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@ -65,9 +65,9 @@ $e_1 := (1,0,\ldots,0),\ e_2:=(0,1,0,\ldots, 0),\ \ldots,\ e_n:=(0,\ldots,0,1) \
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\begin{definition}
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Seien $x=(x_1, \ldots, x_n), y=(y_1, \ldots, y_n) \in \MdR^n$
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\begin{liste}
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\item $x\cdot y := xy := x_1y_1+\cdots+x_ny_n$ hei"st das \textbf{Skalar}\indexlabel{Skalarprodukt}- oder \begriff{Innenprodukt} von $x$ und $y$.
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\item $\|x\|=(x\cdot x)^\frac{1}{2} = (x_1^2 + \cdots + x_n^2)^\frac{1}{2}$ hei"st die \begriff{Norm} oder \begriff{Länge} von $x$.
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\item \indexlabel{Abstand!zwischen zwei Vektoren}$\|x-y\|$ hei"st der \textbf{Abstand} von $x$ und $y$.
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\item $x\cdot y := xy := x_1y_1+\cdots+x_ny_n$ heißt das \textbf{Skalar}\indexlabel{Skalarprodukt}- oder \begriff{Innenprodukt} von $x$ und $y$.
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\item $\|x\|=(x\cdot x)^\frac{1}{2} = (x_1^2 + \cdots + x_n^2)^\frac{1}{2}$ heißt die \begriff{Norm} oder \begriff{Länge} von $x$.
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\item \indexlabel{Abstand!zwischen zwei Vektoren}$\|x-y\|$ heißt der \textbf{Abstand} von $x$ und $y$.
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\end{liste}
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\end{definition}
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@ -242,7 +242,7 @@ $A \subseteq \MdR^n$ sei abgeschlossen und beschränkt
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\begin{beweise}
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\item Sei $\ep>0$. Annahme: Die Behauptung ist falsch. Sei $a^{(1)}\in A$. Dann: $A\nsubseteq U_{\ep}(a^{(1)})\folgt\exists a^{(2)}\in A: a^{(2)}\notin U_\ep(a^{(1)})\folgt\|a^{(2)}-a^{(1)}\|\ge\ep$. $A\nsubseteq U_\ep(a^{(1)})\cup U_\ep(a^{(2)})\folgt\exists a^{(3)} \in A: \|a^{(3)}-a^{(2)}\|\ge\ep,\ \|a^{(3)}-a^{(1)}\|\ge\ep$ etc.. Wir erhalten so eine Folge $(a^{(k)})$ in A: $\|a^{(k)}-a^{(l)}\|\ge\ep$ für $k\ne l$. 2.2(4) $\folgt (a^{(k)})$ enthält eine konvergente Teilfolge $\folgtnach{2.1(6)}\ \exists j_0 \in\MdN:\ \|a^{(k_j)}-a^{(k_l)}\|<\ep\ \forall j,l\ge j_0$, Widerspruch!
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\item Sei $j\in\MdN$. $\ep:=\frac{1}{j}$. (1) $\folgt\exists$ endl. Teilmenge $B_j$ von $A$ mit $(*)\ A\subseteq \displaystyle\bigcup_{x \in B_j}U_{\frac{1}{j}}(x)$. $B:=\displaystyle\bigcup_{j\in\MdN}B_j\folgt B\subseteq A$ und $B$ ist abzählbar. Dann: $\bar B\subseteq\bar A\gleichnach{Vor.}A$. Noch zu zeigen: $A\subseteq\bar B$. Sei $x_0\in A$ und $\delta>0$: zu zeigen: $U_\delta(x_0)\cap B\ne\emptyset$. Wähle $j\in\MdN$ so, da"s $\frac{1}{j}<\delta\ (*)\folgt\exists x \in B_j\subseteq B:\ x_0\in U_{\frac{1}{j}}(x)\folgt \|x_0-x\|<\frac{1}{j}<\delta\folgt x\in U_\delta(x_0)\folgt x\in U_\delta(x_0)\cap B$.
