tex-projects/LaTeX-examples
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Martin Thoma 2016-03-17 23:30:06 +01:00
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documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex
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@ -18,6 +18,12 @@
pdftitle = {Lineare Algebra - Definitionen} pdftitle = {Lineare Algebra - Definitionen}
} }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Define command \transpose for transposing matrices (commonly $^T$)%
% http://tex.stackexchange.com/a/217624/5645 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand*{\transpose}{\top}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Custom definition style, by % % Custom definition style, by %
% http://mathoverflow.net/questions/46583/what-is-a-satisfactory-way-to-format-definitions-in-latex/58164#58164 % http://mathoverflow.net/questions/46583/what-is-a-satisfactory-way-to-format-definitions-in-latex/58164#58164
@ -263,13 +269,13 @@ heißt (V, F) ein \textbf{unitärer Vektorraum}.
\begin{definition}{hermitesche Matrix} \begin{definition}{hermitesche Matrix}
Sei $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ eine Matrix.\\ Sei $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ eine Matrix.\\
$A$ heiß hermitesch $: \Leftrightarrow \overline{A}^T = A$ $A$ heiß hermitesch $: \Leftrightarrow \overline{A}^\transpose = A$
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}{positiv definite Matrix} \begin{definition}{positiv definite Matrix}
Sei A eine symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix. \\ Sei A eine symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix. \\
A heißt \textbf{positiv definit} $: \Leftrightarrow x^T G x > 0 $ A heißt \textbf{positiv definit} $: \Leftrightarrow x^\transpose G x > 0 $
für alle $x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0$ bzw. $z^T G \overline z > 0$ für für alle $x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0$ bzw. $z^\transpose G \overline z > 0$ für
alle $x \in \mathbb{C}^n, z \neq 0 $. alle $x \in \mathbb{C}^n, z \neq 0 $.
\end{definition} \end{definition}
@ -385,14 +391,14 @@ Der \textbf{Abstand} von A und B ist definiert durch
\begin{definition}{orthogonale und unitäre Matrizen} \begin{definition}{orthogonale und unitäre Matrizen}
Eine reele bzw. komplexe $n \times n$-Matrix A heißt Eine reele bzw. komplexe $n \times n$-Matrix A heißt
\textbf{orthogonal} bzw. \textbf{unitär}, falls gilt \textbf{orthogonal} bzw. \textbf{unitär}, falls gilt
\[A^T A = E_n ~~~ \text{ bzw. } ~~~ A^T \overline A = E_n\] \[A^\transpose A = E_n ~~~ \text{ bzw. } ~~~ A^\transpose \overline A = E_n\]
\end{definition} \end{definition}
\begin{satz}{Charakterisierung von orthogonalen Matrizen} \begin{satz}{Charakterisierung von orthogonalen Matrizen}
Sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Folgende Aussagen sind äquivalent: Sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Folgende Aussagen sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(a)] \begin{enumerate}[(a)]
\item A ist eine orthogonale Matrix. \item A ist eine orthogonale Matrix.
\item A ist regulär und $A^{-1} = A^T$. \item A ist regulär und $A^{-1} = A^\transpose$.
\item Die Spaltenvektoren (bzw. die Zeilenvektoren) von A bilden eine \item Die Spaltenvektoren (bzw. die Zeilenvektoren) von A bilden eine
Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^n$ bzgl. des Standardskalarproduktes Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^n$ bzgl. des Standardskalarproduktes
\end{enumerate} \end{enumerate}