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73
documents/Programmierparadigmen/Lambda.tex
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@ -300,79 +300,6 @@ Insbesondere ist also $f \ g$ ein Fixpunkt von $g$.
$\qed$
\end{beweis}
\section{Let-Polymorphismus}\xindex{let-Polymorphismus}\footnote{WS 2013 / 2014, Folie 205ff}%
Das Programm $P = \text{let } f = \lambda x.\ 2 \text{ in } f\ (f\ \text{\texttt{true}})$
ist eine polymorphe Hilfsfunktion, da sie beliebige Werte auf 2 Abbildet.
Auch solche Ausdrücke sollen typisierbar sein.
Die Kodierung
\[\text{let} x = t_1 \text{ in } t_2\]
ist bedeutungsgleich mit
\[(\lambda x.\ t_2) t_1\]
Das Problem ist, dass
\[P = \lambda f. \ f (f\ \text{\texttt{true}})\ (\lambda x.\ 2)\]
so nicht typisierbar ist, da in
\[\ABS \frac{f: \tau_f \vdash f\ (f\ \text{\texttt{true}}): \dots}{\vdash \lambda f.\ f\ (f\ \text{\texttt{true}}): \dots}\]
müsste
\[\tau_f = \text{bool} \rightarrow \text{int}\]
und zugleich
\[\tau_f = \text{int} \rightarrow \text{int}\]
in den Typkontext eingetragen werden. Dies ist jedoch nicht möglich. Stattdessen
wird
\[\text{let} x = t_1 \text{ in } t_2\]
als neues Konstrukt im $\lambda$-Kalkül erlaubt.
\begin{definition}[Typschema]\xindex{Typschema}%
Ein Typ der Gestalt $\forall \alpha_1.\ \forall \alpha_2.\ \dots\ \forall \alpha_n. \tau$
heißt \textbf{Typschema}. Es bindet freie Variablen $\alpha_1, \dots, \alpha_n$
in $\tau$.
\end{definition}
\begin{beispiel}[Typschema]
Das Typschema $\forall \alpha.\ \alpha \rightarrow \alpha$ steht für unendlich
viele Typen und insbesondere für folgende:
\begin{bspenum}
\item int $\rightarrow$ int, bool $\rightarrow$ bool, \dots
\item (int $\rightarrow$ int) $\rightarrow$ (int $\rightarrow$ int), \dots
\item \dots
\end{bspenum}
\end{beispiel}
\begin{definition}[Typschemainstanziierung]\xindex{Typschemainstanziierung}%
Sei $\tau_2$ ein Nicht-Schema-Typ. Dann heißt der Typ
\[\tau[\alpha \mapsto \tau_2]\]
eine \textbf{Instanziierung} vom Typschema $\forall \alpha.\ \tau$
und man schreibt:
\[(\forall \alpha.\ \tau) \succeq \tau [\alpha \mapsto \tau_2]\]
\end{definition}
\begin{beispiel}[Typschemainstanziierung]
Folgendes sind Beispiele für Typschemainstanziierungen:
\begin{bspenum}
\item $\forall \alpha.\ \alpha \rightarrow \alpha \succeq \text{int} \rightarrow \text{int}$
\item $\forall \alpha.\ \alpha \rightarrow \alpha \succeq (\text{int} \rightarrow \text{int}) \rightarrow (\text{int} \rightarrow \text{int})$
\item $\text{int} \succeq \text{int}$
\end{bspenum}
Folgendes sind keine Typschemainstanziierungen:
\begin{bspenum}
\item $\alpha \rightarrow \alpha \nsucceq \text{int} \rightarrow \text{int}$
\item $\alpha \nsucceq \text{bool}$
\item $\forall \alpha.\ \alpha \rightarrow \alpha \nsucceq \text{bool}$
\end{bspenum}
\end{beispiel}
Zu Typschemata gibt es angepasste Regeln:
\[\VAR \frac{\Gamma(x)= \tau' \;\;\; \tau' \succeq \tau}{\gamma \vdash x: \tau}\]
und
\[\ABS \frac{\Gamma, x: \tau_1 \vdash t: \tau_2 \;\;\; \tau_1 \text{ kein Typschema}}{\Gamma \vdash \lambda x. t: \tau_1 \rightarrow \tau_2}\]
\todo[inline]{Folie 208ff}
\section{Literatur}
\begin{itemize}

BIN
documents/Programmierparadigmen/Programmierparadigmen.pdf
View file

Binary file not shown.