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\item Sei $j\in\MdN$. $\ep:=\frac{1}{j}$. (1) $\folgt\exists$ endl. Teilmenge $B_j$ von $A$ mit $(*)\ A\subseteq \displaystyle\bigcup_{x \in B_j}U_{\frac{1}{j}}(x)$. $B:=\displaystyle\bigcup_{j\in\MdN}B_j\folgt B\subseteq A$ und $B$ ist abzählbar. Dann: $\bar B\subseteq\bar A\gleichnach{Vor.}A$. Noch zu zeigen: $A\subseteq\bar B$. Sei $x_0\in A$ und $\delta>0$: zu zeigen: $U_\delta(x_0)\cap B\ne\emptyset$. Wähle $j\in\MdN$ so, dass $\frac{1}{j}<\delta\ (*)\folgt\exists x \in B_j\subseteq B:\ x_0\in U_{\frac{1}{j}}(x)\folgt \|x_0-x\|<\frac{1}{j}<\delta\folgt x\in U_\delta(x_0)\folgt x\in U_\delta(x_0)\cap B$.
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\item Teil 1: Behauptung: $\exists \ep>0:\ \forall a \in A\ \exists\lambda\in M: U_\ep(a)\subseteq G_\lambda$. Beweis: Annahme: Die Behauptung ist falsch. $\forall k\in\MdN\ \exists a^{(k)}\in A:\ (**) U_{\frac{1}{k}}(a^{(k)})\nsubseteq G_\lambda\ \forall \lambda\in M$. 2.2(4) $\folgt (a^{(k)})$ enthält eine konvergente Teilfolge $(a^{(k_j)})$ und $x_0:=\displaystyle\lim_{j\to\infty}a^{k_j}\in A\folgt\exists \lambda_0\in M: x_0 \in G_{\lambda_0};\ G_{\lambda_0}$ offen $\folgt\exists \delta>0: U_\delta(x_0)\subseteq G_{\lambda_0}.\ a^{(k_j)}\to x_0\ (j\to\infty)\folgt\exists m_0\in\MdN: a^{(m_0)}\in U_{\frac{\delta}{2}}(x_0)$ und $m_0\ge\frac{2}{\delta}$. Sei $x\in U_{\frac{1}{m_0}}(a^{(m_0)})\folgt \|x-x_0\|=\|x-a^{(m_0)}+a^{(m_0)}-x_0\|\le\|x-a^{(m_0)}\|+\|a^{(m_0)}-x_0\|\le\frac{1}{m_0}+\frac{\delta}{2}\le\frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta\folgt x\in U_\delta(x_0)\folgt x \in G_{\lambda_0}$. Also: $U_{\frac{1}{m_0}}(a^{(m_0)})\subseteq G_{\lambda_0}$, Widerspruch zu $(**)$!\\
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Teil 2: Sei $\ep>0$ wie in Teil 1. (1) $\folgt\exists a^{(1)},\ldots,a^{(m)}\in A: A\subseteq\displaystyle\bigcup_{j=1}^mU_\ep(a^{(j)})$. Teil 1 $\folgt\exists \lambda_j\in M: U_\ep(a^{(j)})\subseteq G_{\lambda_j}\ (j=1,\ldots,m)\folgt A\subseteq \displaystyle\bigcup_{j=1}^m G_{\lambda_j}$
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\end{beweise}
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@ -529,7 +529,7 @@ Stets in dem Paragraphen: $\emptyset\ne D\subseteq\MdR^n$, $D$ offen und $f:D\to
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\begin{definition*}
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\begin{liste}
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\item Sei $k\in\MdN$. $f\in C^k(D,\MdR^m) :\equizu f_j\in C^k(D,\MdR)\ (j=1,\ldots,m)$
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\item Sei $x_0\in D$. $f$ hei"st \textbf{partiell differenzierbar} in $x_0 :\equizu$ jedes $f_j$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar. In diesem Fall hei"st
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||||
\item Sei $x_0\in D$. $f$ heißt \textbf{partiell differenzierbar} in $x_0 :\equizu$ jedes $f_j$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar. In diesem Fall heißt
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$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0):=\frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}:=J_f(x_0):=\begin{pmatrix}
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\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_0) \\
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\vdots & & \vdots \\
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@ -555,30 +555,37 @@ $$\equizu\exists a\in\MdR: \ds\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x_0+h)-\varphi(x_0)-ah}
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\begin{definition*}
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\begin{liste}
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\index{Differenzierbarkeit}
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\item Sei $x_0\in D$. $f$ hei"st \textbf{differenzierbar} (db) in
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$x_0 :\equizu \exists (m \times n)$-Matrix $A$, sodass gilt:
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\begin{align*}
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\ds\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{\|h\|}=0\ \tag{$*$}
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\end{align*}
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\item $f$ hei"st differenzierbar auf $D\ :\equizu f$ ist in jedem $x\in D$ differenzierbar.
