fl^p(X)\) +und \[\| f_{n_m}-f\|_p\to 0 \ (m\to\infty)\] +Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und +\(\| f-f_{n_m}\|_p<\frac\ep2\). +Für \(l\geq n_m\) gilt: +\[\| f_l-f\|_p= \| f_l-f_{n_m}+f_{n_m}-f\|_p +\leq \| f_l-f_{n_m}\|_p + \| f_{n_m}-f\|_p +\overset{\text{(+)}}< \frac1{2^m}+\frac\ep2 <\ep\] +Das heißt +\[\| f_l-f\|_p\to0 \ (l\to\infty)\] +\end{beweis} + +\begin{satz} +\label{Satz 16.5} +Sei auch noch \(1\leq q<\infty\). \((f_n)\) sei eine Folge in \(\fl^p(X)\cap\fl^q(X)\). Es sei +\begin{align*} +f\in\fl^p(X) & \text{ und } g\in\fl^q(X) +\intertext{Weiter gelte: } +\| f_n-f\|_p\to 0 & \text{ und } \| f_n-g\|_q\to 0 \ (n\to\infty) +\end{align*} +Dann ist fast überall \(f=g\). +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item[\textbf{1.}] + Aus Bemerkung (3) vor \ref{Satz 16.4} folgt, dass \((\hat f_n)\) ist eine Cachyfolge in + \(L^p(X)\). Wegen \ref{Satz 16.4} existiert dann ein \(\varphi\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge + \((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und + \(\| f_n-\varphi\|_p\to0\) + \begin{align*} + \| f-\varphi\|_p + = \| f-f_n+f_n-\varphi\|_p + \leq \| f-f_n\|_p + \| f_n-\varphi\|_p + \to 0\ \ (n\to\infty) + \end{align*} + Somit ist \(\| f-\varphi\|_p=0\) und deshalb fast überall \(f=\varphi\). + Also gilt fast überall \(f_{n_j}\to f\). Das heißt, dass es eine Nullmenge \(N_1\subseteq X\) gibt, + für die gilt: \[f_{n_j}(x)\to f(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_1\] +\item[\textbf{2.}] + Setze \(g_j:=f_{n_j}\), dann gilt \(\| g_j-g\|_q\to0\ \ (j\to\infty)\). Wie + im ersten Schritt zeigt man, dass eine Nullmenge \(N_2\subseteq X\) und eine Teilmenge + \((g_{j_k})\) existiert mit, für die gilt: + \[g_{j_k}(x)\to g(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_2\] +\end{enumerate} +Wir wissen, dass \(N:=N_1\cup N_2\) eine Nullmenge ist. Sei nun \(x\in X\setminus N\). Dann +folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus +\[ \underbrace{f_{n_{j_k}}(x)}_{=g_{n_{j_k}}(x)}\to f(x) \] +Aus dem Zweiten Schritt folgt dann, dass \(f_{n_{j_k}}(x)\to g(x)\) und somit \(f(x)=g(x)\). +\end{beweis} + +\begin{bemerkung} +Seien \(f_n,f\in\fl^p(X)\) und es gelte \(\| f_n-f\|_p\to 0\ \ (n\to\infty)\). Der +Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit +\(f_{n_j}\to f\) fast überall. +\end{bemerkung} + +\begin{bemerkung} +Konvergenz im Sinne der Norm \(\|\cdot\|_p\) und punktweise Konvergenz fast +überall haben im Allgemeinen \textbf{nichts} miteinander zu tun! +\end{bemerkung} + +\begin{beispiel} +Sei \((f_n)\) wie im Beispiel vor \ref{Satz 16.4}. Also \(\| f_n-0\|_p\to 0\), aber +\(f_n\nrightarrow 0\) fast überall. