Viele Kleinigkeiten verbessert

documents/GeoTopo/Bildquellen.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\chapter*{Bildquellen}
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Bildquellen}
+
+Alle Bilder, die hier nicht aufgeführt sind, wurden selbst erstellt.
+
+Teilweise wurden die im folgenden aufgelisteten Bilder noch leicht
+modifiziert.
+
+\begin{itemize}
+    \item[Abb. \ref{fig:stereographic-projection}] Stereographische Projektion: \href{http://texample.net/tikz/examples/map-projections/}{texample.net/tikz/examples/map-projections}
+    \item[Abb. \ref{fig:Knoten}] Knoten von Jim.belk aus der \enquote{\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Blue_knots}{Blue knots}}-Serie:
+        \begin{itemize}
+            \item Trivialer Knoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Unknot.png}{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue\_Unknot.png}
+            \item Kleeblattknoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Trefoil_Knot.png}{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue\_Trefoil\_Knot.png}
+            \item Achterknoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_Figure-Eight_Knot.png}{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue\_Figure-Eight\_Knot.png}
+            \item $6_2$-Knoten: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_6_2_Knot.png}{commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue\_6\_2\_Knot.png}
+        \end{itemize}
+    \item[Abb. \ref{fig:reidemeister-zuege}] Reidemeister-Züge: YAMASHITA Makoto (\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{1}, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{2}, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reidemeister_move_1.png}{3})
+    \item[Abb. \ref{fig:treefoil-knot-three-colors}] Kleeblattknoten, 3-Färbung: Jim.belk, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}{commons.wikimedia.org/wiki/File:Tricoloring.png}
+    \item[Abb. \ref{fig:double-torus}] Doppeltorus: Oleg Alexandrov, \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double_torus_illustration.png}{commons.wikimedia.org/wiki/File:Double\_torus\_illustration.png}
+\end{itemize}

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

@@ -89,6 +89,8 @@
 \input{Loesungen}
 
 \appendix
+\input{Bildquellen}
+\clearpage
 \input{Symbolverzeichnis} 
 \clearpage
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Stichwortverzeichnis}

documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex

@@ -33,3 +33,11 @@
         \item Was können Sie über den Zusammenhang von $P$ sagen?
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Kompaktheit]\label{ub2:aufg3.1}
+    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+        \item Ist $\text{GL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
+        \item Ist $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
+        \item Ist $\mdp(\mdr)$ kompakt?
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -53,14 +53,14 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition} \xindex{Umgebung}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.
+    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $x \in X$.
 
     Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
     wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
+    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $\displaystyle M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x} = \bigcup_{\stackrel{U \subseteq M} {U \in \fT}} U $ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \xindex{Inneres} \xindex{Kern!offener}
         \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcap_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \xindex{Abschluss}
@@ -71,11 +71,13 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
-        \item $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie\\
+        \item Sei $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie und 
-              $M = \mdq \Rightarrow \overline{M} = \mdr, \;\;\; M^\circ = \emptyset$
+              $M = \mdq$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ und 
-        \item $X = \mdr$, $M=(a,b) \Rightarrow \overline{M} = [a,b]$
+              $M^\circ = \emptyset$
-        \item $X = \mdr, \fT = \fT_Z$\\
+        \item Sei $X = \mdr$ und $M=(a,b)$. Dann gilt: 
-              $M = (a,b) \Rightarrow \overline{M} = \mdr$
+              $\overline{M} = [a,b]$
+        \item Sei $X = \mdr, \fT = \fT_Z$ und $M = (a,b)$. Dann gilt:
+              $\overline{M} = \mdr$
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
@@ -103,7 +105,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition} \xindex{Spurtopologie} \xindex{Teilraum}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $Y \subseteq X$.\\
+    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $Y \subseteq X$.\\
     $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.
 
     $\fT_Y$ heißt \textbf{Spurtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
@@ -168,10 +170,9 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
-    \begin{align*}
+    Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ 
-        X = \mdr^2, (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow &x_1 - x_2 \in \mdz\\
+    und $y_1 - y_2 \in \mdz$.
-                                                   &y_1 - y_2 \in \mdz
+
-    \end{align*}
     $X /_\sim$ ist ein Torus.
 \end{beispiel}
 
@@ -191,9 +192,9 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
 
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
-        \item Definitheit:         \tabto{4cm} $d(x,y) = 0 \gdw x = y$
+        \item Definitheit:         \tabto{4cm} $d(x,y) = 0 \gdw x = y \;\;\; \forall x, y \in X$
-        \item Symmetrie:           \tabto{4cm} $d(x,y) = d(y,x)$
+        \item Symmetrie:           \tabto{4cm} $d(x,y) = d(y,x) \;\;\; \forall x, y \in X$
-        \item Dreiecksungleichung: \tabto{4cm} $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
+        \item Dreiecksungleichung: \tabto{4cm} $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z) \;\;\; \forall x, y, z \in X$
     \end{enumerate}
 
     Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum}.
@@ -257,7 +258,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]\label{Trennungseigenschaft}
     Metrische Räume sind hausdorffsch, da 
-    \[d(x,y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\]
+    \[d(x,y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\]
     Ein Beispiel für einen topologischen Raum, der nicht hausdorfsch ist,
     ist $(\mdr, \fT_Z)$.
 \end{bemerkung}
@@ -291,12 +292,12 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \end{korollar}
 
 \begin{beweis}
-    \underline{Annahme}: $x$ und $y$ mit $x \neq y$ sind Grenzwerte der Folge $(x_n)$.
+    Sei $(x_n)$ eine konvergierende Folge und $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge.
 
     Nach Voraussetzung gibt es Umgebungen $U_x$ von $x$ und $U_y$
-    von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$. Nach Annahme gibt es
+    von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$. Es existiert ein
     $n_0$ mit $x_n \in U_x \cap U_y$ für alle $n \geq n_0$
-    $\Rightarrow$ Widerspruch   $\qed$
+    $\Rightarrow x = y \qed$
 \end{beweis}
 
 \section{Stetigkeit}\index{Stetigkeit|(}
@@ -306,22 +307,28 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item $f$ heißt \textbf{stetig}, wenn für jedes offene 
               $U \subseteq Y$ auch $f^{-1} (U) \subseteq X$ offen ist. \label{def:stetigkeit}
-        \item $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}, wenn es eine 
+        \item $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
+              und es eine 
               stetige Abbildung  $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass
               $g \circ f = \text{id}_X$ und $f \circ g = \text{id}_Y$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
+\begingroup
+\renewcommand{\thmfoot}{\footnotemark}
 \begin{korollar}
-    % Im Grunde wird die Äquivalenz von Stetigkeit im Sinne der 
+  \footnotetext[\thefootnote]{Im Grunde wird die Äquivalenz
-    % Analysis und Topologie auf metrischen Räumen gezeigt.
+  von Stetigkeit im Sinne der Analysis und Topologie auf metrischen
-    Seien $X, Y$ metrische Räume und $f: X \rightarrow Y$ eine Abbildung.
+  Räumen gezeigt.}
+  Seien $X, Y$ metrische Räume und $f\colon X \rightarrow Y$ eine
+  Abbildung.
 
-    Dann gilt: $f$ ist stetig $\gdw$ zu jedem $x \in X$ und jedem
+  Dann gilt: $f$ ist stetig $\Leftrightarrow$ zu jedem $x \in X$ und
-    $\varepsilon > 0$ gibt es $\delta(x, \varepsilon) > 0$, sodass für
+  jedem $\varepsilon > 0$ gibt es $\delta(x, \varepsilon) > 0$, sodass
-    alle $y \in X$ mit $d(x,y) < \delta $ gilt 
+  für alle $y \in X$ mit $d(x,y) < \delta $ gilt $d_Y(f(x), f(y)) <
-    $d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$.
+  \varepsilon$.
 \end{korollar}
+\endgroup
 
 \begin{beweis}
     \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben
@@ -352,7 +359,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
         \item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\text{Id}_X : X \rightarrow X$
               ist Homöomorphismus.
-        \item Ist $Y$ trivialer topologischer Raum, d.h. $\fT = \fT_\text{triv}$,
+        \item Ist $Y$ trivialer topologischer Raum, d.~h. $\fT = \fT_\text{triv}$,
               so ist jede Abbildung $f:X \rightarrow Y$ stetig.
         \item Ist $X$ diskreter topologischer Raum, so ist $f:X \rightarrow Y$
               stetig für jeden topologischen Raum $Y$ und jede Abbildung $f$.
@@ -366,7 +373,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
                 \label{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}
               \end{figure}
               Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$
-              nicht offen ist (vgl. Abb. \ref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung})
+              nicht offen ist (vgl. Abb. \ref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}).
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
@@ -396,19 +403,19 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item Für jeden topologischen Raum ist 
               $\text{Homöo}(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}$
-              eine Gruppe.
+              eine Gruppe.\xindex{Homöomorphismengruppe}
         \item Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen 
               Räumen ist ein Homöomorphismus.
         \item $\text{Isom}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
-              Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$ für jeden metrischen
+              eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$ für jeden
-              Raum $X$.
+              metrischen Raum $X$.
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
 
 \begin{korollar}
     Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$
     und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen 
-    \[(x,y) \mapsto x \;\;\;(x,y) \mapsto y\]
+    \[\pi_X: (x,y) \mapsto x \text{ und } \pi_Y: (x,y) \mapsto y\]
     Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$
     und $\pi_Y$ stetig.
 \end{korollar}
@@ -437,14 +444,16 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 
 \begin{beispiel}[Stereographische Projektion] \xindex{Projektion!stereographische}
     $\mdr^n$ und $S^n \setminus \Set{N}$ sind homöomorph für
-    beliebiges $N \in S^n$
+    beliebiges $N \in S^n$. Es gilt:
 
     \begin{align*}
         S^n &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}\\
             &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2}
     \end{align*}
     