15
documents/Programmierparadigmen/Programmierparadigmen.tex
View file

@ -97,6 +97,21 @@
pdfkeywords = {Programmierparadigmen},
pdftitle = {Programmierparadigmen}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% The patch for minted: http://tex.stackexchange.com/a/168021/5645
\makeatletter
\def\FV@BeginListFrame@Lines{%
\begingroup
\lineskip\z@skip
\FV@SingleFrameLine{\z@}%
\kern-0.5\baselineskip\relax
\baselineskip\z@skip
\kern\FV@FrameSep\relax
\penalty\@M% added line
\endgroup}
\makeatother
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeindex
\allowdisplaybreaks

78
documents/Programmierparadigmen/Typinferenz.tex
View file

@ -66,7 +66,8 @@ Mit folgenderweise typisiert werden:
In der letzten Typisierung stellt $\alpha$ einen beliebigen Typen dar.
\begin{definition}[Typsystem $\Gamma \vdash t: T$]\label{def:typsystem-t1}
\section{Typsystem}
\begin{definition}[Typsystem $\Gamma \vdash t: T$\footnotemark]\label{def:typsystem-t1}\xindex{Typregel}\xindex{Typsystem}%
Ein Typkontext $\Gamma$ ordnet jeder freien Variable $x$ einen Typ $\Gamma(x)$
durch folgende Regeln zu:
@ -80,7 +81,7 @@ In der letzten Typisierung stellt $\alpha$ einen beliebigen Typen dar.
\APP: &\frac{\Gamma \vdash t_1, \tau_2 \tau\;\;\; \Gamma \vdash t_2: \tau_2}{\Gamma \vdash t_1 t_2: \tau}
\end{align*}
\end{definition}
\footnotetext{WS 2013 / 2014, Folie 192}
Dabei ist der lange Strich kein Bruchstrich, sondern ein Symbol der Logik das als
@ -109,6 +110,79 @@ verwendet. Man schreibt also beispielsweise:
\[\frac{\Gamma \vdash b: \text{\texttt{bool}}\;\;\; \Gamma \vdash x: \tau \;\;\; \Gamma \vdash y: \tau }{\Gamma \vdash \text{\textbf{if} b \textbf{then} x \textbf{else} y} : \tau}\]
\end{beispiel}
\section{Let-Polymorphismus}\xindex{let-Polymorphismus}\footnote{WS 2013 / 2014, Folie 205ff}%
Das Programm $P = \text{let } f = \lambda x.\ 2 \text{ in } f\ (f\ \text{\texttt{true}})$
ist eine polymorphe Hilfsfunktion, da sie beliebige Werte auf 2 Abbildet.
Auch solche Ausdrücke sollen typisierbar sein.
Die Kodierung
\[\text{let} x = t_1 \text{ in } t_2\]
ist bedeutungsgleich mit
\[(\lambda x.\ t_2) t_1\]
Das Problem ist, dass
\[P = \lambda f. \ f (f\ \text{\texttt{true}})\ (\lambda x.\ 2)\]
so nicht typisierbar ist, da in
\[\ABS \frac{f: \tau_f \vdash f\ (f\ \text{\texttt{true}}): \dots}{\vdash \lambda f.\ f\ (f\ \text{\texttt{true}}): \dots}\]
müsste
\[\tau_f = \text{bool} \rightarrow \text{int}\]
und zugleich
\[\tau_f = \text{int} \rightarrow \text{int}\]
in den Typkontext eingetragen werden. Dies ist jedoch nicht möglich. Stattdessen
wird
\[\text{let} x = t_1 \text{ in } t_2\]
als neues Konstrukt im $\lambda$-Kalkül erlaubt.
\begin{definition}[Typschema]\xindex{Typschema}%
Ein Typ der Gestalt $\forall \alpha_1.\ \forall \alpha_2.\ \dots\ \forall \alpha_n. \tau$
heißt \textbf{Typschema}. Es bindet freie Variablen $\alpha_1, \dots, \alpha_n$
in $\tau$.
\end{definition}
\begin{beispiel}[Typschema]
Das Typschema $\forall \alpha.\ \alpha \rightarrow \alpha$ steht für unendlich
viele Typen und insbesondere für folgende:
\begin{bspenum}
\item int $\rightarrow$ int, bool $\rightarrow$ bool, \dots
\item (int $\rightarrow$ int) $\rightarrow$ (int $\rightarrow$ int), \dots
\item \dots
\end{bspenum}
\end{beispiel}
\begin{definition}[Typschemainstanziierung]\xindex{Typschemainstanziierung}%
Sei $\tau_2$ ein Nicht-Schema-Typ. Dann heißt der Typ
\[\tau[\alpha \mapsto \tau_2]\]
eine \textbf{Instanziierung} vom Typschema $\forall \alpha.\ \tau$
und man schreibt:
\[(\forall \alpha.\ \tau) \succeq \tau [\alpha \mapsto \tau_2]\]
\end{definition}
\begin{beispiel}[Typschemainstanziierung]
Folgendes sind Beispiele für Typschemainstanziierungen:
\begin{bspenum}
\item $\forall \alpha.\ \alpha \rightarrow \alpha \succeq \text{int} \rightarrow \text{int}$
\item $\forall \alpha.\ \alpha \rightarrow \alpha \succeq (\text{int} \rightarrow \text{int}) \rightarrow (\text{int} \rightarrow \text{int})$
\item $\text{int} \succeq \text{int}$
\end{bspenum}
Folgendes sind keine Typschemainstanziierungen:
\begin{bspenum}
\item $\alpha \rightarrow \alpha \nsucceq \text{int} \rightarrow \text{int}$
\item $\alpha \nsucceq \text{bool}$
\item $\forall \alpha.\ \alpha \rightarrow \alpha \nsucceq \text{bool}$
\end{bspenum}
\end{beispiel}
Zu Typschemata gibt es angepasste Regeln:\xindex{Typregel!mit Typabstraktionen}%
\[\VAR \frac{\Gamma(x)= \tau' \;\;\; \tau' \succeq \tau}{\gamma \vdash x: \tau}\]
und
\[\ABS \frac{\Gamma, x: \tau_1 \vdash t: \tau_2 \;\;\; \tau_1 \text{ kein Typschema}}{\Gamma \vdash \lambda x. t: \tau_1 \rightarrow \tau_2}\]
\todo[inline]{Folie 208ff}
\section{Beispiele}
Im Folgenden wird die Typinferenz für einige $\lambda$-Funktionen durchgeführt.

