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@ -12,4 +12,4 @@ Datum | Uhrzeit
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16.12.2013 | 15:00 - 15:30
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17.12.2013 | 07:30 - 07:45, 14:30 - 15:40, 16:30 - 18:00, 22:00 - 23:00
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20.12.2013 | 09:00 - 09:15
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22.12.2013 | 14:00 - 14:45
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22.12.2013 | 14:00 - 14:45, 17:00 - 18:20
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@ -36,8 +36,8 @@
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\begin{aufgabe}[Kompaktheit]\label{ub3:aufg1}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Ist $\text{GL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
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\item Ist $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
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\item Ist $\GL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
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||||
\item Ist $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
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\item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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@ -21,7 +21,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\begin{korollar}[Mengen, die offen und abgeschlossen sind, existieren]
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Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie}
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\xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_\text{triv} = \Set{\emptyset, X}$.
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\xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$.
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Es gilt: $X \in \fT$ und $\emptyset \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
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sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$
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@ -33,8 +33,8 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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\item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik. \xindex{Topologie!euklidische}
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\begin{align*}
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U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw &\text{ für jedes } x \in U \text{ gibt es } r > 0,\\
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&\text{ sodass } \fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U
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||||
U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw &\text{ für jedes $x \in U$ gibt es $r > 0$,}\\
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||||
&\text{ sodass $\fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$}
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||||
\end{align*}
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||||
Also: $\fT = \Set{M \subseteq X | M \text{ ist offene Kugel}}$.
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Diese Topolgie wird auch \enquote{Standardtopologie des $\mdr^n$}\xindex{Standardtopologie} genannt.
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@ -310,7 +310,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\item $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
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und es eine
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stetige Abbildung $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass
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$g \circ f = \text{id}_X$ und $f \circ g = \text{id}_Y$.
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$g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{definition}
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@ -357,7 +357,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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\item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\text{Id}_X : X \rightarrow X$
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\item Für jeden topologischen Raum $X$ gilt: $\id_X : X \rightarrow X$
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ist Homöomorphismus.
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\item Ist $Y$ trivialer topologischer Raum, d.~h. $\fT = \fT_\text{triv}$,
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so ist jede Abbildung $f:X \rightarrow Y$ stetig.
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@ -406,7 +406,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
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eine Gruppe.\xindex{Homöomorphismengruppe}
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\item Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen
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Räumen ist ein Homöomorphismus.
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\item $\text{Isom}(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
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\item $\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
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eine Untergruppe von $\text{Homöo}(X)$ für jeden
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metrischen Raum $X$.
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\end{enumerate}
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@ -936,7 +936,7 @@ $\qed$
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\centering
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\subfloat[Trivialer Knoten]{
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\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png}
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||||
\label{fig:knot-trefoil}
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||||
\label{fig:knot-unknot}
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}%
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||||
\subfloat[Kleeblattknoten]{
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||||
\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png}
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@ -944,7 +944,7 @@ $\qed$
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}%
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||||
\subfloat[Achterknoten]{
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||||
\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png}
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||||
\label{fig:knot-trefoil}
|
||||
\label{fig:knot-eight-knot}
|
||||
}%
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||||
\subfloat[$6_2$-Knoten]{
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\includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png}
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@ -162,7 +162,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr
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Dann gilt:
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\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
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||||
\item $X$ ist abgeschlossen in $\mdr^n$
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\item Ist $\text{grad}(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
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||||
\item Ist $\grad(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
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||||
$X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$. \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
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||||
\end{enumerate}
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\end{korollar}
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@ -174,7 +174,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr
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|||
mit $\varepsilon = \frac{1}{2} \|F(y)\|$. Folgt
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||||
$\fB_\delta(y) \cap V(F) = \emptyset \Rightarrow \mdr^n \setminus V(F)$
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||||
ist offen.