-    \OE{} sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}$.
+    \Obda sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}$. Die
+    Gerade durch $N$ und $P$ schneidet die Ebene $H$ in genau einem
+    Punkt $\hat{P}$. $P$ wird auf $\hat{P}$ abgebildet.
 
     \begin{align*}
         f: &S^n \setminus \Set{N} \rightarrow \mdr^n\\
@@ -457,7 +466,8 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     \begin{figure}[htp]
         \centering
         \input{figures/stereographic-projection}
-        \caption{Visualisierung der sphärischen Projektion\\Bildquelle: \href{http://texample.net/tikz/examples/map-projections/}{texample.net/tikz/examples/map-projections}}
+        \caption{Visualisierung der stereographischen Projektion}
+        \label{fig:stereographic-projection}
     \end{figure}
 
     Sei $P = \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_{n+1}\end{pmatrix}$, so
@@ -474,14 +484,15 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 \index{Stetigkeit|)}
 \section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(}
 \begin{definition}\xindex{zusammenhängend}
-    Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen
+    Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen,
-    nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit $U_1 \cap U_2 = \emptyset$
+    nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit 
-    und $U_1 \cup U_2 = X$.
+    $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
-    $X$ ist zusammenhängend $\gdw$ Es gibt keine nichtleeren abgeschlossenen
+    $X$ ist zusammenhängend $\gdw$ Es gibt keine abgeschlossenen,
-    Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ und $A_1 \cup A_2 = X$.
+    nichtleeren Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ 
+    und $A_1 \cup A_2 = X$.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -494,12 +505,13 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 %\end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}[Zusammenhang von Räumen]
-    \begin{enumerate}
+    \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
         \item $\mdr^n$ ist mit der euklidischen Topologie zusammenhängend,
             denn:
 
-            Angenommen, $\mdr^n = U_1 \cup U_2$ mit $U_i$ offen, $U_i \neq \emptyset$
+            \underline{Annahme}: $\mdr^n = U_1 \cup U_2$ mit $U_i$ 
-            und $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ existiert.
+            offen, $U_i \neq \emptyset$ und $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ 
+            existieren.
 
             Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$
             und $y$. Dann ist $U_1 \cap [x,y]$ die Vereinigung von offenen
@@ -510,33 +522,33 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
               $\mdr \setminus \Set{0} = \mdr_{< 0} \cup \mdr_{> 0}$
         \item $\mdr^2 \setminus \Set{0}$ ist zusammenhängend.
         \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da 
-    \[(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq\]
+              $(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq$
-        \item $\Set{x}$ ist zusammenhängedn für jedes $x \in X$, wobei $X$ ein 
+        \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$, 
-              topologischer Raum ist.
+              wobei $X$ ein topologischer Raum ist.
         \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend\xindex{Topologie!Zariski}
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
 \begin{korollar}\label{zusammenhangAbschluss}
-    Sei $X$ ein topologischer Raum, $A \subseteq X$ zusammenhängend.
+    Sei $X$ ein topologischer Raum und $A \subseteq X$ zusammenhängend.
     Dann ist auch $\overline{A}$ zusammenhängend.
 \end{korollar}
 
 \begin{beweis}
-    Angenommen $\overline{A} = A_1 \cup A_2, A_i$ abgeschlossen, $\neq \emptyset$,
+    \underline{Annahme}: $\overline{A} = A_1 \cup A_2,\; A_i$ abgeschlossen, $\neq \emptyset$,
-    $A_1 \cap A_2 = \emptyset$
+    $\;A_1 \cap A_2 = \emptyset$
     \begin{align*}
         &\Rightarrow A = \underbrace{\underbrace{(A \cap A_1)}_\text{abgeschlossen} \cup \underbrace{(A \cap A_2)}_\text{abgeschlossen}}_\text{disjunkt}\\
     \end{align*}
 