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||||
\index{Differenzierbarkeit}
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||||
\item Sei $x_0\in D$. $f$ heißt \textbf{differenzierbar} (db) in
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||||
$x_0 :\equizu \exists (m \times n)$-Matrix $A$, sodass gilt:
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\begin{align*}
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||||
\ds\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{\|h\|}=0\ \tag{$*$}
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||||
\end{align*}
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||||
\item $f$ heißt differenzierbar auf $D\ :\equizu f$ ist in
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||||
jedem $x\in D$ differenzierbar.
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\end{liste}
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\end{definition*}
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\begin{bemerkungen}
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\item $f$ ist differenzierbar in $x_0\equizu\exists (m \times n)$-Matrix $A$: $$\ds\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{\|x-x_0\|}=0$$
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\item Ist $m=1$, so gilt: $f$ ist differenzierbar in $x_0$
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\begin{align*}
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\equizu\exists a \in\MdR^n:\ds\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-ah}{\|h\|}=0\ \tag{$**$}
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||||
\end{align*}
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||||
\item Aus 2.1 folgt: $f$ ist differenzierbar in $x_0\equizu$ jedes $f_j$ ist differenzierbar in $x_0$.
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\item $f$ ist differenzierbar in
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$x_0\equizu\exists (m \times n)$-Matrix $A$:
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\[ \ds\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}{\|x-x_0\|}=0 \]
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||||
\item Ist $m=1$, so gilt: $f$ ist differenzierbar in $x_0$
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\begin{align*}
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\equizu \exists a \in\MdR^n:
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\ds\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-ah}{\|h\|}=0\ \tag{$**$}
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||||
\end{align*}
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||||
\item Aus 2.1 folgt: $f$ ist differenzierbar in $x_0\equizu$ jedes $f_j$ ist differenzierbar in $x_0$.
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\end{bemerkungen}
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\begin{satz}[Differenzierbarkeit und Stetigkeit]
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$f$ sei in $x_0\in D$ differenzierbar
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\begin{liste}
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\item $f$ ist in $x_0$ stetig
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\item $f$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar und die Matrix A in $(*)$ ist eindeutig bestimmt: \\$A=J_f(x_0)$. $f'(x_0):=A=J_f(x_0)$ (\begriff{Ableitung} von $f$ in $x_0$).
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||||
\item $f$ ist in $x_0$ partiell differenzierbar und die Matrix A in
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||||
$(*)$ ist eindeutig bestimmt: \\
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||||
$A=J_f(x_0)$. $f'(x_0):=A=J_f(x_0)$ (\begriff{Ableitung} von $f$ in $x_0$).
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||||
\item Ist $m=1$, so ist $f'(x_0) = a$ (aus $(**)$), also $f'(x_0) = \grad(f(x_0))$
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\end{liste}
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\end{satz}
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@ -596,10 +603,13 @@ Sei A wie in $(*)$, $A=(a_{jk})$, $\varrho(h):=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{\|h\|}$
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0&\text{, falls } (x,y)=(0,0)
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\end{cases}$$
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Bekannt: $f$ ist in $(0,0)$ \textbf{nicht} stetig, aber partiell differenzierbar und $\grad f(0,0)=(0,0)$ 5.1 $\folgt f$ ist in $(0,0)$ \textbf{nicht} differenzierbar.
