Torus verschönert

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

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 \usepackage{braket} % needed for \Set
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+\usepackage{pst-solides3d}
 \usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er}
+\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning}
 \newcommand{\inputTikZ}[2]{%  
      \scalebox{#1}{\input{#2}}  
 }
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   pdfauthor   = {Siehe GitHub}, 
   pdfkeywords = {Geometrie, Topologie}, 
   pdftitle    = {Geometrie und Topologie} 
-} 
+}
 
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 % make the index link to the correct part of the page               %

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

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     aber nicht zum $\mdr^2$ oder zu einem Torus:
 
     \input{figures/torus.tex}
+    %\begin{figure}[h]
+    %    \centering
+    %    \includegraphics*[width=5cm, keepaspectratio]{figures/Torus.png}
+    %    %\caption[Torus]{\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torus.png}{Wikipedia Commons}: LucasVB; \emph{\enquote{Torus}}; 01.10.2006} 
+    %\end{figure}
 
 \section{Topologische Räume}
 \begin{definition} \xindex{Topologischer Raum} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex.orig

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-\chapter{Topologische Grundbegriffe}
-\section{Vorgeplänkel}
-    \begin{tabular}{lllll}
-    Die Kugeloberfläche $S^2$: &  lässt sich zu:          & oder:& verformen: \\
-    \input{figures/s2.tex}     & \input{figures/cube.tex} & TODO & \input{figures/pyramid.tex}
-    \end{tabular}
-
-    aber nicht zum $\mdr^2$ oder zu einem Rhombus
-
-    \input{figures/torus.tex}
-
-\section{Topologische Räume}
-\begin{definition} \index{Topologischer Raum} \index{offen} \index{abgeschlossen}
-    Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
-    aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
-    folgenden Eigenschaften
-    \begin{enumerate}[(i)]
-        \item $\emptyset, X \in \fT$
-        \item Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
-        \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
-              so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
-    \end{enumerate}
-    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. 
-
-    $A \setminus X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
-
-\end{definition}
-
-Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind.
-
-\begin{beispiel}
-    \begin{enumerate}[1)]
-        \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\
-              $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$ 
-              gibt es $r > 0$, sodass $B_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$
-        \item Allgemeiner: $(X, d)$ metrischer Raum
-        \item $X$ Menge, $\fT = \Set{\emptyset, X}$ heißt \enquote{triviale Topologie} \index{Topologie!triviale}
-        \item $X$ Menge, $\fT = \powerset{X}$ heißt \enquote{diskrete Topologie} \index{Topologie!diskrete}
-        \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \index{Topologie!Zariski}\\
-              Beobachtung: $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
-        \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$
-        \item $X = \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$\\
-              abgeschlossene Mengen: $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$
-    \end{enumerate}
-\end{beispiel}
-
-\begin{definition} \index{Umgebung}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.
-
-    Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
-    wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
-    \begin{enumerate}[a)]
-        \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\stackrel{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \index{Inneres} \index{Kern!offener}
-        \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \index{Abschluss}
-        \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \index{Rand}
-        \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \index{dicht}
-    \end{enumerate}
-\end{definition}
-
-<<<<<<< HEAD
-\begin{beispiel}
-    \begin{enumerate}[1)]
-        \item $X = \mdr$ mit endlicher Topologie\\
-              $M = \mdq \Rightarrow \overline{M} = \mdr, \;\;\; M^\circ = \emptyset$
-        \item $X = \mdr$, $M=(a,b) \Rightarrow \overline{M} = [a,b]$
-        \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$\\
-              $M = (a,b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
-    \end{enumerate}
-\end{beispiel}
-
-\begin{definition} \index{Basis} \index{Subbasis}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum.
-    \begin{enumerate}[a)]
-        \item $B \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
-              wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $B$
-              ist.
-        \item $B \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis}, wenn jedes
-              $U \in \fT$ Vereinigung von endlich vielen Durchschnitten
-              von Elementen aus $B$ ist.
-    \end{enumerate}
-\end{definition}
-
-\begin{beispiel}
-    $X = \mdr^n$ heißt euklidische Topologie und
-    \[B = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
-    ist eine Basis.
-\end{beispiel}
-
-\begin{bemerkung}
-    Sei $X$ eine Menge und $B \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
-    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $B$ Subbasis ist.
-\end{bemerkung}
-
-\begin{definition} \index{Spurtopologie} \index{Teilraum}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.\\
-    $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.
-
-    $\fT$ heiß \textbf{Spurtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
-    \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$
-=======
-\begin{beispieleX}
-    \begin{enumerate}[1)]
-        \item $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie, $M = Q$. \\
-              $M^\circ = \emptyset, \overline{M} = \mdr$
-        \item $X = \mdr$, \dots\\
-              $M = (a, b) \Rightarrow \overline{M} = [a, b]$
-        \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$ \\
-              $M = (a, b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
-    \end{enumerate}
-\end{beispieleX}
-
-\begin{definition} \index{Topologie!Spur-} \index{Teilraum}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.
-
-    $\fT_Y = \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist Topologie auf $Y$.
-    $\fT_Y$ heißt \textbf{Spurtopologie}.
-    $(Y, \fT_Y)$ heißt \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$.
->>>>>>> 1cef4bd8b4019bd99cf6323d9f5bf9f7c6dbf038
-\end{definition}

documents/GeoTopo/Makefile

@@ -1,10 +1,11 @@
 DOKUMENT = GeoTopo
 
 make:
+	sketch figures/torus.sketch > figures/torus.tex
 	pdflatex $(DOKUMENT).tex -output-format=pdf
 	makeindex $(DOKUMENT)
 	pdflatex $(DOKUMENT).tex -output-format=pdf
 	make clean
 
 clean:
-	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.thm *.idx *.toc *.ind *.ilg
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.thm *.idx *.toc *.ind *.ilg figures/torus.tex

documents/GeoTopo/figures/torus.sketch

@@ -0,0 +1,10 @@
+def torus {
+    def n_segs 40
+    sweep [draw=black, fill=lightgray, fill opacity=0.75] {n_segs, rotate(360/n_segs, (0,0,0), [0,1,0])}
+        sweep {n_segs, rotate(360/n_segs, (1.5,0,0), [0,0,1])}
+        (2,0,0)
+}
+
+put { view((10,4,2)) } {{torus}}
+
+global { language tikz }