-    Wäre $A \cap A_1 = \emptyset$
+    Wäre $A \cap A_1 = \emptyset$\\
-    \begin{align*}
+    $\Rightarrow A \subseteq A_2$\\
-        &\Rightarrow A \subseteq A_2\\
+    $\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2$\\
-        &\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2\\
+    $\Rightarrow A_1 = \emptyset$\\
-        &\Rightarrow A_1 = \emptyset
+    $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A_1 \neq \emptyset$\\
-        &\Rightarrow \text{Widerspruch}
+    $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog 
-    \end{align*}
+                $A \cap A_2 \neq \emptyset$\\
-    $\qed$
+    $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend $ \qed$
 \end{beweis}
 
 \begin{korollar}\label{zusammenhangVereinigung}
@@ -548,7 +560,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 \begin{beweis}
     Sei $A \cup B = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset$ offen, disjunkt
     \begin{align*}
-        &\xRightarrow{\text{\OE{}}} A = (A \cap U_1) \cup (A \cap U_2) \text{ offen, disjunkt}\\
+        &\xRightarrow{\text{\obda}} A = (A \cap U_1) \cup (A \cap U_2) \text{ offen, disjunkt}\\
         &\xRightarrow{A \text{ zhgd.}} A \cap U_1 = \emptyset\\
         &\xRightarrow{A \cap B \neq \emptyset} U_1 \subseteq B\\
         &B = \underbrace{(B \cap U_1)}_{= U_1} \cup \underbrace{(B \cap U_2)}_{= \emptyset} \text{ ist unerlaubte Zerlegung}
@@ -580,7 +592,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
         \item Sei $Z(x) = A_1 \cup A_2$ mit $A_i \neq \emptyset$ abgeschlossen,
               disjunkt.
 
-            \OE{} sei $x \in A_1$ und $y \in A_2$. $y$ liegt in einer zusammehängenden
+            \Obda sei $x \in A_1$ und $y \in A_2$. $y$ liegt in einer zusammehängenden
             Teilmenge $A$, die auch $x$ enthält.
             $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(A \cap A_2)}_{\ni y}$
             ist unerlaubte Zerlegung.
@@ -612,6 +624,13 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 \end{beweis}\index{Zusammenhang|)}
 
 \section{Kompaktheit}
+\begin{definition}\xindex{Ueberdeckung@""Uberdeckung}
+    Sei $X$ eine Menge und $T \subseteq \powerset{X}$.
+
+    $T$ heißt eine \textbf{Überdeckung} von $X$, wenn gilt:
+    \[\forall x \in X: \exists M \in T: x \in M\]
+\end{definition}
+
 \begin{definition}\xindex{kompakt}
     Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{kompakt}, wenn jede
     offene Überdeckung von $X$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
@@ -620,13 +639,6 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     
 \end{definition}
 
-\begin{definition}\xindex{Ueberdeckung@""Uberdeckung}
-    Sei $X$ eine Menge und $T \subseteq \powerset{X}$.
-
-    $T$ heißt eine \textbf{Überdeckung} von $X$, wenn gilt:
-    \[\forall x \in X: \exists M \in T: x \in M\]
-\end{definition}
-
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 05.11.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -663,7 +675,7 @@ $\qed$
 
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
-        \item $\mdr$ ist nicht kompakt.
+        \item $\mdr$ ist nicht kompakt.\todo{mit der std-topo? Warum? Def?}
         \item $(0,1)$ ist nicht kompakt.\\
               $U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$
         \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede 
@@ -937,8 +949,8 @@ $\qed$
             \label{fig:knot-6-2}
         }
 
-        \label{Knoten}
         \caption{Beispiele für verschiedene Knoten}
+        \label{fig:Knoten}
     \end{figure}
 \end{beispiel}
 
@@ -983,8 +995,8 @@ $\qed$
         \label{fig:reidemeister-3}
     }
 
+    \caption{Reidemeister-Züge}
     \label{fig:reidemeister-zuege}
-    \caption{Reidemeister-Züge\newline Urheber:YAMASHITA Makoto}
 \end{figure}
 
 \begin{beweis}
@@ -1002,8 +1014,8 @@ $\qed$
     \centering
     \includegraphics[height=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/tricoloring.png} 
 
-    \label{fig:reidemeister-zuege}
     \caption{Ein 3-gefärber Kleeblattknoten}
+    \label{fig:treefoil-knot-three-colors}
 \end{figure}
 \index{Knoten|)}
 

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -5,12 +5,12 @@
 \section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
 \begin{definition}
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $n \in \mdn$.
-    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item Eine $n$-dimensionale \textbf{Karte}\xindex{Karte} auf
               $X$ ist ein Paar $(U, \varphi)$, wobei $U \subseteq X$
               offen und $\varphi: U \rightarrow V$ Homöomorphismus
               von $U$ auf eine offene Teilmenge $V \subseteq \mdr^n$.
-        \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} auf $X$ ist eine
+        \item Ein $n$-dimensionaler \textbf{Atlas}\xindex{Atlas} $\atlas$ auf $X$ ist eine
               Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
               sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
         \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
@@ -21,7 +21,7 @@
 
 \begin{bemerkung}
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
-        \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$
+        \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$\todo{Wann ist das wichtig? Ist die Hilbert-Kurve ein Beispiel?}
         \item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph.
               Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer):
 
@@ -43,7 +43,7 @@
         \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
               mit einem Atlas aus einer Karte:
               \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\]
-        \item $\mdp^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\mdp^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten 
+        \item $\mdp^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\mdp^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
               der Dimension $n$ bzw. $2n$.
 
