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presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Graphentheorie-I.pdf
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5
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Graphentheorie-I.tex
View file

@ -12,7 +12,7 @@
\frame{\titlepage}
\frame{
\frametitle{Contents}
\frametitle{Inhalte}
\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents
\setcounter{tocdepth}{2}
@ -28,6 +28,9 @@
\section{Spezielle Graphen}
\input{Spezielle-Graphen}
\section{Strukturen in Graphen}
\input{Strukturen}
\section{Königsberger Brückenproblem}
\input{Koenigsberger-Brueckenproblem}

21
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Grundlagen.tex
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@ -34,6 +34,27 @@ Kantenmenge bezeichnet.
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Aufgabe 1}
Zeichnen Sie alle Graphen mit genau vier Ecken.
\only<2>{
\begin{gallery}
\galleryimage{aufgabe-1/graph-8} % vier einzelne Punkte
\galleryimage{aufgabe-1/graph-7} % nur eine Kante
\galleryimage{aufgabe-1/graph-6} % zwei Kanten
\galleryimage{aufgabe-1/graph-11} % zwei Kanten -------------
\galleryimage{aufgabe-1/graph-12} % drei Kanten: umgedrehtes u
\galleryimage{aufgabe-1/graph-5} % drei Kanten
\galleryimage[red]{aufgabe-1/graph-4} % drei Kanten:
\galleryimage{aufgabe-1/graph-10} % vier Kanten: Viereck
\galleryimage[red]{aufgabe-1/graph-2}
\galleryimage{aufgabe-1/graph-3} % vier Kanten: Dreieck mit Spitze
\galleryimage{aufgabe-1/graph-9} % fünf Kanten: nur Diagonale fehlt
\galleryimage{aufgabe-1/graph-1} % sechs Kanten: K_4
\end{gallery}
}
\end{frame}
\begin{frame}{Inzidenz}
\begin{block}{Inzidenz}
Sei $e \in E$ und $k = \Set{e_1, e_2} \in K$.

7
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Koenigsberger-Brueckenproblem.tex
View file

@ -80,6 +80,13 @@ $\Rightarrow$ Wenn $G$ eine Ecke mit ungeraden Grad hat, ist $G$ nicht eulersch.
\end{gallery}
\end{frame}
\begin{frame}{Beweis: Satz von Euler}
\textbf{Beh.:} $G$ ist eulersch $\Rightarrow \forall e \in E: $ Grad($e$) $\equiv 0 \mod 2$ \pause \\
\textbf{Bew.:} Eulerkreis geht durch jede Ecke $e \in E$\pause, \\
also geht der Eulerkreis (eventuell mehrfach) in $e$ hinein und hinaus \pause \\
$\Rightarrow$ Grad($e$) $\equiv 0 \mod 2$
\end{frame}
\begin{frame}{Umkehrung des Satzes von Euler}
\begin{block}{Umkehrung des Satzes von Euler}
Wenn in einem zusammenhängenden Graphen $G$ jede Ecke geraden Grad hat, dann

149
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Spezielle-Graphen.tex
View file