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +%Bild einfügen +Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar. +\[\int_X f_n\,dx=1 \text{ für alle } \natn\] +Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\). +\[f_n(x)\to +\begin{cases} +0, x\in(0,1]\\ +1, x=0 +\end{cases}\] +Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber +\(\| f_n-0\|_1=1\nrightarrow0 \ \ (n\to\infty)\) +\end{beispiel} + +\begin{definition} + \index{Reihe ! unendliche} + \index{stetig} +Seien \((E,\|\cdot\|_1), (F,\|\cdot\|_2)\) normierte Räume. +\begin{enumerate} +\item Sei \((x_n)\) eine Folge in $E$ und \(s_n:=x_1+x_2+\cdots+x_n\) (\natn). + Dann heißt \((s_n)\) eine \textbf{unendliche Reihe} und wird mit + \[\sum^\infty_{n=1}x_n\] bezeichnet. \(\sum^\infty_{n=1}x_n\) heißt + \textbf{konvergent} genau dann, wenn \((s_n)\) konvergiert. In diesem Fall ist + \[\sum^\infty_{n=1}x_n:=\lim_{n\to\infty}s_n\] +\item \(\Phi\colon E\to F\) sei eine Abbildung. \(\Phi\) heißt \textbf{stetig} in \(x_0\in E\) + genau dann, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)\) in $E$ mit \(x_n\to x_0\) + gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\] + \(\Phi\) heißt auf $E$ stetig genau dann, wenn \(\Phi\) ist in jedem \(x\in E\) stetig. +\item Für $(x,y)\in E\times E$ setze +\[\|(x,y)\|:=\sqrt{\|x\|_1^2+\|y\|_1^2}\] +Dann ist $\|\cdot\|$ eine Norm auf $E\times E$ (nachrechnen!). Weiter gilt, dass $E\times E$ genau dann ein Banachraum ist, wenn $E$ einer ist. Für eine Folge $((x_n,y_n))$ in $E\times E$ und $(x,y)\in E\times E$ gilt +\[(x_n,y_n)\stackrel{\|\cdot\|}\to (x,y) \iff x_n\stackrel{\|\cdot\|}\to x \wedge y_n\stackrel{\|\cdot\|}\to y\] +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{bemerkung} +Ist $(x_n)$ eine konvergente Folge in $E$, so ist $(x_n)$ beschränkt (d.h. $\exists c>0: \|x_n\|_1\le c \forall n\in\mdn$). + +(Beweis wie in Ana I) +\end{bemerkung} + +\begin{vereinbarung} +Für den Rest dieser Vorlesung schreiben wir (meist) $f$ statt $\hat f$ und identifizieren $\fl^p(X)$ mit $L^p(X)$. Ebenso schreiben wir $\int_X f\text{ d}x$ statt $\int_X \hat f\text{ d}x$ und $(f|g)$ statt $(\hat f|\hat g)$. +\end{vereinbarung} + +\begin{wichtigesbeispiel} +\label{Beispiel 16.6} +\begin{enumerate} +\item Die Abbildung $\Phi:L^p(X)\to\mdr$, definiert durch +\[\Phi(f):=\|f\|_p\] +ist stetig auf $L^p(X)$. D.h. für $f_n,f\in L^p(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_p}\to f$ gilt $\|f_n\|_p\to\|f\|_p$, also +\[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\] +\begin{beweis} +Aus Analysis II §17 folgt: +\[| \|f_n\|_p-\|f\|_p |\le \|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\] +\end{beweis} +\item Die Abbildung $\Phi:L^1(X)\to\mdr$ definiert durch +\[\Phi(f):=\int_X f\text{ d}x\] +ist stetig auf $L^1(X)$. D.h. aus $f_n,f\in L^1(X)$ und $f_n\stackrel{\|\cdot\|_1}\to f$ folgt +\[\int_X f_n\text{ d}x\to\int_X f \text{ d}x\] +\begin{beweis} +Es gilt: +\begin{align*} +|\int_X f_n \text{ d}x-\int_X f \text{ d}x| &=|\int_X f_n-f \text{ d}x|\\ +&\le \int_X |f_n-f| \text{ d}x\\ +&= \|f_n-f\|_1\stackrel{n\to\infty}\to 0 +\end{align*} +\end{beweis} +\item Die Abbildung $\Phi:L^2(X)\times L^2(X)\to\mdr$ definiert durch +\[\Phi(f,g):=(f|g)\] +ist stetig auf $L^2(X)\times L^2(X)$. D.h. für $f_n,g_n,f,g\in L^2(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_2}\to