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Klausur 3 / Aufgabe 3 hinzugefügt (und eventuell noch andere Sachen)
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Martin Thoma 2013-09-16 02:20:08 -07:00
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documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex Normal file
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@ -0,0 +1,29 @@
\section*{Aufgabe 3}
\subsection*{Teilaufgabe a)}
\begin{enumerate}
\item Selbstabbildung: \\
Sei $x \in D := [1.75 , 2]$.
Dann:
\begin{align}
F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2
\end{align}
und: \\
\begin{align}
F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1.75
\end{align}
\item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen.
\item Kontraktion: \\
$F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\
\begin{align}
|F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1
\end{align}
Also gilt auch $\forall x,y \in D $:
\begin{align}
|F(x) - F(y)| \le \theta \cdot |x - y|
\end{align}
Somit ist die Lipschitz- bzw. Kontraktions-Konstante $\theta$.
\end{enumerate}
Insgesamt folgt, dass $F$ die Voraussetzungen des Banaschen Fixpunktsatzes erfüllt.

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\section*{Aufgabe 3}
\subsection*{Teilaufgabe a)}
\begin{enumerate}
\item Selbstabbildung: \\
Sei $x \in D := [1.75 , 2]$.
Dann:
\begin{align}
F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \le 1 + \frac{1}{1.75} + \frac{1}{1.75^2} = 1 + \frac{44}{49} \le 2
\end{align}
und: \\
\begin{align}
F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1.75
\end{align}
\item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen.
\item Kontraktion: \\
$F$ ist Lipschitz-stetig auf $D$ und für alle $x \in D$ gilt: \\
\begin{align}
|F'(x)| = |-\frac{1}{x^2}-2 \cdot \frac{1}{x^3}| \le \frac{240}{343} =: \theta < 1
\end{align}
Also gilt auch $\forall x,y \in D $:
\begin{align}
|F(x) - F(y)| \le \theta \cdot |x - y|
\end{align}
Somit ist die Lipschitz- bzw. Kontraktions-Konstante $\theta$.
\end{enumerate}
Insgesamt folgt, dass $F$ die Voraussetzungen des Banaschen Fixpunktsatzes erfüllen.