@ -75,152 +75,3 @@ bezeichnet man mit $K_{|A|, |B|}$.
\galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-5-5}
\end{gallery}
\end{frame}
\begin{frame}{Kantenzug}
\begin{block}{Kantenzug}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
Dann heißt eine Folge $k_1, k_2, \dots, k_s$ von Kanten, zu denen es Ecken
$e_0, e_1, e_2, \dots, e_s$ gibt, so dass
\begin{itemize}
\item $k_1 = \Set{e_0, e_1}$
\item $k_2 = \Set{e_1, e_2}$
\item \dots
\item $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$
\end{itemize}
gilt ein \textbf{Kantenzug}, der \textcolor{purple}{$e_0$} und \textcolor{blue}{$e_s$} \textbf{verbindet} und $s$
seine \textbf{Länge}.
\end{block}
\adjustbox{max size={\textwidth}{0.2\textheight}}{
\begin{tikzpicture}
\node (a)[vertex] at (1,1) {};
\node (b)[vertex] at (2,5) {};
\node (c)[vertex] at (3,3) {};
\node (d)[vertex] at (5,4) {};
\node (e)[vertex] at (3,6) {};
\node (f)[vertex] at (5,6) {};
\node (g)[vertex] at (7,6) {};
\node (h)[vertex] at (7,4) {};
\node (i)[vertex] at (6,2) {};
\node (j)[vertex] at (8,7) {};
\node (k)[vertex] at (9,5) {};
\node (l)[vertex] at (13,6) {};
\node (m)[vertex] at (11,7) {};
\node (n)[vertex] at (15,7) {};
\node (o)[vertex] at (16,4) {};
\node (p)[vertex] at (10,2) {};
\node (q)[vertex] at (13,1) {};
\node (r)[vertex] at (16,1) {};
\node (s)[vertex] at (17,4) {};
\node (t)[vertex] at (19,6) {};
\node (u)[vertex] at (18,3) {};
\node (v)[vertex] at (20,2) {};
\node (w)[vertex] at (15,4) {};
\foreach \from/\to in {a/c,c/b,c/d,d/f,f/g,g/h,h/d,d/g,h/f,i/k,k/j,k/l,l/m,m/n,n/o,o/t,t/v,v/u,s/r,o/q,q/p,u/t}
\draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
\node (i)[vertex,purple] at (6,2) {};
\node (v)[vertex,blue] at (20,2) {};
\draw[line width=4pt, red] (i) -- (k) -- (l) -- (m) -- (n) -- (o) -- (t) -- (v);
\end{tikzpicture}
}
\end{frame}
\begin{frame}{Geschlossener Kantenzug}
\begin{block}{Geschlossener Kantenzug}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (e_0, e_1, \dots, e_s)$ ein Kantenzug.
A heißt \textbf{geschlossen} $:\Leftrightarrow e_s = e_0$ .
\end{block}
\begin{gallery}
\galleryimage{walks/walk-1}
\galleryimage{walks/walk-2}
\galleryimage{walks/k-3-3-walk}
\galleryimage{walks/k-5-walk}\\
\galleryimage{walks/k-16-walk}
\galleryimage{walks/star-graph-walk}
\galleryimage{walks/tree-walk}
\galleryimage{walks/walk-6}
\end{gallery}
\end{frame}
\begin{frame}{Weg}
\begin{block}{Weg}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
A heißt \textbf{Weg} $:\Leftrightarrow \forall_{i, j \in 1, \dots, s}: i \neq j \Rightarrow k_i \neq k_j$ .
\end{block}
\pause
\begin{exampleblock}{Salopp}
Ein Kantenzug, bei dem man keine Kante mehrfach abläuft, ist ein Weg.
\end{exampleblock}
\pause
Achtung: Knoten dürfen mehrfach abgelaufen werden!
\end{frame}
\begin{frame}{Kreis}
\begin{block}{Kreis}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
A heißt \textbf{Kreis} $:\Leftrightarrow A$ ist geschlossen und ein Weg.
\end{block}
\pause
Manchmal wird das auch "`einfacher Kreis"' genannt.
\pause
\begin{gallery}
\galleryimage[Green]{graphs/circle-one-facet}
\galleryimage[Green]{graphs/circle-two-facets}
\end{gallery}
\end{frame}
\begin{frame}{Zusammenhängender Graph}
\begin{block}{Zusammenhängender Graph}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $ Es ex. ein Kantenzug, der $e_1$ und $e_2$ verbindet
\end{block}
\begin{gallery}
\galleryimage[red]{graphs/graph-1}
\galleryimage[red]{graphs/graph-2}
\galleryimage[Green]{graphs/k-3-3}
\galleryimage[Green]{graphs/k-5}\\
\galleryimage[Green]{graphs/k-16}
\galleryimage[Green]{graphs/graph-6}
\galleryimage[Green]{graphs/star-graph}
\galleryimage[Green]{graphs/tree}
\end{gallery}
\end{frame}
\begin{frame}{Grad einer Ecke}
\begin{block}{Grad einer Ecke}
Der \textbf{Grad} einer Ecke ist die Anzahl der Kanten, die von dieser Ecke
ausgehen.
\end{block}
\begin{block}{Isolierte Ecken}
Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man ihn \textbf{isoliert}.
\end{block}
\begin{gallery}
\galleryimage{graphs/graph-1}
\galleryimage{graphs/graph-2}
\galleryimage{graphs/k-3-3}
\galleryimage{graphs/k-5}\\
\galleryimage{graphs/k-16}
\galleryimage{graphs/graph-6}
\galleryimage{graphs/star-graph}
\galleryimage{graphs/tree}
\end{gallery}
\end{frame}