f$ und $g_n\stackrel{\|\cdot\|_2}\to g$ gilt +\[(f_n|g_n)\stackrel{n\to\infty}\to(f|g)\] +\begin{beweis} +Es gilt: +\begin{align*} +|(f_n|g_n)-(f|g)|&=|(f_n|g_n)-(f_n|g)+(f_n|g)-(f|g)|\\ +&=|(f_n|g_n-g)+(f_n-f|g)|\\ +&\le |(f_n|g_n-g)|+|(f_n-f|g)|\\ +&\le \|f_n\|_2\cdot \|g_n-g\|_2 + \|f_n-f\|_2\cdot\|g\|_2\stackrel{n\to\infty}\to 0 +\end{align*} +\end{beweis} +\end{enumerate} +\end{wichtigesbeispiel} + +\begin{satz} +\label{Satz 16.7} +Sei $f=f_+-f_-\in L^p(X)$ und $(g_n)$ und $(h_n)$ seien zulässige Folgen für $f_+$ bzw. $f_-$ (d.h. $g_n,h_n$ einfach, $0\le g_n\le g_{n+1}, g_n\to f_+$, $0\le h_n\le h_{n+1}, h_n\to f_-$). Setze $f_n:=g_n-h_n$.\\ +Dann sind $f_n,g_n,h_n\in L^p(X)$ und es gilt: +\begin{align*} +&\|g_n-f_+\|_p\to 0&&\|h_n-f_-\|_p\to 0&&\|f_n-f\|_p\to 0 +\end{align*} +\end{satz} + +\begin{beweis} +Es genügt den Fall $f\ge 0$ zu betrachten (also $f=f_+$, $f_-\equiv 0$). Sei also $(f_n)$ zulässig für $f$. Definiere $\varphi:=|f_n-f|^p$. Es ist klar, dass punktweise gilt $\varphi_n\to 0$. Außerdem gilt: +\begin{align*} +0\le\varphi_n&\le (|f_n|+|f|)^p\\ +&=|f_n+f|^p\le (2f)^p\\ +&=2^pf^p=:g +\end{align*} +Dann ist $g\in L^1(X)$ integrierbar.\\ +Aus \ref{Satz 4.9} folgt: +\begin{align*} +\varphi\in L^1(X)&\implies f_n-f\in L^p(X)\\ +&\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X) +\end{align*} +Aus \ref{Satz 6.2} folgt: +\[\int_X\varphi_n\text{ d}x\to 0 \implies \|f_n-f\|_p^p\to 0\] +\end{beweis} + +\begin{definition} +\index{Träger} +\begin{enumerate} +\item Sei $f:X\to\mdr$. Dann heißt +\[\supp (f):=\overline{\{x\in X\mid f(x)\ne 0\}}\] +der \textbf{Träger} von $f$ +\item $C_c(X,\mdr):=\{f\in C(X,\mdr)\mid \supp(f)\subseteq X\text{ und } \supp(f) \text{ kompakt}\}$ +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{satz} +\index{dicht} +\label{Satz 16.8} +\begin{enumerate} +\item $C_c(X,\mdr)\subseteq L^p(X)$ +\item Ist $X$ offen, so liegt $C_c(X,\mdr)$ \textbf{dicht} in $L^p(X)$, d.h. ist $f\in L^p(X)$ und $\ep>0$, so existiert $g\in C_c(X,\mdr)$ mit $\|f-g\|_p<\ep$. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Sei $f\in C_c(C,\mdr)$ und $K:=\supp(f)$, dann ist $K\subseteq X$ kompakt, also $K\in\fb_d$. Es gilt für alle $x\in X\setminus K$ $f(x)=0$ und damit folgt aus \ref{Satz 4.12} $\int_K |f|^p\text{ d}x<\infty$. Dann gilt: +\[\int_X |f|^p\text{ d}x=\int_{X\setminus K} |f|^p\text{ d}x+\int_K |f|^p\text{ d}x=\int_K |f|^p\text{ d}x<\infty\] +Also ist $f\in L^p(X)$. +\item Siehe Übungsblatt 13. +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\chapter{Das Integral im Komplexen} +\label{Kapitel 17} + +In diesem Paragraphen sei $\varnothing \ne X \in \fb_d, f: X \to \MdC$ eine Funktion, $ u:= \Re(f), v:= \Im(f)$, also: $u,v: X \to \MdR, f= u+iv$. + +Wir versehen $\MdC$ mit der $\sigma$-Algebra $\fb_2$ (wir identifizieren $\MdC$ mit $\mdr^2$). + +\begin{definition} +\index{messbar} +$f$ hei"st (Borel-)\textbf{messbar}, genau dann wenn gilt: $f$ ist $\fb_d$-$\fb_2$-messbar. +\end{definition} + +Aus 3.2 folgt: $f$ ist messbar