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||||
\item Sei $x \in X$ mit $\text{grad}(F)(x) \neq 0$, also
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||||
\item Sei $x \in X$ mit $\grad(F)(x) \neq 0$, also
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||||
\obda $\frac{\partial F}{\partial X_1} (x) \neq 0$,
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||||
$x = (x_1, \dots, x_n)$, $x' := (x_2, \dots, x_n) \in \mdr^{n-1}$.
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||||
Der Satz von der impliziten Funktion liefert nun:
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@ -190,7 +190,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr
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|||
\begin{beispiel}\xindex{Neilsche Parabel}
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||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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||||
\item $F: \mdr^3 \rightarrow \mdr,\;\;\; (x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 1$,
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||||
$V(F) = S^2$, $\text{grad}(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
|
||||
$V(F) = S^2$, $\grad(F) = (2x, 2y, 2z) \xRightarrow{\ref{Mannigfaltigkeitskriterium}} S^n$
|
||||
ist $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit in $\mdr^{n+1}$
|
||||
\item $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr, \;\;\; (x,y) \mapsto y^2 - x^3$
|
||||
\begin{figure}[ht]
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||||
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@ -206,7 +206,7 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr
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\label{Neilsche-Parabel}
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||||
\caption{Rechts ist die Neilsche Parabel für verschiedene Parameter $a$.}
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\end{figure}
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||||
Es gilt: $\text{grad}(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\text{grad}(0,0) = (0,0)$.
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||||
Es gilt: $\grad(F) = (-3x^2, 2y)$. Also: $\grad(0,0) = (0,0)$.
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||||
Daher ist Korollar \ref{Mannigfaltigkeitskriterium}
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nicht anwendbar, aber $V(F)$ ist trotzdem
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eine 1-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
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@ -328,8 +328,8 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\item $f$ heißt \textbf{Diffeomorphismus}\xindex{Diffeomorphismus},
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||||
wenn $f$ differenzierbar von Klasse $C^\infty$ ist und
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es eine differenzierbare Abbildung $g: Y \rightarrow X$
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von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \text{id}_X$
|
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und $f \circ g = \text{id}_Y$.
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||||
von Klasse $C^\infty$ gibt mit $g \circ f = \id_X$
|
||||
und $f \circ g = \id_Y$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{definition}
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@ -352,7 +352,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\begin{beispiel}
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$f: \mdr \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto x^3$ ist kein
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Diffeomorphismis, aber Homöomorphismus, da mit $g(x) := \sqrt[3]{x}$
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gilt: $f \circ g = \text{id}_\mdr, \;\;\; g \circ f = \text{id}_\text{\mdr}$
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||||
gilt: $f \circ g = \id_\mdr, \;\;\; g \circ f = \id_\text{\mdr}$
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||||
\end{beispiel}
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\begin{bemerkung}
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@ -401,7 +401,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
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\label{fig:sin-cos}
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}%
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\label{Formen}
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\label{fig:example-image-gallery-1}
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||||
%\caption{}
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||||
\end{figure}
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@ -510,7 +510,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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\begin{beispiel}
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\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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||||
\item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen.
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\item $\text{GL}_n(\mdr)$
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\item $\GL_n(\mdr)$
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\item $(\mdr^\times, \cdot)$
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\item $(\mdr_{>0}, \cdot)$
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\item $(\mdr^n, +)$, denn $A \cdot B (i,j) = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ ist
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@ -528,9 +528,9 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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$\det A_{ij}$ kann $0$ werden, da:
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\[\begin{pmatrix}1 & 1\\-1&0\end{pmatrix}\]
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\item $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \text{GL}_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
|
||||
\item $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \GL_n(\mdr) | \text{det}(A) = 1} $ \todo{Besser strukturieren}
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$\text{grad}(\det-1)(A) = 0$?
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||||
$\grad(\det-1)(A) = 0$?
