Vorlesung vom 03.12.2013 digitalisiert: Teil 1

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.txt

@@ -0,0 +1,6 @@
+Nur mal aus interesse versuche ich zu verfolgen, wie viel Zeit
+in dem erstellen dieses Skripts steckt
+
+Datum      | Uhrzeit
+---------------------------------------------------------------------
+03.12.2013 | 11:00 - 12:00

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

@@ -87,6 +87,7 @@
 \setcounter{page}{1}
 \input{Kapitel1}
 \input{Kapitel2}
+\input{Kapitel3}
 \input{Loesungen}
 
 \appendix

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -845,31 +845,93 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{korollar}
+\begin{korollar}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
     Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Eckenmenge $V$
     und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
 
-    Für jedes $n=0, \dots, d=\dim(K)$ sei $A_n(K)$ die Menge der
-    $n$-Simplizes von $K$ und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit
-    Basis $A_n(K)$, d.~h.
+    Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h.
+    \[A_n(K) := \Set{ \sigma \in K | \dim(\sigma) = n}\;\;\; \text{für } n=0, \dots, d=\dim(K)\]
+
+    und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit Basis $A_n(K)$, d.~h.
     \[C_n(K) = \Set{\sum_{\sigma \in A_n(K)} c_\sigma \cdot \sigma | c_\sigma \in \mdr}\]
 
     Sei $\sigma = \Delta(x_0, \dots, x_n) \in A_n(K)$, sodass 
     $x_0 < x_1 < \dots < x_n$.
 
     Für $i = 0, \dots, n$ sei $\partial_i \sigma := \Delta(x_0, \dots, \hat{x_i}, \dots, x_n)$
-    die $i$-te Seite von $\sigma$. Sei $d_\sigma = d_n \sigma := \sum_{i=0} (-1)^i \partial_i \sigma \in C_{n-1} (K)$
+    die $i$-te Seite von $\sigma$ und $d_\sigma = d_n \sigma := \sum_{i=0} (-1)^i \partial_i \sigma \in C_{n-1} (K)$
     und $d: C_n(K) \rightarrow C_{n-1}(K)$ die dadurch definierte lineare
     Abbildung.
 