genau dann, wenn $u$ und $v$ messbar sind. + +\begin{definition} +\index{integrierbar}\index{Integral} +Sei $f$ messbar. $f$ hei"st \textbf{integrierbar} (ib.) genau dann, wenn $u$ und $v$ integrierbar sind. +In diesem Fall setze +\[ \int_X f \text{ d}x := \int_X u \text{ d}x + i\int_X v \text{ d}x \quad ( \in \MdC) \] +\end{definition} + +Es gilt: $|u|, |v| \leq |f| \leq |u| + |v|$ auf $X$. +Hieraus und aus 4.9 folgt: $f$ ist integrierbar genau dann, wenn $|f|$ integrierbar ist. + +\begin{definition} +\[ \fl^p(X, \MdC) := \{ f : X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } \int_X |f|^p \text{ d}x < \infty \} \] +(Achtung: mit den Betragsstrichen in ob. Integral ist der komplexe Betrag gemeint!) +\[ \cn := \{ f: X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } f = 0 \text{ f.\"u.} \} \] +$\fl^p(X,\MdC )$ ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und $\cn$ ist ein Untervektorraum von $\fl^p(X,\MdC )$. +\[ L^p(X,\MdC ) := \fl^p(X,\MdC)\diagup\cn \] +\end{definition} + +\begin{definition} +\index{orthogonal} +F\"ur $f,g \in L^2(X,\MdC )$ setze +\[(f | g) := \int_X f(x) \overline{g(x)} \text{ d}x\] +sowie +\[f \bot g :\Longleftrightarrow (f | g) = 0 \quad \text{ ($f$ und $g$ sind \textbf{orthogonal}).} \] +( $\overline{z}$ bezeichne hierbei die komplex Konjugierte von $z$, vgl. Lineare Algebra). +\end{definition} + +\textbf{Klar:} \begin{enumerate} +\item $L^p(X,\MdC )$ ist mit $\| f \|_p := (\int_X |f|^p \text{ d}x )^{\frac{1}{p}}$ ein komplexer normierter Raum (NR). +\item $(f | g)$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X,\MdC)$. Es ist +\[(f | g) = \overline{(g | f)}, \] +\[ (f | f) = \int_X f(x) \overline{f(x)} \text{ d}x = \int_X |f(x)|^2 \text{ d}x = \| f \|_2^2 \text{, also:} \] +\[ \| f\|_2 = \sqrt{(f|f)} \quad (f,g \in L^2(X,\MdC )) \] +(Beachte: es ist $z \cdot \overline{z} = |z|^2$ f\"ur $z \in \MdC$). +\end{enumerate} + +\textbf{Inoffizielle Anmerkung:} Dieses Skalarprodukt ist auf $\MdC$ nur linear in der ersten Komponente! Wenn man einen $\MdC$-Skalar aus der zweiten Komponente rausziehen m\"ochte, muss man diesen komplex konjugieren: +\begin{align*} +\alpha \in \MdC:\quad &(f|\alpha g) = \overline{\alpha} (f|g)\\ +&(\alpha f|g) = \alpha (f | g) +\end{align*} + +\begin{satz} +\label{Satz 17.1} +\begin{enumerate} + \item Seien \(f,g\colon X\to\mdc\) integrierbar und \(\alpha,\beta\in\mdc\). Dann gelten: + \begin{enumerate} + \item[(i)] \(\alpha f+\beta g\) ist integrierbar und + \[\int_X(\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\int_Xf\,dx+\beta\int_Xg\,dx\] + \item[(ii)] \(\text{Re}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Re}(f)\,dx\ \) und + \(\ \text{Im}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Im}(f)\,dx\) + \item[(iii)] \(\overline f\) ist integrierbar und + \[\int_X\overline f\,dx=\overline{\int_Xf\,dx}\] + \end{enumerate} + \item Die Sätze \ref{Satz 16.1} bis \ref{Satz 16.3} und das Beispiel \ref{Beispiel 16.6} gelten in + \(L^p(X,\mdc)\). + \item \(L^p(X,\mdc)\) ist ein komplexer Banachraum, \(L^2(X,\mdc)\) ist ein komplexer + Hilbertraum. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{wichtigesbeispiel} +\label{Beispiel 17.2} +Sei \(X=[0,2\pi]\). Für \(k\in\MdZ\) und \(t\in\mdr\) setzen wir +\begin{align*} + e_k(t):=e^{ikt}=\cos(kt)+i\sin(kt) && \text{ und } && b_k:=\frac1{\sqrt{2\pi}}e_k +\end{align*} +Dann gilt: \(b_k,e_k\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) und \[\int_0^{2\pi}e_0(t)\,dt=2\pi\] +Für \(k\in\MdZ\) und \(k\neq0\) ist +\begin{align*} + \int_0^{2\pi}e_k(t)\,dt=\left.\frac1{ik}e^{ikt}\right\rvert_0^{2\pi} + = \frac1{ik}\left(e^{2\pi ki}-1\right)=0 +\intertext{Damit ist} + (b_k\mid b_l) = \int^{2\pi}_0 b_k\overline{b_l}\,dt = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{ikt}e^{-ilt}\,dt + = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{i(k-l)t}\,dt = + \begin{cases} + 1 ,\text{falls } k=l\\ + 0 ,\text{falls }k\neq l + \end{cases} +\end{align*} +Insbesondere ist \(\| b_k\|_2=1\). Das heißt \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) ist ein +\textbf{Orthonormalsystem} in \(L^2([0,2\pi],\mdc)\). +Zur Übung: \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) ist linear unabhängig in \(L^2([0,2\pi],\mdc)\). +\end{wichtigesbeispiel} + +\begin{definition} +Sei \((\alpha_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(\mdc\) und \((f_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in +\(L^2(X,\mdc)\). +\begin{enumerate} + \item Für \(n\in\mdn_0\) setze + \[s_n:=\sum^n_{k=-n}\alpha_k = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\alpha_k + =\alpha_{-n}+\alpha_{-(n-1)}+\cdots+\alpha_0+\alpha_1+\cdots+\alpha_n\] + Existiert \(\lim_{n\to\infty}s_n\) in \(\mdc\), so schreiben wir + \(\sum_{k\in\MdZ}\alpha_k:=\lim_{n\to\infty}s_n\) + \item Für \(n\in\mdn_0\) setze + \[\sigma_n:=\sum^n_{k=-n}f_k=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}f_k\] + Gilt für ein \(f\in L^2(X,\mdc)\): + \(\| f-\sigma_n\|_2\overset{n\to\infty}\longrightarrow 0\), so schreiben + wir \[f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}f_k \ \ \ + \left(=\lim_{n\to\infty}\sigma_n \text{ im Sinne der } L^2\text{-Norm}\right)\] +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} +\index{Orthonormalbasis} +Sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}. \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) heißt eine +\textbf{Orthonormalbasis (ONB)} von \(L^2([0,2\pi],\mdc)\) genau dann, wenn es zu jedem +\(f\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) eine Folge \[(c_k)_{k\in\MdZ}=(c_k(f))_{k\in\MdZ}\] gibt, mit +\[(\ast)\ \ \ \ \ \ \ \ \ f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \] +\textbf{Frage:} Ist \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) eine ONB von \(L^2([0,2\pi],\mdc)\)?