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\item $$f(x,y)=\begin{cases}
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(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{, falls } (x,y)\ne(0,0)\\
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0&\text{, falls }(x,y)=(0,0)
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||||
\end{cases}$$
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\item \[
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f(x,y)=
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\begin{cases}
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(x^2+y^2) \underbrace{\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}_\text{beschränkt}&\text{, falls } (x,y)\ne(0,0)\\
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0&\text{, falls }(x,y)=(0,0)
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||||
\end{cases}
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\]
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Für $(x,y)\ne(0,0): \left|f(x,y)\right|=(x^2+y^2)\left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|
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\le x^2+y^2\overset{(x,y)\to(0,0)}{\to}0 \folgt f$ ist in $(0,0)$ stetig.
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$\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{1}{t}t^2\sin\frac{1}{|t|}=t\sin\frac{1}{|t|}\to 0\ (t\to 0)\folgt f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $x$ und $f_x(0,0)=0$. Analog: $f$ ist in $(0,0)$ partiell differenzierbar nach $y$ und $f_y(0,0)=0$. $\varrho(h)=\frac{1}{\|h\|}f(h)\gleichwegen{h=(h_1,h_2)}\frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}(h_1^2+h_2^2)\sin\frac{1}{h_1^2+h_2^2}=\sqrt{h_1^2+h_2^2}\underbrace{\sin\frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}}_{\text{beschränkt}}\to 0\ (h\to 0)\folgt f$ ist differenzierbar in $(0,0)$ und $f'(0,0)=\grad f(0,0)=(0,0)$
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@ -633,7 +643,7 @@ $f(h) - f(0) = f(h_1,h_2) - f(0,0) = \underbrace{f(h_1,h_2) - f(0,h_2)}_{=:\Delt
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$\varphi(t) := f(t,h_2),\ t$ zwischen $0$ und $h_1 \folgt \Delta_1 = \varphi(h_1) - \varphi(0),\ \varphi'(t) = f_x(t,h_2)$
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Aus dem Mittelwertsatz aus Analysis I folgt:
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$\exists \xi = \xi(h)$ zw. $0$ und $h_1: \Delta_1 = h_1\varphi(\xi) = h_1 f_x(\xi,h_2)\\
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$\exists \xi = \xi(h)$ mit $0 \leq \xi \leq h_1: \Delta_1 = h_1\varphi(\xi) = h_1 f_x(\xi,h_2)\\
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\exists \eta = \eta(h)$ zw. $0$ und $h_2: \Delta_2 = h_2\varphi(\eta) = h_2 f_x(\eta,h_2)$
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$\folgt \rho(h) := \frac{1}{\|h\|}(h_1 f_x(\xi,h_2) - h_2 f_y(0,\eta) - (h_1 f_x(0,0) + h_2 f_y(0,0)))\\
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@ -767,7 +777,7 @@ Es gilt: $g(f(x)) = x \forall x \in D, f(g(z)) = z \forall z \in f(D) \folgtnach
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\begin{definition}
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\begin{liste}
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\index{Konvexität}
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\item Seien $a,b \in \MdR^n; S[a,b]:=\{a+t(b-a): t\in [0,1]\}$ hei"st
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||||
\item Seien $a,b \in \MdR^n; S[a,b]:=\{a+t(b-a): t\in [0,1]\}$ heißt
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||||
\begriff{Verbindungsstrecke} von $a$ und $b$
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||||
\item $M\subseteq \MdR^n$ heißt \textbf{konvex} $:\equizu$\ aus $a,b \in M$ folgt
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stets: $S[a,b] \subseteq M$
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@ -1210,18 +1220,21 @@ $$ f'=
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\text{; also } f'(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)$$
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||||
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||||
\begin{satz}[Satz über implizit definierte Funktionen]