     Dann gilt: $d_{n-1} \circ d_n = 0$
+\end{korollar}
 
+\begin{beispiel}
     \input{figures/topology-oriented-triangle.tex}
 
     $a < b < c$
 
-    $d_2 \sigma = e_1 - e_2 + e_3 = c - b - (c-a) + b - a = 0$
-\end{korollar}
+    $d_2 \sigma = e_1 - e_2 + e_3 = (c - b) - (c-a) + (b - a) = 0$
+
+    \todo[inline]{Beispiel auf Tetraeder übertragen}
+\end{beispiel}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Mitschrieb vom 03.12.2013                                         %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{beweis}
+    Sei $\sigma \in A_n$. Dann gilt:
+
+    \begin{align*}
+        d_{n-1}(d_n \sigma) &= d_{n-1} (\sum_{i=0}^n (-1)^i \partial_i \sigma)\\
+        &= \sum_{i=0}^n (-1)^i d_{n-1} (\partial_i \sigma)\\
+        &= \sum_{i=0}^n (-1)^i \sum_{j=0}^{n-1} \partial_i (\partial_j \sigma) (-1)^j\\
+        &= \sum_{0 \leq i \leq j \leq n-1} (-1)^{i+j} \partial_j (\partial_j (\sigma)) + \sum_{0 \leq j < i \leq n} (-1)^{i+j} \partial_{i-1} (\partial_j \sigma)\\
+        &= 0
+    \end{align*}
+    weil jeder Summand aus der ersten Summe auch in der zweiten
+    Summe vorkommt, aber mit umgekehrten Vorzeichen. $\qed$
+\end{beweis}
+
+\begin{definition}
+    $Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n, \;\;\; B_n := \text{Bild}(d_{n+1}) \subseteq C_n$
+
+    Nach Korollar~\ref{kor:9.11} ist $B_n \subseteq Z_n$, denn \todo{Muss das hier stehen?}
+    $d_{n+1}(C) \in \text{Kern}(d_n)$ für $C \in C_{n+1}$.
+
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+        \item $H_n = H_n(K, \mdr) := Z_n / B_n$ heißt $n$-te 
+              \textbf{Homotopiegruppe}\xindex{Homotopiegruppe} von $K$.
+        \item $b_n(K) := \dim_{\mdr} H_n$ heißt $n$-te 
+              \textbf{Belti-Zahl}\xindex{Belit-Zahl} von $K$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Für jeden endlichen Simplizialkomplex $K$ der Dimension $d$ gilt:
+
+    \[\sum_{k=0}^d (-1)^k b_k (K) = \sum_{k=0}^d (-1)^k a_k(K) = \chi(K) \]
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung}
+    Es gilt \underline{nicht} $a_k = b_k\;\forall k \in \mdn_0$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beweis}
+    \begin{itemize}
+        \item Dimensionsformel für $d_n$: $a_n = \dim Z_n + \dim B_{n-1}$ für $n \geq 1$
+        \item Dimensionsformel für $Z_n \rightarrow H_n = Z_n / B_n: \dim Z_n = b_n + \dim B_n$
+    \end{itemize}
+
+    \begin{align}
+        \Rightarrow \sum_{k=0}^d (-1)^k a_k &= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k (\dim Z_k + \dim B_{k-1})\\
+        &= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k \dim Z_k + \sum_{k=0}^d (-1)^{k+1}  \dim B_{k-1}\\
+        &= a_0 + \sum_{k=1}^d (-1)^k \dim Z_k - \sum_{k=0}^d (-1)^k  \dim B_{k-1}\\
+        &= a_0 + \sum_{k=1}^{d-1} (-1)^k b_k + (-1)^d  \underbrace{\dim Z_d}_{= b_d} - \dim B_0\\
+        &= b_0 + \sum_{k=1}^{d-1} (-1)^k b_k + (-1)^d b_d\\
+        &= \sum_{k=0}^d (-1)^k b_k
+    \end{align}
+\end{beweis}
 
 % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
 \input{Kapitel2-UB}

documents/GeoTopo/Kapitel3-UB.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\clearpage
+\section*{Übungsaufgaben}
+\addcontentsline{toc}{section}{Übungsaufgaben}
+
+\begin{aufgabe}\label{ub5:aufg1}
+    \todo{Todo}
+\end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Mitschrieb vom 03.12.2013                                         %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{Fundamentalgruppe und Überlagerungen}
+\section{Homotopie von Wegen}
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
+    $\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
+    d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
+
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+        \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop}
+              ($\gamma_1 \sim \gamma_2$), wenn es eine stetige Abbildung
+              \[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
+              und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
+
+              $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
+              $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
+        \item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
+              Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{korollar}
+    \enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
+    Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
+\end{korollar}
+
+\begin{beweis}
+    \begin{itemize}
+        \item reflexiv: $H(t,s) = \gamma(t)$ für alle $t,s \in I \times I$
+        \item symmetrisch: $H'(t,s) = H(t,1-s)$ für alle $t,s \in I \times I$
+        \item transitiv: Seien $H'$ bzw. $H''$ Homotopien von $\gamma_1$
+              nach $\gamma_2$ bzw. von $\gamma_2$ nach $\gamma_3$.
+
+              Dann sei $H(t,s) := \begin{cases}
+              H'(t, 2s)    &\text{, falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\
+              H''(t, 2s-1) &\text{, falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$
+
+              $\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach 
+              $\gamma_2$
+    \end{itemize}
+    $\qed$
+\end{beweis}
+
+\todo[inline]{Noch ca. eine halbe seite mit 3 Beispielen}
+
+% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
+\input{Kapitel3-UB}