85
documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10 Normal file
View file

@ -0,0 +1,85 @@
import x10.io.Console;
import x10.util.Random;
public class Mergesort {
private static val rand = new Random();
private static val MIN_ELEMENTS_PARALLEL = 65536;
public static def sort(values : Array[Int](1)) : Array[Int](1) {
val numbers = new Array[Int](values.size);
val helper = new Array[Int](values.size);
Array.copy(values, numbers);
mergesort(0, values.size - 1, numbers, helper);
return numbers;
}
private static def mergesort(low : Int, high : Int, numbers : Array[Int](1), helper : Array[Int](1)) {
if (low < high) {
val middle = (low + high) / 2;
if (high - low >= MIN_ELEMENTS_PARALLEL) {
finish {
async mergesort(low, middle, numbers, helper);
async mergesort(middle + 1, high, numbers, helper);
}
} else {
mergesort(low, middle, numbers, helper);
mergesort(middle + 1, high, numbers, helper);
}
merge(low, middle, high, numbers, helper);
}
}
private static def merge(low : Int, middle : Int, high : Int, numbers : Array[Int](1), helper : Array[Int](1)) {
// Copy the part to be merged into the helper (from low to high)
Array.copy(numbers, low, helper, low, high - low + 1);
var left : Int = low;
var right : Int = middle + 1;
var position : Int = low;
while(left <= middle && right <= high) {
if (helper(left) <= helper(right)) {
numbers(position++) = helper(left++);
} else {
numbers(position++) = helper(right++);
}
}
while(left <= middle) {
numbers(position++) = helper(left++);
}
// Nothing needs to be done for the right half, because is still
// is where it was copied from, which happens to be the right
// location.
}
public static def main(args:Array[String](1)) {
if (args.size < 1) {
Console.OUT.println("Expect array length as argument");
return;
}
val sort_count = Int.parse(args(0));
val to_sort:Array[Int] = new Array[Int](sort_count, (_:Int) => { return rand.nextInt(); });
for (i in to_sort) {
Console.OUT.print(to_sort(i) + " ");
}
Console.OUT.println();
val start = System.nanoTime();
val sorted = sort(to_sort);
val duration = System.nanoTime() - start;
Console.OUT.println("Sorting took " + duration / 1000000.0 + "ms");
Console.OUT.println("Checking for sortedness...");
for (i in sorted) {
Console.OUT.print(sorted(i) + " ");
}
Console.OUT.println();
}
}