149
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Strukturen.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,149 @@
\subsection{Strukturen in Graphen}
\begin{frame}{Kantenzug}
\begin{block}{Kantenzug}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
Dann heißt eine Folge $k_1, k_2, \dots, k_s$ von Kanten, zu denen es Ecken
$e_0, e_1, e_2, \dots, e_s$ gibt, so dass
\begin{itemize}
\item $k_1 = \Set{e_0, e_1}$
\item $k_2 = \Set{e_1, e_2}$
\item \dots
\item $k_s = \Set{e_{s-1}, e_s}$
\end{itemize}
gilt ein \textbf{Kantenzug}, der \textcolor{purple}{$e_0$} und \textcolor{blue}{$e_s$} \textbf{verbindet} und $s$
seine \textbf{Länge}.
\end{block}
\adjustbox{max size={\textwidth}{0.2\textheight}}{
\begin{tikzpicture}
\node (a)[vertex] at (1,1) {};
\node (b)[vertex] at (2,5) {};
\node (c)[vertex] at (3,3) {};
\node (d)[vertex] at (5,4) {};
\node (e)[vertex] at (3,6) {};
\node (f)[vertex] at (5,6) {};
\node (g)[vertex] at (7,6) {};
\node (h)[vertex] at (7,4) {};
\node (i)[vertex] at (6,2) {};
\node (j)[vertex] at (8,7) {};
\node (k)[vertex] at (9,5) {};
\node (l)[vertex] at (13,6) {};
\node (m)[vertex] at (11,7) {};
\node (n)[vertex] at (15,7) {};
\node (o)[vertex] at (16,4) {};
\node (p)[vertex] at (10,2) {};
\node (q)[vertex] at (13,1) {};
\node (r)[vertex] at (16,1) {};
\node (s)[vertex] at (17,4) {};
\node (t)[vertex] at (19,6) {};
\node (u)[vertex] at (18,3) {};
\node (v)[vertex] at (20,2) {};
\node (w)[vertex] at (15,4) {};
\foreach \from/\to in {a/c,c/b,c/d,d/f,f/g,g/h,h/d,d/g,h/f,i/k,k/j,k/l,l/m,m/n,n/o,o/t,t/v,v/u,s/r,o/q,q/p,u/t}
\draw[line width=2pt] (\from) -- (\to);
\node (i)[vertex,purple] at (6,2) {};
\node (v)[vertex,blue] at (20,2) {};
\draw[line width=4pt, red] (i) -- (k) -- (l) -- (m) -- (n) -- (o) -- (t) -- (v);
\end{tikzpicture}
}
\end{frame}
\begin{frame}{Geschlossener Kantenzug}
\begin{block}{Geschlossener Kantenzug}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (e_0, e_1, \dots, e_s)$ ein Kantenzug.
A heißt \textbf{geschlossen} $:\Leftrightarrow e_s = e_0$ .
\end{block}
\begin{gallery}
\galleryimage{walks/walk-1}
\galleryimage{walks/walk-2}
\galleryimage{walks/k-3-3-walk}
\galleryimage{walks/k-5-walk}\\
\galleryimage{walks/k-16-walk}
\galleryimage{walks/star-graph-walk}
\galleryimage{walks/tree-walk}
\galleryimage{walks/walk-6}
\end{gallery}
\end{frame}
\begin{frame}{Weg}
\begin{block}{Weg}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
A heißt \textbf{Weg} $:\Leftrightarrow \forall_{i, j \in 1, \dots, s}: i \neq j \Rightarrow k_i \neq k_j$ .
\end{block}
\pause
\begin{exampleblock}{Salopp}
Ein Kantenzug, bei dem man keine Kante mehrfach abläuft, ist ein Weg.
\end{exampleblock}
\pause
Achtung: Knoten dürfen mehrfach abgelaufen werden!
\end{frame}
\begin{frame}{Kreis}
\begin{block}{Kreis}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A = (k_1, k_2 \dots, k_s)$ ein Kantenzug.
A heißt \textbf{Kreis} $:\Leftrightarrow A$ ist geschlossen und ein Weg.
\end{block}
\pause
Manchmal wird das auch "`einfacher Kreis"' genannt.
\pause
\begin{gallery}
\galleryimage[Green]{graphs/circle-one-facet}
\galleryimage[Green]{graphs/circle-two-facets}
\end{gallery}
\end{frame}
\begin{frame}{Zusammenhängender Graph}
\begin{block}{Zusammenhängender Graph}
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.
$G$ heißt \textbf{zusammenhängend} $:\Leftrightarrow \forall e_1, e_2 \in E: $ Es ex. ein Kantenzug, der $e_1$ und $e_2$ verbindet
\end{block}
\begin{gallery}
\galleryimage[red]{graphs/graph-1}
\galleryimage[red]{graphs/graph-2}
\galleryimage[Green]{graphs/k-3-3}
\galleryimage[Green]{graphs/k-5}\\
\galleryimage[Green]{graphs/k-16}
\galleryimage[Green]{graphs/graph-6}
\galleryimage[Green]{graphs/star-graph}
\galleryimage[Green]{graphs/tree}
\end{gallery}
\end{frame}
\begin{frame}{Grad einer Ecke}
\begin{block}{Grad einer Ecke}
Der \textbf{Grad} einer Ecke ist die Anzahl der Kanten, die von dieser Ecke
ausgehen.
\end{block}
\begin{block}{Isolierte Ecken}
Hat eine Ecke den Grad 0, so nennt man ihn \textbf{isoliert}.
\end{block}
\begin{gallery}
\galleryimage{graphs/graph-1}
\galleryimage{graphs/graph-2}
\galleryimage{graphs/k-3-3}
\galleryimage{graphs/k-5}\\
\galleryimage{graphs/k-16}
\galleryimage{graphs/graph-6}
\galleryimage{graphs/star-graph}
\galleryimage{graphs/tree}
\end{gallery}
\end{frame}