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Sei $(x_0, y_0)\in D, f(x_0, y_0)=0$ und $\det\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\ne 0$. Dann existiert eine offene Umgebung $U\subseteq \MdR^n$ von $x_0$ und genau eine Funktion $g:U\to D \subseteq \MdR^p$ mit:
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||||
\begin{liste}
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||||
\item $(x, g(x))\in D\ \forall x\in U$
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||||
\item $g(x_0)=y_0$
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||||
\item $f(x,g(x))=0\ \forall x\in U$, mit $V = g(U)$ gilt: $V$ ist offen und für $(a, b) \in U \times V$ mit $f(a,b) = 0$ gilt: $b = g(a)$
|
||||
\item $g \in C^1(U,\MdR^p)$
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||||
\item $\det\frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))\ne0\ \forall x\in U$
|
||||
\item $g'(x)=-\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))^{-1}\right) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(x, g(x))\ \forall x\in U$
|
||||
\end{liste}
|
||||
Sei $f:D \rightarrow \MdR^p,\ f \in C^1(D, \MdR^p),\ (x_0, y_0) \in D,\ f(x_0, y_0)=0$ und
|
||||
$\det\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\ne 0$. \\
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||||
Dann existiert eine offene Umgebung $U\subseteq \MdR^n$ von $x_0$ und
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||||
genau eine Funktion $g:U\to D \subseteq \MdR^p$ mit:
|
||||
\begin{liste}
|
||||
\item $(x, g(x))\in D\ \forall x\in U$
|
||||
\item $g(x_0)=y_0$
|
||||
\item $f(x,g(x))=0\ \forall x\in U$, mit $V = g(U)$ gilt:
|
||||
$V$ ist offen und für $(a, b) \in U \times V$ mit
|
||||
$f(a,b) = 0$ gilt: $b = g(a)$
|
||||
\item $g \in C^1(U,\MdR^p)$
|
||||
\item $\det\frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))\ne0\ \forall x\in U$
|
||||
\item $g'(x)=-\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x, g(x))\right)^{-1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(x, g(x))\ \forall x\in U$
|
||||
\end{liste}
|
||||
\end{satz}
|
||||
%stimmt bei (6) das mit dem ^{-1} tatsächlich?
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||||
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||||
|
||||
\begin{beweis}
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||||
Definition: $F:D\to\MdR^{n+p}$ durch $F(x,y):=(x,f(x,y))$. Dann: $F\in C^1(D,\MdR^{n+p})$ und
|
||||
|
|
@ -1554,7 +1567,7 @@ Ist $\gamma=\gamma_1\oplus\cdots\oplus\gamma_l$ stückweise stetig differenzierb
|
|||
|
||||
\begin{definition*}
|
||||
\index{Parameter-!Darstellung}
|
||||
Sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein Weg. $\gamma$ hei"st eine \textbf{Parameterdarstellung} von $\Gamma_\gamma$.
|
||||
Sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein Weg. $\gamma$ heißt eine \textbf{Parameterdarstellung} von $\Gamma_\gamma$.
|
||||
\end{definition*}
|
||||
|
||||
\begin{beispiele}
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||||
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|
@ -3252,7 +3265,7 @@ $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ sei ein LS von (H). $Y$ und $W$ seien definiert wie oben
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\begin{align*}
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||||
\tag{$*$} y' = A(x) y
|
||||
\end{align*}
|
||||
auf $I$ und $y^{(1)} \not\equiv 0$. Das hei"st:
|
||||
auf $I$ und $y^{(1)} \not\equiv 0$. Das heißt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\begin{cases}
|
||||
y_1' = a_1(x) y_1 - a_2(x) y_2 \\
|
||||
|
|
@ -3264,7 +3277,7 @@ Setze $y^{(2)} := (-y_2, y_1)$. Dann ist:
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|||
\begin{align*}
|
||||
A(x) y^{(2)} = \begin{pmatrix} -a_1(x) y_2 - a_2(x) y_1 \\ -a_2(x) y_2 + a_1(x) y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y_2' \\ y_1' \end{pmatrix} = \left( y^{(2)} \right)'
|
||||
\end{align*}
|
||||
Das hei"st: $y^{(2)}$ löst ebenfalls ($*$) auf $I$, oder: $y^{(1)}, y^{(2)}$ ist ein Lösungssystem von ($*$).
|
||||
Das heißt: $y^{(2)}$ löst ebenfalls ($*$) auf $I$, oder: $y^{(1)}, y^{(2)}$ ist ein Lösungssystem von ($*$).
|
||||
\begin{align*}
|
||||
Y(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) & -y_2(x) \\ y_2(x) & y_1(x) \end{pmatrix}, W(x) = \det Y(x) = y_1(x)^2 + y_2(x)^2 \neq 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
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