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$\frac{\partial}{\partial a_{11}} (\det -1) = 1 \cdot \det A_{11}$
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@ -727,7 +727,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
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definiert ein $k$-Simplex.\\
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$\Rightarrow a_k(\Delta^n) = \binom{n+1}{k+1}, \;\;\; k = 0, \dots, n$\\
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||||
$\Rightarrow \chi(\Delta^n) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n+1}{k+1}$\\
|
||||
$f(x) = (x+1)^{n+1} \stackrel{\substack{\tiny\text{Binomischer}\\\text{Lehrsatz}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\
|
||||
$f(x) = (x+1)^{n+1} \stackrel{\substack{\text{\tiny{Binomischer}}\\\text{\tiny{Lehrsatz}}}}{=} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} x^k$\\
|
||||
$\Rightarrow 0 = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^k = \chi(\Delta^n) -1$\\
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||||
$\Rightarrow \chi(\Delta^n) = 1 \qed$
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||||
\end{beweis}
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||||
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@ -14,7 +14,7 @@
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|||
\input{figures/topology-non-homotop-paths.tex}
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||||
\label{fig:nicht-homotope-wege-anschaulich}
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}
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||||
\label{Formen}
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||||
\label{fig:paths-homotop-example-counterexample}
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||||
\caption{Beispiele für Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$}
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||||
\end{figure}
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||||
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||||
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@ -75,7 +75,7 @@
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\centering
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||||
\input{figures/topology-paths-in-r2.tex}
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||||
\caption{Zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Enpunkt $(0,0)$}
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||||
\label{fig:torus-three-paths}
|
||||
\label{fig:paths-from-origin}
|
||||
\end{figure}
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||||
Sei $\gamma_0: I \rightarrow \mdr^2$ der konstante Weg
|
||||
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@ -97,7 +97,7 @@
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|||
\includegraphics[width=0.45\linewidth, keepaspectratio]{figures/torus-three-paths.pdf}
|
||||
\label{fig:torus-three-paths}
|
||||
}%
|
||||
\label{Formen}
|
||||
\label{fig:homotop-paths}
|
||||
\caption{Beispiele für (nicht)-homotopie von Wegen}
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||||
\end{figure}
|
||||
\end{beispiel}
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||||
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@ -338,10 +338,10 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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|||
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||||
\begin{beweis}
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||||
Sei $g: Y \rightarrow X$ die Umkehrabbildung, d.~h. $g$ ist stetig
|
||||
und $f \circ g = \text{id}_Y$, $g \circ f = \text{id}_X$
|
||||
und $f \circ g = \id_Y$, $g \circ f = \id_X$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow f_* \circ g_* = (f \circ g)_* = (\text{id}_Y)_* = \text{id}_{\pi_1 (Y, f(X)}$
|
||||
und $g_* \circ f_* = \text{id}_{\pi_1(X,x)}$.
|
||||
$\Rightarrow f_* \circ g_* = (f \circ g)_* = (\id_Y)_* = \id_{\pi_1 (Y, f(X)}$
|
||||
und $g_* \circ f_* = \id_{\pi_1(X,x)}$.
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{definition}\xindex{Abbildung!homotope}
|
||||
|
|
@ -369,18 +369,18 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{beispiel}
|
||||
$f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ mit $g \circ f \sim \text{id}_X,$
|
||||
$f \circ g \sim \text{id}_Y$
|
||||
$f:X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ mit $g \circ f \sim \id_X,$
|
||||
$f \circ g \sim \id_Y$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow f_*$ ist Isomorphismus. Konkret: $f: \mdr^2 \rightarrow \Set{0},$
|
||||
$g:\Set{0} \rightarrow \mdr^2$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow f \circ g = \text{id}_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$,
|
||||
$\Rightarrow f \circ g = \id_{\Set{0}}$, $g \circ f: \mdr^2 \rightarrow \mdr^2$,
|
||||
$x \mapsto 0$ für alle $x$.
|
||||
|
||||
$g \circ f \sim \text{id}_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!)