\\ +\textbf{Antwort:} Ja! In \ref{Satz 18.5} werden wir sehen, dass \((\ast)\) gilt mit +\(c_k=(f\mid b_k)\). +\end{definition} + +\chapter{Fourierreihen} +\label{Kapitel 18} + +In diesem Paragraphen sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und +\(L^2_\mdr:=L^2([0,2\pi],\mdr)\). Weiter sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}. + +\begin{satz} +\label{Satz 18.1} +Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\): +\(f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \), so gilt: +\[c_k=(f\mid b_k) \text{ für alle } k\in\MdZ\] +\end{satz} + +\begin{beweis} +Für \(n\in\mdn_0\) setze \[\sigma_n:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_kb_k\] Aus der Voraussetzung folgt +\(\| \sigma_n-f\|_2\to 0\) für \(n\to\infty\). Sei \(j\in\MdZ\) und \(n\in\mdn\) mit +\(n\geq \lvert j\rvert\). Es gilt einerseits +\[(\sigma_n\mid b_j) = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_k(b_k\mid b_j)=c_j, \text{ da gilt: } +(b_k\mid b_j)= +\begin{cases} +0, \text{ falls } k\neq j\\ +1, \text{ falls } k= j +\end{cases}\] +Andererseits: \((\sigma_n\mid b_j)\to(f\mid b_j)\) für \(n\to\infty\) wegen \ref{Beispiel 16.6}(3). Daraus +folgt \(c_j=(f\mid b_j)\) +\end{beweis} + +\begin{definition} +\index{Fourier ! -sche Partialsumme} +\index{Fourier ! -koeffizient} +\index{Fourier ! -reihe} +Sei \(f\in L^2\), \(n\in\mdn_0\) und \(k\in\MdZ\). +\begin{enumerate} +\item \(S_nf:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k\) heißt + \textbf{n-te Fouriersche Partialsumme}. Also gilt: + \[f\overset{\|\cdot\|_2} + =\sum_{k\in\MdZ}(f\mid b_k)b_k\gdw\| f-S_nf\|_2 + \to0\] +\item \((f\mid b_k)\) heißt \textbf{k-ter Fourierkoeffizient von f}. +\item \(\sum_{k\in\MdZ}(f\mid b_k)b_k\) heißt \textbf{Fourierreihe von f}. +\item Für \(n_0\in\mdn_0\) setze + \(E_n:=[b_{-n},b_{-(n-1)},\ldots,b_0,b_1,\ldots,b_n]\) + (lineare Hülle). Es ist dann \[\dim E_n=2n+1\] + \textbf{Beachte: } Für \(v\in E_n\) gilt \(v(0)=v(2\pi)\). +\end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{Satz 18.2} +\index{Besselsche Ungleichung} +\index{Ungleichung ! Besselsche} +Seien \(f_1,\ldots,f_n,f\in L^2\). +\begin{enumerate} +\item Gilt \(f_\mu\perp f_\nu\) für \(\mu\neq\nu\) (\(\mu,\nu=1,\ldots,n\)), + so gilt der Satz des Pythagoras + \[\| f_1+\cdots+f_n\|^2_2= + \| f_1\|^2_2+\cdots+ + \| f_n\|^2_2\] +\item Die Abbildung \[S_n\colon + \begin{cases} + L^2\to E_n\\ + S_nf:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k + \end{cases}\] + ist linear und für jedes \(v\in E_n\) gilt \(S_nv=v\) und + \((f-S_nf)\perp v\) mit \(f\in L^2\). +\item Die \textbf{Besselsche Ungleichung} lautet: + \[\| S_nf\|^2_2 + =\sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2 + =\| f\|_2^2-\|(f-S_nf)\|^2_2 + \leq\| f\|^2_2\] +\item Für alle \(v\in E_n\) gilt: + \[\| f-S_nf\|_2\leq\| f-v\|_2 + \] +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beweis} +\begin{enumerate} +\item Es genügt den Fall \(n=2\) zu betrachten, der Rest folgt induktiv. + \begin{align*} + \| f_1+f_2\|_2^2 + &= (f_1+f_2\mid f_1+f_2) \\ + &= (f_1\mid f_1)+(f_1\mid f_2)+(f_2\mid f_1)+(f_2\mid f_2) \\ + &= (f_1\mid f_1)+(f_2\mid f_2) \\ + &=\| f_1\|^2_2+\| f_2\|^2_2 + \end{align*} +\item Übung! +\item Es gilt + \begin{align*} + \| S_nf\|^2_2 + &= \left\lvert\left\lvert\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k\right\rvert + \right\rvert^2_2 + \overset{(1)}= + \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\|(f\mid b_k)b_k\rvert + \rvert^2_2 + = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2\| b_k\rvert + \rvert^2_2 + = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2 + \end{align*} + und + \begin{align*} + \| f\|^2_2 + = \|\underbrace{(f-S_nf)}_{\underset{(2)}\perp E_n} + +\underbrace{S_nf}_{\in E_n}\|^2_2 + = \| f-S_nf\|^2_2 + \| S_nf\|^2_2 + \end{align*} +\item Sei \(v\in E_n\). Dann gilt: + \begin{align*} + \| f-v\|^2_2 + &= \|\underbrace{(f-S_nf)}_{\perp E_n} + +\underbrace{(S_nf-v)}_{\in E_n}\|^2_2 \\ + &\overset{(1)}= + \| f-S_nf\|^2_2 + +\| S_nf-v\|^2_2 \\ + &\geq \| f-S_nf\|^2_2 + \end{align*} +\end{enumerate} +\end{beweis} + +\begin{wichtigebemerkung} +\label{Bemerkung 18.3} +Es sei \(\mdk\in\{\mdr,\mdc\},\,a,b\in\mdr,\,I:=[a,b]\,(a0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls: + \(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das hei\ss t, es existiert ein + \(x_{\ep}\in U_{\ep}(x_{0})\cap I:\,x_{\ep}\not\in N\). Also: + \(\forall n\in\mdn\,\exists x_{n}\in U_{\frac{1}{n}}(x_{0})\cap I:\, x_{n}\not\in N\). Also: \(x_{n}\to x_{0}\).\\ +Dann: \(f(x_{0})=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\lim_{n\to\infty}g(x_{n})=g(x_{0})\) +\end{beweis} +\end{enumerate} +\end{wichtigebemerkung} + +\begin{satz}[Approximationssatz von Weierstra\ss] +\label{Satz 18.4} +Es sei \(I=[a,b]\) wie in \ref{Bemerkung 18.3} und \(\mdk\in\{\mdr, \mdc\}\). +\begin{enumerate} +\item Ist \(f\in C(I,\mdk)\) und \(\ep>0\), so existiert ein Polynom \(p\) mit Koeffizienten in \(\mdk\) mit: +\[ +\lVert f-p\rVert_{\infty}<\ep +\] +\item Ist \(a=0,\,b=2\pi,\,f\in C(I,\mdk),\,f(0)=f(2\pi)\) und \(\ep>0\), so existiert ein \(n\in\mdn\) und ein + \(v\in\mathrm{E}_{n}\) mit: +\[ +\lVert f-v\rVert_{\infty}<\ep +\] +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{satz} +\label{Satz 18.5} +Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}\). Dann gilt: \(f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\sum_{k\in\mdz}{(f\mid b_{k})b_{k}}\) und +\[\lVert f\rVert_{2}^{2}=\sum_{k\in\mdz}{\lvert(f\mid b_{k})\rvert^{2}}\quad\text{(\textbf{Parsevalsche Gleichung})}\] Insbesondere gilt: +\((f\mid b_{k})\to 0\quad(\lvert k\rvert\to\infty)\). +\end{satz} + +\begin{beweis} +Zu zeigen: \(\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}\to0\,(n\to\infty)\). Die Parsevalsche Gleichung folgt dann aus \ref{Satz 18.2}.\\ +Sei \(\ep>0\). Wende \ref{Satz 16.8}(2) auf \(\Re f\) und \(\Im f\) an. Dies liefert eine stetige Funktion +\(g:\,(0,2\pi)\to\mdc\) mit: \(K:=\supp(g)\subseteq(0,2\pi)\), \(K\) kompakt und \(\lVert f-g\rVert_{2}<\ep\).\\ +Setze \(g(0):=g(2\pi):=0\). Dann ist \(g\) stetig auf \([0,2\pi]\). Satz \ref{Satz 18.4} liefert nun: + \(\exists n\in\mdn\exists v\in\mathrm{E}_{n}:\,\lVert g-v\rVert_{\infty}<\ep\).