               $\mdp^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$
@@ -79,7 +79,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n
               Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph
               zu einem offenem Intervall ist.
         \item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist
-              keine Mannigfaltigkeit.
+              keine Mannigfaltigkeit. \todo{Warum genau?}
         \item $V_2 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x^3 = y^2}$ ist eine
               Mannigfaltigkeit.
         \item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (O_1, O_2)$
@@ -155,14 +155,15 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n
     und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}.
 
     Dann gilt:
-    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+    \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$
-        \item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \forall{x \in X}$, so ist
+        \item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
               $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.  \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
     \end{enumerate}
 \end{korollar}
 
 \begin{beweis}
+    von a und b:
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item Sei $y \in \mdr^n \setminus V(F)$. Weil $F$ stetig ist,
               gibt es $\delta > 0$, sodass $F(\fB_\delta(y)) \subseteq \fB_\varepsilon(F(y))$
@@ -202,7 +203,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n
                 \caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
             \end{figure}
               Es gilt: $\text{grad}(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\text{grad}(0,0) = (0,0)$.
-              Daher ist Korollar \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
+              Daher ist Korollar \ref{Mannigfaltigkeitskriterium}
               nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
               eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
     \end{enumerate}
@@ -276,7 +277,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$}\xindex{Mannigfaltigkeit!differenzierbare},
-              wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$
+              wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$\todo{warum Doppelindex}
               $k$-mal stetig differenzierbar ist.
         \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!glatte},
               wenn $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
@@ -314,12 +315,12 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item Eine stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ heißt\label{def:stetigeAbbildungDiffbar}
               \textbf{differenzierbar}\xindex{Abbildung!differenzierbare}
-              in $X$ (von Klasse $C^k$),
+              in $x$ (von Klasse $C^k$),
               wenn es Karten $(U, \varphi)$ von $X$ mit
               $x \in U$ und $(V, \psi)$ von $Y$ mit $f(U) \subseteq V$
               gibt, sodass $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ stetig
               differenzierbar von Klasse $C^k$ in $\varphi(x)$ ist.
-        \item $f$ heißt \textbf{differenzierbar}\todo{stimmt das so?}
+        \item $f$ heißt \textbf{differenzierbar}
               (von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$ 
               differenzierbar ist.
         \item $f$ heißt \textbf{Diffieomorphismus}\xindex{Diffieomorphismus},
@@ -339,10 +340,8 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$
     um $x$ bzw. $f(x)$ mit $f(U') \subseteq V'$.
     
-    \begin{align*}
+    $\Rightarrow \psi' \circ f \circ (\varphi')^{-1}$\\
-        \Rightarrow &\psi' \circ f \circ (\varphi')^{-1}\\
+    $= \psi' \circ ( \psi^{-1} \circ \psi) \circ f \circ (\varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ (\varphi')^{-1}$
-                  = &\psi' \circ ( \psi^{-1} \circ \psi) \circ f \circ (\varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ (\varphi')^{-1}
-    \end{align*}
 
     ist genau dann differenzierbar, wenn $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$
     differenzierbar ist.
@@ -686,7 +685,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
               ist simplizial:
 
               \input{figures/topology-triangle-to-line.tex}
-        \item \todo[inline]{wozu dient das Beispiel?}
+        \item \todo[inline]{Wozu dient das Beispiel?}
 
             \input{figures/topology-2.tex}
     \end{enumerate}

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -47,6 +47,8 @@
     in dieser Topologie offen sein $\Rightarrow \Set{-1,1}$ ist
     nicht offen. $\qed$
 
+    \textbf{Teilaufgabe c)} 
+
     \textbf{Beh.:} Es gibt unendlich viele Primzahlen.
 