|
||||
$g \circ f \sim \id_{\mdr^2}$ mit Homotopie: $H: \mdr^2 \times I \rightarrow \mdr^2, H(x,S) = (1-s) x$ (stetig!)
|
||||
|
||||
$\Rightarrow H(X,0) = X = \text{id}_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$
|
||||
$\Rightarrow H(X,0) = X = \id_{\mdr^2} (X), H(X, 1) = 0, H(0, s) = 0$ für alle $s \in I$
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen}
|
||||
|
|
@ -466,7 +466,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
|
|||
\resizebox{0.3\linewidth}{!}{\input{figures/topology-ueberlagerung.tex}}
|
||||
\label{fig:liftung-s1-s1}
|
||||
}%
|
||||
\label{Formen}
|
||||
\label{fig:ueberlagerungen}
|
||||
\caption{Beispiele für Überlagerungen}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{beispiel}
|
||||
|
|
@ -822,9 +822,9 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
|
|||
Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von
|
||||
$p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$.
|
||||
|
||||
Da auch $\text{id}_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
|
||||
Korollar~\ref{kor:12.4}: $g \circ f = \text{id}_{\tilde{X}}$.
|
||||
Analog $f \circ g = \text{id}_{\tilde{Y}}$. $\qed$
|
||||
Da auch $\id_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
|
||||
Korollar~\ref{kor:12.4}: $g \circ f = \id_{\tilde{X}}$.
|
||||
Analog $f \circ g = \id_{\tilde{Y}}$. $\qed$
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
Die Frage, wann es eine universelle Überlagerung gibt, beantwortet
|
||||
|
|
@ -877,7 +877,7 @@ der folgende Satz:
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|||
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||||
$f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
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||||
|
||||
Ist $p$ eine Decktransformation und $|\text{Deck}(Y/X)| = \deg{p}$,
|
||||
Ist $p$ eine Decktransformation und $|\Deck(Y/X)| = \deg{p}$,
|
||||
so heißt $p$ \textbf{regulär}.\xindex{Decktransformation!reguläre}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
|
|
@ -885,12 +885,12 @@ der folgende Satz:
|
|||
\begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
|
||||
\item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe,
|
||||
die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}
|
||||
$\text{Deck}(p) = \text{Deck}(Y/X) = \text{Deck}(Y \rightarrow X)$
|
||||
\item Ist $f \in \text{Deck}(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat
|
||||
$\Deck(p) = \Deck(Y/X) = \Deck(Y \rightarrow X)$
|
||||
\item Ist $f \in \Deck(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat
|
||||
$f$ keinen Fixpunkt.
|
||||
\item $|\text{Deck}(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c}
|
||||
\item $|\Deck(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c}
|
||||
\item Ist $p$ eine reguläre Decktransformation, dann gilt:
|
||||
$\forall x \in X: \text{Deck}(Y/X)$ operiert transitiv
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$\forall x \in X: \Deck(Y/X)$ operiert transitiv
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auf der Menge der Urbilder $p^{-1}(x)$.
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\end{enumerate}
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\end{korollar}
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@ -35,7 +35,7 @@ $\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
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\section*{Gruppen}
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$\text{Homöo}(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
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$\text{Iso}(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
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$\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
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$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
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\end{minipage}
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@ -68,13 +68,17 @@
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\DeclareMathOperator{\rang}{rg}
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\def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}}
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\def\SL{\ensuremath{\mathrm{SL}}}
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\newcommand\mapsfrom{\mathrel{\reflectbox{\ensuremath{\mapsto}}}}
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\newcommand\dcup{\mathbin{\dot{\cup}}}
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\DeclareMathOperator{\id}{id}
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\newcommand{\id}{\textnormal{id}}
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\DeclareMathOperator{\Deck}{Deck}
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\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
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\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
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\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
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%%%Text %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand\obda{o.~B.~d.~A.\xspace}
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\newcommand\Obda{O.~B.~d.~A.\xspace}
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\newcommand{\ts}[1]{\textnormal{#1}} % textual subscript
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