\\ +Damit: \(\lVert g-v\rVert_{2}\leq\sqrt{2\pi}\lVert g-v\rVert_{\infty}<\sqrt{2\pi}\ep\). Somit: +\begin{align*} +\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}&=\lVert f-g+g-S_{n}g+S_{n}g-S_{n}f\rVert_{2}\\ + &\leq\underbrace{\lVert f-g\rVert_{2}}_{<\ep} + +\underbrace{\lVert g-S_{n}g\rVert_{2}}_{\overset{18.2(4)}{\leq}\lVert g-v\lVert_2} + +\underbrace{\lVert S_{n}(g-f)\rVert_{2}}_{\overset{18.2(3)}{\leq}\lVert g-f\lVert_2}\\ + &<2\ep+\sqrt{2\pi}\ep=\ep(2+\sqrt{2\pi}) +\end{align*} +Sei \(m\geq n\). Dann gilt: \(\mathrm{E}_{n}\subseteq\mathrm{E}_{m}\), also \(w:=S_{n}f\in\mathrm{E}_{m}\). Damit: +\[ +\lVert f-S_{m}f\rVert_{2}\leq\lVert f-w\rVert_{2}=\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}<\ep(2+\sqrt{2\pi}) +\] +\end{beweis} + +\subsubsection*{Reelle Version} +Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}_{\mdr}\). +Es gelten die folgenden Bezeichnungen: +\begin{enumerate} +\item F\"ur \(k\in\mdn\) bezeichnen wir die Funktionen \(t\mapsto\cos(kt)\) und \(t\mapsto\sin(kt)\) mit \(\cos(k\cdot)\) bzw. + \(\sin(k\cdot)\). +\item F\"ur \(k\in\mdn_{0}:\,\alpha_{k}:=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)\cos(kt)\mathrm{d}t}=\frac{1}{\pi}\Re(f\mid e_{k})\).\\ +F\"ur \(k\in\mdn:\,\beta_{k}:=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)\sin(kt)\mathrm{d}t}=\frac{1}{\pi}\Im(f\mid e_{k}),\,\beta_{0}:=0\). +\end{enumerate} + +\begin{definition} +\index{gerade Funktion} +\index{ungerade Funktion} +\(f\) hei\ss t \textbf{gerade} (bez\"uglich \(\pi\)) genau dann, wenn gilt: \(f(t)=f(2\pi-t)\) f\"ur fast alle \(t\in[0,2\pi]\).\\ +\(f\) hei\ss t \textbf{ungerade} (bez\"uglich \(\pi\)) genau dann, wenn gilt: \(f(t)=-f(2\pi-t)\) f\"ur fast alle \(t\in[0,2\pi]\).\\ +% Bild nicht vergessen... +\end{definition} + +\begin{satz} +\label{Satz 18.6} +(Dieser Satz folgt aus \ref{Satz 18.5} und ``etwas'' rechnen)\\ +Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}_{\mdr}\) und \(n\in\mdn_{0}\). +\begin{enumerate} +\item \(S_{n}f=\frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}{(\alpha_{k}\cos(k\cdot)+\beta_{k}\sin(k\cdot))}\) +\item \(f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{(\alpha_{k}\cos(k\cdot)+\beta_{k}\sin(k\cdot))}\) +\item \(\frac{1}{\pi}\lVert f\rVert_{2}^{2}=\frac{\alpha_{0}^{2}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{(\alpha_{k}^{2}+\beta_{k}^{2})}\quad\) + (Parsevalsche Gleichung)\\ +Insbesondere gilt: \(\alpha_{k}\to0,\,\beta_{k}\to0\quad(k\to\infty)\) +\item Ist \(f\) gerade, so sind alle \(\beta_{k}=0\) und \(\alpha_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{f(t)\cos(kt)\mathrm{d}t}\). Die +Fourierreihe von \(f\) ist eine \textbf{Cosinusreihe}.\\ +Ist \(f\) ungerade, so sind alle \(\alpha_{k}=0\) und \(\beta_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{f(t)\sin(kt)\mathrm{d}t}\). Die +Fourierreihe von \(f\) ist eine \textbf{Sinusreihe}. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{beispiele} +\begin{enumerate} +\item \(f(t):=\begin{cases}1,&0\leq t\leq\pi\\-1,&\pi