68
documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/output.txt Normal file
View file

@ -0,0 +1,68 @@
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:8: Could not find type "Array(x10.lang.Long)".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:9: Could not find type "Array".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:9: Field size not found in type "Array[x10.lang.Int]{self==values}".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:10: Could not find type "Array".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:10: Field size not found in type "Array[x10.lang.Int]{self==values}".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:11: Could not find Array
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:11: No valid method call found for call in given type.
Call: copy(Array[x10.lang.Int], Array[x10.lang.Int])
Type: Array
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:13: Field size not found in type "Array[x10.lang.Int]{self==values}".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:18: Could not find type "Array(x10.lang.Long)".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:15: Cannot return expression; base type incompatible with method return type.
Expression: numbers
Base type: Array[x10.lang.Int]
Expected base type: Array[x10.lang.Int]
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:23: No valid method call found for call in given type.
Call: mergesort(x10.lang.Int, x10.lang.Long, Array[x10.lang.Int], Array[x10.lang.Int])
Type: Mergesort
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:24: No valid method call found for call in given type.
Call: mergesort(x10.lang.Long, x10.lang.Int, Array[x10.lang.Int], Array[x10.lang.Int])
Type: Mergesort
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:27: No valid method call found for call in given type.
Call: mergesort(x10.lang.Int, x10.lang.Long, Array[x10.lang.Int], Array[x10.lang.Int])
Type: Mergesort
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:28: No valid method call found for call in given type.
Call: mergesort(x10.lang.Long, x10.lang.Int, Array[x10.lang.Int], Array[x10.lang.Int])
Type: Mergesort
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:34: Could not find type "Array(x10.lang.Long)".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:30: No valid method call found for call in given type.
Call: merge(x10.lang.Int, x10.lang.Long, x10.lang.Int, Array[x10.lang.Int], Array[x10.lang.Int])
Type: Mergesort
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:36: Could not find Array
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:36: No valid method call found for call in given type.
Call: copy(Array[x10.lang.Int], x10.lang.Int, Array[x10.lang.Int], x10.lang.Int, x10.lang.Long)
Type: Array
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:39: Cannot assign expression to target; base types are incompatible.
Expression: x10.lang.Long.implicit_operator_as(middle) + 1L
Expected base type: x10.lang.Int
Found base type: x10.lang.Long
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:43: Method or static constructor not found for given call.
Call: helper(x10.lang.Int)
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:44: Method or static constructor not found for given call.
Call: helper(x10.lang.Int)
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:46: Method or static constructor not found for given call.
Call: helper(x10.lang.Int)
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:51: Method or static constructor not found for given call.
Call: helper(x10.lang.Int)
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:58: Could not find type "Array(x10.lang.Long)".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:59: Field size not found in type "Array[x10.lang.String]{self==args}".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:64: Method or static constructor not found for given call.
Call: args(x10.lang.Long{self==0L})
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:65: Could not find type "Array".
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:65: No valid constructor found for Array[x10.lang.Int](x10.lang.Int{self==sort_count}, (_:x10.lang.Int)=> x10.lang.Int).
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:65: Cannot assign expression to target; base types are incompatible.
Expression: new Array[x10.lang.Int](...)
Expected base type: Array[x10.lang.Int]
Found base type: Array[x10.lang.Int]
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:67: Could not infer type for formal parameter.
Formal parameter name: i
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:67-69: The loop iterator is a Point whose rank is not the same as the rank of the loop domain.
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:73: No valid method call found for call in given type.
Call: sort(Array[x10.lang.Int])
Type: Mergesort
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:80: Could not infer type for formal parameter.
Formal parameter name: i
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:81: Possible closure call on uninitialized variable sorted.
/home/moose/Downloads/LaTeX-examples/documents/Programmierparadigmen/scripts/x10/Mergesort.x10:80-82: The loop iterator is a Point whose rank is not the same as the rank of the loop domain.
35 errors.