21
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-1.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,21 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-1) -- (N-2);
\draw (N-1) -- (N-3);
\draw (N-1) -- (N-4);
\draw (N-2) -- (N-3);
\draw (N-2) -- (N-4);
\draw (N-3) -- (N-4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

19
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-10.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,19 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-1) -- (N-2);
\draw (N-1) -- (N-3);
\draw (N-2) -- (N-4);
\draw (N-3) -- (N-4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

15
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-11.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,15 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-2) -- (N-4);
\draw (N-1) -- (N-3);
\end{tikzpicture}
\end{document}

16
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-12.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,16 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-1) -- (N-2);
\draw (N-2) -- (N-4);
\draw (N-4) -- (N-3);
\end{tikzpicture}
\end{document}

19
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-2.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,19 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-1) -- (N-2);
\draw (N-1) -- (N-3);
\draw (N-1) -- (N-4);
\draw (N-2) -- (N-3);
\draw (N-2) -- (N-4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

18
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-3.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,18 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-1) -- (N-2);
\draw (N-1) -- (N-3);
\draw (N-1) -- (N-4);
\draw (N-2) -- (N-3);
\end{tikzpicture}
\end{document}

16
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-4.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,16 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-1) -- (N-2);
\draw (N-1) -- (N-3);
\draw (N-1) -- (N-4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

16
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-5.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,16 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-1) -- (N-2);
\draw (N-2) -- (N-4);
\draw (N-4) -- (N-1);
\end{tikzpicture}
\end{document}

15
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-6.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,15 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-2) -- (N-4);
\draw (N-1) -- (N-2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

14
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-7.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,14 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-2) -- (N-4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

12
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-8.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,12 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
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\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\end{tikzpicture}
\end{document}

20
presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/aufgabe-1/graph-9.tex Normal file
View file

@ -0,0 +1,20 @@
\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=3pt,inner sep=0pt]
\begin{tikzpicture}
\node[vertex] (N-1) at (0,0) {};
\node[vertex] (N-2) at (0,1) {};
\node[vertex] (N-3) at (1,0) {};
\node[vertex] (N-4) at (1,1) {};
\draw (N-1) -- (N-2);
\draw (N-1) -- (N-3);
\draw (N-1) -- (N-4);
\draw (N-2) -- (N-4);
\draw (N-3) -- (N-4);
\end{tikzpicture}
\end{document}