     \textbf{Bew.:} durch Widerspruch
@@ -61,7 +63,7 @@
 
 \begin{solution}[\ref{ub2:aufg4}]
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
-        \item \underline{Beh.:} Die offenen Mengen von $P$ sind
+        \item \textbf{Beh.:} Die offenen Mengen von $P$ sind
               Vereinigungen von Mengen der Form 
               \[\prod_{j \in J} U_j \times \prod_{i \in \mdn, i \neq j} P_i\]
               wobei $J \subseteq \mdn$ endlich und $U_j \subseteq P_j$
@@ -74,7 +76,7 @@
                 Mengen von $P$ Vereinigungen von Mengen der obigen
                 Form. $\qed$
               \end{beweis}
-        \item \underline{Beh.:} Die Zusammenhangskomponenten von $P$
+        \item \textbf{Beh.:} Die Zusammenhangskomponenten von $P$
               sind alle einpunktig.\xindex{Total Unzusammenhängend}
               \begin{beweis}
                 Es seinen $x,y \in P$ und $x$ sowie $y$ liegen in der

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -1,277 +1,68 @@
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter*{Symbolverzeichnis}
-% Begriffslexikon zur Beschreibung des Produkts						 %
+\addcontentsline{toc}{chapter}{Symbolverzeichnis}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
-%\newglossaryentry{sortierschluessel}
-%{
-%  name=Sortierschlüssel,
-%  description={ein Schlüssel, anhand dessen diese Einträge sortiert werden}
-%}
-%\newacronym{abc}{Blub}{Bananarama}
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-% Mengenoperationen                                                 %
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\newglossaryentry{Potenzmenge}
-{
-  name={\ensuremath{\mathcal{P}(M)}},
-  description={Potenzmenge von $M$},
-  sort=MengenoperationNPotenzmenge
-}
-
-\newglossaryentry{Abschluss}
-{
-  name={\ensuremath{\overline{M}}},
-  description={Abschluss der Menge $M$},
-  sort=MengenoperationFAbschluss
-}
-
-\newglossaryentry{Rand}
-{
-  name={\ensuremath{\partial M}},
-  description={Rand der Menge $M$},
-  sort=MengenoperationFRand
-}
-
-\newglossaryentry{Inneres}
-{
-  name={\ensuremath{M^\circ}},
-  description={Inneres der Menge $M$},
-  sort=MengenoperationFInneres
-}
-
-\newglossaryentry{Kreuzprodukt}
-{
-  name={\ensuremath{A \times B}},
-  description={Kreuzprodukt zweier Mengen},
-  sort=MengenoperationNKreuzprodukt
-}
-\newglossaryentry{subseteq}
-{
-  name={\ensuremath{A \subseteq B}},
-  description={Teilmengenbeziehung},
-  sort=MengenoperationNSubseteq
-}
-\newglossaryentry{subsetneq}
-{
-  name={\ensuremath{A \subsetneq B}},
-  description={echte Teilmengenbeziehung},
-  sort=MengenoperationNSubsetneq
-}
-
-\newglossaryentry{setminus}
-{
-  name={\ensuremath{A \setminus B}},
-  description={$A$ ohne $B$},
-  sort=MengenoperationNSetminus
-}
-
-\newglossaryentry{cup}
-{
-  name={\ensuremath{A \cup B}},
-  description={Vereinigung},
-  sort=MengenoperationOCup
-}
-
-\newglossaryentry{dcup}
-{
-  name={\ensuremath{A \dcup B}},
-  description={Disjunkte Vereinigung},
-  sort=MengenoperationOCupD
-}
-
-\newglossaryentry{cap}
-{
-  name={\ensuremath{A \cap B}},
-  description={Schnitt},
-  sort=MengenoperationOCap
-}
-
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Zahlenmengen                                                      %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\newglossaryentry{N}
+\section*{Zahlenmengen}
-{
+$\mdn\;\;\;$ Natürliche Zahlen\\
-  name={\ensuremath{\mdn}},
+$\mdz\;\;\;$ Ganze Zahlen\\
-  description={Natürliche Zahlen},
+$\mdq\;\;\;$ Rationale Zahlen\\
-  sort=KoerperAN
+$\mdr\;\;\;$ Reele Zahlen\\
-}
+$\mdr^+\;\;\;$ Echt positive reele Zahlen\\
-
+$\mdr^\times\;\;\;$ Einheitengruppe von $\mdr$\\
-\newglossaryentry{Z}
+$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen\\
-{
-  name={\ensuremath{\mdz}},
-  description={Ganze Zahlen},
-  sort=KoerperAZ
-}
-
-\newglossaryentry{Q}
-{
-  name={\ensuremath{\mdq}},
-  description={Rationale Zahlen},
-  sort=KoerperBQ
-}
-
-\newglossaryentry{R}
-{
-  name={\ensuremath{\mdr}},
-  description={Reele Zahlen},
-  sort=KoerperR
-}
-
-\newglossaryentry{Rplus}
-{
-  name={\ensuremath{\mdr^+}},
-  description={Echt positive reele Zahlen},
-  sort=KoerperRplus
-}
-
-\newglossaryentry{Einheitengruppe}
-{
-  name={\ensuremath{\mdr^\times}},
-  description={Multiplikative Einheitengruppe von $\mdr$},
-  sort=KoerperREinheiten
-}
-
-\newglossaryentry{Komplexe Zahlen}
-{
-  name={\ensuremath{\mdc}},
-  description={Komplexe Zahlen},
-  sort=KoerperSComplexeZahlen
-}
-
-\newglossaryentry{Projektiver Raum}
-{
-  name={\ensuremath{\mdp}},
-  description={Projektiver Raum},
-  sort=KoerperXProjektion
-}
 
+\section*{Weiteres}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Fraktale Symbole                                                  %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\newglossaryentry{fB}
+$\fB\;\;\;$ Basis einer Topologie\\
-{
+$\fB_\delta(x)\;\;\;$ $\delta$-Kugel um $x$\\
-  name={\ensuremath{\fB}},
+$\fT\;\;\;$ Topologie\\
-  description={Basis einer Topologie},
-  sort=fB
-}
 
-\newglossaryentry{Epsilonumgebung}
+$\mdp\;\;\;$ Projektiver Raum\\
-{
+$\langle \cdot , \cdot \rangle\;\;\;$ Skalarprodukt\\
-  name={\ensuremath{\fB_\delta(x)}},
+$X /_\sim\;\;\;$ $X$ modulo $\sim$\\
-  description={$\delta$-Kugel um $x$},
+$[x]_\sim\;\;\;$ Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
-  sort=fBr
+$\| x \|\;\;\;$ Norm von $x$\\
-}
+$| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
+$S^n\;\;\;$ Sphäre\\
+$T^n\;\;\;$ Torus\\
+$\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
+$f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
+$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
+$\text{Rg}(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
+$f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
 
-\newglossaryentry{fT}
+\end{minipage}
-{
+\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
-  name={\ensuremath{\fT}},
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-  description={Topologie},
+% Mengenoperationen                                                 %
-  sort=fT
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-}
+\section*{Mengenoperationen}
+$A^C\;\;\;$ Komplement der Menge $A$\\
+$\mathcal{P}(M)\;\;\;$ Potenzmenge von $M$\\
+$\overline{M}\;\;\;$ Abschluss der Menge $M$\\
+$\partial M\;\;\;$ Rand der Menge $M$\\
+$M^\circ\;\;\;$ Inneres der Menge $M$\\
+$A \times B\;\;\;$ Kreuzprodukt zweier Mengen\\
+$A \subseteq B\;\;\;$ Teilmengenbeziehung\\
+$A \subsetneq B\;\;\;$ echte Teilmengenbeziehung\\
+$A \setminus B\;\;\;$ $A$ ohne $B$\\
+$A \cup B\;\;\;$ Vereinigung\\
+$A \dcup B\;\;\;$ Disjunkte Vereinigung\\
+$A \cap B\;\;\;$ Schnitt\\
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-% Sonstiges                                                         %
+% Gruppen                                                           %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\newglossaryentry{Skalarprodukt}
+\section*{Gruppen}
-{
+$\text{Homöo}(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
-  name={\ensuremath{\langle \cdot , \cdot \rangle}},
+$\text{Iso}(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
-  description={Skalarprodukt},
+\end{minipage}
-  sort=ZZZSkalarprodukt
-}
-
-\newglossaryentry{Modulo}
-{
-  name={\ensuremath{X /_\sim}},
-  description={$X$ modulo $\sim$},
-  sort=ZZZAuequivalenzModulo
-}
-
-\newglossaryentry{Modulo-Aequivalenzklasse}
-{
-  name={\ensuremath{[x]_\sim}},
-  description={Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$},
-  sort=ZZZAuequivalenzKlassen
-}
-
-\newglossaryentry{Norm}
-{
-  name={\ensuremath{\| x \|}},
-  description={Norm von $x$},
-  sort=ZZZNorm
-}
-
-\newglossaryentry{Betrag}
-{
-  name={\ensuremath{| x |}},
-  description={Betrag von $x$},
-  sort=ZZZNormBetrag
-}
-
-\newglossaryentry{Sphaere}
-{
-  name={\ensuremath{S^n}},
-  description={Sphäre},
-  sort=ZZZSphaere
-}
-
-\newglossaryentry{Torus}
-{
-  name={\ensuremath{T^n}},
-  description={Torus},
-  sort=ZZZSphaereTorus
-}
-
-\newglossaryentry{Projektion}
-{
-  name={\ensuremath{\pi_X}},
-  description={Projektion auf X},
-  sort=ZZZProjektion
-}
-
-\newglossaryentry{Urbild}
-{
-  name={\ensuremath{f^{-1}(M)}},
-  description={Urbild von $M$},
-  sort=ZZZUrbild
-}
-
-\newglossaryentry{Ohne Einschraekung}
-{
-  name={$\text{\OE}$},
-  description={Ohne Einschränkung},
-  sort=ZZZOE
-}
-
-\newglossaryentry{Allgemeine lineare Gruppe}
-{
-  name={$\GL_n(K)$},
-  description={Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)},
-  sort=ZZZGL
-}
 
 
-\newglossaryentry{Rang}
-{
-  name={$\text{Rg}(M)$},
-  description={Rang von $M$},
-  sort=ZZZRang
-}
 
-\newglossaryentry{Einschraeunkung}
-{
-  name={$f|_U$},
-  description={$f$ eingeschränkt auf U},
-  sort=ZZZEinschraenkung
-}
 
-% Setze den richtigen Namen für das Glossar
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documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex

@@ -16,15 +16,16 @@
         \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node [below] {\x};
 
 
-  \draw[red] (0.07,0.1) -- (0,0.1) -- (0,-0.1) -- (0.07,-0.1) node [below] {};
+    \draw[thick,red] (0.07,0.1) -- (0,0.1) -- (0,-0.1) -- (0.07,-0.1) node [below] {};
-  \draw[red] plot [smooth] coordinates{(0.47,0.1) (0.5,0) (0.47,-0.1)};
+    \draw[thick,red] plot [smooth] coordinates{(0.47,0.1) (0.5,0) (0.47,-0.1)};
+    \draw[thick,red] (0,0) -- (0.5,0);
+    \draw[dotted,red] (0,-0.03) -- (0.5,-0.03);
 
     \begin{scope}[shift={(4,0)}]
         \draw[thick] (0cm,0cm) circle(1cm);
         \draw[thick, red] ([shift={(180:1cm)}]-0.0,0) arc (180:0:1cm);
+        \draw[red, dotted] ([shift={(180:0.97cm)}]-0.0,0) arc (180:0:0.97cm);
         \draw (0:1cm) node[point, label=right:{$0$}] {};
-        %\path node[point, blue, label={[blue,above]{$\overline{a}$}}] (posU) at (-252:1cm) {};
-        %\path node[label={[red,left]{$U$}}] at (30:1cm) {};
     \end{scope}
 
     \coordinate (circleUp)       at (2.6, 0.1);
@@ -35,10 +36,4 @@
     \path[->] (numberlineUp)   edge  [bend left]  node[label=$f$]  {} (circleUp);
     \path[<-] (numberlineDown) edge  [bend right] node[label=below:$g$]  {} (circleDown);
 
-    %\draw (3.7cm,0cm) node[point, blue, label={[blue,above]{$a$}}] (posA) {};
-    %\draw (0.7cm,0cm) node[point, blue, label={[blue,above]{$\pi^{-1}(u)$}}] {};
-    %\draw[dashed, blue, thick] plot [smooth] coordinates{(posU) (0.2,-0.8) (2.5,-1) (posA)};
-
-    %\draw[blue, dashed, thick] (3.7cm,0cm) arc (0:180:1.5 and 0.5);
-
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topology-kartenwechsel.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
 \begin{tikzpicture}[tqft/flow=east]
     \draw (0,0) ellipse (2cm and 1cm);
+    \draw (0,-2) ellipse (3cm and 0.8cm);
     \def\ringa{(-0.3,0) circle (0.5cm)}
     \def\ringb{(+0.3,0) circle (0.5cm)}
 
@@ -24,6 +25,8 @@
     \node at (+1,0.3) {$U_j$};
     \node at (-1.9,-2) {$V_i$};
     \node at (+1.9,-2) {$V_j$};
+    \node at (+2.0,0.7) {$X$};
+    \node at (+2.4,-1.3) {$\mathbb{R}^n$};
 
 
     \path[->] (-0.35,0)  edge [bend angle=10,bend right] node[label={[label distance=0.1cm]210:$\varphi_i$}] {} (-1,-1.5);

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -30,10 +30,12 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Define theorems                                                   %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\newcommand{\thmfoot}{}
 \theoremstyle{break}
 \setlength\theoremindent{0.7cm}
 \theoremheaderfont{\kern-0.7cm\normalfont\bfseries} 
 \theorembodyfont{\normalfont} % nicht mehr kursiv
+\theoremseparator{\thmfoot}
 
 \newframedtheorem{satz}{Satz}[chapter]
 \newframedtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
@@ -67,5 +69,6 @@
 \newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}}
 \newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}}
 \newcommand\obda{o.~B.~d.~A.}
+\newcommand\Obda{o.~B.~d.~A.}